PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS
CONCRETO B
NOTAS DE AULAS
2007
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
0.1
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Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
CONCRETO B
0.2
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01. Concepção Estrutural
A concepção estrutural ou lançamento de uma estrutura é a escolha de um
sistema estrutural que constitua a parte resistente de um edifício. Implica na
escolha dos elementos que comporão a estrutura, assim como na determinação
dos esforços atuantes sobre essa estrutura.
A solução estrutural utilizada deverá atender aos requisitos das Normas
pertinentes, assim como à estética, desempenho estrutural e durabilidade,
dentre outros fatores. Para as estruturas de concreto, é importante o equilíbrio
estrutural de ordem estática, não se permitindo qualquer tipo de movimentos ou
de deslocamentos por translação e de deslocamentos por rotação.
A base dos projetos, se inicia pelo Projeto Arquitetônico, onde são delineados o
estudo da obra, sua finalidade e sua composição. Na seqüência natural, seguese o Projeto Estrutural que, por sua vez, se inicia exatamente pela analise do
Projeto Arquitetônico, seguido pela concepção estrutural, analise de cargas e
dimensionamento das peças estruturais. Se o Projeto Arquitetônico delineia as
linhas básicas de uma obra, a estrutura dá a conformação àquelas linhas.
Nessa linha natural de análise, é preciso estabelecer-se uma regra coerente de
trabalho, organizado e metodológico. As premissas que envolvem um projeto
estrutural de um Edifício Residencial ou Comercial, devem obedecer ao seguinte
esquema geral:
a) Analise do Projeto Arquitetônico:
•
Dimensões da edificação;
•
Características da edificação;
•
Tipo de estrutura;
•
Características gerais da estrutura proposta.
Os tipos de estruturas mais usuais em obras de Edifícios Residenciais, podem
ser em concreto armado (convencional), alvenarias estruturais auto-portantes ou
mesmo mistas. Em alguns casos, de grandes vãos, pode-se empregar a
protensão. Existem, ainda, estruturas das denominadas lajes cogumelos, ou
seja, estruturas de lajes lisas sem vigas, que se apóiam diretamente sobre
pilares.
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1.1
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De qualquer maneira, a escolha do tipo da estrutura a ser utilizada recai sobre,
principalmente, fatores de ordem econômica e técnica. Nesses itens podemos
considerar a disponibilidade dos materiais, a mão-de-obra disponível, os
equipamentos necessários, etc.
No presente trabalho, estaremos a considerar o sistema estrutural composto
pelo que denominamos estrutura convencional, ou seja, de concreto armado
composta de lajes maciças de concreto armado, moldadas no local e apoiadas
sobre vigas que, por sua vez, apóiam-se sobre pilares em concreto armado.
Outros componentes estruturais devem ser avaliados, tais como escadas,
marquises e reservatórios, assim como a altura do edifício (pé-direito),
composição das alvenarias de vedação, cobertura e demais materiais a serem
empregados na obra (concreto, formas e aço). Mas, tambem, a existencia de
elementos ou peças estruturais aparentes, ou seja, sem revestimento externo
que no nosso caso tal situação não ocorrerá, pois estaremos admitindo todas as
peças estruturais internas e externas devidamente revestidas de argamassa.
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PROJETO DE ARQUITETURA
PAVIMENTO TIPO (4x)
1890
270
DORMITÓRIO
VARANDA
390
210
120
135
270
390
235
A. SERV.
COZINHA
A. SERV.
345
SALA
196
196
VARANDA
210
210
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
270
270
585
120
120
DORMITÓRIO
VARANDA
390
165
390
165
166
BANHO
390
166
BANHO
DORMITÓRIO
270
720
270
585
1890
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1.3
1545
235
345
COZINHA
270
345
SALA
165
165
345
345
300
235
345
235
165
COZINHA
166
70
SALA
COZINHA
165
A. SERV.
196
SALA
390
1545
A. SERV.
BANHO
196
196
70
166
165
DORMITÓRIO
390
390
390
210
VARANDA
390
BANHO
270
DORMITÓRIO
120
DORMITÓRIO
270
165
270
585
270
720
270
585
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b) Pré-Análise estrutural
•
Tipo de utilização;
•
Localização da obra;
•
Descrição geral;
•
Normas a serem utilizadas;
•
Tipos de materiais a serem empregados na obra, etc.
A obra será constituída de apartamentos de 2 dormitórios para de utilização
residencial; terá um pavimento térreo, quatro pavimentos tipo, cobertura e
reservatório superior. A altura de piso a piso será de 2,88 m. e estará localizado
na cidade de Campinas.
Na determinação dos materiais a serem empregados na obra, teremos as
alvenarias compostas de blocos de concreto de dimensões 14x39x19 (largura x
comprimento x altura) sobre as vigas e 9x39x19 (largura x comprimento x altura)
sobre as lajes. Os pesos desses materiais serão avaliados por ocasião da
determinação das cargas atuantes.
Por se tratar de uma estrutura de concreto armado, os itens mais importantes na
sua composição são exatamente o concreto e o aço, que terão considerações à
parte.
Portanto, como resumo dessa pré-analise, devemos considerar:
DESCRIÇÕES GERAIS
•
OBRA: Edifício Residencial
•
LOCALIDADE: Campinas – S.P.
•
ALVENARIAS: Blocos de concreto.
•
LAJES: maciças
•
ESTRUTURA: Convencional
•
REVESTIMENTOS: Todas as peças estruturais serão revestidas por
argamassa apropriada
•
MATERIAIS: Concreto C25 e aços CA50 e CA60
•
NORMAS: NBR 6123 – Forças Devido ao Vento em Edificações, NBR
6120 – Cargas para Calculo de Estruturas, NBR 6118 – Projeto de
Estruturas de Concreto.
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1.4
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02.
CONCRETO B
Materiais: Concreto e Aço
2.1 – Aço:
O aço de ordem estrutural é uma liga metálica composta de ferro e de
minúsculas quantidades de carbono, cuja finalidade é apresentar suas principais
propriedades: resistência e ductibilidade. Tendo em vista a baixa resistência do
Concreto aos esforços de tração, surge a necessidade de associar-se ao
elementos concreto, o elemento aço.
Para que o aço possa ser utilizado em suas aplicações estruturais, é preciso que
receba basicamente, dois tipos de tratamento: tratamento a quente ou
tratamento a frio ou encruamento.
2.1.1 – Tratamento a quente
Nesse processo, o aço sofre sua laminação a temperaturas acima de 720oC,
quando se processam modificações na estrutura interna do material
possibilitando uma maior homogeneização e recristalização do tamanho dos
grãos, inicialmente grosseiro e quebradiço. O aço obtido por esse processo
apresenta melhor trabalhabilidade.
2.2.2 – Tratamento a frio
Nesse processo, há uma deformação dos grãos por meio de tração, compressão
ou torção, realizados a temperatura inferiores a 720oC, quando os grãos
permanecem deformados, resultando um aumento da resistência mecânica
desse tipo de aço e também de sua dureza, porem, diminui sua capacidade de
resistência à corrosão assim como um decréscimo da ductibilidade.
Para efeito de classificação dos aços, a NBR 7480 estabelece uma diferenciação
entre barras e fios: as barras são aquelas cujo diâmetro nominal é maior ou igual
a 5 mm. obtidos por laminação a quente, enquanto que fios são os aços cujo
diâmetro nominal seja menor ou igual a 10 mm. e sejam obtidos através do
processo de tratamento a frio.
TABELA DE AÇOS – NBR 7480
BARRAS ∅ >= 5 – LAMINAÇÃO A QUENTE
CA-25
5
6.3
8
10
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12.5
CA-50
16
20
22
25
32
40
2.1
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BARRAS ∅ <= 10 – LAMINAÇÃO A FRIO
CA-60
2.4
3.4
4.2
4.6
5
5.5
6
6.4
7
8
9.5
10
O comprimento comercial das barras é de 12.00 m, assim como dos fios que
também podem ser encontrados em rolos e telas.
No projeto em pauta, estaremos utilizando como material aço, tanto barras
quanto fios, sendo que as barras serão utilizadas como armaduras em geral,
enquanto os fios serão utilizados como estribos nas vigas ou como armação de
lajes ou mesmo como armaduras de distribuição. No entanto, no caso das
barras, nos restringiremos aos aços tipo CA-50 (Fy = 50 kN/cm2) e naturalmente
os fios serão do tipo CA-60 (Fy = 60 kN/cm2).
2.2 – Concreto:
Como definição básica, pode-se dizer que o concreto é um material proveniente
de uma mistura adequada de aglomerantes, agregados e água. Os
aglomerantes são os cimentos, que em geral se aplicam os tipos Portland;
quanto aos agregados, esses são partículas de origem mineral subdivididos em
agregados miúdos (ex: areias) e agregados graúdos (ex: britas ou pedras). O
material, por fim, resulta da adição de água a fim de que se forme uma pasta.
Como já mencionado, esse material apresenta uma baixa capacidade de
resistência à tração, motivos pelo qual se associa a ele o elemento aço,
passando, assim, a ser denominado Concreto Armado, enquanto em seu estado
natural de pasta, ele é tratado como Concreto Simples, podendo também
apresentar-se na condição de Concreto Protendido.
A sua utilização nas estruturas correntes molda as peças estruturais de lajes,
vigas e pilares nas denominadas estruturas de concreto armado convencionais.
E nesses casos de utilização estrutural, a sua resistência é medida
particularmente, através de um ensaio padronizado de resistência à compressão
do concreto, que deve ser realizados aos 28 dias de idade, à partir de sua
aplicação nos elementos estruturais, processo denominado “concretagem”.
A resistência obtida através desses ensaios é denominada de fc28. Por sua vez,
a resistência característica do concreto fck que é aquela que se utiliza na fase de
projeto, pois não se pode obter a grandeza do concreto através de ensaios do
material, será a denominação de nos utilizaremos a fim de desenvolver o projeto
de um Edifício em Concreto Armado.
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2.2
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Todavia, a fim de se estabelecer os parâmetros indicativos de qual resistência
característica do concreto (fck) se deve adotar em um projeto, inicialmente é
preciso estabelecer uma serie de premissas básicas.
A NBR 6118/2003 – Projeto de Estruturas de Concreto – introduziu conceitos de
qualidade da estrutura, mediante a apresentação de conceitos de durabilidade
das estruturas. Segundo os preceitos da NBR 6118, as estruturas de concreto
devem atender aos requisitos mínimos de qualidade (...) durante sua construção
e ao longo de toda sua vida útil.
A fim de atender a esses conceitos, propõe-se na mesma Norma que os
requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto são classificados em três
grupos distintos:
•
Capacidade resistente: consiste na segurança à ruptura
•
Desempenho em serviço: capacidade da estrutura manter-se em
condições plenas de utilização (sem danos de fissurações, deformações e
vibrações, etc.)
•
Durabilidade: capacidade da estrutura resistir às influencias ambientais
previstas.
Assim sendo, estabelece a NBR 6118 que a solução estrutural adotada em
projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas
técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à
durabilidade da estrutura.
De acordo com analises de alguns especialistas, determinado pelo avanço
tecnológico da industria cimenteira, as partículas de composição dos cimentos
tornaram-se mais finas, por conseqüência mais reativas, proporcionando um
concreto de resistência igual aos tradicionais, porem mais poroso. Esses
mesmos especialistas, estabeleceram que dentre os parâmetros que influenciam
a durabilidade de uma estrutura de concreto, os que mais estiveram presentes
nessas analises são a espessura do cobrimento e a baixa permeabilidade do
concreto.
Para melhor se qualificar as estruturas e a fim de permitir o melhor desempenho
estrutural à partir das premissas de cobrimento e melhor capacidade de
preservar a baixa permeabilidade do concreto, propõe a NBR 6118/2003 que as
estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as
condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas
conforme preconizado em projeto conservem suas segurança, estabilidade e
aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil.
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2.3
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Daí, o que sugeriu-se a respeito do conhecimento do local da obra é de muita
importância na definição dos parâmetros iniciais, em vista de que as condições
ambientais devem ser conhecidas, pois a agressividade do meio ambiente atua
sobre as estruturas, independentemente de outras ações de ordem mecânica,
térmica ou hidráulica.
