ESTIMATIVAS DE VELOCIDADE MÁXIMA DE VENTO
EM PIRACICABA – SP VIA SÉRIES TEMPORAIS E
TEORIA DE VALORES EXTREMOS.
Gilberto Rodrigues LISKA1
Juliano BORTOLINI2
Thelma SÁFADI3
Luiz Alberto BEIJO4
RESUMO:Rajadas de vento com velocidades superiores a 20 m/s representam perigo para a
sociedade e construções. Diante disso, prever a velocidade de ventos, por métodos confiáveis é
de grande importância no planejamento urbano. A teoria de valores extremos (TVE) e a de séries
temporais (ST) têm sido aplicadas com sucesso no tratamento estatístico de dados
meteorológicos. Sendo assim, objetivou-se neste trabalho estimar os níveis extremos de
velocidade de ventos do município de Piracicaba – SP pela TVE, utilizando a distribuição
Gumbel, e por ST. A série diária de dados compreende o período de janeiro de 1980 a setembro
de 2013 e referem-se aos registros de velocidade máxima de vento do município de PiracicabaSP. Para mensurar os erros provenientes das estimativas de velocidade máxima de vento em
ambos os métodos, a série foi divididas em conjunto de treinamento, constituída por 31 anos, e
de teste, constituída pelos dois últimos anos e calculou-se o erro quadrático médio de previsão
(EQMP) e o erro percentual médio absoluto (MAPE). As duas metodologias foram satisfatórias,
e o modelo em ST mais adequado foi o SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 com intervenção. As maiores
frequências de rajadas de vento foram observadas nos meses de setembro a fevereiro pelos dois
métodos, sendo essa informação de suma importância no planejamento urbano e agrícola da
cidade de Piracicaba – SP.
PALAVRAS-CHAVES: Velocidade máxima de vento; distribuição Gumbel; modelos auto
regressivos sazonais; tempo de retorno; planejamento urbano.
1 Introdução
O vento tem importância muito grande na atividade humana. Na agricultura, por
exemplo, está diretamente associado ao desenvolvimento das plantas, ao facilitar as trocas
1
2
3
4
Universidade Federal de Lavras - UFLA, Programa de pós-graduação em Estatística e Experimentação
Agronômica, CEP: 37200-000, Lavras, MG, Brasil. E-mail: [email protected]
Universidade Federal do Mato Grosso - UFMT, Departamento de Estatística, CEP:78060-900, Cuiabá, Mato
Grosso, Brasil. E-mail: [email protected]
Universidade Federal de Lavras - UFLA, Departamento de Ciências Exatas, CEP: 37200-000, Lavras, MG,
Brasil. E-mail: [email protected]
Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL, Instituto de Ciências Exatas, CEP: 37130-000, Alfenas, MG,
Brasil. E-mail: [email protected]
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
295
de calor, de dióxido de carbono e de vapor d’água entre a atmosfera e a vegetação, além
de ajudar no processo de polinização das flores e poder ser utilizado como fonte de
energia (energia eólica). Entretanto, quando se registram ventos de velocidades elevadas,
normalmente de curta duração, os seus efeitos passam, geralmente, a ser danosos,
provocando o estímulo excessivo à evapotranspiração, o acamamento das plantas, a queda
de flores e frutos, a quebra de galhos e arrancamento de plantas, causando a erosão dos
solos, a deformação da paisagem e danos em construções e instalações.
A escala de Beaufort (NATIONAL WEATHER SERVICE, 2002) classifica a
intensidade dos ventos, tendo em conta a sua velocidade e os efeitos resultantes das
ventanias no mar e em terra em uma escala que varia de 1 a 11. Nessa escala, ventos com
velocidade de até 10,7 m/s (escala 5) não oferecem perigo, velocidades de vento de até
17,1 m/s (escala 7) representam um nível de atenção e ventos com velocidade
classificados em escalas acima de 8 (velocidade acima de 17,2 m/s) tem efeitos danosos.
Sendo a ocorrência de ventos extremos um processo aleatório, que não permite uma
previsão determinística com grande antecedência, o ajustamento de um modelo
probabilístico que melhor descreva o processo se faz necessário, a fim de se fazer
previsões.
A teoria de valores extremos (TVE) desempenha um papel fundamental em estudos
relacionados a medições físicas, em que é aplicada com a finalidade de descrever o
comportamento de eventos raros e tem sido aplicada com sucesso no tratamento
estatístico de dados meteorológicos, tais como precipitações máximas, temperaturas
mínimas, ventos máximos, entre outros (BEIJO e AVELAR, 2010).
A distribuição de probabilidade Gumbel é a que tem maior destaque na literatura
(ROWINSKI et al., 2002). Vários trabalhos tem mostrado que é a distribuição que melhor
se ajusta aos fenômenos meteorológicos que envolvam máximos, entre os quais a
precipitação pluvial máxima (SANSIGOLO, 2008).
