UNIVERSIDADE SÃO JUDAS
TADEU
TEORIA DAS FILAS
FERNANDO MORI
[email protected]
A teoria das filas iniciou com o trabalho de Erlang (1909) na indústria telefônica no inicio
do século vinte. Ele fez estudos detalhados dos modelos usuais em que as chegadas ao
sistema e os tempos de serviço são conhecidos e pertencem a bem estabelecidas
categorias que são bem caracterizadas.
Uma fila é formada pelas chegadas aleatórias de clientes que chegam a algum lugar
para receber um serviço fornecido por um atendente. O objetivo da teoria das filas é
caracterizar de forma quantitativa e qualitativa uma fila por meio da análise matemática.
A quantificação de uma fila pode ser feita por análise matemática que fornece resultados
ótimos, apesar de requere algumas hipóteses bastante restritivas, tais como a chegada
dos clientes, o numero de atendentes e a estrutura do sistema. Por outro lado pode-se
também analisar problemas de filas usando simulação. A diferença é que neste ultimo
caso não temos resultados ótimos, mas em compensação podemos analisar casos mais
complexos.
Os principais elementos em um modelo matemático de filas são clientes (usuários) e
atendentes(ou servidores). Usuários podem ter origem em uma população finita ou
infinita.
A chegada dos clientes é representada pelo tempo entre chegadas. Isto é uma constante
ou uma variável aleatória com uma distribuição de probabilidades conhecida ou
desconhecida. A analise matemática que usaremos considera apenas as chegadas que
obedecem uma distribuição de Poisson. Outras distribuições ou comportamentos de filas
devem ser tratadas usando simulação.
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2
O atendimento é representado pelo tempo de serviço. Pode ser constante ou uma
variável aleatória com distribuição de probabilidade conhecida ou desconhecida. A teoria
das filas trata do caso quando o tempo de atendimento é uma variável aleatória que
obedece uma distribuição exponencial negativa ou distribuição de Erlang.
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3
INTRODUÇÃO
Um processo de filas de espera consiste nas chegadas de
clientes a um local onde é prestado um serviço, esperando
em fila, se todos atendentes estiverem ocupados, sendo
atendidos e finalmente deixando o local. Um sistema de
filas de espera consiste em um conjunto de clientes e um
conjunto de atendentes e numa ordem pela qual os clientes
chegam e são atendidos.
Características das filas
Os sistemas de filas de espera são caracterizados por cinco
componentes: o padrão de chegada dos clientes, o padrão de
serviço, o número de atendentes, a capacidade do local em
que os clientes esperam, a ordem pela qual são atendidos.
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4
a) Fila Única de espera, único servidor
Chegada
Fila
Cliente
em serviço
Partida
Servidor
de clientes
de clientes
Origem
de Clientes
Fila
Chegada
Servidor -1
Servidor -2
de clientes
Partida
de clientes
Servidor -3
b) Única Fila de espera, múltiplos servidores em paralelo
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5
c) Múltiplas filas de espera, múltiplos servidores em paralelo.
Fila nº 1
Servidor- 1
Chegada
de clientes
Fila nº 2
Partida
de
clientes
ServidorServidor 2
Origem
de Clientes
Chegada
Fila
Fila
Servidor- 1
Servidor- 2
de clientes
d) Única fila de espera, múltiplos servidores em série
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6
Padrões de chegada
O padrão de chegada dos clientes é especificado
pelo intervalo de tempo entre chegadas
consecutivas de clientes ao local de prestação de
serviços. O tempo entre chegadas pode ser
determinístico ou pode ser uma variável aleatória
cuja distribuição de probabilidade seja conhecida.
Padrões de serviço
O padrão de serviço é específico pelo tempo de
serviço, tempo necessário para um atendente
atender um cliente. O tempo de serviço pode ser
determinístico ou pode ser uma variável aleatória.
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7
Capacidade do sistema
A capacidade do sistema é o número máximo de
clientes (incluindo tanto os que estão sendo
atendidos como os que aguardam na fila de
espera) permitidos no local de prestação de
serviços ao mesmo tempo.
Um sistema que não tenha limite no número
permitido de clientes dentro do estabelecimento
tem uma capacidade infinita, um sistema com
um limite tem capacidade finita.
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8
Disciplina das filas de espera
A disciplina da fila é a ordem pelo qual os
clientes são atendidos, e pode ser:
PCPS :
primeiro a chegar, primeiro a sair.
UCPS : último a chegar, primeiro a sair.
SOA : serviço em ordem aleatória.
SPSA :
sistema por prioridade.
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9
Notação de Kendall:
Para o estudo de teoria das filas devemos
analisar seis fatores:
a / b / c : d / e / f 
a: como são as chegadas ou distribuição de
chegadas.
b: tempo de atendimento.
c: número de atendentes.
d: disciplina de atendimento.
e: espaço para espera.
f: população que usa o sistema
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10
Na notação as letras a e b podem ser trocadas por:
M → chegada prevista pela lei de Poissson
(Markoviano) ou distribuição de saída
exponencial.
D → tempo entre chegadas determinísticas.
Ek → distribuição entre chegadas ou tempo de
chegada seguindo a distribuição de ERLANG
com parâmetro K.
GC → distribuição de chegadas independente.
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11
Primeiro Modelo de Teoria das Filas
(M/ M/1):(PCPS / ∞ / ∞)
M → chegadas segue a distribuição de Poissson
M → o tempo de atendimento segue a distribuição
Exponencial.
1 → Único atendente.
PCPS → Primeiro a chegar, primeiro a sair.
∞ → Espaço para espera é grande ou infinito.
∞ → População que utiliza o sistema é grande ou
infinito.
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12
Formulário do Modelo (M/M/1)
1. 
é a taxa média de chegada – número de clientes por unidade de
tempo.
2.  é a taxa média de atendimento – número de clientes ou unidades
por unidade de tempo.
3.  t é o tempo médio de atendimeto – unidade de tempo por número de
clientes ou unidades.
µt = 1/ µ
4. S = 1 Único atendente
5.  é o fator de utilização