A fim de classificar o ambiente e possibilitar uma melhor analise, estabelece a
NBR 6118:
AGRESSIVIDADE
RISCO DE DETERIORAÇÃO DA
ESTRUTURA
CLASSE DE AGRESSIVIDADE
AMBIENTAL
AGRESSIVIDADE
I
FRACA
INSIGNIFICANTE
II
MÉDIA
PEQUENO
III
FORTE
GRANDE
IV
MUITO FORTE
ELEVADO
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2.4
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Em seguida, procura identificar os macro e microclimas determinantes das
diferentes classes de agressividade ambiental nas estruturas de concreto.
MICROCLIMA
AMBIENTES INTERNOS
MACROCLIMA
SECO (1)
UR <= 65%
UMIDO OU
CICLOS DE
MOLHAGEM E
SECAGEM (2)
AMBIENTES EXTERNOS E OBRAS
EM GERAL
SECO (3)
UR <= 65%
UMIDO OU
CICLOS DE
MOLHAGEM E
SECAGEM (4)
RURAL
I
I
I
II
URBANA
I
II
I
II
MARINHA
II
III
..........
III
INDUSTRIAL
II
III
II
III
ESPECIAL (5)
II
III ou IV
III
III ou IV
RESPINGOS DE
MARÉ
..........
..........
..........
IV
SUBMERSA >=
3M
..........
..........
..........
I
SOLO
..........
..........
NÃO
AGRESSIVO
UMIDO E
AGRESSIVO
I
II, III ou IV
UR = Umidade Relativa do Ar
1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de aptos residenciais e
conjuntos comerciais, ou ambientes com concreto revestido com argamassa e
pintura.
2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens.
3) Obras em regiões secas, como o nordeste do pais, partes protegidas de chuvas
em ambientes predominantemente secos.
4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia,
branqueamento em industrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes,
industrias químicas.
5) Macroclima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que
permitirá definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos.
Se o ambiente for seco, a classe de agressividade será sempre II, nos ambientes
internos e III nos externos.
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2.5
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Uma vez estipuladas as condições de analise da agressividade ambiental,
prossegue-se, agora, estabelecendo os parâmetros do cobrimentos das
armaduras, ou seja, a distancia entre a face externa da peça estrutural de
concreto e a face externa da armadura. Para efeito da NBR 6118, a simbologia
para denominação dos cobrimentos será:
•
Cmin = Cobrimento mínimo.
•
Cnom = cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de
execução)
VALORES DE COBRIMENTO NOMINAL (mm)
Cnom = Cmin + 10 mm
CLASSE DE
AGRESSIVIDADE
AMBIENTAL
I
II
III
IV
FRACA
MODERADA
FORTE
MUITO
FORTE
LAJES EM CONCRETO
ARMADO
20
25
35
45
VIGAS E PILARES EM
CONCRETO ARMADO
25
35
40
50
Como estabelecem as premissas normativas, a durabilidade do concreto é
altamente dependente das características do concreto e da espessura do
cobrimento. Mas, como já estabelecemos as demais premissas, vamos, agora,
analisar a composição do concreto e sua resistência característica (fck), pois
como já foi dito, em vista da ausência, no momento da elaboração do projeto de
todas as informações a respeito do concreto, é necessário se estabeleçam
valores definidos a fim de atender ao dimensionamento da estrutura pretendida.
VALORES DE A/C E Fck – CONCRETO ARMADO
CLASSE DE
AGRESSIVIDADE
AMBIENTAL
I
II
III
IV
FRACA
MODERADA
FORTE
MUITO
FORTE
RELAÇÃO
ÁGUA/AGLOMERANTE
EM MASSA
<= 0,65
<= 0,60
<= 0,55
<= 0,45
CLASSE DE CONCRETO
C20
C25
C30
C40
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2.6
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2.3 – MATERIAIS UTILIZADOS:
Uma vez estabelecidas as prerrogativas e uma simples abordagem acerca dos
materiais a serem utilizados, é preciso anotar os materiais utilizados.
Aço CA-50: bitolas de 6.3, 8, 10, 12.5, 16, 20 e 25 mm., empregados como
armaduras longitudinais de vigas, pilares, lajes, escadas, etc.
Aço CA-60: bitola de 5 mm, empregada como armadura longitudinal de lajes e
estribos de vigas e pilares.
A escolha da resistência do concreto à compressão recai sobre os índices
apresentados anteriormente, que nos permitem estabelecer a classe de
agressividade I, em vista de tratar-se de uma obra de apartamentos residenciais
com ambiente interno seco e zona urbana, assim como as peças estruturais
serão adequadamente revestidas, mesmo as sacadas terá revestimento
cerâmico com drenagem suficiente a fim de não permitir acumulo de água.
Dessa maneira, seguindo-se o já estudado, a resistência mínima do concreto
(fck) pode ser estipulada como sendo da classe C20 (concreto com fck = 20 Mpa
aos 28 dias de idade), e os cobrimentos das armaduras serão de 2 cm. para as
lajes e de 2,5 cm para as vigas e os pilares.
Para o reservatório de água superior, tendo-se em vista a presença constante da
umidade, é conveniente a adoção da classe de agressividade II, o que nos
conduz a adoção de um concreto de classe C25 e com cobrimentos de 2,5 cm
para as lajes e de 3,0 cm para as vigas ou paredes.
Como características gerais do concreto é importante citarmos algumas que nos
serão necessárias:
Peso específico do concreto não armado: 24 kN/m3 ou 240 MPa
Peso específico do concreto armado: 25 kN/m3 ou 250 MPa
Modulo de Elasticidade Inicial: Eci = 5.600 fck
½
(Mpa)
Modulo de Elasticidade Secante: Ecs = 0,85 Eci (Mpa)
Coeficiente de Poisson:
longitudinal do concreto)
ν=
0,2 (relação entre a deformação transversal e a
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2.7
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03. Escolha da Estrutura
U
Uma vez determinados os parâmetros básicos da concepção estrutural, através
da analise do Projeto Arquitetônico, da Pré-Analise estrutural, definição dos
materiais que devem ser empregados na estrutura e mesmo tendo definido o
tipo de estrutura a ser adotado – no caso o sistema estrutural adotada foi o de
estrutura de concreto armado convencional, moldada no local –, é preciso
prosseguir a concepção estrutural, definindo-se os elementos ou peças
estruturais que comporão nosso sistema estrutural.
Um sistema estrutural tem a finalidade de suportar as ações das cargas que
atuam sobre seu conjunto, permitindo uma estabilidade da construção a essas
ações, de maneira racional a um custo adequado.
As ações que atuam sobre um edifício são basicamente de duas ordens: cargas
verticais e cargas horizontais. As primeiras são originadas pelo peso próprio da
estrutura, dos componentes de arquitetura (alvenarias, revestimentos, etc.),
enquanto que as horizontais são provenientes, em especial, das cargas oriundas
dos efeitos de vento atuante nas estruturas.
As cargas verticais, que serão estudadas em capitulo próprio, a fim de serem
suportadas pelo sistema ou conjunto estrutural, possuem um caminhamento de
ações bastante lógico. Esse caminho inicia-se pelas lajes, que no caso das
cargas verticais sustentam além do seu peso próprio, outras cargas de mesma
origem – verticais –, tais como as variáveis de uso comum (alvenarias,
revestimentos), assim como as acidentais e trabalham as lajes, em regime de
flexão e de cisalhamento.
Uma vez acionada a laje como elemento ou peça estrutural, essas transmitem
os resultados dessas ações através de suas reações de apoio aos elementos
mais próximos, que em nosso caso de uma estrutura convencional de concreto
armado são as vigas, que alem de suportarem as reações das lajes, também
suportam as demais cargas verticais atuantes (alvenarias, revestimentos), assim
como, em algumas condições, cargas provenientes das reações de apoio de
outras vigas, formando no todo um conjunto estrutural. As vigas, assim como as
lajes, trabalham basicamente sob o regime das flexões, cisalhamento e, em
algumas situações, sob torções.
As vigas, trabalhando sob condições adequadas como peças estruturais
resistentes aos esforços que lhes cabe suportar, transmitem as cargas que
suportam aos próximos elementos estruturais que são os pilares ou paredes
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3.1
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estruturais que, por sua vez, transmitem as cargas recebidas de pavimento a
pavimento da edificação, desde os andares últimos até os iniciais, até que por
fim transferem suas cargas suportadas aos elementos das fundações.
As cargas horizontais, em especial as provenientes dos efeitos de vento, têm
caminhamento similar quando são absorvidas pelas paredes do edifício e devem
ser resistidas pelos elementos estruturais verticais de grande rigidez, tais como
pórticos, paredes estruturais ou mesmo os denominados núcleos estruturais, em
geral existentes nos edifícios através das caixas de escada ou de elevadores. As
lajes, no caso servem como diafragma horizontal, cuja rigidez permite com que
haja a interligação necessária entre os demais elementos estruturais de maior
rigidez – conjuntos vigas / pilares ou paredes estruturais.
03.01 – Posicionamento dos Pilares:
Ao se iniciar o desenvolvimento do projeto estrutural de um edifício, uma vez
conhecidos os seus componentes estruturais, é recomendável prever-se
inicialmente o posicionamento dos pilares.
Pode-se iniciar esse posicionamento com os pilares das áreas das caixas de
escada e elevadores, pois esses pilares além de receber as reações das vigas
dos pavimentos normais (habitacionais em nosso caso), vão também receber as
cargas provenientes das casas de máquinas, quando houver elevadores, ou
mesmo dos reservatórios elevados, comuns e necessários em todos os edifícios
residenciais e comerciais.
Uma vez posicionados os pilares internos dos núcleos das escadas, pois em
nosso caso não existe a necessidade de elevadores, visto se tratar de um
edifício de quatro pavimentos, aos quais se permite a construção sem
elevadores, podemos seguir a tarefa do posicionamento dos pilares agora nos
cantos ou de extremidade e, a seguir, os pilares internos.
Cuidado especial deve haver com o alinhamento desses pilares projetados, uma
vez que esse alinhamento deverá ser o responsável pela formação dos
denominados pórticos que contribuem de maneira preponderante à estabilidade
global do edifício. A fim de que não se obtenham cargas de alta magnitude
agindo sobre esses pilares que sobrecarregarão as fundações, é preciso
estabelecer distancias não muito grandes entre os pilares do projeto, buscando
atender-se as condições estruturais sem prejuízo das propostas arquitetônicas,
tais como ambientes de salas, garagens, etc.
As recomendações da norma no tocante aos pilares, nos leva a buscar, também
à medida do possível, termos pilares com sua menor dimensão não inferior a 19
cm, a fim de se evitar excessiva flambagem. Assim como é importante o
alinhamento dos pilares, não menos importante é a direção em que se colocam
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3.2
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os pilares, ou seja, o sentido em que se deve dispor as dimensões dos pilares,
também a fim de proporcionar uma mais adequada rigidez ao conjunto
estrutural.
Outro aspecto importante na escolha da estrutura no que se refere ao
posicionamento dos pilares, é procurar se estabelecer uma única prumada entre
o nascedouro destes nas fundações até o ultimo pavimento estruturado da
cobertura ou do ático(casas de máquinas e reservatórios elevados), a fim de que
não se alterando essa prumada, não se façam necessárias as denominadas
vigas de transição, ou seja, vigas que recebem as cargas de pilares dos
pavimentos superiores e as transfere para pilares inferiores. As vigas de
transição normalmente causam custos bastante elevados à obra, uma vez que
suas dimensões e armaduras devem ser suficientes para absorver os esforços
atuantes.
03.02 – Posicionamento das Vigas:
Determinado o posicionamento dos pilares é preciso analisar o posicionamento
das vigas que comporão a estrutura a ser projetada. De antemão, sabemos que
as vigas deverão ser elementos de ligação entre os pilares já posicionados e,
assim sendo, deverão juntamente com os pilares, capacitadas a proporcionar o
enrijecimento dos chamados pórticos de rigidez do edifício. Alem dessas vigas
principais, outras de ordem secundária poderão ser exigíveis a fim de se dividir
painéis muito grandes de lajes, ou mesmo para suportar outras alvenarias do
projeto arquitetônico que não se encontrem ao longo do alinhamento dos pilares
e das vigas que denominamos principais. Trata-se apenas de denominação
secundaria ou principal, uma vez que todas as vigas são importantes.
