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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
Exame Nacional de 2009 (1.ª Fase)
1.
Em primeiro lugar representou-se o plano α, pelos seus traços, em função dos dados. Representou-se, também, o plano pelo seu traço horizontal e pela reta b, de perfil, cujas projeções se desenharam em função dos dados. Está expresso, no enunciado, que os dois planos têm, em
comum, um ponto do eixo X. Considerou-se que esse ponto é o ponto M, o ponto de concorrência dos traços do plano α. O traço horizontal
do plano (h) tem também de passar pelo ponto M, ou seja, os dois traços do plano também têm de ser concorrentes no ponto M. No
entanto, para a resolução do exercício é desnecessária a determinação do traço frontal do plano , como adiante se exporá. Por outro lado,
atendendo a que a reta b é uma reta de perfil passante do plano , a reta b é uma reta concorrente com o eixo X no ponto M, que é, precisamente, o ponto de concorrência dos dois traços do plano . Assim, pelas projeções do ponto M conduziram-se as projeções homónimas da
reta b, sobre as quais se representaram as projeções do ponto B, o outro ponto que define a reta b (a reta b está definida pelos pontos M e B).
É pedida a reta de interseção entre os dois planos (o plano α e o plano ) – reta i. Para definir uma reta são necessários dois pontos ou um
ponto e uma direção. O ponto M é um ponto que pertence simultaneamente aos dois planos, pelo que já é um ponto da reta de interseção
dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i – o ponto M. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a um plano auxiliar –
o plano ν, horizontal (de nível). Por uma questão de economia de traçados, optou-se por conduzir o plano ν pelo ponto B, que é um ponto do
plano . Em seguida determinaram-se as retas de interseção do plano ν (o plano auxiliar) com os dois planos dados. A reta m é a reta de interseção do plano auxiliar (o plano ν) com o plano α. A reta m é uma reta horizontal (de nível) do plano α, pelo que é paralela ao traço horizontal
do plano (retas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma reta horizontal do plano com
cota nula). O traço frontal da reta m é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos (ponto F). A reta m está definida por um
ponto (o seu traço frontal) e por uma direção (a direção das retas horizontais do plano α). A reta n é a reta de interseção do plano auxiliar
(o plano ν) com o plano . A reta n é uma reta horizontal (de nível) do plano , pelo que é paralela ao traço horizontal do plano (retas horizontais
de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma reta horizontal do plano com cota nula). O ponto B pertence simultaneamente ao plano ν (o plano ν passa pelo ponto B) e ao plano (o ponto B é um ponto da reta b, que é uma reta do plano ),
pelo que o ponto B é um ponto que pertence aos dois planos. A reta n está definida por um ponto (o ponto B) e por uma direção (a direção
das retas horizontais do plano ). As retas m e n são concorrentes num ponto – o ponto I. O ponto I é um ponto que pertence simultaneamente
aos três planos, pelo que é um ponto que pertence simultaneamente ao plano α e ao plano . Assim, já temos o ponto que nos faltava para
definir a reta i. A reta i (a reta pedida) está definida por dois pontos – o ponto M e o ponto I.
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
2.
Em primeiro lugar representaram-se as retas r e s, pelas respetivas projeções, em função dos dados. A reta r, porque é paralela ao 2/4, tem as
suas projeções paralelas entre si, o que nos permitiu desenhar a sua projeção horizontal. Depois de determinadas as projeções do ponto P (com
3 cm de cota), sobre as projeções homónimas da reta r, desenharam-se as projeções da reta s, perpendiculares às projeções homónimas da reta r.