com a condição de   

Se   1 mais clientes chegam que podem ser atendidos e uma fila
infinita se forma.

6. P0 é a probabilidade de não ter ninguén no
P0  1   1  

sistema.
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13
7.
Pn é a probabilidade de ter n clientes ou unidades no sistema.
Pn   n (1   )   n P0
8.
E(Ls) é o número médio no sistema.

Ls 
9.
 
E(Lf) é o número médio na fila.
2
Lf 
(   )
10. E(Ws) é o tempo médio no sistema.
Ws 
9.
1
 
E(Wf) é o tempo médio na fila.
Wf 

(   )
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14
1)
Exercícios
Suponha que o tráfego de 1500 veículos/hora que se
aproxima de um túnel divide-se igualmente para passar
pelos postos de pedágio (existem três) que estão na
entrada do túnel. Cada posto tem uma capacidade de
serviço máxima de 600 veículos/hora. Nessas condições ou
seja quando o fluxo é igualmente dividido entre os três
postos de atendimento podemos considerar cada posto
como uma única estação de serviço. Sob a suposição de
que as chegadas seguem a lei de Poisson e os tempos de
serviços a lei exponencial ache para um único posto:
a) Probabilidade do atendente estar ocioso?
b) Qual a probabilidade de ter fila?
c) Qual o número médio de clientes no sistema?
d) Qual o número médio de clientes na fila?
e) Qual o tempo médio gasto por um veículo para deixar o
sistema?
f) Qual o tempo médio gasto por um veículo na fila?
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15
para um único posto temos   500 ve/hora
taxa média de atendimento   600 ve/hora

 500

 0,833
 600
a) A probabilidade do atendente estar ocioso é :
P0  1    1  0,833  0,167
b) A probabilidade de ter fila = 1 - Probabilidade de não ter fila
Não temos fila quando temos apenas 1 ou 0 clientes no sistema.
P1   1 (1   )  0,139
P0  0,167
P ( fila )  1   0,167  0,139  0, 694
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16
c) número médio no sistema

