Mecânica e Ondas
Série 3
MeMEC∗
Department of Physics and Institute of Plasmas and Nuclear Fusion,
Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais,
& 1049-001 Lisboa, Portugal
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351.1.21.846.44.55†
(Dated: March 10, 2011)
I.
PROBLEMAS PARA FAZER NA AULA PRÁTICA
1) Pêndulo cónico (Fig. 1). Um objecto colocado no extremo de uma corda de comprimento l e massa total m,
descreve o movimento circular no plano horizontal de raio R e com velocidade v.
q
a) Assuma que o perı́odo de revolução é T . Calcule T em função de θ. (Sol. T = 2π Lg cos θ)
2) Movimento num cı́rculo vertical (Fig. 2). Uma bola descreve uma trajectória vertical em torno de um ponto O.
O seu movimento é circular, mas não é uniforme (Porquê?). A sua rapidez aumenta quando desce e diminui quando
sobe. Portanto, v varia continuamente ao longo da sua trajectória.
2.a) Quais são as componentes da aceleração da bola? (Sol: ak = g sin θ, a⊥ = (T − mg cos θ)/m)
2.b) Quais as forças a que a bola se encontra submetida? (Resolvido parcialmente na alı́nea a)
2.c) Calcule a expressão literal da tensão da corda. (Sol: T = m(v 2 /R + g cos θ))
2.d) Determine o valor da tensão da corda√no ponto mais baixo, θ = 0, mais alto θ = 180o . O que sucede quando
a velocidade atinge o valor crı́tico vc = Rg? (Sol: T (θ = 0) = m(v 2 /R + g), porque a aceleração é radial;
T (θ = 180o ) = m(v 2 /R − g); quando v = vc , T = 0)
FIG. 1: Pêndulo circular.
∗ Electronic
† versão
1.0
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2
FIG. 2: Forças que actuam num corpo volteando num plano circular vertical.
FIG. 3: Viatura descreve uma curva em forma de laço (“loop”).
II.
PROBLEMAS PARA FAZER EM CASA
3) Considere uma partı́cula deslocando-se com velocidade v descrevendo um cı́rculo de raio R. Dê o valor da aceleração
centrı́peta. No caso de a sua massa ser m, dê o módulo e direção da força centrı́peta. (Solução: ac = v 2 /R, Fc = mac
dirigida para o centro O.)
4) Uma viatura descreve uma curva (“loop”) tal como mostra a Fig. 3. Um piloto dentro da viatura executa um
movimento vertical na curva em forma de laço com velocidade constante vo . Calcule a força aparente que o piloto
sente quando atinge o ponto mais alto e o ponto mais baixo da trajectória (i.e., calcule o peso aparente). (Sol: No
ponto mais baixo é N − mg = mvo2 /R, donde N = 3.29mg; no ponto mais alto N + mg = mvo2 /R ∴ N = 1.29mg
5) Uma partı́cula de massa m é largada sem velocidade inicial de um ponto P situado a uma altura h = 4R e desliza
sem atrito ao longo de uma pista contida no plano vertical constituı́da pela curva P A, o loop ABCA de raio R e a
recta horizontal AD, como se pode ver na Fig. 4. Determine:
√
√
√
5.a) A velocidade nos pontos A, B e C; (Sol: vA = 8gR, vB = 6gR, vC = 4gR).
5.b) A reação normal nos mesmos pontos; (Sol: NA = −9mg, NB = −6mg, NC = −3mg)
5.c) A altura mı́nima com que a partı́cula deve ser largada para que o loop seja realizado com sucesso. (Sol:
hmin = 5R/2)
6) Sabendo que a lei da atração universal entre duas massas pontuais, M e m, distanciadas de r é dada por:
→
−
Mm−
F = −G 2 →
ur
r
3
FIG. 4: Loop
6.a) Mostre que para pequenos deslocamentos junto da superfı́cie da Terra se tem para o potencial gravı́tico:
V = mgh,
onde h é a distância de um ponto à superfı́cie da Terra e g = GM T /RT2 é a aceleração da gravidade, também à
superfı́cie da Terra;
6.b) Calcule a diferença entre o potencial gravı́tico aproximado e o “exacto” a 6.0 × 104 m de altitude.