Da mesma maneira que se recomendam distanciamentos não muito grandes em
relação aos pilares da obra, o mesmo cabe no caso das vigas, uma vez que
vãos muito grandes e desnecessários podem provocar indesejáveis acúmulos de
cargas, ou mesmo painéis de lajes muito grandes que sejam não econômicos.
03.03 – Posicionamento das Lajes:
Na realidade, uma vez delineados os pilares e as vigas do edifício em analise, as
lajes tornam-se conseqüência desse posicionamento, atentando-se apenas,
mesmo depois de lançados os elementos estruturais anteriores, se os vãos
dessas lajes não se tornaram anti econômicos, sendo, muitas vezes, necessária
a introdução de outras vigas, como já observamos, a fim de diminuir as
dimensões das lajes, desde que não causem empecilhos nos demais projetos,
tanto de arquitetura quanto de instalações hidráulicas e elétricas, uma vez que
esses dois últimos – hidráulica e elétrica – também necessitam de espaços
adequados a fim de transpor as estruturas dos diversos pavimentos do edifício.
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3.3
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03.04 – Formas do Projeto:
Estabelecidas as peças estruturais que comporão os sistema (lajes, vigas e
pilares), já podem ser elaborados os primeiros desenhos relativos às formas da
obras, desde os pavimentos tipo que serão repetitivos até o pavimentos de
cobertura e o reservatório superior, em nosso caso, visto não haver elevadores e
sua conseqüente casa de máquinas.
As formas do projeto ou da estrutura, referem-se àquilo que se pretende
transmitir do projeto à obra, a fim de que se construam os elementos estruturais
da maneira tal qual foram planejados durante o desenvolvimento do projeto
estrutural. As formas do projeto são as dimensões das caixas de madeira, e as
dimensões das fôrmas propriamente ditas devem constar de maneira apropriada
nos diversos elementos estruturais.
As lajes podem receber nomes, tais como L1, L2, etc., sempre numeradas no
projeto de fôrmas de cima para baixo e da esquerda para a direita, o que deverá
ser também utilizado para a numeração dos demais componentes estruturais.
No caso das lajes, recomenda-se colocar logo abaixo do título, a espessura da
laje. Por exemplo, se a laje tiver 10cm de espessura, deve-se escrever H=10,
onde a letra H significa a altura da laje e o numero 10 significa a espessura,
dispensando, na maioria das vezes a menção da unidade, uma vez que para as
peças estruturais sempre se estabelecem as medidas em centímetros. Portanto,
ao designar-se H=10, saber-se-á que se trata de uma laje maciça de dez
centímetros de espessura. Outra recomendação que se faz no caso da
numeração das lajes é colocar-se a numeração crescente em relação aos
diversos pavimentos, seguindo-se a mesma numeração crescente para as vigas.
As vigas, por sua vez, devem receber os nomes de V1, V2, etc. tal qual no caso
das lajes. Como recomendado no caso das lajes, as vigas poderão receber
numeração crescente a partir do primeiro lance de vigas, em geral nas partes
inferiores dos edifícios, tais como sub-solos ou mesmo pavimentos térreos como
no caso do edifício que estamos a projetar. Podemos passar a denominar as
vigas com numerações V.101, V.102, assim sucessivamente, também
numeradas de cima para baixo e da esquerda para a direita, para o pavimento
térreo e V.201, V.202, etc. para as vigas do pavimento tipo ou primeiro
pavimento do edifício e as demais em numeração crescente e sucessiva: V.300,
V.400, etc.
As denominações das vigas devem se fazer acompanhadas pelas dimensões da
peça estrutural e de sua numeração sucessiva. Recomendamos colocar-se no
inicio da viga, ou seja, em seu apoio inicial, seja ele um pilar ou mesmo outra
viga, a denominação V. logo em seguida estabelecendo-se suas dimensões, por
exemplo 14/50, referindo-se o primeiro numero à largura da seção da viga e o
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3.4
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CONCRETO B
segundo à altura da mesma seção; enquanto que ao final da viga, ou seja, junto
ao seu ultimo elemento de apoio, seja este um pilar ou mesmo outra viga, sua
numeração seqüencial: 101, 102,..., 201, 202, etc. E a fim de facilitar a
compreensão do projeto, uma vez numeradas as lajes, essas devem também
seguir a seqüência de numeração das lajes, assim, quando se definir a viga
V.200 ou V.300 para um determinado pavimento, também se deve numerar as
lajes L.200 ou L.300 e assim sucessivamente.
No caso das vigas as dimensões mencionadas de largura e de altura deverão
seguir as premissas estabelecidas tais como espessura das alvenarias através
dos elementos que serão utilizados nessas alvenarias (blocos de concreto,
blocos cerâmicos, tijolos de barro, etc.), ou as necessidades estruturais que
devem responder pelas cargas atuantes.
Quanto aos pilares, já foram pré-determinadas em 19 cm de largura, restando
ainda estabelecer-se a outra dimensão: o comprimento, mas que como os
demais elementos estruturais deve seguir uma determinada numeração,
seguindo-se da mesma maneira que os anteriores e iniciando-se de cima para
baixo e da esquerda para a direita, recebendo, cada um, a numeração
seqüencial P.1, P.2, etc., não havendo necessidade nesses casos em se colocar
a numeração de pavimentos proposta para as lajes e para as vigas, 100, 200,
etc., já que os pilares são elementos que devem estar presentes em todos os
níveis da obra e não em um só específico, a não ser em casos das citadas
transições ou projetos de residências, que não é nosso caso de analise no
momento.
MODELO TÍPICO DE POSIÇÃO E NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS
ESTRUTURAIS
U
P.1
P.2
P.3
19/30
19/30
19/30
201
206
205
14/40
204
V.
L.202
H=8
V.
14/40
V.
14/40
L.203
H=8
V.
V.
14/40
H=10
202
V. 14/40
L.201
203
14/40
P.4
P.5
P.6
19/30
19/30
19/30
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3.5
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CONCRETO B
No prosseguimento do desenvolvimento do projeto de fôrmas, deve-se efetuar a
cotagem do projeto, ou seja, a colocação das cotas entre os diversos elementos
estruturais, e essas cotas devem, preferencialmente, ser colocadas fora do
contorno do desenho, a fim de tornar a leitura do projeto mais fácil e também,
deverão ser parciais e totais e devem estar expressas em centímetros. Quanto
ao tipo de cotagem a ser efetuado, esses podem ser de duas maneiras: pelas
faces das peças estruturais ou pelos eixos dessas mesmas peças.
Recomendamos se faça a cotagem pelos eixos.
MODELO TÍPICO DE POSIÇÃO E NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS
ESTRUTURAIS E COTAGEM
U
570
285
285
P.1
P.2
P.3
19/30
19/30
19/30
201
225
206
205
14/40
204
V.
L.202
14/40
L.203
H=8
V.
14/40
V.
V.
202
14/40
180
V.
H=10
V. 14/40
405
L.201
405
H=8
203
14/40
P.4
P.5
P.6
19/30
19/30
19/30
285
285
570
Restaria, ainda, nesse ante-projeto de fôrmas, as cotas entre os eixos dos
pilares e das vigas, mas por se tratar de um ante-projeto, essas medidas ainda
não são fundamentais. Para efeito de ante-projeto, pode-se proceder da mesma
maneira para todos os demais pavimentos e cujo procedimento já nos permite
iniciarmos o pré-dimensionamento das peças estruturais, pois as medidas
colocadas nos croquis, são apenas informativas.
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3.6
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CONCRETO B
03.05 – Pré-Dimensionamento das Peças Estruturais:
03.05.01 – Pré-Dimensionamento dos Pilares:
Para que se possa desenvolver o pré-dimensionamento dos pilares, podemos
lançar mão de um processo bastante simples e de uso comum: processo das
áreas de influência. Nesse processo, como o próprio nome especifica, divide-se
a área do pavimento em estudo nas chamadas áreas de influência que se
referem a cada um dos pilares e, em seguida, as cargas atuantes nesses pilares
e nesse pavimento podem ser devidamente estimadas.
MODELO SIMPLIFICADO DE ÁREAS DE INFLUÊNCIA
U
U
L1
0,5 L1
0,5 L1
0,5 L2
0,5 L2
P.2
P.3
A1
A2
A3
A4
A5
A6
0,5 L3
L3
0,5 L3
P.1
L2
P.4
P.5
P.6
Onde:
A1 = área de influencia do pilar P.1
A2 = área de influencia do pilar P.2
A3 = área de influencia do pilar P.3
A4 = área de influencia do pilar P.4
A5 = área de influencia do pilar P.5
A6 = área de influencia do pilar P.6
Para efeito de avaliação das cargas concentradas por meio do processo de
áreas de influência, essas cargas podem ser obtidas multiplicando-se as áreas
obtidas (A1, A2, etc.) por valores que correspondam ao peso estimativo de todos
os componentes das cargas verticais atuantes em um edifício (permanentes e
acidentais), cujo valor estimado, para o tipo de edifício objeto de nosso projeto, é
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3.7
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CONCRETO B
de aproximadamente 10 kN/m2 , sendo adotado para efeito de cálculo o valor de
20 kN/m2 e além desse valor, deve-se, ainda, multiplicar a mesma área por um
fator de correção ou de majoração da carga (α) que considera as eventuais
excentricidades das cargas. Os valores de majoração de cargas, podem ser
definidos de acordo com o seguinte padrão:
P
P
P
P
•
α = 1,3 para pilares internos
•
α = 1,5 para pilares de extremidade
•
α = 1,8 para pilares de canto
Para a seção de concreto dos pilares, essa pode ser determinada através de
uma simples equação.
20 × α × A × (n + 0,7 )
fck + 0,01× (69,20 − fck )
Ac =
Onde:
Ac = b x h ⇒ área da seção de concreto (cm2)
P
P
α ⇒ coeficiente de majoração
A ⇒ área de influência (m2)
P
P
n ⇒ numero de pavimentos tipo
(n + 0,7) ⇒ numero de pavimentos tipo + carga da cobertura
fck ⇒ resistência característica do concreto (kN/cm2)
B
B
P
151
210
210
P.1
283
P
151
P.2
P.3
A1
A2
A3
A4
A5
A6
P.4
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P.5
P.6
3.8
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CONCRETO B
No exemplo acima, teremos:
Pré-dimensionamento do P.2
α ⇒ 1,5 (pilar de extremidade)
A ⇒ 2,83 x 2,1 = 5,94 m2
P
P
n ⇒ numero de pavimentos tipo = 4
(n + 0,7) ⇒ numero de pavimentos tipo + carga da cobertura
fck ⇒ 2 kN/cm2
B
B
Ac =
P
P
20 × α × A × (n + 0,7 )
20 × 1,5 × 5,94 × (4 + 0,7 )
=
= 313 cm2
(
)
(
)
fck + 0,01× 69,20 − fck
2 + 0,01× 69,20 − 2
E como ja admitimos uma das dimensões dos pilares, no caso a largura de
19cm, podemos concluir que se A = b x h = 313 cm2, então, h > 313 / 19 = 16,50
cm. Admitimos, portanto, as dimensões dos pilares de 19x30 ou 19/30.
P
P
03.05.02 – Pré-Dimensionamento das Vigas:
Para o pré-dimensionamento das vigas, uma estimativa bastante conservadora,
estipula que a altura (h) da viga deve ter o seu valor em torno de 10 a 12% do
valor do tramo ou do vão teórico a ser vencido pela viga. De uma forma geral, a
fim de se evitar alguns transtornos de ordem construtiva, procura-se manter
todas as vigas com as mesmas dimensões de altura ou, pelo menos, o maior
numero delas. Assim sendo, no croquis em análise, vamos encontrar as vigas
V.201 a V.206, como tendo o maior vão teórico, algo em torno de 4,05 m, o que
nos levaria a uma viga cuja altura deve estar em torno de 40 cm., e como já
admitimos em função das alvenarias uma largura padrão de 14 cm., as vigas
devem ter uma pré-dimensão em torno de 14/40.