Os registros de velocidades máximas de vento são feitos ao longo do tempo, então
existe a possibilidade de que um registro num dado tempo seja influenciado por um
registro anterior. Essa correlação inerente às observações de uma série é objeto de estudo
das Séries Temporais (ST), onde são empregadas funções matemáticas a fim de modelar o
mecanismo gerador da série e assim efetuar previsões (MORETTIN; TOLOI, 2006).
Adicionalmente a essa classe de modelos, informações discrepantes das demais podem ser
incorporadas no modelo, levando aos modelos com intervenção.
Assim, tendo em vista a importância do conhecimento das possíveis velocidades de
ventos máximos, este trabalho teve como objetivo empregar o uso das metodologias de
TVE e ST e discutir as principais vantagens de cada método, a fim de fornecer
informações mais precisas, de acordo com o interesse prático, sobre a ocorrência de
ventos máximos no município de Piracicaba – SP, haja vista que informações do tipo são
de grande importância para o planejamento urbano e de desenvolvimento.
2 Referencial Teórico
2.1
Teoria de Valores Extremos
A distribuição generalizada de valores extremos (GVE) foi desenvolvida por
Jenkinson (1955), e apresenta como casos particulares os três tipos de distribuições de
296
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
valores extremos, a saber, as distribuições Weibull, Gumbel e Fréchet (Figura 1). A
função de distribuição acumulada de probabilidade da distribuição GVE é dada por

 
 x−β
F ( x; β , α , ξ ) = exp − 1 + ξ 
 α
 




1
− 
ξ 





(1)
definida em, −∞ < x < β − α ξ para ξ < 0 , −∞ < x < ∞ para ξ tendendo a zero,
β − α ξ < x < ∞ para ξ > 0 , sendo β , α e ξ os parâmetros de posição, escala e de
forma respectivamente com α > 0 . Derivando-se (1) em relação à x , em que X representa
a variável aleatória associada a valores máximos de velocidade do vento, obtém-se a
função densidade de probabilidade f(x) da distribuição generalizada de valores extremos
(GVE). A função densidade de probabilidades da distribuição Gumbel é obtida resolvendo
lim f ( x ) , que é dada por
x →0
  x−β 
  x − β  
exp  − 
 − exp  − 
 
α
  α   ,
  α 
1
β éo
parâmetro de escala com α > 0 .
em que − ∞ < x < ∞ ,
parâmetro de posição com −∞
<β <∞ e α é o
0.8
0.4
F(x)
0.06
0.6
0.08
0.10
Fréchet
Gumbel
Weibull
Fréchet
Gumbel
Weibull
0.0
0.00
0.02
0.2
0.04
f(x)
(2)
1.0
f ( x; β , α ) =
0
10
20
30
40
50
60
x
0
10
20
30
40
50
60
x
FIGURA 1 - Gráfico da função densidade de probabilidade (esquerda) e probabilidade acumulada
(direita) da distribuição GVE nos casos Fréchet, Weibull e Gumbel.
De acordo com Beijo et al. (2005), assumindo independência entre as observações,
os estimadores da máxima verossimilhança para os parâmetros β e α da distribuição
Gumbel são respectivamente,
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
297
1 n
 −x
exp  i
∑
 αˆ
 n i =1



n
−
x


xi exp  i 
∑
ˆ
1 n
α


αˆ = ∑ xi − i =1n
n i =1
 −x 
exp  i 
∑
 αˆ 
i =1
βˆ = −αˆ ln 
(3)
(4)
em que ln é o operador do logaritmo neperiano.
A probabilidade da variável aleatória X, de que ocorra uma rajada máxima de vento
maior que certo valor x via distribuição Gumbel é dada por

  x − βˆ   
P [ X > x ] = 1 − F ( x; βˆ , αˆ ) = 1 − exp − exp  − 
  
  αˆ   

(5)
em que, x é a velocidade do vento máximo do período e 0 < x < ∞ .
O período de retorno estimado (expresso em anos) para o maior valor registrado em
cada um dos meses do ano é dado por
τ =
1
1− F ( x)
(6)
O nível de retorno associado ao período de retorno τ é obtido a partir da solução da
equação
∫
xp
−∞
( )
f ( x )dx = 1 − p para p = 1 τ , ou seja, F x p = 1 − p , que invertendo resulta
em
  1 
xˆ p = F −1 1 − p; βˆ , αˆ = βˆ − αˆ ln ln 

  1 − p 
(
)
(7)
sendo xˆ p o quantil da distribuição Gumbel, dada a probabilidade p.
