24/Abr/2013 – Aula 19
Equação de Schrödinger.
Aplicações:
1º – partícula numa caixa de potencial
29/Abr/2013 – Aula 20
Continuação da aula anterior
2º – partícula num poço de potencial finito
3º – oscilador harmónico simples
4º – barreira de potencial, probabilidade de
transmissão.
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa.
1
Aula anterior
Equação de Schrödinger
A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que
se deslocam ao longo do eixo x é
2  1 2
x2 v2 t 2
em que v é a velocidade da onda e 
depende do espaço (x) e do tempo (t )
No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaço
da dependência no tempo:
 (x, t ) =  (x) cos  t
Substituindo na equação das ondas, vem
cos  t   
2
x
2
-
2
v
2
 cos t 
 2
x
2
-
2
v
2

2
Aula anterior
Equação de Schrödinger (cont.)
Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de
Schrödinger na sua forma mais simples, independente do
tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x :
2
-
2m
d 2  x 
dx
2
 U pot  x   x   Etotal   x 
Equação de Schrödinger
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
 E -U 
3
Aula anterior
Aplicações da equação de Schrödinger
1º – partícula numa caixa de potencial
A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas
atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham
Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa:
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
 E -U 
A energia potencial nas paredes da
caixa é nula e as paredes são infinitas
U (x) = 0
para
0  x  L
U (x) = 
para
x 0 e x  L
4
Aula anterior
1º – partícula numa caixa, verificação da solução
1ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = 0
 É verificada (sen 0 = 0)
2ª condição fronteira :  (x) = 0 para x = L
 É verificada se k L for um múltiplo
Como se definiu
k
2mE
, tem-se, a
partir desta condição
k L
2mE
Energia
de , ou seja, se k L = n  , com n inteiro
L  n
A energia mínima é > 0
5
Aula anterior
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
  x   A sen  k x 
k L
2mE
L  n
 n x 
  x   A sen 

L


Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização:


 dx  1
2

6
Aula anterior
1º – partícula numa caixa, verificação da solução (cont.)
  x 
2
 n x
sen 

L
L


(finalmente…)
7
2º – partícula num poço de potencial finito
Consideremos uma partícula cuja energia
potencial é nula na região 0 < x < L (poço)
e igual a U (valor finito) fora dessa região.
Para determinar as características desta
partícula é necessário resolver a equação
de Schrödinger:
d 2  x 
dx
2
-
2m
2
 E -U 
No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda
era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam
um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula .
8
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
Regiões I e III
d 2
2

C
dx 2
UE
em que C2 = 2m(U-E)/ h 2 é uma constante positiva
Soluções desta equação:
matemática
física
9
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
Matemática
A solução geral desta equação é do tipo  = A eCx + B e -Cx , em
que A e B são constantes.
Física
Na região I ( x < 0 ), B e-Cx aumenta exponencialmente com x < 0;
esta situação não tem significado físico  B = 0 .
Na região III ( x > L ), A eCx aumenta exponencialmente com x > L;
esta situação não tem significado físico  A = 0 .
Portanto, as soluções
nas regiões I e III são:
 Ι  AeC x
 ΙIΙ  B e-C x
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2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
Região II
U<E
d 2
dx
2
 D
em que D é uma constante negativa
A solução geral desta equação é do tipo  I I = F sen (kx) + G cos (kx),
em que F e G são constantes.
As funções de onda na região II são sinusoidais.
11
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
As constantes A , B , F e G podem ser determinadas
a partir das condições nas fronteiras :
continuidade das funções de onda nas fronteiras
As funções de onda têm que ser iguais (e as suas
derivadas também) nas zonas de transição.
x  0 :    
x  L :   I   I 
d 
e
e

dx
d  I
dx
d  I

dx
d  II
dx
12
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
Fora da caixa: funções de onda exponenciais  I = A eCx ,  III = B e-Cx
No interior: funções de onda sinusoidais  II = F sen (kx) + G cos (kx)
Funções
de onda
simulação
Funções de onda
Densidades de
probabilidade
13
2º – partícula num poço de potencial finito (cont.)
As constantes A , B , F e G podem ser determinadas
a partir das condições nas fronteiras :
continuidade das funções de onda nas fronteiras
As funções de onda têm que ser iguais (e as suas
derivadas também) nas zonas de transição.
x  0 :  Ι  ΙI
e
x  L :  ΙI  ΙII e
d Ι
dx
d ΙI
dx


d ΙI
dx
d ΙII
dx
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3º – oscilador harmónico simples
Considere uma partícula sujeita a uma força de
restituição linear dada por F = - k x .
x é o deslocamento relativamente à posição de
equilíbrio (x = 0) e k é uma constante.
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e
libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento
harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede
cristalina).
15
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Classicamente, a energia potencial U do sistema é igual a
1
1
U  k x2   2 m x2
2
2
com a frequência angular de vibração  dada por

k
m
A energia total E do sistema é a soma das energias cinética e potencial:
1
Etotal  Ecinética  U  k A2
2
em que A é a amplitude do movimento.
16
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Classicamente, todos os valores de energia E são permitidos
Quanticamente, é necessário resolver a eq. de Schrödinger com
U = ½  2x 2m para determinar os níveis de energia permitidos :
d 2  x 
dx
d 2  x 
dx 2
2
-
2m
2
 E -U 
2m  1

 - 2  E - m  2 x 2 
 2

17
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Uma das soluções da eq. de Schrödinger para este caso é do tipo
 = B e – C x2
m
C
2
E0 

