TUTORIAL – 3R
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Física
Física
Movimento Circular
Grandezas Angulares
As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de
aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de
movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares,
medidas sempre em radianos. São elas:





deslocamento/espaço angular: φ (phi)
velocidade angular: ω (ômega)
aceleração angular: α (alpha)
Espaço Angular (φ)
Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura
de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.
 E é calculado por:
 Deslocamento angular (Δφ)
 Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença
entre a posição angular final e a posição angular inicial:

Sendo:





Por convenção:
No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.
No sentido horário o deslocamento angular é negativo.
Velocidade Angular (ω)
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 Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o
deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:
 Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s
 Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.
 Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular
média quando o intervalo de tempo tender a zero:

 Aceleração Angular (α)
 Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média
como:

Linear
Angular
S
=
φR
v
=
ωR
a
=
αR
Período e Frequência
Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno cíclico se repita. Sua unidade é a
unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)
 Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua
unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No movimento
circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a velocidade
angular.
Movimento Circular Uniforme
 Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo com
um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em todos os
pontos do percurso.
 No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as
pás de um ventilador girando.
 Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma
aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de
Aceleração Centrípeta.
 Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:
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 Sabendo que
e que
, pode-se converter a função horária do espaço linear para o
espaço angular:
Movimento Circular Uniformemente Variado
 Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade angular,
então este corpo tem aceleração angular (α).
 As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado são obtidas
quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.
Assim:
MUV
MCUV
Grandezas lineares
Grandezas angulares
 E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração
centípeta:
 Aceleração e Velocidade Vetoriais
 Vetor Posição
 Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O. Se colocarmos um
plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de
um vetor.
 O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido.
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=P-O
 Velocidade Vetorial
 Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando
posições e
nos instantes e , respectivamente.
 Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de
tempo:
Observação:
 O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido
quando multiplicamos um número positivo
 pelo vetor
.
 Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de
tempo tender a zero (
), a velocidade calculada será a velocidade instantânea.
 então:
 Aceleração Vetorial
 Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com
velocidade
em um instante
será dada por:
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e velocidade
em um instante posterior
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, sua aceleração média
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Observação:
 Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do
vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor (
) por um número escalar positivo,
.
 Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de
tempo tender a zero (
).

 Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo,
deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:
Exercícios
1. Uma roda gira em torno de seu eixo, de modo que um ponto de sua periferia executa um movimento
circular uniforme. Excetuando o centro da roda, é correto afirmar que:
a) todos os pontos da roda têm a mesma velocidade escalar;
b) todos os pontos da roda têm aceleração centrípeta de mesmo módulo;
c) o período do movimento é proporcional à freqüência;
d) todos os pontos da roda têm a mesma velocidade angular;
e) o módulo da aceleração angular é proporcional à distância do ponto ao centro da roda.
2. Dois pontos A e B situam-se respectivamente a 10 cm e 20 cm do eixo de rotação da roda de um
automóvel em movimento uniforme. É possível afirmar que:
a) O período do movimento de A é menor que o de B.
b) A frequência do movimento de A é maior que a de B.
c) A velocidade angular do movimento de B é maior que a de A.
d) As velocidades angulares de A e B são iguais.
e) As velocidades lineares de A e B têm mesma intensidade.
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3. Duas polias de raios R1 e R2 estão ligadas entre si por uma correia. Sendo R1 = 4R2 e sabendo-se
que a polia de raio R2 efetua 60 rpm, a frequência da polia de raio R1, em rpm, é:
a) 120
b) 60
c) 30
d) 15
e)7,5
4. (MED - OSEC) Num relógio comum, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas às 3
horas, 16 minutos e x segundos. Qual dos valores indicados nas alternativas mais se aproxima de x?
a) 18
b) 20
c) 21
d) 22
e) 24
5. Quando se dá uma pedalada na bicicleta da figura (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá
uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o
comprimento de um círculo de raio R é igual a 2πR, onde π ≈ 3?
a) 1,2 m
b) 2,4 m
c) 7,2 m
d)14,4 m
e) 48,0 m
6. Um velocímetro comum de carro mede, na realidade, a velocidade angular do eixo da roda, e indica
um valor que corresponde à velocidade do carro. O velocímetro para um determinado carro sai da
fábrica calibrado para uma roda de 20 polegadas de diâmetro (isso inclui o pneu). Um motorista resolve
trocar as rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim, quando o velocímetro indica 100km/h, a
velocidade real do carro é:
a) 100km/h
b) 200km/h
c) 110km/h
d)90km/h
e) 160km/h
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7. Em uma bicicleta que se movimenta com velocidade constante, considere um ponto A na periferia da
catraca e um ponto B na periferia da roda.
Analise as afirmações:
I. A velocidade escalar de A é igual à de B.
II. A velocidade angular de A é igual à de B.
III. O período de A é igual ao de B.
Está correto SOMENTE o que se afirma em:
a) I
b) II
c) III
d) I e III
e) II e III
8. Quem está na Terra vê sempre a mesma face da lua. Isto ocorre porque:
a) a Lua não efetua rotação e nem translação.
b) a Lua não efetua rotação, apenas translação.
c) os períodos de rotação e translação da Lua são iguais.
d) as oportunidades para se observar a face oculta coincidem com o período diurno da Terra.
e) enquanto a Lua dá uma volta em torno da Terra, esta dá uma volta em torno do seu eixo.
9. Três corpos estão em repouso em relação ao solo, situados em três cidades: Macapá, localizada na
linha do Equador, São Paulo, no trópico de Capricórnio, e Selekhard, na Rússia, localizada no círculo
Pólar Ártico. Pode-se afirmar que esses três corpos giram em torno do eixo da Terra descrevendo
movimentos circulares uniformes, com
a) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Macapá tem a maior
velocidade tangencial.
b) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em São Paulo tem a maior
velocidade tangencial.
c) as mesmas frequência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Selekhard tem a maior
velocidade tangencial.
d) as mesmas frequência, velocidade angular e velocidade tangencial, em qualquer cidade.
e) frequência, velocidade angular e velocidade tangencial diferentes entre si, em cada cidade.
10. O olho humano retém durante 1/24 de segundo as imagens que se formam na retina. Essa
memória visual permitiu a invenção do cinema. A filmadora bate 24 fotografias (fotogramas) por
segundo. Uma vez revelado, o filme é projetado à razão de 24 fotogramas por segundo. Assim, o
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fotograma seguinte é projetado no exato instante em que o fotograma anterior está desaparecendo de
nossa memória visual, o que nos dá a sensação de continuidade.
Filma-se um ventilador cujas pás estão girando no sentido horário. Este ventilador possui quatro pás
simetricamente dispostas, uma das quais pintadas de cor diferente. Ao projetarmos o filme, os
fotogramas aparecem na tela numa sequência que nos dá a sensação de que as pás estão girando em
sentido anti- horário.
Desta forma, o número mínimo de rotações por segundo que as pás devem estar efetuando, para que
isto ocorra, é de:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 36
e) 42
Gabarito
1. D
2. D
3. D
4. D
5. C
6. C
7. E
8. C
9. A
10. B
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