Exercícios de
MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
1o Semestre de 2007/2008
Capítulo VI
Métodos Numéricos para
Equações Diferenciais Ordinárias
Euler
yn+1 = yn + hfn
Euler Implícito
yn+1 = yn + hfn+1
Ponto Médio
yn+1 = yn + hf (xn + h/2, yn + h/2fn )
Heun
yn+1 = yn + h/2(fn + f (xn + h, yn + hfn ))
1. Considere o problema de valor inicial
y 0 (x) = 1 − x + 4y(x) 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
com solução exacta y(x) = x/4 − 3/16 + (19/16)e4x .
a) Obtenha um valor aproximado y2 para y(0.2) usando o método de
Euler com passo h = 0.1.
b) Recorrendo a um resultado teórico, deduza um majorante para
|y(0.2) − y2 |. Compare com o valor do erro de facto cometido.
c) Utilize o método de Taylor de ordem 2, com h = 0.1, para obter uma
aproximação de y(0.2). Compare com o resultado da alínea a).
d) obtenha uma aproximação de y(0.2) usando o método de RungeKutta de ordem 4 com h = 0.2.
2. Considere o problema de valor inicial
y 0 (x) = sin(xy(x)) 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1
a) Mostre que este problema tem uma única solução.
1
b) Aplique o método de Euler com h = 0.1 e calcule uma aproximação
para y(0.2).
c) Obtenha um majorante para o erro absoluto do valor obtido na alínea
anterior, desprezando erros no valor inicial y0 .
d) Qual deverá ser o valor do passo h para poder garantir um erro
absoluto não superior a 10−4 no valor calculado na alínea b)?
3. Utilize o método do ponto médio para obter uma aproximação da
solução do problema de valor inicial
y 0 (x) = x + y(x) 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 0
no ponto x = 0.1 com espaçamentos h = 0.1, 0.05, 0.025. Sabendo que
a solução exacta deste problema é dada por y(x) = ex − 1 − x, compare
os resultados obtidos com o valor exacto de y(0.1). Comente.
4. Considere a seguinte família de problemas de valor inicial
y 0 (x) = f (x, y(x)) 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = y0
a) Mostre que, no caso de f (x, y) = y + sin(x)y + x3 o problema tem
solução única. Considere y0 = 1. Obtenha uma aproximação de y(0.2)
aplicando o método de Euler implícito com h = 0.1.
b) Considere agora f (x, y) = y + sin(x)/y 4 + x3 . Poderá garantir existência e unicidade de solução para qualquer valor inicial y0 ? Considere
y0 = 1. Obtenha uma aproximação de y(0.2) aplicando o método de
Euler implícito com h = 0.1. Use o método de Euler explícito para
prever o valor de yn+1 no membro da direita.
5. Considere o seguinte problema de valores iniciais para uma equação
diferencial da segunda ordem
y 00 (x) + xy 0 (x) + y(x) = 0 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = −1, y 0 (0) = 1
a) Determine o valor aproximado de y(1), pelo método de Euler com
h = 0.5.
b) Idem, mas pelo método do ponto médio.
2
6. Considere o problema de valor inicial
y 0 (x) = y(x) − x2 + 1 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 0.5
com solução exacta dada por y(x) = 1 + 2x + x2 − 0.5ex .
a) Obtenha um valor aproximado para y(1) pelo método de Heun com
h = 0.2.
b) Idem, mas pelo método do ponto médio.
c) Idem, mas pelo método de Taylor de ordem 2.
d) Compare as soluções aproximadas obtidas nas alíneas anteriores com
a solução exacta. Comente.
7. Verique que o método do ponto médio, quando aplicado ao problema
de valor inicial
y 0 (x) = −20y(x) 0 ≤ x ≤ 20
y(0) = 1
resulta na fórmula de recorrência
n yn+1 = (1 − 20h + 200h2 )n+1 ∀n ≥ 0.
a) Aplique este método (com h = 0.1) para obter um valor aproximado
de y(1) e compare o resultado com o valor exacto, sabendo que a solução
do problema anterior é y(x) = exp(−20x).
8. Considere o problema de Cauchy
(P)
y 0 (t) = −ty(t)
y(0) = 1
a) Mostre que y(t) = e−t /2 é a única solução de (P). Compare o valor
exacto de y(2) com o valor aproximado dado pelo método de Euler,
considerando h = 1, h = 0.5.
b) Apresente estimativas de erro para os valores obtidos em a), e determine o número de passos de forma a garantir um erro absoluto inferior
a 10−6 (considerando que o valor inicial é exacto).
2
3
9. Considere o problema de valor inicial
y 0 (x) = 1 −
y(2) = 2
y(x)
x
2≤x≤3
com solução exacta dada por y(x) = x/2 + 2/x. Determine um valor
aproximado para y(2.1) pelo método de Euler com h = 0.1, 0.05, 0.025.
Conrme que a convergência do método de Euler é de ordem 1.
10. Considere o problema de valor inicial
y 0 (x) = f (x) a ≤ x ≤ b
y(a) = y0
onde Rf ∈ C[a, b] e y0 ∈ R. Escrevendo a equação na forma y(x) =
x
y0 + a f (x) dx mostre que o método do ponto
R médio corresponde à
aplicação da regra do ponto médio ao integral ax f (x) dx. Mostre ainda
que o método de Heun corresponde à aplicação da regra dos Trapézios.
11. Considere o problema de valores iniciais
y 00 (x) + 2y 0 (x) + y(x) = ex
y(0) = 1, y 0 (0) = −1
0≤x≤1
Obtenha valores aproximados para y(0.2) e y 0 (0.2) pelo método de Euler
com passo h = 0.1.
12. Considere o seguinte problema de valores iniciais para uma equação
diferencial de segunda ordem
u00 (x) = u(x) 0 ≤ x ≤ 1
u(0) = 1, u0 (0) = 0
a) Aplique o método de Euler com h = 0.25, para determinar a aproximação de u(1), e compare com a solução exacta do problema.
b) O mesmo que em a), mas usando o método do ponto-médio (RK de
ordem 2).
c) Considere agora a equação de segunda ordem
u00 (x) = u3 (x) 0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 1, y 0 (0) = 0
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e aproxime u(1) usando o método do ponto médio com h = 0.5, h =
0.25, h = 0.1.
d) O mesmo que em c) para u00 (x) = u0 (x)u(x)2 − x u0 (x)2 .
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