É pedida a verdadeira grandeza do ângulo que as duas retas formam entre si. O ângulo entre duas retas concorrentes está contido no plano
definido pelas duas retas. Se o plano definido pelas duas retas for paralelo a um dos planos de projeção, o ângulo entre as retas projeta-se em
verdadeira grandeza. Se o plano definido pelas duas retas não for paralelo a nenhum dos planos de projeção (o que é o caso), é necessário o
recurso a um processo geométrico auxiliar. Nesse sentido, optou-se por rebater o plano definido pelas duas retas para um plano horizontal (de
nível) qualquer, mas poderia ter-se optado por rebater o plano definido pelas duas retas para um dos planos de projeção. Assim, conduziu-se
um plano ν, horizontal (de nível) e determinou-se a reta de interseção do plano ν com o plano definido pelas duas retas – a reta e. A reta e é a
charneira do rebatimento e está definida por dois pontos – os pontos A e B. O ponto A é o ponto de interseção do plano ν com a reta r e o
ponto B é o ponto de interseção do plano ν com a reta s. Note que a charneira do rebatimento é necessariamente uma reta fronto-horizontal,
pois o plano definido pelas duas retas (que são, ambas, paralelas ao 2/4) é necessariamente um plano de rampa (a reta de interseção entre um
plano de rampa e um plano horizontal é uma reta fronto-horizontal). Os pontos A e B são dois pontos da charneira do rebatimento, pelo que são
fixos – tem-se, imediatamente, Ar A1 e Br B1. Já temos um ponto, em rebatimento, para rebater cada uma das retas. Falta-nos outro ponto
para rebater cada uma das retas – o ponto de concorrência das duas retas (o ponto P). Rebateu-se o ponto P, pelo triângulo do rebatimento. Por
P1, a projeção horizontal do ponto P, conduziram-se uma perpendicular e uma paralela à charneira do rebatimento. Sobre a paralela à charneira
do rebatimento marcou-se a cota do ponto P, em relação ao plano ν (a distância do ponto P ao plano ν). Em seguida construiu-se o triângulo do
rebatimento, em verdadeira grandeza, e, com o recurso ao compasso, rebateu-se o ponto P, obtendo Pr sobre a perpendicular à charneira que
passa por P1. A reta r, em rebatimento (rr), fica definida por Ar e por Pr. A reta s, em rebatimento (sr), fica definida por Br e por Pr. A verdadeira
grandeza do ângulo entre as duas retas está em qualquer dos dois menores ângulos formados entre rr e sr. Assinalou-se um desses ângulos com
a expressividade adequada (nas semirretas que limitam o ângulo) e assinalou-se a sua verdadeira grandeza com º.
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3.
Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projeções, bem como o plano frontal (de frente) que contém a base do sólido (o plano ϕ),
pelo seu traço horizontal, em função dos dados. O ponto O é um ponto do 1/3 pelo que tem coordenadas iguais e projeções simétricas em relação
ao eixo X. Uma vez que se trata de um cone de revolução, com a base contida num plano frontal (de frente), sabe-se que o seu eixo está contido
numa reta de topo (uma reta ortogonal ao plano da base). O ponto V, o vértice do sólido, situa-se, assim, na mesma projetante frontal do ponto O,
pelo que os dois pontos têm as suas projeções frontais coincidentes – O2 V2. Por outro lado, o ponto V tem 1 cm de afastamento (é dado no enunciado). Este raciocínio permitiu-nos determinar as projeções do ponto V e, em seguida, com o compasso, fazendo centro em O2 e com 4 cm de raio,
desenhou-se a circunferência que limita a base do sólido, em projeção frontal. Em seguida desenharam-se as duas projeções do sólido. São pedidas
as sombras, própria e projetada nos planos de projeção, do cone, para o que é necessário determinar a linha separatriz luz/sombra na situação considerada, o que se processa com o recurso aos planos tangentes luz/sombra. Assim, conduziu-se, pelo vértice do cone, um raio luminoso l (com a direção convencional da luz) – este raio luminoso é a reta de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra. Em seguida determinou-se o ponto de
interseção do raio luminoso l com o plano da base – o ponto I. Pelo ponto I conduziram-se as retas tangentes à base – as retas t e t’. As retas t e t’
são as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base. A reta t é tangente à base no ponto T e a reta t’ é tangente à
base no ponto T’. As geratrizes [TV] e [T’V] são, imediatamente, as geratrizes separatrizes luz/sombra. Dada a proveniência da luz, a base está iluminada, bem como a parte da superfície lateral do cone correspondente ao arco menor TT’. A parte da superfície lateral do cone que corresponde ao
arco maior TT’ está em sombra – trata-se da sombra própria do cone. A linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [TV T’T ]. A parte da