2.2
Séries temporais
Toda série temporal {Zt , t = 1,..., n} pode ser decomposta na soma Z t = Tt + St + at ,
em que: a componente Tt explica a tendência da série, isto é, o aumento ou diminuição
dos valores observados segundo um comportamento que pode ser polinomial ou
exponencial; a componente S t explica a sazonalidade da série, isto é, fenômenos que
ocorrem regularmente (diariamente, semanalmente, mensalmente etc); e a componente
aleatória ou erro at . A suposição usual é que at seja uma série puramente aleatória ou
ruído branco independente, com média zero e variância constante. Caso seja necessário
estabilizar a variância ou tornar o efeito sazonal aditivo pode-se utilizar a transformação
Box e Cox (1964) na série original Z t , tal como ilustrado em Cryer e Chan (2008).
298
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
A existência de tendência pode-se ser testada através do teste do sinal, proposto por
Cox e Stuart (1955); a sazonalidade, em particular a periodicidade, pode ser testada
através do teste de Fisher, descrito inicialmente em Fisher (1929) e estendido em Whittle
(1952).
A verificação se a componente aleatória at é ruído branco pode ser feita pelo teste
proposto por Ljung e Box (1978), que tem como base a estatística Q da função de
autocorrelação.
O modelo SARIMA ( p, d , q )( P, D, Q )s considera a tendência e a sazonalidade da
série, e pode ser representado por
D
φ p ( B ) Φ P ( B s ) (1 − B ) (1 − B s ) Zt = θ q ( B ) ΘQ ( B s ) at
d
em que:
B é o
operador
translação
φ p ( B ) = 1 − φ1 B − ... − φ p B p
θ q ( B ) = 1 − θ1 B − ... − θ q B
ΦP ( B
s
) = 1− Φ B
(B ) = 1− Θ B
ΘQ
s
é
o
é
q
o
para
o
passado,
polinômio
polinômio
de
(8)
definido
por
B j Zt = Zt − j ;
auto-regressivo
de
ordem
médias
móveis
de
p;
ordem
q;
é o polinômio sazonal auto-regressivo de ordem P ;
s
− ... − Φ P B
s
− . − ΘQ B Qs é o polinômio sazonal de médias móveis de ordem Q ;
1
1
Ps
d é o número de diferenças necessárias para retirar a tendência da série;
D é o número de diferenças de “lag’s” s para retirar a sazonalidade estocástica da série.
Uma classe geral de modelos, que leva em conta a ocorrência de múltiplas
intervenções, segundo Morettin e Toloi (2006), é dada por
k
Z t = ∑υ j ( B ) X j ,t + N t
(9)
j =1
em que,
X j ,t
são variáveis de intervenções do tipo degrau ou impulso;
υ j ( B) =
wj ( B ) B
δ j ( B)
bj
, com w j ( B ) = w j ,0 − w j ,1 B − … − w j , s B s
e δ j ( B ) = 1 − δ j ,1 B − ... − δ j , r B r com polinômios em B , e b j é a defasagem no tempo para
o início do efeito da j − ésima intervenção; N t é a série temporal livre do efeito das
intervenções e é denominada série residual, geralmente representada por um modelo
SARIMA .
As estimativas do erro quadrático médio de previsão (EQMP) são dadas pela média
dos quadrados das diferenças entre os valores observados Z
e preditos Zˆ , com
t +h
t +h
h = 1,..., n e n o número de previsões. O EQMP com origem em t é dado por:
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
299
EQMPt =
1 n
∑ (Zt + h − Zˆt + h )2
n h =1
(10)
Assim como o EQMP , o erro percentual médio absoluto (mean absolute percentage
error - MAPE) também é utilizado para verificar o bom desempenho de ajuste de um
modelo e é dado por:
MAPEt =
1 n Z t + h − Zˆt + h
⋅100
∑ Z
n h =1
t+h
(11)
3 Material e métodos
Serão analisadas as séries históricas dos valores máximos diários de velocidade do
vento (em m/s), registradas na Estação Agrometeorológica da ESALQ, USP, em
Piracicaba, SP (latitude 22º42’30’’S, à longitude 47º 38’30”W e altura 546m). O clima da
região é tropical úmido com chuvas de verão e seca no inverno (VILLA NOVA, 2003). A
série diária compreende o período de janeiro de 1980 a setembro de 2013.
Para analisar as séries via TVE, os dados serão agrupados em períodos mensais e
será extraído o valor máximo de velocidade do vento observado de cada série, formando
assim, vetores de valores máximos de cada período para cada mês estudado. Utilizando-se
a distribuição Gumbel com as estimativas dos parâmetros obtidas pelo método da máxima
verossimilhança,serão calculadas as estimativas de determinados níveis máximos de
rajadas de vento ocorrerem, considerando-se os níveis de retorno de 2 a100 anos. Para
analisar as séries via ST, será extraído o máximo de cada mês, formando ao final um vetor
com todas as observações.