500
5
   600  500
d) número médio na fila
Ls 

2
5002
Lf 

 4,17
 (    ) 600(600  500)
e) tempo médio gasto no sistema
1
1

 0, 01h  36 segundos
   600  500
f) tempo médio na fila
Ws 

500
Wf 

 0, 0083h  29,8 segundos
 (    ) 600(600  500)
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17
2) A seção masculina de uma grande loja emprega um
alfaiate para consertar roupas compradas pelos clientes. O
número de clientes cujas roupas necessitam de consertos
segue uma distribuição de Poisson com uma taxa média de
chegada de 24 por hora. Os clientes são atendidos por
ordem de chegada, estando dispostos a esperar pelo
atendimento do alfaiate, já que os consertos são gratuitos.
O tempo gasto para atender um cliente é exponencialmente
distribuído com média de 2 minutos:
a) Qual é o número médio de clientes na sala de consertos?
b) Quanto tempo deve um cliente esperar gastar na
sala de consertos?
c) Qual a porcentagem de tempo livre do alfaiate?
d) Qual a probabilidade de um cliente esperar mais
de 10 minutos pelo atendimento do alfaiate?
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18
Este é um sistema M/M/1
taxa de chegada   24 clientes/hora
1 cliente
 0,5 clientes/minuto
2 minutos
a base de tempo deve ser a mesma, e por isso devemos converter
taxa de atendimento  
minuto para hora.
0,5 clientes
 30 clientes/hora
1
hora
60
a) número médio no sistema


24
 4 clientes
   30  24
b) tempo de espera
Ls 

1
1
1

 h  10 minutos
   30  24 6
c) o alfaiate estará livre se não houve ninguém no sistema
Ws 
P0  1 

 1  0,8  0, 2

o alfaiate estará livre em 20% do tempo.
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3) A proprietária da “Loja Doces Finos” não tem empregados, ela
própria serve os clientes. O padrão de chegada de clientes
aos sábados parece seguir a distribuição de Poisson, com
uma taxa média de chegada de 10 pessoas por hora. Os
clientes são atendidos de acordo com a disciplina PCPS e,
dada a fama da loja, estão dispostos a esperar para serem
atendidos depois de entrarem. Estima-se que o tempo gasto
para atender um cliente seja exponencialmente distribuído,
com um tempo médio de atendimento de 4 minutos.
Determine:
a) a probabilidade de formar uma fila de espera.
b) o tamanho médio da fila de espera.
c) o tempo médio de espera por cliente na fila de espera.
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20
É um sistema M/M/1
10 clientes 10 clientes 1

 clientes/minuto  0,167 clientes/min.
1 hora
60 minutos 6
1 cliente

 0, 25 clientes/min.
4 minutos
mesma base de tempo !

1
4 2
6 
1 6 3
4
a) probabilidade de ter espera = 1 - probabilidade de não ter fila
P (não ter fila)  P0  P1
P0  1    0,333
P1   (1   )  0, 222
P (não ter fila)  0,333  0, 222  0,555
P ( fila )  0, 445
b) número médio na fila
 0,167 
2
E(Lf ) 

 1,328 clientes
 (    ) 0, 25(0, 25  0,167)
2
c) tempo médio na fila
E (W f ) 

0,167

 7,95 minutos
 (    ) 0, 021
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4) O balcão de uma sorveteria é servido por um
atendente. Os clientes chegam de acordo com o
processo de Poison com taxa média de 30 por hora.
Eles são atendidos de acordo com a disciplina PCPS
e dada a qualidade do sorvete eles estão dispostos a
esperar. O tempo de atendimento de cada cliente é
distribuído exponencialmente com média de 1,5
minutos. Determine:
a) o número médio de clientes na fila.
b) o tempo que um cliente espera para ser atendido.
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22
Este é um sistema m/m/1
Taxa de atendimento
  30 clientes/hora
atendimento:
=
1
cliente/min = 0,667 cliente/min
1,5
a) numero medio no sistema
2
Ls 
 2, 252
(   )
b) Tempo médio de espera
Ws 