03.05.03 – Pré-Dimensionamento das Lajes:
No caso das lajes, a espessura deste elemento estrutural pode ser estimada
através da expressão:
φ
H = d+ +c
2
onde d é a altura útil da laje; φ é o diâmetro das barras de armação da laje e c é
o cobrimento nominal da laje – no caso já definido de 2 cm.
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3.9
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CONCRETO B
Para o calculo da altura útil da laje (d), podemos utilizar os seguintes
parâmetros:
dest =
(2,5 − 0,1× n) × l
100
onde l deve ser menor ou igual a lx ou 0,7 ly; n é o numero de bordas
engastadas; lx é o menor vão e ly é o maior vão.
Outras normativas devem ser seguidas com relação à determinação da
espessura das lajes, pois a NBR 6123, especifica algumas condições mínimas
para espessuras de lajes de concreto armado de edificios:
•
5 cm para lajes de cobertura não em balanço
•
7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço
•
10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menos ou igual a 30
kN
•
12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN
Para as lajes do croquis estrutural, teremos:
dest =
(2,5 − 0,1× n) × l = (2,5 − 0,1× 0) × 2,85 = 7,12 cm.
100
100
Admitindo-se bitola mínima de 6,3 mm na armação das lajes, teremos:
H = d+
φ
2
+ c = 7,12 +
0,63
+ 2 = 9,52 cm.
2
de onde admitiremos as lajes de H = 10cm.
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3.10
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CONCRETO B
4. Cargas Atuantes nas Estruturas
4.1. – Segurança das Estruturas:
A segurança de uma estrutura está associada à confiança qualitativa que se
possa dar a essa estrutura, ou seja, as estruturas devem ser projetadas de
maneira tal a proporcionar qualidade de segurança satisfatória. Essa qualidade
satisfatória está atrelada à baixa probabilidade de apresentar problemas
associados às patologias e às rupturas do sistema estrutural.
Nas “Ações e Segurança nas Estruturas”, a Norma NBR 8681, estabelece as
condições básicas para verificação das estruturas em duas situações: Estado
Limite de Serviço e Estado Limite Ultimo. O primeiro deles, estabelece as
condições mínimas de serviço e durabilidade da estrutura, ou seja, a estrutura
atenderá minimamente às condições das ações atuantes que podem ser
comprometidas, por exemplo, por danos estruturais causados por deformações
excessivas que afetem a utilização da estrutura ou mesmo vibrações excessivas
que causem desconforto de qualquer espécie. O segundo caso estabelece a
máxima capacidade portante de uma estrutura, cuja ocorrência pode determinar
a ruína total ou parcial dessa estrutura. Há, nesses casos, um esgotamento da
capacidade portante da estrutura, caracterizado, por exemplo, pela ruptura do
concreto, fadiga, instabilidade provocadas por flambagem, escorregamento de
barras, etc.
Os elementos que atuam sobre uma estrutura e que podem provocar esforços
ou deformações nestas, são as denominadas Cargas Atuantes nas Estruturas.
Uma vez atuantes essas cargas, a fim de se estabelecer os valores de calculo
dessas cargas ou ações, das solicitações e das resistências dos materiais,
estabelecem-se os denominados Coeficientes de Ponderação da Segurança,
pois são obtidos através da majoração das ações e das solicitações e da
minoração da resistência dos materiais empregados.
São, em principio, estabelecidos alguns métodos de avaliação a fim de verificarse a segurança das estruturas que poderíamos citar: método da tensão
admissível, método da ruptura e método probabilístico.
O método das tensões admissíveis, remonta às propostas da Resistência dos
Materiais, quando se apresenta a imposição de que a maior tensão de trabalho
não ultrapasse a tensão admissível do material, que é definida como sendo a
resistência do material dividida por um numero cujo significado seja o de corrigir
essa resistência, ou seja, por um coeficiente de ponderação da segurança como
é conhecido atualmente. Anteriormente dizia-se simplesmente coeficiente de
segurança.
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4.1
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
O método da ruptura consiste na imposição de um limite para a carga de serviço
de maneira tal que a aplicação dessa carga multiplicada pelo coeficiente de
majoração externo acarreta na ruína da estrutura.
Com o aprimoramento das técnicas e com o maior conhecimento técnico
experimental das estruturas, a aplicação desses coeficientes de majoração
também sofreram novas metodologias de avaliação. Surge, assim, os
denominados métodos probabilísticos, quando se estabelece que a segurança
das estruturas pode ser afetada por uma serie de fatores de diversas
procedências, tais como as variáveis cargas ou ações atuantes sobre essas
estruturas, das resistências e das deformações, das imprecisões de execução,
etc.
Ao contrario dos critérios determinísticos das tensões admissíveis ou da ruptura,
o método probabilístico estabelece a troca do coeficiente de segurança pelo
critério ou pelo conceito de probabilidade de ocorrência das ações. Entretanto,
pela difícil aplicação desse método na verificação da segurança, pela sua
complexidade, termina-se por adotar nas estruturas correntes de concreto
armado o método semi-probabilístico.
Nesses casos, os valores de cálculo Fk das ações, devem ser majoradas pelo
coeficiente de ponderação
γf,
representado por:
γf
=
γf1
.
γf2
.
γf3
onde
γf1
considera a variabilidade das ações; γf2 considera a simultaneidade das ações e
γf3
considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente
considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das
solicitações. No caso de coeficientes de minoração das resistências dos
materiais empregados, os valores de cálculo fk devem ser minorados e esses
coeficientes de minoração são indicados por
γm
e são representados por
γc
no
caso do concreto e γs no caso do aço.
Assim sendo, Fd = valor de calculo da ação Fk = Fk . γf e fd = valor de calculo das
resistências dos materiais empregados (concreto e aço) fk = fk / γm.
Para o calculo nos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS), os
coeficientes de ponderação a serem aplicados são:
ELU
ELS
AÇÕES (γf)
1,4
1,0
CONCRETO (γc)
1,4
1,0
AÇO (γs)
1,15
1,0
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4.2
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Uma vez estabelecidos os conceitos a respeito das condições de segurança que
estabelecem os critérios mínimos de ponderação das ações atuantes sobre uma
estrutura de concreto armado, é preciso se conhecer essas ações.
As ações a considerar recebem uma classificação adequada em: permanentes,
variáveis e excepcionais.
4.2 – Ações Permanentes:
São aquelas que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a
vida da construção. Essas ações se subdividem em permanentes diretas,
representadas pelo peso próprio da estrutura, decorrente dos materiais (aço e
concreto) empregados; pelo peso dos elementos construtivos fixos e de
instalações permanentes, representados pelos revestimentos, etc,; pelos
empuxos permanentes, quando esses forem admitidos sem qualquer
perspectiva de remoção e em permanentes indiretas, representadas pelas
deformações decorrentes de retração e fluência do concreto, deslocamentos de
apoios, imperfeições geométricas (globais e locais), etc.
A NBR 6120 – Cargas para o Calculo de Estruturas de Edificações – estabelece
que na falta de determinação experimental, devem ser utilizados, a fim de
adoção de pesos específicos dos diversos materiais componentes de obras, a
seguinte tabela:
MATERIAIS
PESO ESPECÍFICO
APARENTE (Kn/m3)
ROCHAS
ARENITO
BASALTO
GNEISS
GRANITO
MÁRMORE E CALCÁREO
BLOCOS DE ARGAMASSA
CIMENTO AMIANTO
BLOCOS
ARTIFICIAIS
LAJOTAS CERÂMICAS
TIJOLOS FURADOS
TIJOLOS MACIÇOS
TIJOLOS SÍLICO-CALCÁREOS
REVESTIMENTOS
E CONCRETOS
ARGAMASSA DE CAL, CIMENTO E AREIA
ARGAMASSA DE CIMENTO E AREIA
ARGAMASSA DE GESSO
CONCRETO SIMPLES
CONCRETO ARMADO
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26
30
30
28
28
22
20
18
13
18
20
19
21
12,5
24
25
4.3
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PINHO, CEDRO
LOURO, IMBUIA, PAU ÓLEO
MADEIRAS
GUAJUVIRÁ, GUATAMBU, GRÁPIA
ANGICO, CABRIUVA, IPÊ RÓSEO
AÇO
ALUMÍNIO E LIGAS
BRONZE
CHUMBO
METAIS
COBRE
FERRO FUNDIDO
ESTANHO
LATÃO
ZINCO
ALCATRÃO
ASFALTO
MATERIAIS DIVERSOS
BORRACHA
PAPEL
PLASTICO EM FOLHAS
VIDRO PLANO
5
6,5
8
10
78,5
28
85
114
89
72,5
74
85
72
12
13
17
15
21
26
4.2.1 – Ações Permanentes comuns em Estruturas de Edifícios:
a) Peso próprio dos elementos de Concreto Armado:
•
Lajes – peso próprio = H x
concreto
•
Vigas e Pilares = bw x h x.
concreto
γc
γc
= altura da laje x peso especifico do
= largura x altura x peso especifico do
b) Revestimento em lajes:
•
Lajes tipo: alto padrão de acabamento ⇒ 1,5 kN/m2
•
Lajes tipo: médio e baixo padrão de acabamento ⇒ 0,80 kN/m2
•
Lajes de Cobertura com telhados ⇒ 0,50 kN/m2
•
Lajes de Cobertura impermeabilizadas ⇒ 1,00 kN/m2
•
Lajes de Garagens ou Pav. Térreo impermeabilizadas ⇒ 1,50 a 2,50
kN/m2
•
Lajes de Sub-solos cobertas ⇒ 1,50 kN/m2
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4.4
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
c) Peso de paredes:
MATERIAL
ESPESURA
NOMINAL
ESPESURA
ACABADA
PESO POR m2
(kN/m2)
ALVENARIA DE TIJOLOS
MACIÇOS
5
12
22
5
12
22
9
14
19
8
15
25
8
15
25
13
18
23
1,60
2,40
4,00
0,80
1,80
3,00
1,70
2,30
3,00
ALVENARIA DE BLOCOS
CERÂMICOS
ALVENARIA DE BLOCOS DE
CONCRETO
(*) Para se obter o peso da parede em kN/m2 basta multiplicar os valores da
tabela pela altura das paredes.
d) Peso para enchimentos de rebaixos:
MATERIAL
BLOCOS SÍLICO CALCÁREO
PESO ESPECÍFICO
(kN/m3)
6
ARGILA EXPANDIDA
8,6
CACOS DE TIJOLOS C/ ARGAMASSA
11
ARGAMASSA PURA
15
ENTULHO
15
TERRA
16 a 20
e) Peso de telhados (somente telhas):
TIPO DE TELHA
PESO
(kN/m2)
TELHAS DE BARRO
0,45
TELHAS ONDULADA (F. CIMENTO)
8mm
6mm
0,20
0,25
TELHA DE ALUMÍNIO
0,05
TELHA DE PLÁSTICO
0,05
CANALETE 43
0,30
CANALETE 90
0,30
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4.5
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
f) Peso de coberturas (telhas + estrutura suporte):
TIPO DE COBERTURA
PESO
(kN/m2)
TELHAS DE BARRO E TESOURAS DE
MADEIRA
0,70
TELHAS DE FIBRO-CIMENTO
ESTRUTURA DE MADEIRA
E
0,40
COM
TELHAS
METÁLICAS
ESTRUTURA METÁLICA
E
0,30
4.3 – Ações Variáveis:
4.3.1 – Ações Variáveis Diretas:
São aquelas constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da
construção, pela ação do vento e da chuva.
I) Cargas Acidentais previstas para o uso da Construção
As cargas acidentais previstas para o uso da construção, atuam nas condições
mais desfavoráveis e correspondem a: cargas verticais de uso na construção
(pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, etc.); cargas moveis,
considerando o impacto vertical; impacto lateral; força longitudinal de frenação
ou aceleração; força centrifuga.