2
Esta solução particular corresponde ao estado de menor energia do
sistema (estado fundamental - ground state ).
Os estados de maior energia (excitados) podem ser obtidos a partir
do estado fundamental:
1

En   n   
2

com n = 1 , 2 , …
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3º – oscilador harmónico simples (cont.)
A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a
En - En-1    h 
Se a partícula estiver num
certo estado e passar para o
estado de energia
imediatamente abaixo, vai
perder um quantum de energia
– exactamente a quantidade
de energia de um fotão.
Níveis de energia
simulação
Diagrama de níveis de energia. Os
níveis estão igualmente espaçados
(com separação  ) e o estado
fundamental tem energia E0 =  /2
19
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Curvas a vermelho
Curvas a azul
Densidades de
probabilidade para
os estados com
n = 0, 1 e 2.
Probabilidades
clássicas
correspondentes
às mesmas
energias.
Do ponto de vista
quântico, em certas
regiões sobre o eixo
x , a probabilidade
de encontrar a
partícula é nula.
Classicamente,
a partícula está
mais tempo nas
amplitudes
extremas (maior
probabilidade).
20
4º – barreira de potencial
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas,
as suas funções de onda penetram as paredes.
Energia
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa
barreira de potencial suficientemente fina.
A resolução da equação de
Schrödinger permite obter as
funções de onda desta partícula.
Barreira de potencial
simulação
21
4º – barreira de potencial (cont.)
A resolução da eq. de Schrödinger aplicada às regiões I, II e III, com
as condições fronteira para cada região (as funções de onda têm de
ser contínuas nas separações), conduz às seguintes soluções:
Regiões I e III ( E > U = 0 )
Região II ( E < U )
Energia
Funções de onda sinusoidais.
Funções de onda
exponenciais (decrescentes) .
Como a probabilidade de encontrar a partícula numa dada região é
proporcional a | |2 , então existe uma probabilidade finita, não nula,
de encontrar a partícula na região III .
22
4º – barreira de potencial (cont.)
Isto significa que a partícula tem uma probabilidade finita de
penetrar a barreira, ainda que a energia da barreira seja superior
à da própria partícula.
- O quadrado da função de
onda indica a probabilidade da
partícula atravessar a barreira,
não a sua energia.
Energia
Qual será a energia da partícula
após ter penetrado a barreira?
- O comprimento de onda da função de onda é que indica o
momento e, portanto, a energia da partícula.
23
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão
Nas condições deste problema, a energia é a mesma antes e depois
de atravessar a barreira.
A probabilidade da partícula passar através da parede pode ser
calculada a partir da função de onda  que, por sua vez, vai ser
calculada através da equação de Schrödinger.
Essa probabilidade pode ser descrita em termos de um coeficiente
de transmissão (T ) e de um coeficiente de reflexão (R ):
O coeficiente de transmissão
mede a probabilidade da
partícula penetrar a barreira.
| |2 para a região II
24
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.)
O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula
ser reflectida pela barreira.
Dado que a partícula só pode
ser transmitida ou reflectida
T  R 1
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a
barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por:
T e
2  L
, com

2m U - E 
k1 - k2 

R
2
 k1  k2 
2
e
25
Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de
potencial com uma amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade
do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos)
b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos)
A probabilidade do electrão atravessar a barreira (por efeito de
túnel) é dada por
2m U - E 
2  L
T e
Neste caso:

U - E  5 - 2  3 eV  4,8 .10 -19 J
2  9,11.10 -31 kg  4,8.10 -19 J
9
-1


8,9.10
m
1,05.10 -34 Js
26
Um electrão com uma energia de 2 eV encontra uma barreira de potencial com uma
amplitude de 5 eV. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a
largura desta for igual a:
a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos).
b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos).
a) L = 1,0 nm
b) L = 0,5 nm
T e
- 2 L
T e
- 2 L
e
- 2 8,9.109 1.10-9
e
- 2 8,9.109 0,5.10-9
 1,86.10-8
 1,36.10-4
Diminuindo a largura da barreira para metade, a probabilidade do electrão a atravessar aumenta  10 4 vezes.
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Efeito de túnel quântico: decaimento alfa
Um exemplo (natural) do efeito de túnel quântico é o decaimento
(radioactivo) das partículas alfa.
Este tipo de decaimento radioactivo (decaimento alfa) acontece
quando um núcleo radioactivo (por ex, urânio 238) emite uma
partícula alfa ( constituída por 2 protões + 2 neutrões ).
O potencial nuclear é uma
combinação dum poço de potencial
(causado pela força atractiva nuclear)
e duma barreira de potencial (causada
pela repulsão de Coulomb).
A partícula alfa é “apanhada” no poço
com uma energia de cerca de 5 MeV.
28
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa (cont.)
Do ponto de vista quântico, a partícula pode penetrar na barreira
(A  B) – efeito de túnel.
Classicamente, a partícula alfa não pode “escapar” do núcleo.
É possível determinar o efeito de túnel
se se calcular:
• a função de onda dentro do núcleo;
• a função de onda fora do núcleo;
• a probabilidade de a partícula
atravessar a barreira.
29
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa (cont.)
Dentro do
núcleo
Fora do
núcleo
Para o Urânio 238, o tempo médio para que uma partícula alfa
ligada ao núcleo possa escapar por efeito de túnel é de  4,5.10 9
anos …
30