 4,505 min
(   )
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23
5) Num aeroporto de pista única, os aviões solicitam
autorização para pouso a uma média de um em cada 5
minutos, com uma distribuição que pode ser aproximada por
uma Poisson. Os aviões recebem autorização por ordem de
chegada, ficando em espera os que não puderem aterrissar
devido ao congestionamento do tráfego aéreo. O tempo que o
avião aterrisse depende da experiência do piloto, podendo
considerar-se exponencialmente distribuído com média de 3
minutos. Determine:
a) o número de aviões em espera.
b) o número médio de aviões que solicitaram autorização para
aterrissar, mas que ainda se encontram em movimento.
c) a probabilidade de um avião aterrissar em menos de 10
minutos após ter efetuado seu pedido de autorização.
d) a probabilidade de que existam 3 aviões em espera.
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24
taxa de chegadas
=
1 avião
1
 avião/min
5 minutos 5
taxa de atendimento:
=
1 avião
1
 avião/min
3 minutos 3
fator de utilização  
3
5
a)
2
1
 
2
5
Lf 
  
 0,909
(   ) 1  1 1 
  
33 5
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25
b) numero médio no sistema:
LS 

 
 1, 504
c) a probabilidade de aterrisar em menos de 10 minutos:
P (t  10)  e
WS 

t
wS
1
 7, 519
 
P (t  10)  e
10
7,519
 0, 264
P (t  10)  1  P(t  10)  0, 736
d) a probabilidade de termos mais de 3 aviões em espera
P ( x  3)  1  P ( x  3)
P ( x  3)  P0  P1  P2  P3
P0  1    1 
3 2

5 5
6
25
18
P2   2 P0 
125
54
P3   3 P0 
625
P ( x  3)  0,8704
P1   1 P0 
P ( x  3)  1  0,8704  0,1296
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26
6) Um sistema de armazenamento de dados
consiste de um disco rígido com uma única fila.
Uma média de 10 requisições de
armazenamento é feita por segundo. O tempo
necessário para executar uma requisição é de
0,03 segundos. Supondo que os tempos entre
chegadas e os tempos de serviço obedecem
uma distribuição exponencial, determine:
a) A probabilidade do disco rígido estar ocupado.
b) O número médio de requisições presentes no
sistema de armazenamento.
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27
7) Os caminhões de uma empresa de transportes chegam
a estação de serviço da empresa, de acordo com um
processo de Poisson, com uma taxa média de 10 por dia.
A estação de serviço pode atender apenas um caminhão
de cada vez sendo o tempo de serviço exponencialmente
distribuído com média de 1/12 por dia. O custo de
funcionamento da estação de serviço é $200,00 para a
empresa, estimando-se que o custo de imobilização de um
caminhão na estação de serviço durante um dia seja de
$50,00.Pode-se reduzir o tempo de serviço médio para
1/15 por dia, com a compra de um novo equipamento, o
que acarretará um aumento no custo diário de
funcionamento da estação de serviço para $245,00. Será
que tal atualização é economicamente atraente?
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28
8) Uma empresa deseja contratar um reparador
para efetuar manutenção em suas máquinas que
param a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal
possui duas opções: um reparador lento que é
capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por
hora ou um reparador rápido que é capaz de
consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora.
O salario médio do reparador lento é $3,00 por
hora e o do reparador rápido é $5,00 por hora.
Qual contratação deve ser efetuada para que o
custo total seja mínimo? Sabe-se que uma
maquina parada implica um custo horário de
$5,00.
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29
MODELO (M/M/S) : (PCPS/∞/∞)
1)  é a taxa média de chegada→(número de
clientes por unidade de tempo).
2) µ é a taxa média de atendimento por atendente
→( número de clientes ou unidades por unidade
de tempo).
3) µt é o tempo médio de atendimento →(unidade
de tempo por número de clientes ou unidades).
1
....
t 

4) S ≥ 2 é o número de atendentes.

5) .


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30
6)

É o fator de utilização

 
condição   < S.
S.
7) P0 é a probabilidade de não ter ninguém no
sistema:
P0 
1
 S 1  n   s





 n!   S!

 
 n 0 

  1 

 .