superfície lateral do sólido que está em sombra própria é invisível em projeção frontal, pelo que, em projeção frontal, não há lugar à identificação de
sombra própria. Já em projeção horizontal, atendendo a que a geratriz [TV] é visível e que a geratriz [T’V] é invisível, a sombra própria visível a assinalar, em projeção horizontal, é a que corresponde à superfície lateral do sólido compreendida entre a projeção horizontal da geratriz [TV] e a geratriz
mais à direita do contorno aparente horizontal do sólido. Para determinar a sombra projetada do cone nos planos de projeção, determinaram-se as
sombras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra. Vs2, Ts2 e T’s1 são as sombras reais de V, T e T’, respetivamente – Vs2 e Ts2 situam-se
no SPFS e T’s1 situa-se no SPHA. Conclui-se, assim, que a sombra da geratriz [VT] não admite pontos de quebra (as sombras dos seus extremos
situam-se, ambas, no SPFS) enquanto que a sombra da geratriz [T’V] admite um ponto de quebra (as sombras dos seus extremos situam-se em planos
distintos). O ponto de quebra da sombra da geratriz [T’V] determinou-se com o recurso à sombra virtual de T’ – T’v2. A sombra do cone admite,
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portanto, dois pontos de quebra – um ( já determinado) na sombra da geratriz [T’V] e o outro situar-se-á necessariamente na sombra do arco da base
que integra a linha separatriz luz/sombra. Assim, é necessário determinar esse ponto. Para tal recorreu-se ao método do plano luz/sombra passante.
O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luminoso l’, passante. O ponto I’ é o ponto de interseção do raio luminoso l’ com
o plano ν. A reta de interseção do plano ν (o plano da base do cone) com o plano luz/sombra passante é a reta i, que é uma reta fronto-horizontal
que passa pelo ponto I’. A reta i corta o arco maior TT’ no ponto A – o ponto A será, assim, o ponto do arco TT’ cuja sombra é o outro ponto de
quebra da sombra do cone. O arco TA produz sombra no SPFS – a sua sombra é um arco de circunferência, pois o plano da base é paralelo ao SPFS.
Já o arco T’A produz sombra no SPHA – a sua sombra é um arco de elipse. Recorrendo à projeção horizontal do raio luminoso que passa pelo ponto
A, determinou-se a sua sombra (As ), que se situa no eixo X. Em seguida, determinou-se a sombra real do ponto O, o centro da base – Os (note que a
sombra do ponto O situa-se no eixo X, pois o ponto O é um ponto do 1/3). Com o compasso, fazendo centro em Os e com 4 cm de raio (o raio da
base), desenhou-se o arco correspondente à sombra da base no SPFS – o arco Ts2As (que é concordante com o segmento [Vs2Ts2] no ponto Ts2). Note
que o arco de circunferência com centro em Os e 4 cm de raio tem necessariamente de passar por Ts2 e por As. Para determinar a sombra que o arco
T’A produz no SPHA, recorreu-se à inscrição da semicircunferência que contém esse arco na parte correspondente de um quadrado de lados paralelos ao eixo X. Em seguida determinou-se a sombra que essa figura produz no Plano Frontal de Projeção, recorrendo tanto a um dos seus vértices
(o ponto M), como ao ponto O – Ms1 é a sombra do ponto M no Plano Horizontal de Projeção. Os pontos em que a linha horizontal que passa por Os
(e que é o próprio eixo X) se apoia nas sombras dos lados desse meio quadrado são, imediatamente, dois pontos da sombra do arco de elipse (o ponto
mais à direita é o próprio As ). Em seguida conduziu-se, por Os, uma paralela às sombras dos lados desse meio quadrado e determinou-se um outro
ponto do arco de elipse – o seu ponto de menor afastamento (que corresponde à sombra do ponto de menor cota do arco). Por fim, desenharam-se
as sombras das diagonais desse meio quadrado (que passam por Os ) e transportaram-se, para aí, as sombras dos pontos em que o arco da circunferência da base corta as diagonais do quadrado. Estes procedimentos permitiram-nos determinar cinco pontos para desenhar o arco de elipse, aos
quais se acrescenta o ponto T’s1 (a sombra do ponto T’), pelo que temos seis pontos para desenhar o arco da elipse – esses seis pontos permitem-nos
desenhar a curva com alguma precisão. Note que a parte da elipse compreendida entre T’s1 e o eixo X é uma parte virtual da sombra (não existe, em
termos práticos), mas que se considera relevante para melhor «lançar» a curva, à mão livre. Tenha em conta que o arco da elipse tem de ser concordante com a sombra da geratriz [T’V] no ponto T’s1. Por fim desenhou-se o contorno da sombra do cone, respeitando as suas invisibilidades (a parte
oculta pelo cone em projeção frontal). Em seguida, assinalou-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra projetada.