A NBR 6120, estabelece para efeito dessas cargas acidentais previstas, valores
mínimos para sua utilização em projetos:
LOCAL
4
ARQUIBANCADAS
BALCÕES
BANCO
VER ESPECIFICAÇÕES PRÓPRIAS
ESCRITÓRIOS E BANHEIROS
SALAS DE DIRETORIA E DE GERÊNCIA
BIBLIOTECAS
CARGA (kN/m2)
SALA DE LEITURA
SALA PARA DEPÓSITO PARA LIVROS
2
1,5
2,5
4
SALAS COM ESTANTES DE LIVROS –
DETERMINAÇÃO PARA CADA CAS0 COM O
MINIMO DE:
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6
4.6
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CASAS DE MÁQUINAS
CONCRETO B
INCLUINDO O PESO DAS MÁQUINAS – A SER
DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO DE:
7,5
CINEMAS
BANHEIRO
3
4
2
SALA DE REFEIÇÕES E DE ASSEMBLÉIA COM
3
PLATÉIA COM ASSENTOS FIXOS
ESTUDIO E PLATÉIA COM ASSENTOS MÓVEIS
CLUBES
ASSENTOS FIXOS
SALA DE ASSEMBLÉIA COM ASSENTOS MÓVEIS
SALÕES DE DANÇAS E DE ESPORTES
SALA DE BILHAR E BANHEIRO
CORREDORES
COM ACESSO AO PÚBLICO
SEM ACESSO AO PÚBLICO
COZINHAS NÃO
RESIDENCIAIS
DEPÓSITOS
EDIFÍCIOS
RESIDENCIAIS
ESCADAS
DE:
FORROS
GALERIA DE ARTE
DORMITÓRIOS, SALA, COPA, COZINHA E BHO.
DESPENSA, ÁREA DE SERVIÇO E LAVANDERIA
COM ACESSO AO PÚBLICO
3
2,5
OUTRAS SALAS
SALAS DE USO GERAL E BANHEIROS
2
SEM ACESSO A PESSOAS
0,5
A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO
3
A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO
DE:
GARAGENS E
ESTACIONAMENTOS
1,5
2
3
3
2
ANFI-TEATRO COM ASSENTOS FIXOS
DE:
GALERIAS DE LOJAS
3
VER ESPECIFICAÇÕES PRÓPRIAS
CORREDORES E SALA DE AULA
ESCRITÓRIOS
3
2
A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO
SEM ACESSO AO PÚBLICO
ESCOLAS
4
5
2
3
PARA VEÍCULOS DE PASSAGEIROS OU
SEMELHANTES COM CARGA MÁXIMA DE 25 kN POR
3
VEÍCULO – VER OBSERVAÇÕES DE ϕ
GINÁSIOS DE
ESPORTES
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
5
4.7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
HOSPITAIS
CONCRETO B
DORMITÓRIOS, ENFERMARIAS, SALA DE RECUPERAÇÃO,
2
SALA DE CIRURGIA, RAIO-X E BANHEIRO
CORREDOR
3
LABORATÓRIOS
INCLUINDO EQUIPAMENTOS A SER DETERMINADO EM
3
CADA CAS0 - MÍNIMO
LAVANDERIAS
INCLUINDO EQUIPAMENTOS
4
LOJAS
3
RESTAURANTES
TEATROS
3
PALCO
5
DEMAIS DEPENDÊNCIAS: VER CINEMAS
TERRAÇOS
SEM ACESSO AO PÚBLICO
COM ACESSO AO PÚBLICO
INACESSÍVEL A PESSOAS
2
3
0,5
DESTINADOS A HELIPONTOS ELEVADOR: NORMAS
ESPECÍFICAS DA AERONÁUTICA
VESTÍBULO
SEM ACESSO AO PÚBLICO
COM ACESSO AO PÚBLICO
1,5
3
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
•
Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os
devidos a arquivos, depósitos de materiais, maquinas leves, caixas-fortes,
etc. não é necessária uma verificação mais exata desses carregamentos,
desde que se considere um acréscimo no valor de 3 kN/m2 no valor da
carga acidental.
•
Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas,
uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga
vertical mínima de 2 kN/m.
•
O valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem
consideradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos,
deve ser determinado do seguinte modo: sendo l o vão de uma viga ou o
vão menor de uma laje e sendo l0 = 3,00m para o caso de lajes e de
5,00m para o caso de vigas ⇒ ϕ = 1,00 quando l >= l0 e ϕ = l0 / l <= 1,43
quando l<= l0.
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.8
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
II) Ação do Vento
Os esforços provenientes da ação do vento devem ser analisados através de
Norma Brasileira especifica (NBR 6123).
Há a possibilidade de se prescindir do calculo da ação do vento sob
determinadas circunstâncias, ou seja, para obras que atendam algumas
características técnicas como:
A altura máxima de cada andar não exceder 4,00 metros;
Os pilares forem contraventados em ambas as extremidades, em direções
perpendiculares entre si;
Na direção considerada, a altura livre do pilar não exceder o dobro da largura da
construção.
Essas regras que dispensam a consideração do esforço de vento é de autoria do
IBRACON – Instituto Brasileiro do Concreto, especifico para estruturas de Nível
I, cujas características estão bem delineadas no livreto “Prática recomendada
IBRACON para estruturas de edifícios de nível I”. Nos demais casos não se
dispensa essa verificação.
III) Outras Ações
Ação da água, ações variáveis durante a construção e as ações variáveis
indiretas (variações uniformes e não uniformes de temperatura) ou mesmo
ações dinâmicas, quando a estrutura está sujeita a choques ou vibrações,
observando-se, nesses casos, os efeitos provenientes de fadiga e, finalizando,
as ações excepcionais, que devem ser analisados em casos particulares.
4.4 – Avaliação Global da Estabilidade da Estrutura:
O sistema estrutural que compõe a estrutura usual de um edifício é do tipo
tridimensional formado por barras (elementos lineares – vigas e pilares) e por
placas (elementos de superfície – lajes). Dentro dessa composição estrutural,
surgem dentre os elementos estruturais aqueles que compõem as denominadas
estruturas de contraventamento e as estruturas contraventadas.
A primeira delas é a que deve garantir a estabilidade da estrutura, sendo assim
formada por elementos de maior rigidez estrutural a fim de melhor atender as
necessidades do conjunto no que se refere às ações horizontais,
predominantemente as de vento. Alem disso, deve também proporcionar a
indeslocabilidade do conjunto em ambas as direções do edifício.
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
A segunda delas tem a finalidade de apenas resistir aos carregamentos de
origem vertical. Os pilares que compõem essas estruturas contraventadas
podem ter desprezados no seu calculo os denominados efeitos de segunda
ordem, o que não ocorre no primeiro caso, das estruturas de contraventamento.
De fato, a fim de proporcionar a indeslocabilidade da estrutura, deve-se proceder
uma adequada verificação desse conjunto da estrutura de contraventamento.
Uma vez determinada a indeslocabilidade dessa estrutura, aí também podem ser
desprezados os denominados efeitos de segunda ordem. Especifica a NBR 6118
que sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocamse horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses
deslocamentos são chamados efeitos globais de segunda ordem. Ou seja, são
os esforços de flexão, torção e demais não decorrentes somente das cargas
verticais, mas da somatória das ações verticais e horizontais, que criam ao longo
da estrutura outros efeitos (segunda ordem).
Para que se possa desprezar esses efeitos, deve-se verificar através de
métodos simplificados ou aproximados, se a estrutura pode ser classificada
como de nós fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso. Um desses métodos
que pode ser empregado tem a sua expressão matemática o seguinte:
α = Htotal ×
E sendo:
•
•
•
•
Nk
Ecs × Ic
⎧⎪α ≤ 0,2 + 0,1× n ⇒ n ≤ 3
⎨
⎪⎩α ≤ 0,6 ⇒ n ≥ 4
n = numero de pavimentos acima da fundação ou de um nível pouco
deslocável do sub-solo
Htot = altura total da estrutura
Nk = somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura a partir
do nível adotado
Ecs . Ic = a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção
considerada
Quando obedecem-se as relações acima especificadas pode-se desprezar os
efeitos de segunda ordem. Caso isso não ocorra, há sempre a possibilidade de
aumentar-se as dimensões dos componentes da estrutura, em especial dos
pilares que formarão a estrutura de contraventamento, compondo os pórticos
com as vigas que neles chegam ou atravessam.
A rigidez do pilar equivalente pode ser determinada calculando-se o
deslocamento no topo da estrutura de contraventamento, sob a ação de um
carregamento horizontal. Faz-se um processamento por meio apropriado
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.10
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
(computacional) dos pórticos com uma carga unitária aplicada no topo destes. A
partir dos resultados dos deslocamentos, estabelece-se a rigidez equivalente do
pórtico analisado pelas formulas comuns de deslocamentos ou flechas.
f
F = 1 tf.
O resultado de Ieq pode ser determinado por:
l
F × l3
f=
(Eq. 01 − 04 )
3 × Ecs × Ic
É possivel, através da arquitetura proposta, estabelecer-se uma Planta de
Formas do Pavimento Tipo e a partir dessa proposta estrutural, analisar-se quais
seriam as estruturas ou pórticos de contraventamento que podemos adotar a fim
de verificar-se a Estabilidade Geral do Edifício.
Tomamos em primeiro lugar, os porticos do sentido transversal do prédio
(analisados pela planta), e chamaremos de PÓRTICO 1, aquele constituido
pelos P1, P9, P15, P21 e P25 e pela V214, que se repete duas vezes; PORTICO
2, constituido pelos P2 e P10 e V216, que se repete oito vezes; e pelo
PÓRTICO 3, constituido pelos P24, P17 e P7 e V220, que se repete duas vezes.
No sentido longitudinal teremos o PÓRTICO 4, constituido pelos P1, P2 e P3 e
V201, que se repete quatro vezes e o PÓRTICO 5, constituido pelos P15, P16 e
P17 e V207, que se repete duas vezes.
½
Para Ec tomaremos o valor de 5.600 fck
(Mpa), ou seja, para concreto C20,
2
teremos Ec = 25.000 Mpa = 2.500 kN/m , e para Ecs = 0,85 x Ec
Os resultados foram obtidos através de meios computacionais apropriados.
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.11
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
FORMA DO PAVIMENTO TIPO (4x)
1875
203
220
14/40
204
P.10
19/30
19/30
360
H=10
205
14/40
P.11
P.12
19/30
19/30
P.13
P.14
19/30
19/30
105
L.207
L.208
L.209
L.210
H=10
H=10
H=10
H=10
V.
1530
H=10
L.206
V.
105
P.16
19/30
206
14/40
P.17
19/30
207
14/40
P.18
150
P.15
19/30
V.
L.204
H=10
210
P.9
217
14/40
L.203
P.19
19/30
V.
L.211
P.20
19/30
19/30
208
14/40
1530
H=10
135
V. 14/40
14/40
V.
L.205
P.8
19/30
19/30
202
360
19/30
P.6
19/30
14/40
14/40
P.7
H=10
V.
V.
P.5
V.
V.
L.202
H=10
221
L.201
285
405
P.4
19/30
219
216
214
405
P.3
19/30
223
201
285
V. 14/40
19/30
14/40
225
227
P.2
V.
285
270
P.1
19/30
225
226
285
224
285
150
H=10
V.
P.26
19/30
14/40
L.219
H=10
P.28
L.221
H=10
H=10
V.
V.
V. 14/40
V. 14/40
V. 14/40
14/40
V.
V.
14/40
L.220
H=10
262.5
L.217
H=10
212
19/30
211
L.216
14/40
360
P.27
19/30
405
H=10
19/30
H=10
225
L.218
P.25
V. 14/40
210
P.24
19/30
L.215
105
222
P.23
218
14/40
14/40
405
V.
H=10
19/30
215
V.
L.214
H=10
V. 14/40
P.22
19/30
L.213
210
P.21
19/30
209
14/40
142.5
105
H=10
V. 14/40
L.212
V. 14/40
360
V.