  1   


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31
8) Pn é probabilidade de ter n clientes ou unidades
no sistema.
 n 
 .P0  n  S
Pn  
 n! 


ns    

Pn  
.
 .P0  n  S
 S! 
9) Lf é o número médio na fila
Lf 
 s   P0
 S  1 ! S - 2 

 

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32
10) Ls é o número médio no sistema.
Ls = Lf + 
11) E(Ws) é o tempo médio no sistema.
ws 
Ls

12)Wf é o tempo médio na fila.
wf 
Lf

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33
Exercícios
9) Suponha que o tráfego de 1500 veículos/hora se aproxima
de um túnel onde temos 3 postos de pedágio onde cada um
deles atende em média 600 veículos/hora. Sabendo que as
chegadas seguem a lei de Poisson e os tempos de serviço a lei
exponencial, calcular:
a) a probabilidade de ocorrer ociosidade total?
b) a probabilidade de ter fila?
c) o número médio de veículos na fila
d) o número médio de veículos no sistema.
e) o tempo médio gasto por veículo na fila.
f) o tempo médio no sistema.
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34
  1500 veiculos/hora
  600 veiculos/hora
 1500
 
 2,5
 600
S 3


1500

 0,833
S . 3.(600)
a) A probabilidade de não ter ninguém no sistema:
P0 
1
 S 1   n    s   1
 
    .
n
!
  S!   1  
 n 0 




1
 (2,5)0  2,5 1  2, 5 2    2,5 3  
1






1!
2!   3!   1  0,833 
 0!
 

P0  0, 0449
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35
b) probabilidade de ter fila
P ( fila )  1  ( P0  P1  P2  P3 )
 n 
Pn  
 P0
 n! 
P0  0, 0449
 2,51 
P1  
 .0, 0449  0,1124
1!


  2,5 2
P2  
 2!


 .0, 0449  0,1404


  2,5 3 
 .0, 0449  0,1170
P3  
 3! 


P ( fila )  1  (0, 0449  0,1124  0,1404  0, 1170)  0,5853
c) numero médio de veículos na fila
 s  P
(2,5)3 .600.1500.0, 0449
 3,5078 veiculos

Lf 
2
2
 2!1800  1500  
 S  1 ! S -  




0
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36
d) numero médio de veiculos no sistema
Ls  L f  
Ls  3,5078  2,5  6, 0078 veiculos
e) tempo médio na fila
Wf 
E(Lf )


3,5078
 0, 0023h  8, 4188 segundos
1500
f) tempo médio no sistema
Ws 
Ls


6, 0078
 0, 0040h  14, 418 segundos
1500
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37
10) Um pequeno banco tem 2 caixas que são
igualmente eficientes e capazes de atender uma
média de 60 transações de clientes por hora,
sendo o tempo de atendimento
exponencialmente distribuído. O processo de
chegada dos clientes ao banco segue a
distribuição de Poisson com taxa média de 100
por hora.Determine:
a) A probabilidade de que existam mais do que 3
clientes no banco ao mesmo tempo.
b) A probabilidade de um caixa estar desocupado.
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38
11) O departamento de estradas tem 3 equipes que são
chamadas constantemente e cujo trabalho é analisar as
condições das estradas nas proximidades de cada
acidente fatal. As equipes são igualmente eficientes, cada
uma trabalha em média 2 dias para investigar um acidente
e produzir o respectivo relatório, sendo o tempo
exponencialmente distribuído. O numero de acidentes
fatais nas estradas segue um processo de Poisson com
uma taxa média de 300 por ano. Determine:
a) Qual o intervalo de tempo entre um acidente fatal e o
inicio de sua investigação?
b) Quanto tempo é gasto, em média, para o departamento
completar seu trabalho após a ocorrência de um
acidente?
FERNANDO MORI - USJT
39
12) Um setor de atendimento está considerando as seguintes opções
para melhorar o atendimento as pessoas:
Opção 1: Temos 3 atendentes que realizam o atendimento a partir de
uma única fila. Cada atendente preenche o formulário na frente da
pessoa. O tempo médio d processamento desta atividade é 10
minutos, sendo que o tempo entre chegadas obedece uma distribuição
exponencial.
Opção 2: Cada pessoa preenche seu formulário sem a ajuda do
atendente. O tempo que as pessoas levam na execução desta tarefa é
em média de 8 minutos. Quando a pessoa preencheu seu formulário
ela se junta a uma fila e espera por uma dos atendentes conferirem
seu formulário. O atendente leva uma média de 3 minutos
(exponencialmente distribuídos) para realizar esta tarefa.
O tempo entre chegadas das pessoas obedece uma distribuição
exponencial com média de 3,8 pessoas por hora. Qual opção permite
que as pessoas gastem o menor tempo possível no setor?
FERNANDO MORI - USJT
40
Modelo m/m/1/k/PCPS
No modelo m/m/1/K/fifo os tempos entre chegadas
sucessivas e os tempos de atendimento seguem
distribuições exponenciais de parâmetros  e 
respectivamente. Existe um único posto de atendimento
que atende os usuários na ordem de chegadas. Entertatnto
as taxas de ingresso no sistema n difere da taxa de
chegadas para n  k tendo em vista a existência de
limitação na capacidade do sistema ( k). No sistema a fila
só pode ser de k elementos. Quando o sistema estiver
cheio o próximo usuário não pode entrar no sistema
havendo assim uma taxa de usuários perdidos.
FERNANDO MORI - USJT
41
As probabilidades são:
1) Probabilidade de não termos nenhum usuário no sistema:
 1
 k  1 se  =1
P0  
 1   se   1
k 1
1  
sendo  