4.
Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Em função dos dados, depreende-se que o
plano axonométrico é o plano XZ, pelo que estes dois eixos são perpendiculares entre si. A perspetiva do eixo Y faz, com estes dois eixos, os
ângulos dados. Em seguida, com vista à construção da perspetiva do objeto, procedeu-se à representação prévia dos pontos A e B, em Dupla
Projeção Ortogonal, considerando o plano XY rebatido sobre o plano axonométrico (o plano XZ) – a charneira deste rebatimento é o próprio eixo
X e o eixo Yr fica coincidente com o eixo Z. No plano XZ (que é o próprio axonométrico e que corresponde ao Plano Frontal de Projeção) representaram-se as projeções frontais dos pontos A e B, em função das abcissas e cota dadas. No plano XY rebatido (que corresponde ao Plano Horizontal de Projeção), representaram-se as projeções horizontais dos pontos A e B (em rebatimento), em função do afastamento dado – A1r e B1r .
Passando por A1r e B1r conduziu-se, em rebatimento, o traço frontal do plano frontal (de frente) , que contém a base de maior afastamento do
sólido – (h)r . Considerando que as bases do sólido são frontais e que A e B pertencem à base de maior afastamento (que tem 12 cm de afastamento), e uma vez que o sólido tem 9 cm de altura, a base de menor afastamento está contida num plano frontal (de frente) com 3 cm de afastamento. Assim, representou-se, em rebatimento, o plano frontal (de frente) que contém a base de menor afastamento – (h)r . Sobre o traço
horizontal do plano , em rebatimento, representou-se a projeção horizontal do vértice A’, em rebatimento, estando assim definida a aresta lateral
comum aos dois prismas que compõem o sólido. O sólido é composto por dois prismas triangulares regulares, cujas bases são necessariamente
triângulos equiláteros. Assim, A e B são dois vértices de um triângulo equilátero [ABC], que é paralelo ao plano axonométrico (o plano XZ), pelo
que se projeta em verdadeira grandeza no plano XZ (que corresponde ao Plano Frontal de Projeção). Nesse sentido, construiu-se a projeção frontal do triângulo [ABC], o que nos permitiu determinar a projeção frontal do ponto C – C2. O triângulo [A2B2C2] é a projeção frontal do prisma
maior. Sobre o prisma menor sabe-se que a face lateral oposta à aresta lateral [AA’] é paralela ao plano coordenado horizontal XY. Assim, considerou-se que o triângulo [ADE] é a base de maior afastamento do segundo prisma. Sobre essa base sabe-se que o seu lado mede 4 cm e que, para
que a face pretendida seja horizontal (paralela ao plano XY), uma aresta da base tem de estar contida na aresta [AC] da base do prisma maior.