213
14/40
P.29
P.30
P.31
P.32
P.33
P.34
19/30
19/30
19/30
19/30
19/30
19/30
285
285
225
285
225
285
285
1875
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.12
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PÓRTICO 1 – TRANSVERSAL (2x)
P.1, P.9, P.15, P.21, P.29 e V.214
6
12
288
26
5
27
10
5
288
30
4
31
288
3
35
288
38
2
42
1
1
405
P.1
P.9
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
41
26
45
21
16
13
19
360
P.15
22
20
44
360
27
17
11
7
23
21
14
6
37
40
43
28
18
12
8
24
22
15
7
33
36
39
29
19
13
9
2
32
16
8
3
288
1440
34
25
23
14
10
29
20
17
9
4
28
15
11
30
24
18
25
405
P.21
P.29
4.13
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PÓRTICO 2 – TRANSVERSAL (8x)
P.2, P.10 e V.216
6
12
288
11
5
10
5
11
288
12
4
9
4
10
288
1440
13
3
8
3
9
288
14
2
7
2
8
288
15
1
6
1
7
405
P.2
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
P.10
4.14
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PÓRTICO 3 – TRANSVERSAL (2x)
P.24, P.17, P.7 e V.220
6
288
16
5
17
10
5
288
4
19
288
14
10
20
16
21
8
3
3
13
9
22
288
17
9
4
15
23
7
2
2
12
8
24
288
15
11
18
1440
18
12
1
14
25
6
1
11
7
360
P.24
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
13
495
P.17
P.7
4.15
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PÓRTICO 4 – LONGITUDINAL (4x)
P.1, P.2, P.3, e V.201
6
12
288
16
5
17
10
5
288
4
19
288
3
21
13
9
22
2
15
23
7
2
12
8
24
1
14
27
6
1
11
7
285
P.1
16
8
3
288
14
10
20
288
17
9
4
1440
15
11
18
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
18
13
285
P.2
P.3
4.16
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PÓRTICO 5 – LONGITUDINAL (2x)
P.15, P.16, P.17, e V.207
6
12
288
16
5
17
11
288
18
4
19
288
14
10
20
3
16
21
13
8
9
3
22
288
17
9
4
2
15
23
12
7
8
2
24
288
15
10
5
1440
18
1
14
27
11
6
1
7
390
405
P.15
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
13
P.16
P.17
4.17
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PORTICO 1
Apoios Fixos
Nó
Dx (m)
Dy (m)
Dz (rd)
1
0.00000000
0.00000000
0.00000000
7
0.00000000
0.00000000
0.00000000
13
0.00000000
0.00000000
0.00000000
19
0.00000000
0.00000000
0.00000000
25
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Deslocamentos dos Nós
Nó
Dx (m)
Dy (m)
1
0.00000000
0.00000000
2
0.00063138
0.00001944
3
0.00148828
0.00003473
4
0.00236333
0.00004571
5
0.00323874
0.00005240
0.00005487
6
0.00405399
Dz (rd)
0.00000000
-0.00018834
-0.00019827
-0.00020112
-0.00020272
-0.00013762
PORTICO 2
Apoios Fixos
Nó
Dx (m)
1
0.00000000
7
0.00000000
Dy (m)
0.00000000
0.00000000
Dz (rd)
0.00000000
0.00000000
Deslocamentos dos Nós
Nó
Dx (m)
Dy (m z (rd)
1
0.00000000
0.00000000
0.00000000
2
0.00164443
0.00006284 -0.00049522
3
0.00410862
0.00011287 -0.00056932
4
0.00670916
0.00014872 -0.00058971
5
0.00932375
0.00017032 -0.00058010
0.00017826 -0.00037764
6
0.01163695
PORTICO 3
Apoios Fixos
Nó
Dx (m)
1
0.00000000
7
0.00000000
13
0.00000000
Dy (m)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Dz (rd)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Deslocamentos dos Nós
Nó
Dx (m)
Dy (m)
1
0.00000000
0.00000000
2
0.00199279
0.00003805
3
0.00445266
0.00006786
4
0.00694298
0.00008904
5
0.00943844
0.00010168
0.00010598
6
0.01175103
Dz (rd)
0.00000000
-0.00035675
-0.00037277
-0.00038072
-0.00038194
-0.00023855
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4.18
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
PORTICO 4
Apoios Fixos
Nó
Dx (m)
1
0.00000000
7
0.00000000
13
0.00000000
Dy (m)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Dz (rd)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Deslocamentos dos Nós
Nó
Dx (m)
Dy (m)
1
0.00000000
0.00000000
2
0.00187458
0.00004562
3
0.00409984
0.00008137
4
0.00636157
0.00010692
5
0.00864138
0.00012227
6
0.01079861
0.00012755
Dz (rd)
0.00000000
-0.00029461
-0.00030697
-0.00031633
-0.00032182
-0.00020142
PORTICO 5
Apoios Fixos
Nó
1
7
13
Dx (m)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Dy (m)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Dz (rd)
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Deslocamentos dos Nós
Nó
Dx (m)
Dy (m)
1
0.00000000
0.00000000
2
0.00099758
0.00003140
3
0.00241079
0.00005634
4
0.00386975
0.00007422
5
0.00532807
0.00008502
0.00008894
6
0.00663695
Dz (rd)
0.00000000
-0.00030694
-0.00033004
-0.00033611
-0.00033096
-0.00021756
A partir da equação 04-01, pode-se determinar Ec x Iec, onde F será a carga
unitária; f será o deslocamento obtido pelas resoluções acima apontadas, np é o
número de pórticos iguais no mesmo sentido e l a altura total do pórtico. (obs:
multiplicaremos os valores obtidos por 10, a fim de transformarmos as unidades
obtidas em T/m2 em kN/m2).
Pórtico 1 –
⎛ F × l3 ⎞
⎛ 1× 14,403 ⎞
⎟ × np × 10 = ⎜
⎟ × 2 × 10 = 4.903.000 kN / m2
Ecs × Ic = ⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 3×f ⎠
⎝ 3 × 0,00406 ⎠
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4.19
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CONCRETO B
Pórtico 2 –
⎛ F × l3 ⎞
⎛ 1× 14,403 ⎞
2
⎟ × np × 10 = ⎜
⎟
Ecs × Ic = ⎜⎜
⎟
⎜ 3 × 0,01164 ⎟ × 8 × 10 = 6.840.000 kN / m
3
×
f
⎝
⎠
⎝
⎠
Pórtico 3 –
⎛ 1× 14,40 3 ⎞
⎛ F × l3 ⎞
2
⎟
⎟ × np × 10 = ⎜
Ecs × Ic = ⎜⎜
⎜ 3 × 0,0118 ⎟ × 2 × 10 = 1.687.000 kN / m
⎟
3
f
×
⎝
⎠
⎝
⎠
Pórtico 4 –
⎛ F × l3 ⎞
⎛ 1× 14,403 ⎞
2
⎟ × np × 10 = ⎜
⎟
Ecs × Ic = ⎜⎜
⎟
⎜ 3 × 0,0108 ⎟ × 4 × 10 = 3.686.400 kN / m
3
×
f
⎝
⎠
⎝
⎠
Pórtico 5 –
⎛ 1× 14,403 ⎞
⎛ F × l3 ⎞
2
⎟
⎟ × np × 10 = ⎜
Ecs × Ic = ⎜⎜
⎜ 3 × 0,00664 ⎟ × 2 × 10 = 2.998.000 kN / m
⎟
3
f
×
⎝
⎠
⎝
⎠
Assim sendo, teremos:
1 – sentido transversal
Ecs x Ic = 4.903.000+6.840.000+1.687.000=13.430.000 kN/m2
2 – sentido longitudinal
Ecs x Ic = 3.686.400+2.998.000=6.684.400 kN/m2
n = 5 (4 pavimentos tipo + pavimento de cobertura)
Htot = 14.40 m
Nk = 10 kN/m2 x 244 m2 (área por pavimento) x 4,7 (4 tipos + cobertura) + 250 kN
(caixa d’água elevada) = 11.720 kN
Ecs . Ic (transv.) = 13.430.000 kN x m2
Ecs . Ic (long.) = 6.684.800 kN x m2
αt = H ×
Nk
11.720
= 14.40 ×
= 0,43 < 0,60
(Ecs × Ic )t
13.430.000
αl = H ×
Nk
11.720
= 14.40 ×
= 0,603 ≅ 0,60
(Ecs × Ic )l
6.684.400
Portanto, a proposta estrutural estabelecida para o edificio do exemplo atende a
Estabilidade Global do Edifício.
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4.20
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CONCRETO B
05. Lajes Maciças em Concreto Armado
5.1. – Definição:
A principal característica geométrica das lajes é a de ser uma placa, ou seja,
possui as suas dimensões de superfície maiores do que a sua espessura. A NBR
6118/2003 estabelece que para uma peça estrutural ser considerada como laje, a
altura de sua seção transversal deve ser menor do que cinco vezes o seu menor
lado. A sua finalidade como componente estrutural é suportar as cargas
permanentes e acidentais, assim como servir de elementos de interligação entre
os diversos pórticos da estrutura, tais como os anteriormente definidos, a fim de
promover a Estabilidade Geral do Edifício, quando são denominadas diafragmas.
Uma vez absorvidas as cargas atuantes sobre elas, em determinado pavimento,
as lajes devem transmiti-las para os elementos estruturais subseqüentes – vigas
ou pilares.
Nos casos correntes de concreto armado, as lajes podem ser classificadas em
dois grupos:
•
Lajes armadas em uma direção: quando a relação entre o maior e o menor
lado (Ly / Lx) é maior do que 2.
•
Lajes armadas nas duas direções ou em cruz: quando a relação entre o
maior e o menor lado (Ly / Lx) é menor ou igual do que 2.
5.2. – Cálculo das Lajes:
O primeiro passo a fim de se efetuar o calculo das lajes é a determinação dos
vãos livres (L0) e vãos teóricos (L) e, em seguida, a relação entres esses valores.
O vão livre é sempre considerado como sendo a distância entre as faces dos
apoios laterais das lajes, e o vão teórico dever ser em lajes isoladas, igual ao
valor do vão livre somado à espessura da laje no meio do vão. No caso vãos
externos de lajes continuas, o vão teórico deve ser igual ao valor do vão livre
acrescido da metade da dimensão do apoio interno e da metade da espessura da
laje no meio do vão.
Não sendo a largura do apoio lateral das lajes – vigas ou pilares – de largura
muito grande, no caso de grande parte das obras convencionais, pode-se adotar
como vãos teóricos das lajes as distâncias entre os centros dos apoios.
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5.1
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CONCRETO B
Ly
Lx
λ = Ly
Lx
Onde Lx é o vão que possui o maior numero de engastes e quando esse numero
for igual nas duas direções, Lx será o menor vão e Ly o maior vão.
Quanto aos tipos de vinculação das lajes, podemos ter casos distintos: borda
livre, borda simplesmente apoiada e borda engastada. Como representação
gráfica desses três tipos de vinculação, pode-se adotar os esquemas abaixo:
BORDA LIVRE
BORDA SIMPLESMENTE APOIADA
BORDA ENGASTADA
O primeiro caso, de borda livre, significa a ausência de qualquer tipo de apoio,
caracterizado pelas lajes em balanço ou marquises; enquanto que no caso de
borda simplesmente apoiada e engastada, não existe deslocamento nas bordas.
Para que se adote a condição de engastamento, em geral, é necessário que haja
continuidade em relação à laje imediatamente próxima, muito embora existam
casos de engastamento em vigas ou pilares. Nos casos comuns de edifícios é
corrente a continuidade entre as lajes. Entretanto, mesmo essa continuidade pode
não ocorrer em toda a extensão de determinadas bordas e mesmo assim
constituir-se em engastamento; por exemplo, quando se tem em uma mesma
borda uma parte engastada e outra apoiada.
Ly
Lx
Lx1
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Lx2
5.2
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CONCRETO B
CRITÉRIOS PARA BORDAS COM ENGASTE E APOIO
Lx1 ≤ Lx
3
BORDA TOTALMENTE APOIADA
Lx
2 × Lx
< Ly <
3
3
DEFINIR ESFORÇOS PARA AS DUAS DIREÇOES E
ADOTAR MAIOR VALOR
Lx1 ≥ 2 × Lx
3
BORDA TOTALMENTE ENGASTADA
No caso das lajes armadas em uma única direção pode-se considerar no cálculo
as duas condições, ou seja, onde houver engastamento independente das
extensão da continuidade esse deve ser considerado dessa maneira e onde
houver simples apoio assim também se considera.