2) Probabilidade de termos n usuários no sistema:
se 0  n  k
 1
 k  1 se   1
Pn  
n
(1


)


se   1
 1   k 1
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42
As medidas de desempenho do sistema com fila são:
1) Numero médio de usuários no sistema (L):
k
 2 se   1

Ls  
1  k  k 1   k ( k  1) 



(1   )(1   k 1 )
se   1
2) Numero médio de usuários na fila (Lq):
L f  Ls  1  P0
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43
3) Tempo médio de permanecia no sistema (W):
Ws 
L
 (1  Pk )
sendo  '   (1  Pk ) a taxa de rejeição do sistema
4) Tempo médio de espera na fila (Wq):
W f  Ws 
1

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44
Exercícios
13) Em um posto de gasolina os carros chegam em média de 4 em 4
minutos e temos um único atendente cujo tempo de atendimento
obedece uma distribuição exponencial com média de 3 minutos. O
posto tem espaço para sete veículos apenas, incluindo o que está
sendo atendido. Determine:
a) A probabilidade de um veiculo que chega encontrar uma fila.
b) A quantidade média de veículos perdida.
c) O tempo médio gasto por um veiculo para deixar o posto.
d) O numero médio de veículos na fila.
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45
Exercícios
14) Em uma empresa as maquinas estão sendo atendidas por uma
única ponte rolante. Quando uma máquina termina sua carga de
matéria prima, a ponte é chamada para descarregar a maquina e
fornecer a mesma uma nova carga a partir de uma área de
armazenamento adjacente. As maquinas solicitam carga de acordo
com uma distribuição exponencial com média de 30 minutos.
O tempo do momento que a ponte rolante se move para atender a
maquina até que uma nova carga seja instalada obedece uma
distribuição exponencial com média de 10 minutos. Só pode haver dez
maquinas esperando pela carga da ponte rolante.
a) Determine a porcentagem do tempo que a ponte está ociosa.
b) Qual o numero médio de maquinas esperando pelo serviço da
ponte rolante?
c) O que você acha, vale a pena instalar uma outra ponte?
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46
Modelo Básico com uma fonte
limitada
O modelo com uma fonte limitada é uma modificação dos modelos
com população infinita. Neste caso a população de visita ou solicitante
é finita. Representando por k o tamanho desta população temos o
modelo: (m/m/1):(PCPS/k/k).
A aplicação mais importante desse modelo é o atendimento de
maquinas onde podemos ter um ou mais operadores ou reparadores
designados para a operação e manutenção de um certo grupo de
maquinas k. São essas maquinas que constituem a fonte de visita.
Cada uma é considerada como um cliente no sistema de fila quando
está quebrada ou esperando(ou sendo servida) e fora do sistema
enquanto está trabalhando. Deve-se observar ainda que cada membro
da população finita alterna-se entre estar dentro ou estar fora do
sistema de fila.
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47
Sendo k a população temos as probabilidades:
1) Probabilidade do sistema estar ocioso:
P0 
1
k
k!
n

n  0 ( k  n )!
com



2) A probabilidade de termos n usuários no sistema:
Pn 
k!
 n P0 se 1  n  k
( k  n)!
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48
As medidas de desempenho do sistema são:
1) Numero médio de usuários na fila:

Lf  k  
 (1  P0 )
  
2) Numero médio de usuários no sistema:

L f  k    (1  P0 )

3) Tempo médio que o usuário gasta na fila:
Wf 
k   (   )(1  P0 )
 (1  P0 )
4) Tempo que o usuário gasta no sistema:
 k   (1  P0 )
Ws 
 (1  P0 )
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49
Exercicios
15) Demonstrou-se mediante estudos estatísticos que as falhas de
quatro maquinas ocorrem aleatoriamente, sendo uma hora o tempo
entre as falhas e que o operário leva 1/8 h para consertar a maquina
paralisada.
a) Calcular o numero médio na fila e no sistema.
b) Calcular o tempo médio na fila e no sistema.
c) Supondo que o custo de maquina por hora é de $15,00 custo do
operário é $3,00/h e o custo do reparo é $4,00/h (feito por outra
equipe) qual é o custo de falhas das maquinas?
OBS: Adotar o modelo (m/m/1):(PCPS/4/4)
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16) Uma empresa decidiu utilizar oficinas localizadas na sua região de
vendas para atender os caminhões de entrega. O vice presidente de
marketing está bastante ansioso que o serviço e a manutenção
requeridas não atrapalhem o serviço de entrega. Como os caminhões
operam 24 horas por dia, eles podem chegar a qualquer hora para
serem atendidos . Uma oficina tem condições de atender 10
caminhões num período de 8 horas. O vice presidente quer que
apenas 50% dos caminhões que chegam tenham que esperar.
a) Quantos caminhões devem ser atendidos por cada oficina?
b) Nas condições do item a) qual é o tempo médio perdido no sistema
para um período de 8 horas?
Use o modelo (m/m/1):(PCPS/k/k).
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51
Modelo (m/m/s):(PCPS/k/ )
Neste modelo o numero máximo no sistema é k com k<s, onde s é o
numero de atendentes. Usando:


e  
As probabilidades são:

s
1) A probabilidade do sistema estar ocioso:

P0 
1
s

 n  s k (ns ) 



1  

n
!
s
!
n  s 1
 n 1

2) A probabilidade de termos n usuários no sistema, sendo n<k:
n
 P0 para n  1, 2,3,....., s
 n!
 n
Pn   ( n  s ) P0 para n  s  1, s  2,.....k
 s !s
0 para n  k


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As medidas de desempenho do sistema são:
1) Numero médio de usuários na fila:
P0  s
1   ( k  s )  (k  s ) ( k  s ) (1   ) 
Lf 
2 
s !(1   )
2) Numero médio de usuários no sistema:
 (1  Pk )

3) Tempo médio que o usuário gasta na fila:
Ls  L f 
Wf 
Lf
 (1  Pk )
4) Tempo médio que o usuário gasta no sistema:
Ws 
Ls
 (1  Pk )
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53
Caso particular em que     1 então :
s
P0 
1
s 1
n
 n! 
n 0
s
s!
( k  s  1)
Neste caso a taxa efetiva de chegada também será:
 '   (1  Pk )
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Exercícios
17) Considere um sistema de inspeção de veículos com 3 estações de
atendimento que atendem um veiculo por vez. Os veículos esperam de
tal forma que quando uma das estações fica desocupada, o veiculo
que esta em primeiro lugar na linha de espera dirige-se a mesma. O
sistema pode acomodar no máximo 4 veículos em espera(portanto a
capacidade do sistema é 7). A distribuição de chegadas é exponencial
com taxa de 1 veiculo por minuto, e a taxa de atendimento também é
exponencial com tempo médio de atendimento de 6 minutos.
Determine:
a) O numero médio na fila e no sistema.
b) O tempo médio na fila e no sistema.
c) O numero médio de veículos que não podem entrar no sistema.
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18) Uma oficina de consertos de motores funciona com dois
mecânicos que executam revisão desses motores. A
oficina pode abrigar no máximo 5 veículos, excluindo os
que estão sendo atendidos pelos mecânicos. Os clientes
chegam a oficina a cada 5 minutos em média em mecânico
demora em média 10 minutos para concluir a revisão do
motor. O intervalo entre chegadas e o tempo de serviço
obedecem distribuições exponenciais. Determine:
a) Numero médio de mecânicos ociosos.
b) Quantidade de negócios perdidos para a concorrência
por dia de 10 horas por causa da capacidade limitada da
oficina.
c) Probabilidade do próximo cliente a chegar e ser
atendido pela oficina.
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Modelo (m/m/s):(PCPS/k/ k)
Neste modelo o numero máximo no sistema é k com k<s, onde s é o
numero de atendentes. A população é finita com k usuários. Usando:

As probabilidades são:

1) A probabilidade do sistema estar ocioso:

P0 
1
k
 s 1 k !  n

k ! n



ns 
(
k

n
)!n!
(
k

n
)!
s
!s
ns
 n 0

2) A probabilidade de termos n usuários no sistema, sendo n<k:
 k !  n P0
para n  1, 2,3,....., s

(
k

n
)!
n
!


k ! n
Pn  
P para n  s  1, s  2,.....k
(ns ) 0
(
k

n
)!
s
!s

0 para n  k


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As medidas de desempenho do sistema são:
1) Numero médio de usuários na fila:
k
L f   (n  s ) Pn
ns
2) Numero médio de usuários no sistema:
s 1
s 1
n 0
n 0
Ls  L f   nPn  s (1   Pn )
3) Tempo médio que o usuário gasta na fila:
Wf 
Lf
ef
4) Tempo médio que o usuário gasta no sistema:
Ws 
Ls
ef
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Neste caso a taxa efetiva de chegada também será:
ef   (k  Ls )
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59
19) A empresa 4M possui um único torno revolver como
principal maquina de usinagem. As tarefas chegam a esta
maquina de acordo com um processo de Poison com uma
taxa media de 2 por dia. O tempo médio para realizar cada
tarefa tem uma distribuição exponencial com media de ¼
de dia. Como as tarefas são volumosas, aquelas que estão
sendo trabalhadas no momento estão sendo armazenadas
em uma sala a certa distancia da maquina. Para poupar
tempo na produção de tarefas, o gerente esta propondo
adicionar espaço de armazenagem para produtos em
fabricação suficiente próximo ao torno revolver para
acomodar 3 tarefas além daquela que esta sendo
processada no momento. Tarefas em excesso continuarão
a era armazenadas na sala distante. Determine que
proporção de tempo esse espaço de armazenamento é
adequado para acomodar todas as tarefas em espera?
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60
18) O pátio de estacionamento de um shopping center tem espaço
para 84 carros. Supor que os carros chegam de acordo com o modelo
de Poison com taxa de 4 carros por minuto e o tempo de ocupação de
um uma vaga no estacionamento obedece uma distribuição
exponencial com média de 16 minutos.
a) Qual a proporção de tempo que o sistema esta bloqueado?
b) Caso fosse aumentada a capacidade para 196 carros pois a taxa
de chegadas aumentou para 11 carros por minuto, permanecendo
o mesmo tempo médio de ocupação do local, qual seria a taxa de
veículos que encontrariam o estacionamento lotado?
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19) Um centro de computação esta equipado com três maquinas
iguais. O numero de usuários no centro em qualquer instante é sempre
igual a 10. Para cada usuário, o tempo de digitação é exponencial com
taxa de 0,5 programa por hora. Uma vez que o programa está
completo, é executado. O tempo de maquina por programa é
exponencial com média de 2 programas por hora.
Supondo que o centro opere o dia inteiro, e desprezando os efeitos de
quebra ou manutenção determine:
a) A probabilidade de um programa não seja executado
imediatamente após ter sido recebido para execução.
b) O tempo médio ate que um programa seja liberado pelo centro.
c) O tempo médio que um programa fica esperando ate ser
executado.
d) O numero esperado de computadores ociosos.
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Referências Bibliográficas
1. Maria Cristina Fogliatti e Neli Maria
Costa Mattos; Teoria das Filas, Editora
Interciencia, Rio de janeiro, 2007.
2. Darci Prado; Teoria das Filas e da
Simulação; Série Pesquisa Operacional,
Volume 3, INDG, Belo Horizonte, 2004.
COPYRIGHT BY FERNANDO
MORI - USJT 2010
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