O ajuste da distribuição aos dados será avaliado pelo teste Kolmogorov-Smirnov
(KS) a um nível de 5% de significância, de acordo com Campos (1983). Este teste, no
entanto, segundo Crutcher (1975), somente deve ser utilizado para distribuições
completamente especificadas, isto é, quando não existem parâmetros desconhecidos que
precisam ser estimados a partir da amostra. Caso contrário, o teste se apresenta muito
conservador. Para corrigir este problema, foram obtidos, por meio de simulação, os níveis
críticos para a estatística de Kolmogorov-Smirnov no caso em que se estimam os
parâmetros da distribuição Gumbel, com um nível de significância 5%, para amostras de
tamanho n = 32. Para avaliar a independência das séries, será utilizado o teste de LjungBox (LJUNG; BOX, 1978), cuja estatística de teste é comparada com o quantil de uma
distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade, também ao nível de 5% de
significância.
Neste trabalho, os modelos da classe SARIMA ( ARIMA sazonal) descritos e
propostos por Box e Jenkins (1970), ou recentemente descritos por Box, Jenkins e Reinsel
(2008), serão ajustados com o auxílio dos gráficos das funções de auto correlação
amostral e auto correlação parcial amostral, conforme descritos em Morettin e Toloi
(2006). O teste de Ljung-Box será utilizado para verificar se o os mesmos apresentam
ruídos brancos. Os modelos ajustados serão comparados por meio do critério de
300
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
informação de Akaike (AIC) e, entre os modelos de séries temporais, será indicado aquele
que fornecer o menor valor.
Para mensurar os erros provenientes das estimativas de velocidade máxima de vento
em ambos os métodos, a séries foi divididas em conjunto de treinamento, constituída por
31 anos, e de teste, constituída pelos dois últimos anos (2012 e 2013) e serão calculados o
erro quadrático médio de previsão (EQMP) e o erro percentual médio absoluto (MAPE).
Para realização das análises serão utilizados os pacotes estatísticos “EVD” e
“TSA”do Sistema Computacional Estatístico R, conforme R Development Core
Team(2013).
4 Resultados e Discussão
40
30
20
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
180
192
204
216
228
240
252
264
276
288
300
312
324
336
348
360
372
384
10
Velocidade do vento (m/s)
A figura 2 apresenta o gráfico da série mensal de velocidade máxima de vento em
Piracicaba – SP no período de janeiro de 1980 a dezembro de 2011. Observa-se que as
rajadas de vento ocorrem com maior intensidade ao final e começo do ano. Observa-se a
ocorrência de rajadas de vento superiores a 30m/s, consideradas como tempestades
violentas segundo a escala de Beaufort (NATIONAL WEATHER SERVICE, 2002).
Tempo (meses)
FIGURA 2 - Gráfico da série mensal de velocidade máxima de vento em Piracicaba – SP no
período de janeiro de 1980 a dezembro de 2011.
A Figura 3 apresenta o gráfico da função de auto correlação e esta evidencia o
comportamento não estacionário da série, uma vez que os valores da auto correlação
apresentam um comportamento cíclico ao longo dos lags múltiplos de 12 meses, que são
os lags com valores 1, 2 e 3 na figura 3.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
301
35
30
0.3
20
5
10
15
Amplitudes
25
0.2
fac
0.1
0.0
-0.1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
12
Lag
FIGURA 3 - Função de auto correlação
amostral da série mensal de velocidade máxima
de vento em Piracicaba – SP no período de
janeiro de 1980 a dezembro de 2011.
14
16
18
20
22
24
Médias
FIGURA 4 - Gráfico amplitude versus média
para a série mensal de velocidade máxima de
vento em Piracicaba – SP no período de janeiro
de 1980 a dezembro de 2011.
Analisando o gráfico amplitude versus média (figura 4) verifica-se que a média é
proporcional a amplitude, nessa situação é apropriado a transformação do tipo Z t−0,5 para
estabilizar a variância. A série não apresenta tendência, uma vez que a hipótese nula do
teste do sinal de Cox-Stuart foi aceita ao nível de 5% de significância (Tobs=119< 177
=T0,05), mas parece apresentar comportamento semelhante ao longo dos anos. Para avaliar
esse fato, foi utilizado o teste de Fisher considerando-se uma sazonalidade de período 12
meses e o resultado do teste é significativo, uma vez que a estatística do teste
g obs = 0,164 > 0, 042 = g0,05 . Portanto, a série de velocidade máxima de vento em
Piracicaba não apresenta tendência, porém apresenta uma sazonalidade anual.
Observa-se ainda na figura 2 que a observação 315, referente ao mês de fevereiro de
2006, há um registro de velocidade máxima de vento de 44 m/s, configurando uma
situação atípica das demais.