III.
NOÇÕES PARA REVER
A.
O separador decimal
Em Portugal e maior parte dos paı́ses europeus usa-se a vı́rgula para separar a parte inteira da parte fracionária.
No nosso curso de MO usamos a notação anglo-saxónica, até porque a lı́ngua inglesa vai-se tornando a lingua franca
na actualidade. Por exemplo, em Portugal escreve-se 123, 456 enquanto que nos paı́ses de lı́ngua inglesa 123.456. O
Instituto Português de Qualidade sugere ainda o uso de um espaço como separador de um grupo de três algarismos.
Assim, deve-se colocar um espaço para tornar mais legı́vel um número grande, 123 456, em vez de 123456.
B.
Notação cientı́fica
Notação cientı́fica é uma forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Este tipo de notação está
baseada na potência de 10:
m × 10e .
O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. Esta representação tembém é denominada representação
em ponto flutuante.
C.
Algarismos significativos
Ao fazer uma medida de uma grandeza fı́sica, um cientista ou engenheiro encontra-se limitado pelos instrumentos
que usa ou mesmo pelo fenómeno fı́sico, e somente consegue obter um valor com um determinado nı́vel de precisão.
O exemplo mais básico é o da medida de comprimentos com uma régua, que se encontra dividida em milı́metros.
Consequentemente, não se consegue alcançar uma precisão maior do que o milı́metro. Se alguém disser que mediu
com uma fita métrica uma distância de 27.367521 mm, na verdade é correcto dizer que o sujeito mediu uma distância
de 27 mm. Se quiser maior precisão, o sujeito deverá recorrer a um instrumento de medida mais preciso.
A quantidade de números significativos numa medida ou grandeza fı́sica é chamado número de algarismos significativos. No caso anterior temos 2 algarismos significativos, 27 mm.
Considere agora o número c=300000000. m/s.
4
Este número tem um só algarismo significativo, o 3. Se escrevessemos em seu lugar c = 300000000.0 m/s, o ponto
decimal e o zero que se lhe segue quer dizer que a medida é precisa até esse nı́vel. O número 2.50 tem três algarismos
significativos, sendo que o zero na extremidade do número significa que quem fez essa medida alcançou esse nı́vel de
precisão. Outro exemplo: o número 2010. tem 4 algarismos significativos.
7. - Diga quantos algarismos significativos tem cada um dos números seguintes:
7.a) 4; 900; 0.00002
7.b) 3.7; 0.0059; 68000; 5.0
7.c) 9.64; 0.00360; 99900; 8.00; 900.
[Solução: 7.a) Têm apenas um a.s.; 7.b) Têm apenas 2; 7.c) Têm apenas 3 a.s.]
Na adição (ou subtracção), multiplicação e divisão deve usar-se determinadas regras para garantir que se está a
manter o mesmo nı́vel de precisão durante o cálculo.
Quando se adiciona ou subtrai é o algarismo mais à direita que importa reter.
8 - Por exemplo: 5.324 + 6.8459834 + 3.1 O primeiro termo tem quatro figuras significativas [1], o segundo tem oito,
e o terceiro tem somente dois. A precisão é determinada, neste caso, pelo ponto decimal do terceiro número.
[Solução: Assim, o resultado do cálculo não deve ser 15.2699834, mas sim 15.3]
9 - Na multiplicação ou divisão de grandezas fı́sicas (ou apenas números) deve-se manter o mesmo número de algarismos
significativos que o número com a menor quantidade de algarismos significativos.
Efectue o seguinte produto: 2.3 × 103 × 3.19 × 104
[Solução: 7.3 × 107 ].
[1] Ainda se diz, dı́gitos significativos, ou algarismos significativos.