desafios
Ponteiros do relógio
Há dias em que olhamos para o relógio vezes sem conta, claro
que o objetivo será ver as horas, mas também podemos ver
mais do que horas!! Que tal analisar os ângulos formados
pelos ponteiros das horas e minutos?
Neste desafio proponho aos mais curiosos que descubram
quantas vezes, durante um dia, os dois ponteiros formam um
ângulo de 90º.
Será o leitor também capaz de descobrir as horas a que
acontece?
Resolução
Comecemos por analisar quando os dois ponteiros estão sobrepostos, às 0 h. Entre as 0h e a 1h
existem 2 posições onde os ponteiros fazem um ângulo de 90º e esta situação repete-se em todas
as horas à exceção das 2h e 3h, quem têm um momento em comum, as 3h. Desta forma
poderemos concluir que o mesmo acontece às 9h. Assim, em metade do dia os ponteiros fazem
um ângulo de 90º 22 vezes 12  2  2  , significando então que durante um dia esta situação
ocorre 44 vezes.
Para verificar quais as horas exatas a que acontecem estes momentos é importante perceber que
o ponteiro dos minutos demora 60 minutos a voltar à posição inicial, o que significa que a sua
velocidade é de 6º/min, já o ponteiro das horas demora 720 minutos (12 horas) a dar uma volta
completa, o que faz com que a sua velocidade seja de 0,5º/minuto.
Partindo da posição em que são 0h (ou 12h) até à 1h (ou 13h), a amplitude entre os dois
ponteiros pode ser escrita por:
A  6t  0,5t
Como procuramos o exato momento em que os dois ponteiros formam 90º, fazendo a
180
180
substituição A  90 , obtemos o valor t 
. Significa que passados
minutos desde as 0h
11
11
os ponteiros formam um ângulo de 90º. Durante essa mesma hora há outro momento que temos
540
de considerar, que acontece quando A  270 e nesse caso t 
.
11
Para determinar os momentos em que acontece o mesmo ente a 1h (ou 13h) e as 2h (ou 14h), a
equação será:
A  6t   30  0,5t 
Utilizando o mesmo raciocínio podemos obter as horas exatas dos restantes momentos.
No quadro seguinte podemos ver as horas exatas, na primeira parte do dia, em que os ponteiros
fazem 90º entre si e a respetiva hora aproximada.
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Hora exata
Hora aproximada
Hora exata
Hora aproximada
0h e
180
min
11
0h e 16min
6h e
180
min
11
6h e 16min
0h e
540
min
11
0h e 49min
6h e
540
min
11
6h e 49min
1h e
240
min
11
1h e 22min
7h e
240
min
11
7h e 22min
1h e
600
min
11
1h e 55min
7h e
600
min
11
7h e 55min
2h e
300
min
11
2h e 27min
8h e
300
min
11
8h e 27min
3h
3h
9h
9h
3h e
360
min
11
3h e 33min
9h e
360
min
11
9h e 33min
4h e
60
min
11
4h e 5min
10h e
60
min
11
10h e 5min
4h e
420
min
11
4h e 38min
10h e
420
min
11
10h e 49min
5h e
120
min
11
5h e 11min
11h e
120
min
11
11h e 11min
5h e
480
min
11
5h e 44min
11h e
480
min
11
11h e 44min
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