Após sucessivos ajustes de modelos temporais, considerando-se a variável
transformada, analisando-se as funções de autocorrelação amostral, parcial amostral e
residual, o modelo que apresentou melhor ajuste e menor AIC foi o
SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 com intervenção na observação 315 do tipo abrupta e temporária.
As estimativas dos parâmetros desse modelo e resultado do teste de Ljung-Box e AIC
estão na Tabela 1. As Figuras 5 e 6 e a estatística Q, que é menor do que o nível crítico
tabela do da distribuição qui-quadrado com 24 graus de liberdade, cujo valor é 36,415,
corroboram a escolha do modelo, uma vez seus resíduos podem ser considerados ruídos
brancos. Assim, o modelo ajustado via séries temporais para a variável transformada
Z t−0,5 sazonalmente ajustada de velocidade máxima de vento é dado por
(1 − B ) Z
12
302
t
= −0,125 X t + (1 − B12 ) Nt , em que,
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
(1 − 0,965B ) (1 − 0,999 B12 ) Nt
= 0, 246 + (1 + 0,853B ) (1 + 0,985B12 ) at
e X t = 1 se t=315 e X t = 0 se t ≠ 315
Tabela 1 -
Modelo de série temporal ajustado à série máxima de velocidade de vento da
cidade de Piracicaba – SP do período de janeiro de 1980 a dezembro de 2011 e
o respectivo valor de AIC e resultado do teste de Ljung-Box (Q)
*
Modelo
Const.
φ1
θ1
Φ1
Θ1
υ
SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12
0,246
0,965
-0,853
0,999
-0,985
-0,124
Erro Padrão
0,025
0,022
0,047
0,001
0,020
0,025
AIC
-1689,990
Q
14,894
0.00
Fac (residuals)
-0.05
0.00
-0.10
-0.10
-0.05
Fac (residuals)
0.05
0.05
0.10
0.10
* υ representa a estimativa do parâmetro para o modelo com intervenção.
0
1
2
3
4
Lag
FIGURA 5 - Função de autocorrelação residual
do modelo SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12
0
1
2
3
4
Lag
FIGURA 6 - Função de autocorrelação residual
do modelo SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 com
intervenção na obs. 315.
Analisando as estimativas dos parâmetros da distribuição Gumbel, pode-se observar
que, nos meses em que ocorre vento com velocidade menor, as estimativas dos parâmetros
são menores, como ocorre de abril a agosto. Analogamente, para os meses que ocorrem
maior quantidade de chuvas e intensidade solar, as estimativas dos parâmetros são
maiores, como ocorre nos meses de setembro a fevereiro (Tabela 2).
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
303
Tabela 2 - Estimativas dos parâmetros da distribuição Gumbel para as séries máximas
mensais de velocidade do vento (m/s)
( )
( )
Mês
α̂
β̂
V (αˆ )
COV αˆ , βˆ
V βˆ
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
16,813
16,545
15,207
13,518
13,968
13,254
12,774
13,938
17,480
17,606
16,396
17,600
3,166
3,188
3,599
2,631
3,432
3,473
2,291
3,050
3,832
3,517
2,982
3,583
0,348
0,355
0,443
0,237
0,407
0,420
0,182
0,325
0,510
0,430
0,308
0,446
0,082
0,083
0,099
0,055
0,098
0,098
0,042
0,077
0,120
0,099
0,070
0,104
0,191
0,183
0,258
0,147
0,243
0,222
0,097
0,172
0,281
0,225
0,165
0,237
Os resultados do teste de Kolmogorov-Smirnov, ao nível de 5% de significância, são
apresentados na Tabela 3, bem como as diferenças máximas absolutas observadas entre os
valores de probabilidade das funções de probabilidade acumulada empírica e de Gumbel
(teórica), que são as estatísticas do teste, e os níveis críticos Dn ,α , para n = 32, com um
nível de significância de 5%, obtidos por simulação. Para obter tais níveis críticos,
inicialmente geraram-se 10.000 amostras de tamanho n = 32 de uma variável aleatória
com distribuição Gumbel padrão. Em seguida, calculou-se, para cada uma, o valor da
estatística de Kolmogorv-Smirnovcom os parâmetros da distribuição Gumbel estimados à
partir da amostra e tomou-se, como nível crítico, o quantil de 95%. Comparando-se os
valores da estatística para cada mês do ano com os níveis críticos, verifica-se que a
distribuição de Gumbel ajusta-se bem aos dados em todos os meses do ano
(Tabela 3).Esse procedimento é semelhante ao feito por Bautista et al. (2004).
Pelo teste de Ljung-Box, as séries mensais são independentes, pois a hipótese nula
do teste foi aceita para a série de todos os meses, uma vez que a estatística do teste é
menor do que o nível crítico tabelado da distribuição qui-quadrado com 1 grau de
liberdade ( χ1;2 0,05 ).Resultados semelhantes foram encontrados por Rajabi e Modarres
(2008) para série anual de velocidade de vento máxima da estação de Isfahan no Irã e
concluíram que a distribuição Gumbel é mais adequada do que a distribuição GVE.