Para os casos gerais de vínculos, podemos estabelecer os mais tradicionais
dessa maneira:
TABELA DE TIPOS DE VINCULAÇÃO DE BORDAS DAS LAJES
CASO 1
CASO 2
CASO 3
QUATRO BORDAS
UMA BORDA
DUAS BORDAS ADJACENTES
SIMPLESMENTE APOIADAS
ENGASTADA
ENGASTADAS
CASO 4
CASO 5
CASO 6
DUAS BORDAS OPOSTAS
TRES BORDAS
QUATRO BORDAS
ENGASTADAS
ENGASTADAS
ENGASTADAS
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5.3
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CONCRETO B
Os modelos de cálculo para as lajes em uso geral podem ser efetuados através
de métodos apropriados, dentre os quais podemos destacar: Teoria das Grelhas,
Teoria da Elasticidade, Regime de Ruptura, Processo de Marcus, etc.
Esses métodos para cálculo das lajes pressupõe que as essas sejam elementos
estruturais apoiados em outros elementos rígidos, a fim de se obter as
magnitudes de momentos fletores e deformações oriundas da aplicação das
cargas atuantes.
Para as lajes armadas em uma única direção, conforme relação estabelecida
anteriormente, o cálculo dos momentos fletores, das deformações e das reações
de apoio – cargas transmitidas aos elementos estruturais adjacentes – é
estabelecido pelas equações simples da Estática das Estruturas e de amplo
conhecimento. Uma vez aplicada uma carga p (permanente [g] + acidental [q]),
determinam-se os valores dos momentos fletores, deformações e reações de
apoio através das equações tradicionais:
LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
TIPO
A
B
lx
A
B
lx
A
B
lx
REAÇÕES DE
APOIO
MOMENTO
FLETOR
DEFORMAÇÃO
(FLECHA)
RA = p × lx
2
2
Mx = p × lx
8
4
fx = 5 × p × l x
384 × E × I
RB = p × lx
2
Xx = 0
RA = 3 × p × lx
8
2
Mx = p × lx
14,22
RB = 5 × p × lx
8
2
Xx = p × lx
8
RA = p × lx
2
2
Mx = p × lx
24
RB = p × lx
2
2
Xx = p × lx
12
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4
fx = 2 × p × l x
384 × E × I
fx =
p × lx 4
384 × E × I
5.4
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CONCRETO B
Os valores estabelecidos como limites de flechas em lajes é de f <= L/250 não
devendo ultrapassar em qualquer hipótese, o valor de 2,5 cm.
Para as lajes armadas nas duas direções ou em cruz, a Teoria das Grelhas, a fim
de determinar a carga atuante em cada uma das direções das lajes, estabelece
que se deve dividir essas atuantes em duas partes, uma px e outra py, uma para
cada direção da laje (x e y) de maneira que se obtenha:
p = px + py
A partir da Teoria das Grelhas, surgiu a Teoria de Marcus, que estabeleceu
fórmulas aproximadas a fim de se determinar coeficientes para cada tipo de laje
dependente da relação entre vãos. Esses coeficientes que são fornecidos sob a
forma de tabelas, nos permitem calcular os momentos fletores, deformações e
reações de apoio mediante o emprego de tabelas específicas.
Para o cálculo dos momentos máximos nos vãos, as equações que definem
esses valores para as direções x e y, respectivamente, são, no caso dos
momentos positivos:
Mx =
p × lx 2
p × lx 2
e My =
mx
my
Enquanto que para os momentos negativos, as equações são:
Xx =
p × lx 2
p × lx 2
e Xy =
nx
ny
Os valores de mx, my, nx e ny, dependem da natureza dos apoios externos e
encontram-se reproduzidos nas Tabelas de Marcus.
Na pratica podemos efetuar os cálculos dos momentos fletores atuantes sobre a
própria planta da estrutura, adotando-se algumas regras. Em cada painel de laje
traçam-se dois eixos em conformidade com as direções x e y, conforme já
estabelecido anteriormente, adotando-se para a direção x a que possui maior
numero de engastamentos e, quando esse numero de engastamentos for o
mesmo nas duas direções, adota-se para x a direção do menor vão.
Nos extremos dos eixos, escrevem-se os valores dos vãos teóricos e na origem
dos eixos a carga p atuante. No canto esquerdo superior escreve-se a relação:
λ = Ly
Lx
E, no canto esquerdo superior os valores dos coeficientes tabelados mx, my, nx
e ny.
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5.5
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Utilizando-se das Tabelas de Marcus e das suas equações podemos determinar
os valores dos momenrto fletores, cujos valores podem ser escritos ao longo dos
apoios correspondentes. Calculados os momentos de todas as lajes, adota-se
como momento negativo em cada apoio a média dentre eles ou o valor de 0,8 do
maior dos dois momentos entre as lajes vizinhas.
Para efeito das reações de apoio das lajes sobre os elementos adjacentes,
podemos adotar modelo semelhante ao proposto anteriormente, colocando-se
nas bordas respectivas os valores das cargas provenientes das permanentes e
das acidentais e esses valores, das reações de apoio, serão calculados a partir da
definição da relação entre os lados e o conhecimento do valor Kx, também
estipulados nas Tabelas. Uma vez determinado o valor de Kx, devemos multiplicalo pela carga atuante p, que como já vimos divide-se em uma px e outra py, e
assim sendo, as reações nos sentidos x e y, deverão ser definidas como nas
tabelas apresentadas para o calculo das reações de apoio das lajes armadas em
uma única direção.
Ly
Xx
Ly
p
py
Ly
Kx
RxB(g) / RxB(q)
Lx
Lx
px
Lx
L.201
RyB(g) / RyB(q)
My
Xy
L.201
RyA(g) / RyA(q)
p
RxA(g) / RxA(q)
mx
my
nx
ny
Lx
Mx
λ = Ly
Lx
Ly
Outra maneira prática de se estabelecer os componentes atuantes nas lajes é
através da composição de tabelas apropriadas, onde os dados referidos acima
devem integrar essas tabelas.
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5.6
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CONCRETO B
L.202
H=10
H=10
285
135
L.205
285
285
L.203
L.204
H=10
H=10
L.206
H=10
210
H=10
105
360
225
105
L.207
L.208
L.209
L.210
H=10
H=10
H=10
H=10
L.211
405
L.201
225
360
285
270
285
150
405
LAJES DO PAVIMENTO TIPO (4x)
H=10
105
L.213
L.214
H=10
H=10
105
360
L.212
L.215
H=10
L.216
L.217
H=10
H=10
L.218
L.219
L.220
L.221
H=10
H=10
H=10
H=10
285
285
225
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285
225
285
405
405
210
360
150
H=10
285
5.7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
A fim de desenvolvermos o cálculo das lajes acima definidas, o roteiro deve seguir
a seguinte ordem, levando-se em conta a simetria das mesmas:
L.201 ⇒ Ly = 405 cm e Lx = 285
Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 +
0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2
Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2
Carga total [p] = 4,8 kN/m2
Em seguida, determina-se o valor de λ:
λ = 405 = 1,42
285
E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 3 de Marcus:
Mx=1,79
Lx
p=4,80
L.201
px=3,85
Ly = 405
4,72/2,14
py=0,95
2,82/1,29
L.201
Ly = 405
Xx=3,91
My=0,90
Ly
285
0,99/0,45
mx=21,78
my=43,35
nx=9,97
ny=20,10
Ly
λ = 405 = 1,42
Lx
p=4,80
Kx=0,803
Xy=1,94
Lx = 285
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1,65/0,75
Lx = 285
5.8
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CONCRETO B
L.207 ⇒ Ly = 390 cm e Lx = 360
Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 +
0,8 kN/m2 + 1,6 kN/m2 = 4,9 kN/m2
A carga das alvenarias deve ser obtida multiplicando-se o comprimento das
alvenarias que estão sobre a L.205, pela sua altura e pelo seu peso próprio e, em
seguida dividir esse valor obtido pela área de projeção da laje. Assim:
ga =
4,76 × 2,80 × 1,70
= 1,60 kN / m2
3,90 × 3,60
Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2
Carga total [p] = 6,4 kN/m2
Em seguida, determina-se o valor de λ:
λ = 390 = 1,08
360
E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 5 de Marcus:
Xx=5,05
mx=39,74
my=53,18
nx=16,41
ny=25,52
6,45/1,97
My=1,56
p=6,40
Xx=5,05
Ly
Ly = 390
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py=1,72
Lx
Lx = 360
L.205
3,21/0,98
px=4,68
1,67/0,51
Lx = 360
L.205
Xy=3,25
Mx=2,09
Lx
360
Ly
λ = 390 = 1,08
p=6,40
Kx=0,731
6,45/1,97
Ly = 390
5.9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
L.208 ⇒ Ly = 405 cm e Lx = 360
Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 +
0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2
Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2
Carga total [p] = 4,8 kN/m2
Em seguida, determina-se o valor de λ:
λ = 405 = 1,125
360
E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 3 de Marcus:
p=4,80
My=1,64
Ly
Xx=4,79
Ly = 405
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py=1,84
Lx
Lx = 360
L.208
1,93/0,86
Ly
px=2,96
L.208
3,22/1,44
Mx=2,08
Xy=3,78
Lx
360
2,76/1,24
mx=29,92
my=37,87
nx=13,00
ny=16,45
Lx = 360
λ = 405 = 1,125
p=4,80
Kx=0,616
4,60/2,06
Ly = 405
5.10
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CONCRETO B
L.211 ⇒ Ly = 300 cm e Lx = 285
Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 +
0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2
Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2
Carga total [p] = 4,8 kN/m2
Em seguida, determina-se o valor de λ:
λ = 300 = 1,05
285
E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 1 de Marcus:
p=4,80
My=1,42
Ly
px=2,64
Lx
Ly = 300
Ly
L.208
2,58/1,18
L.208
py=2,16
Ly = 300
Mx=1,57
Lx
285
2,22/1,02
mx=24,91
my=27,47
2,58/1,18
λ = 300 = 1,05
p=4,80
Kx=0,549
2,22/1,02
Lx = 285
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Lx = 285
5.11
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
TABELA 1 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ - MARCUS
ly
61
Mx =
p.lx 2
mx
2
My = p.lx
my
p x =K x .p
lx
ly/lx
kx
mx
my
0.50
0.059
169.18
42.29
0.51
0.063
158.42
41.20
0.52
0.068
148.64
40.19
0.53
0.073
139.70
39.24
0.54
0.078
131.55
38.36
0.55
0.084
124.10
37.53
0.56
0.089
117.25
36.77
0.57
0.095
110.96
36.05
0.58
0.102
105.19
35.38
0.59
0.108
99.86
34.76
0.60
0.115
94.94
34.18
0.61
0.122
90.40
33.64
0.62
0.129
86.20
33.13
0.63
0.136
82.30
32.66
0.64
0.144
78.68
32.23
0.65
0.151
75.32
31.82
0.66
0.159
72.19
31.44
0.67
0.168
69.27
31.09
0.68
0.176
66.54
30.99
0.69
0.185
63.99
30.46
0.70
0.194
61.60
30.18
0.71
0.203
59.37
29.93
0.72
0.212
57.27
29.69
0.73
0.221
55.29
29.47
0.74
0.231
53.44
29.26
0.75
0.240
51.69
29.07
0.76
0.250
50.04
28.90
0.77
0.260
48.48
28.74
0.78
0.270
47.01
28.60
0.79
0.280
45.61
28.46
0.80
0.290
44.29
28.34
0.81
0.301
43.03
28.23
0.82
0.311
41.84
28.13
0.83
0.322
40.70
28.04
0.84
0.332
39.62
27.96
0.85
0.343
38.59
27.88
0.86
0.354
37.61
27.81
0.87
0.364
36.67
27.75
0.88
0.375
35.77
27.70
0.89
0.385
34.91
27.65
0.90
0.396
34.09
27.61
0.91
0.407
33.30
27.57
0.92
0.417
32.54
27.54
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1.00
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kx
mx
my
ly/lx
kx
mx
my
1.00
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27.43
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1.01
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20.04
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1.30
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17.01
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1.80
0.913
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1.31
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16.81
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1.81
0.915
11.40
37.33
1.32
0.752
16.61
28.94
1.82
0.916
11.34
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1.33
0.758
16.42
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1.83
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11.29
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11.24