Assim, em projeção frontal, determinou-se o ponto D, sobre o segmento de reta [AC] e a 4 cm do ponto A. A partir das projeções frontais dos
pontos A e D construiu-se a projeção frontal da base [ADE] do prisma menor, em verdadeira grandeza, pois esta base também é paralela ao plano
axonométrico (que corresponde ao Plano Frontal de Projeção), pelo que não apresenta deformação. A partir das construções descritas, concluiu-se a representação do sólido em Dupla Projeção Ortogonal. Note que se omitiram as notações referentes às projeções dos outros vértices do sólido, com vista a não sobrecarregar graficamente a resolução do exercício e, ainda, por estas não serem absolutamente necessárias. Em seguida,
determinou-se a direção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY. Para tal rebateu-se o plano projetante do eixo Y
para o plano axonométrico (o plano XZ) – o eixo Yr’ é o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante e é perpendicular à perspetiva
do eixo Y. Com o compasso, fazendo centro no ponto O (a origem do referencial) e com um raio qualquer (optou-se por fazer o raio igual ao afastamento da base de maior afastamento do sólido), desenhou-se um arco de circunferência, que relaciona o eixo Y rebatido pelo rebatimento do
plano XY (o eixo Yr) e o eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante (o eixo Yr’). Tenha em consideração que o ponto B é um ponto
do eixo Y. O ponto Br , do eixo Yr , é o ponto B rebatido pelo rebatimento do plano XY. O ponto Br’, do eixo Yr’, é o ponto B rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Y. Por Br’ conduziu-se uma reta projetante em rebatimento (a reta rr), com a inclinação dada (a reta rr faz um
ângulo de 55º com a perspetiva do eixo Y), obtendo-se a perspetiva do ponto B sobre a perspetiva do eixo Y. A reta que passa por Br (o ponto B
rebatido pelo rebatimento do plano XY) e pela perspetiva do ponto B é a direção de afinidade – a reta d. Pela perspetiva do ponto B conduziu-se
uma paralela ao eixo X, que é a perspetiva do traço horizontal do plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido –
(h). Pelos pontos em que as linhas de chamada dos vértices A, C, D e E intersetam o eixo X conduziram-se paralelas à perspetiva do eixo Y – estas
são as perspetivas das linhas de chamada daqueles pontos. Nos pontos de interseção daquelas linhas com a perspetiva do traço horizontal do plano
determinaram-se as perspetivas das projeções horizontais daqueles pontos – A1, C1, D1 e E1. Note que o plano é um plano projetante horizontal,
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pelo que as projeções horizontais de todos os pontos pertencentes ao plano têm de se situar sobre o traço horizontal do plano. Tenha em
conta que a linha que passa por E1 (a perspetiva da projeção horizontal do ponto E) e por E1r (a projeção horizontal do ponto E em rebatimento) é
paralela à direção de afinidade d. O ponto A é um ponto com cota nula, pelo que a sua perspetiva está coincidente com a perspetiva da sua projeção horizontal – A A1. Pela projeção frontal do ponto C conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y, que corresponde à perspetiva da
reta projetante frontal do ponto C. Pela perspetiva da projeção horizontal do ponto C (C1) conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Z, que
corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto C. O ponto de interseção das duas retas é a perspetiva propriamente dita do
ponto C. Repetiu-se o procedimento exposto para os vértices D e E, o que nos permitiu determinar as respetivas perspetivas. Em seguida, pelo
ponto em que o traço horizontal do plano , em rebatimento, interseta o eixo Y (em rebatimento), conduziu-se uma paralela à direção de afinidade
para determinar a perspetiva do afastamento da segunda base do sólido. Pelo ponto de interseção dessa paralela à direção de afinidade com
a perspetiva do eixo Y conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo X, que é a perspetiva do traço horizontal do plano – (h). Em seguida
determinaram-se as perspetivas das projeções horizontais dos vértices da base de menor afastamento do sólido, sobre a perspetiva do traço horizontal do plano (que também é um plano projetante horizontal). De acordo com o acima exposto para o vértice C, repetiram-se os procedimentos com vista a obter as perspetivas dos restantes vértices do sólido (nos quais se inclui o vértice A’). Como acima se expôs, omitiram-se as
notações referentes a esses vértices, com vista a não sobrecarregar demasiado a resolução gráfica. A partir das perspetivas de todos os vértices
do sólido, desenhou-se a perspetiva do sólido resultante da justaposição dos dois prismas, ocultando as linhas invisíveis, como pede expressamente o enunciado. Sublinha-se que se trata de um único sólido e não se dois sólidos juntos, pelo que as arestas desse sólido (o sólido composto
pelos dois prismas) são linhas que separam fisicamente planos distintos (faces distintas). Assim, o segmento [AD] não é uma aresta do sólido final,
pois, nesse sólido, não separa duas faces distintas – a aresta [AD], do segundo prisma, está contida na base [ABCDE] do sólido final e, por isso,
não é uma aresta e não deve ser representada como tal. Na solução apresentada, o segmento [AD] está representado apenas como uma linha auxiliar (uma linha construtiva), necessária à determinação da perspetiva do sólido final.
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