Na Tabela 4 são apresentadas as estimativas dos níveis de retorno de velocidade
máxima de vento para os períodos de retorno de 2 a100 anos para todos os meses no
município de Piracicaba- SP.
Escolhendo-se 50 anos como o tempo de retorno adequado de ocorrer uma
determinada velocidade máxima de vento para o período mensal, uma interpretação
prática das informações pode ser feita do seguinte modo: espera-se que, em um tempo
médio de 50 anos, o valor da velocidade máxima de vento no mês de dezembro seja
superior a 31,6 m/s (Tabela 4).
304
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
Tabela 3 - Resultado do teste de Kolmogorov-Smirnov(D), teste de Ljung-Box (Q) e os
respectivos níveis críticos de cada teste ( Dn;0,05 e χ1;2 0,05 ) para as séries
máximas mensais de velocidade do vento (m/s)
Mês
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
χ1;2 0,05
Q
2,272
0,001
2,550
0,090
0,006
0,581
0,156
4,039
0,203
1,305
0,047
0,651
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
3,841
Dn;0,05
0,992
0,969
0,969
0,969
0,969
0,967
0,969
0,969
0,969
0,969
0,977
0,969
D
0,106
0,106
0,082
0,137
0,130
0,060
0,106
0,106
0,093
0,116
0,100
0,075
Tabela 4 - Níveis de retorno de velocidades de ventos máximos (m/s) para os tempos de
retorno de 2 a100 anos para as séries mensais de máximos no município de
Piracicaba-SP
Mês
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
2 anos
18,0
17,7
16,5
14,5
15,2
14,5
13,6
15,1
18,9
18,9
17,5
18,9
5 anos
21,6
21,3
20,6
17,5
19,1
18,5
16,2
18,5
23,2
22,9
20,9
23,0
Tempo de retorno
10 anos
30 anos
23,9
27,5
23,7
27,3
23,3
27,4
19,4
22,4
21,7
25,6
21,1
25,0
17,9
20,5
20,8
24,3
26,1
30,4
25,5
29,5
23,1
26,5
25,7
29,7
50 anos
29,2
29,0
29,3
23,8
27,4
26,8
21,7
25,8
32,4
31,3
28,0
31,6
100 anos
31,4
31,2
31,8
25,6
29,8
29,2
23,3
28,0
35,1
33,8
30,1
34,1
Pode-se notar ainda que as estimativas das velocidades máximas de vento diário
aumentam à medida que se aumenta o tempo de retorno (Tabela 4).
No período de setembro a fevereiro, registram-se rajadas com velocidades acima de
17,2m/s, classificadas como ventos muito fortes, ou ventanias, segundo a escala de
medida de intensidade dos ventos proposta por Beaufort (NATIONAL WEATHER
SERVICE, 2002) (Tabela 4).Essa tabela mostra, ainda, que as estimativas para o nível de
retorno de velocidade do vento são maiores nos meses referidos, em comparação com o
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
305
resto de meses do ano. Ventos com intensidade como mencionado têm grande
importância, já que nessas condições os barcos devem permanecer nos portos.
Comparando-se as estimativas dos níveis de retorno do modelo ajustado via TVE
(para tempo de retorno de 2 anos) e Séries Temporais, observa-se que o modelo de Séries
Temporais apresentou menores MAPE e EQMP (Tabela 5). Como esses dois critérios são
melhores para o modelo obtido via Séries Temporais, este seria o mais adequado para
estimar rajadas de vento em Piracicaba – SP.
Tabela 5 - Estimativas das velocidades máximas de vento (m/s) em séries mensais de
Piracicaba – SP para o tempo de retorno de 2 anos via distribuição Gumbel e
modelo ajustado via Séries Temporais e respectivos erro quadrático médio de
previsão (EQMP) e erro percentual médio absoluto (MAPE)
Ano
Mês
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
EQMP
MAPE (%)
2012
Máximo
Gumbel
19,3
18,0
20,7
17,7
16,8
16,5
13,4
14,5
13,1
15,2
16,7
14,5
11,6
13,6
12,4
15,1
21,6
18,9
18,0
18,9
20,5
17,5
10,5
18,9
Gumbel
67,99
23,94
ST
18,4
18,1
16,3
15,1
15,6
14,8
14,2
15,5
19,0
19,1
17,7
19,0
Máximo
20,9
32,3
19,4
11,5
12,4
15,2
35,7
14,8
18,2
2013
Gumbel
18,0
17,7
16,5
14,5
15,2
14,5
13,6
15,1
18,9
ST
18,2
17,9
16,2
14,9
15,5
14,7
14,1
15,4
18,9
ST
39,94
20,09
As comparações entre os dois modelos devem ser feitas com certa cautela.
Essencialmente, modelos de séries temporais são utilizados para se fazer previsões, uma
vez que os modelos dessa classe atribuem a cada observação da série, um componente
sazonal e um de tendência, característica de séries não estacionárias, seguido de um erro
de previsão. No caso das séries de valores extremos utilizando-se a TVE, atribui-se uma
distribuição de probabilidade teórica às observações, que devem ser independentes, e uma
vez conhecida essa distribuição, pode-se estimar quantidades importantes como o nível de
retorno. Nesse caso, como não é feita uma decomposição de cada observação em
quantidades a serem ajustadas e sim apenas o ajuste de uma distribuição de probabilidade
às observações, com o intuito de melhor descrever a frequência de ocorrência de ventos
máximos, não estamos essencialmente fazendo previsões, e sim determinando uma chance
de ocorrência dado um tempo, no caso de níveis de retorno.
Assim, as previsões obtidas via séries temporais representam valores médios e os
níveis de retorno estimados via TVE representam a chance de ocorrência de um nível
306
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
modelo TVE (5 anos)
modelo TVE (10 anos)
modelo TVE (30 anos)
modelo TVE (50 anos)
modelo TVE (100 anos)
20
30
40
Máximos (teste)
modelo ST
modelo TVE (2 anos)
10
Velocidade do vento (m/s)
50
estimado de velocidade máxima do vento em um tempo médio de anos. Ou seja, um valor
estimado para o mês de setembro de 2013 pode ser colocado da seguinte forma para os
dois modelos: a previsão de velocidade máxima de vento pelo modelo ajustado via séries
temporais é, em média, de 18,9 m/s e via TVE espera-se que, em um tempo médio de 2
anos, o valor da velocidade máxima de vento no mês de setembro seja superior a 18,9 m/s
(Tabela 5). Logo, esse evento via TVE poderia ocorrer no mês de setembro de 2012 ou
em setembro de 2013 e os valores observados da série de teste mostram que o evento
ocorreu em setembro de 2012 (21,6 m/s) e não em setembro de 2013 (18,2 m/s), mas que
também poderia ocorrer nos dois anos ou em nenhum deles.
Em geral, se o objetivo da pesquisa é fazer previsões para um período relativamente
pequeno, o uso da metodologia de séries temporais é mais adequado e se o objetivo é
obter informações para um período de tempo muito longo, o uso da TVE seria mais
adequado.
A figura 7 ilustra os níveis de retorno estimados em diversos tempos de retorno e as
previsões via ST para 21 meses, que foram apresentados na Tabela 5.
jan
mar
mai
jul
set
nov
jan
mar
mai
jul
set
Mês
2012
2013
FIGURA 7 - Níveis de retornos estimados via distribuição Gumbel (TVE) para os tempos de
retorno de 2a100 anos e o modelo ajustado via Séries Temporais
SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 com intervenção.
Conclusões
A distribuição Gumbel se ajustou aos dados mensais de velocidade máxima do vento
do município de Piracicaba – SP. O mesmo pode-se afirmar do modelo ajustado via séries
temporais, cujo modelo é o SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 com intervenção do tipo abrupta e
temporária na observação 315. Ambos os modelos mostraram-se adequados para se obter
informações desta variável, dependendo do interesse da pesquisa.
O modelo SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12apresentou melhores valores de EQMP e MAPE,
sendo este modelo mais adequado para previsões de curto prazo. A distribuição Gumbel é
mais adequada quando se objetivam extrapolações em longo prazo.
As maiores estimativas de velocidades máximas foram observadas nos meses de
setembro a fevereiro, condizendo com a realidade,sendo essa informação de suma
importância no planejamento urbano e agrícola da cidade de Piracicaba - SP.
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
307
Agradecimentos
Os autores agradecem à CAPES e CNPq pelo apoio financeiro.
LISKA, G. R.; BORTOLINI, J.; SÁFADI, T.; BEIJO, L. A. Maximum wind speeds
estimates in Piracicaba-SP through time series and extreme value theory. Rev. Bras.
Biom., São Paulo, v.31, n.2, p. 295-309, 2013.
ABSTRACT: In this work we aim to estimate the extreme levels of wind speeds from Piracicaba,
São Paulo, Brazil, using extreme value theory (Gumbel distribution) and time series (TS). The
data considered in this paper refer to maximum wind speed by daily from Piracicaba of the
period from January 1980 to September 2013. To measure the errors from estimates of maximum
wind speed in both methods, the observations were divided into training set, constituted of 31
years, and test, established by the last two years and calculated the mean square error of
prediction and the mean absolute percentage error. Both methods were satisfactory, and the TS
model more appropriate was SARIMA(1,0,1)(1,1,1)12 with intervention. The highest frequency of
wind gusts were observed between the months of September and February by the two methods,
being this information extremely important at the urban planning and agricultural of the
municipality of Piracicaba.
KEY-WORDS: Maximum wind speed, Gumbel distribution, Season al autoregressive models,
Return time, Urban planning.
Referências
BAUTISTA, E. A.; ZOCCHI, S. S.; ANGELOCCI, L. R. A Distribuição Generalizada de
Valores Extremos aplicada ao ajuste dos dados de velocidade máxima do vento em
Piracicaba, São Paulo, Brasil. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.22, n.1, p.95-111, 2004.
BEIJO, L. A.; MUNIZ, J. A.; CASTRO NETO, P. Estudo do Tempo de Retorno das
Precipitações Máximas em Lavras (MG) pela Distribuição de Valores Extremos do Tipo I.
Ciência e Agrotecnologia, Lavras, v.29, n.3, p.657-667, maio/jun.2005.
BEIJO, L. A.; AVELAR, F. G. Distribuição Generalizada de Valores Extremos no estudo
de dados climáticos: uma breve revisão e aplicação. Revista da Estatística UFOP, v. 1, X
Semana da Matemática e II Semana da Estatística, 2010.
BOX, G. E. P.; COX, D. R. An analysis of transformations. Journal of the Royal
Statistical Society. Series B, v.26, p.211-243, 1964.
BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M. Time series analysis: forecasting and control. San
Francisco: Holden-Day, 1970, 575p.
BOX, G. E. P.; JENKINS, G. M.; REINSEL, G. C. Time series analysis: forecasting and
control.4. ed. Hoboken: John Wiley & Sons, 2008. 784p.
CAMPOS, H. Estatística experimental não paramétrica. 4.ed. Piracicaba: ESALQ, 1983.
388p.
COX, D. R.; STUART, A. Some quick tests for trend in location and dispersion.
Biometrika, v.42, p.80-95, 1955.
CRUTCHER, H.L. A note on the possible misuse of the Kolmogorov-Smirnov test. J.
Appl. Metereol., Boston, v.14, p.1600-3, 1975.
308
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
CRYER, J. D.; CHAN, K. S. Time series analysis with applications in R. 2.ed. New York:
Springer, 2008. 491p.
FISHER, R. A. Tests of significance in harmonic analysis. Proceedings of the Royal
Society. Series A, v.125, p.54-59, 1929.
JENKINSON, A. F. The frequency distribution of the annual maximum (or minimum)
values of meteorological elements. Q. J. Meteorol. Soc., Brackneel, v.81, p.158-71, 1955.
LJUNG, G. M.; BOX, G. E. P. On a measure of lack of fit in time series models.
Biometrika, v.65, p 297–303, 1978.
MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. C. Análise de series temporais. 2. ed. São Paulo:
Edgard Blücher, 2006. 538p.
NATIONAL WEATHER SERVICE. The Beaufort wind force scale. Disponível em:
<http://www.crh.noaa.gov/lot/webpage/beaufort>. Acesso em: 20 fev. 2002.
R DEVELOPMENT CORE TEAM (2013) R: A language and environment for statistical
computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-070, URL http://www.R-project.org/.
RAJABI, M. R.; MODARRES, R. Extreme value frequency analysis of wind data from
Isfahan, Iran. J. Wind Engin. Ind. Aerod., n.96, p.78–82, 2008.
ROWINSKI, P. M.; STRUPCZEWSKI, W. G.; SINGH, V.P. A note on the applicability
of log-Gumbel and log-logistic probability distributions in hydrological analyses: I. Know
pdf. Hydrological Sciencie Journal, Walingford, Inglaterra, v.47, n.1, p.107-122, 2002.
SANSIGOLO, C. A. Distribuições de Extremos de precipitação diária, temperatura
máxima e mínima e velocidade do vento em Piracicaba, SP (1917-2006). Revista
Brasileira de Meteorologia, v.23, n.3, p.341-346, 2008.
VIEIRA, S. R.; LOMBARDI NETO, F.; BURROWS, I. T. Mapeamento da chuva diária
máxima provável para o Estado de São Paulo. Revista Brasileira de Ciência do Solo,
Campinas, v.15, p.93-98, 1991.
VILLA NOVA, N. A. Dados meteorológicos do município de Piracicaba. Piracicaba:
ESALQ/Departamento de Ciências Exatas, 2003, 2p.
WHITTLE, P. The simultaneous estimation of a time series harmonic components and
covariance structure. Trabajos de Estadítica, v.3, p.43-57, 1952.
Recebido em 08.06.2013
Aprovado após revisão em 15.10.2013
Rev. Bras. Biom., São Paulo, v.31, n.2, p.295-309, 2013
309