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0.921
11.19
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1.86
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11.15
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11.10
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1.88
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11.05
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1.39
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11.01
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1.40
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10.92
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1.92
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0.807
14.77
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1.93
0.933
10.84
40.37
1.44
0.811
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1.94
0.934
10.80
40.63
1.45
0.815
14.49
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1.95
0.935
10.76
40.91
1.46
0.820
14.36
30.61
1.96
0.936
10.72
41.18
1.47
0.824
14.23
30.76
1.97
0.938
10.68
41.45
1.48
0.827
14.11
30.90
1.98
0.939
10.64
41.73
1.49
0.831
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31.05
1.99
0.940
10.60
42.01
1.50
0.835
13.87
31.21
2.00
0.941
10.57
42.29
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
5.12
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
TABELA 2 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ – MARCUS
lx
ly
2
Mx =
p.lx 2
mx
2
My = p.lx
my
Xx =
−p.lx 2
nx
p x =K x .p
ly/lx
kx
mx
nx
my
ly/lx
kx
mx
nx
my
0.50
0.135
140.93
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1.00
0.714
29.93
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132.95
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1.02
0.730
29.02
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1.04
0.745
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10.73
37.68
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0.759
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10.53
38.19
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45.64
41.60
1.08
0.773
26.69
10.35
38.74
0.55
0.186
107.35
42.97
40.88
1.10
0.785
26.02
10.18
39.31
0.56
0.197
102.20
40.54
40.21
1.12
0.797
25.40
10.03
39.92
0.57
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39.60
1.14
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9.89
40.55
0.58
0.220
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39.03
1.16
0.819
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9.77
41.21
0.59
0.232
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38.51
1.18
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41.90
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1.20
0.838
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9.45
42.62
0.61
0.257
81.79
31.11
37.60
1.22
0.847
22.89
9.44
43.36
0.62
0.270
78.55
29.66
37.20
1.24
0.855
22.49
9.35
44.13
0.63
0.282
75.53
28.31
36.83
1.26
0.863
22.11
9.27
44.93
0.64
0.295
72.71
27.07
36.49
1.28
0.870
21.75
9.19
45.75
0.65
0.308
70.07
25.93
36.19
1.30
0.877
21.42
9.12
46.59
0.66
0.322
67.60
24.86
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1.32
0.884
21.11
9.05
47.46
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1.34
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0.348
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1.36
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20.54
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0.69
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22.12
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1.38
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20.28
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1.40
0.906
20.04
8.83
51.15
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20.59
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1.42
0.910
19.81
8.79
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0.402
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19.91
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1.44
0.915
19.59
8.74
53.14
0.73
0.415
53.95
19.27
34.67
1.46
0.919
19.39
8.70
54.16
0.74
0.428
52.41
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34.57
1.48
0.923
19.20
8.67
55.21
0.75
0.442
50.94
18.11
34.50
1.50
0.927
19.01
8.63
56.28
0.76
0.455
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17.59
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1.52
0.930
18.84
8.60
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0.77
0.468
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17.10
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1.54
0.934
18.68
8.57
58.47
0.78
0.481
46.98
16.64
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1.56
0.937
18.52
8.54
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0.79
0.493
45.79
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18.37
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0.506
44.65
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1.60
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18.23
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1.62
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0.82
0.531
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34.39
1.64
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17.97
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0.543
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1.66
0.950
17.85
8.42
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0.554
40.60
14.43
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0.85
0.566
39.69
14.13
34.54
1.68
0.952
17.74
8.40
66.78
1.70
0.954
17.63
8.38
68.04
1.72
0.956
17.52
8.36
69.33
1.74
0.958
17.42
8.35
70.63
1.76
0.960
17.33
8.33
71.96
1.78
0.962
17.25
8.32
73.30
1.80
0.963
17.15
8.30
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1.82
0.965
17.07
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1.84
0.966
16.99
8.28
77.42
1.86
0.968
16.91
8.27
78.85
1.88
0.969
16.84
8.26
80.27
1.90
0.970
16.77
8.24
81.73
1.92
0.971
16.70
8.23
83.18
1.94
0.972
16.64
8.23
84.67
1.96
0.974
16.57
8.22
86.19
1.98
0.975
16.51
8.21
87.70
2.00
0.976
16.46
8.20
89.22
0.86
0.578
38.83
13.85
34.62
0.87
0.589
38.01
13.59
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0.88
0.600
37.20
13.34
34.80
0.89
0.611
36.50
13.10
34.91
0.90
0.621
35.70
12.88
35.03
0.91
0.632
35.04
12.67
35.16
0.92
0.642
34.37
12.47
35.29
0.93
0.652
33.73
12.28
35.44
0.94
0.661
33.12
12.10
35.60
0.95
0.671
32.53
11.93
35.77
0.96
0.680
31.97
11.77
35.95
0.97
0.689
31.43
11.61
36.13
0.98
0.697
30.91
11.47
36.33
0.99
0.706
30.41
11.33
36.53
1.00
0.714
29.93
11.20
36.74
Prof. MARCO ANTONIO CARNIO
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
5.13
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
TABELA 3 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ – MARCUS
3
ly
Mx =
p.lx 2
mx
2
My = p.lx
my
Xx =
−p.lx 2
nx
Xy = −p.lx
ny
2
p x =K x .p
lx
ly/lx
kx
mx
nx
my
ny
ly/lx
kx
mx
nx
my
ny
1.00
0.500
37.14
16.00
37.14
16.00
1.50
0.835
20.61
9.58
46.38
21.55
1.01
0.510
36.42
15.69
37.15
16.00
1.51
0.839
20.49
9.54
46.71
21.75
1.02
0.520
35.72
15.39
37.16
16.01
1.52
0.842
20.36
9.50
47.05
21.94
1.03
0.529
35.05
15.11
37.19
16.03
1.53
0.846
20.24
9.46
47.38
22.14
1.04
0.539
34.42
14.84
37.22
16.05
1.54
0.849
20.12
9.42
47.73
22.34
1.05
0.549
33.81
14.58
37.27
16.08
1.55
0.852
20.01
9.39
48.07
22.55
1.06
0.558
33.21
14.34
37.32
16.11
1.56
0.855
19.90
9.35
48.43
22.76
1.07
0.567
32.65
14.10
37.38
16.15
1.57
0.859
19.79
9.32
48.78
22.96
1.08
0.576
32.11
13.88
37.45
16.19
1.58
0.862
19.69
9.28
49.14
23.17
1.09
0.585
31.59
13.67
37.53
16.24
1.59
0.865
19.58
9.25
49.51
23.09
1.10
0.594
31.09
13.46
37.61
16.29
1.60
0.868
19.48
9.22
49.88
23.60
1.11
0.603
30.61
13.27
37.71
16.35
1.61
0.870
19.39
9.19
50.25
23.82
1.12
0.611
30.14
13.08
37.81
16.41
1.62
0.873
19.29
9.16
50.63
24.04
1.13
0.620
29.70
12.91
37.92
16.48
1.63
0.876
19.20
9.13
51.01
24.26
1.14
0.628
29.27
12.74
38.04
16.55
1.64
0.878
19.11
9.11
51.40
24.49
1.15
0.636
28.85
12.57
38.16
16.63
1.65
0.881
19.02
9.08
51.79
24.72
1.16
0.644
28.46
12.42
38.29
16.71
1.66
0.884
18.94
9.05
52.19
24.95
1.17
0.652
28.08
12.27
38.43
16.79
1.67
0.886
18.86
9.03
52.58
25.18
1.18
0.660
27.71
12.13
38.58
16.88
1.68
0.888
18.77
9.00
52.99
25.41
1.19
0.667
27.35
11.99
38.73
16.98
1.69
0.891
18.70
8.98
53.39
25.65
1.20
0.674
27.00
11.85
38.89
17.07
1.70
0.893
18.62
8.96
53.81
25.89
1.21
0.682
26.68
11.73
39.06
17.18
1.71
0.895
18.54
8.93
54.22
26.13
1.22
0.690
26.36
11.61
39.23
17.28
1.72
0.897
18.47
8.91
54.64
26.37
1.23
0.696
26.05
11.49
39.41
17.39
1.73
0.899
18.40
8.89
55.07
26.61
1.24
0.703
25.75
11.38
39.59
17.50
1.74
0.902
18.33
8.87
55.49
26.86
1.25
0.709
25.46
11.28
39.78
17.62
1.75
0.904
18.26
8.85
55.92
27.11
1.26
0.716
25.18
11.17
39.98
17.74
1.76
0.906
18.18
8.83
56.36
27.36
1.27
0.722
24.92
11.07
40.19
17.86
1.77
0.907
18.13
8.81
56.80
27.61
1.28
0.729
24.66
10.98
40.40
17.99
1.78
0.909
18.07
8.80
57.24
27.87
1.29
0.735
24.40
10.89
40.61
18.12
1.79
0.911
18.00
8.78
57.68
28.13
1.30
0.741
24.16
10.80
40.83
18.25
1.80
0.913
17.94
8.76
58.14
28.39
1.31
0.746
23.93
10.72
41.06
18.39
1.81
0.915
17.88
8.74
58.59
28.65
1.32
0.752
23.70
10.63
41.29
18.53
1.82
0.916
17.83
8.73
59.05
28.91
1.33
0.758
23.48
10.56
41.53
18.67
1.83
0.918
17.77
8.71
59.51
29.18
1.34
0.763
23.26
10.48
41.77
18.82
1.84
0.920
17.72
8.70
59.97
29.44
1.35
0.769
23.06
10.41
42.02
18.97
1.85
0.921
17.66
8.68
60.44
29.72
1.36
0.774
22.86
10.34
42.28
19.12
1.86
0.923
17.61
8.67
60.92
29.99
1.37
0.779
22.66
10.27
42.54
19.28
1.87
0.924
17.56
8.65
61.39
30.26
1.38
0.784
22.48
10.21
42.80
19.43
1.88
0.926
17.51
8.64
61.88
30.54
1.39
0.789
22.29
10.14
43.07
19.60
1.89
0.927
17.46
8.63
62.36
30.81
1.40
0.793
22.12
10.08
43.35
19.76
1.90
0.929
17.41
8.61
62.85
31.09
1.41
0.798
21.95
10.02
43.63
19.93
1.91
0.930
17.36
8.60
63.34
31.38
1.42
0.803
21.78
9.97
43.92
20.10
1.92
0.931
17.32
8.59
63.83
31.66
1.43
0.807
21.62
9.91
44.21
20.27
1.93
0.933
17.27
8.58
64.33
31.94
1.44
0.811
21.46
9.86
44.50
20.45
1.94
0.934
17.23
8.56
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32.23
1.45
0.815
21.31
9.81
44.80
20.62
1.95
0.935
17.18
8.55
65.34
32.52
1.46
0.820
21.16
9.76
45.11
20.80
1.96
0.936
17.14
8.54
65.84
32.81
1.47
0.824
21.02
9.71
45.42
20.99
1.97
0.938
17.10
8.53
66.36
33.10
1.48
0.827
20.88
9.67
45.74
21.17
1.98
0.939
17.06
8.52
66.88
33.40
1.49
0.831
20.75
9.62
46.06
21.36
1.99
0.940
17.02
8.51
67.39
33.70
1.50
0.835
20.61
9.58
46.38
21.55
2.00
0.941
16.93
8.50
67.92
34.00
Prof. MARCO ANTONIO CARNIO
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
5.14
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
TABELA 4 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ - MARCUS
4
4
ly
Mx =
p.lx 2
mx
2
My = p.lx
my
Xx =
−p.lx 2
nx
p x =K x .p
lx
ly/lx
kx
mx
nx
my
ly/lx
kx
mx
nx
my
0.50
0.238
137.06
50.40
49.92
1.00
0.833
37.47
14.40
55.74
0.51
0.253
130.06
47.48
49.11
1.02
0.844
36.71
14.22
57.01
0.52
0.268
123.66
44.83
48.38
1.04
0.854
36.00
14.05
58.33
0.53
0.283
117.79
42.42
47.72
1.06
0.863
35.34
13.90
59.70
0.54
0.298
112.39
40.23
47.13
1.08
0.872
34.74
13.76
61.12
0.55
0.314
107.42
38.23
46.60
1.10
0.880
34.18
13.64
62.59
0.56
0.330
102.83
36.40
46.13
1.12
0.887
33.66
13.52
64.10
0.57
0.345
98.59
34.74
45.72
1.14
0.894
33.18
13.42
65.66
0.58
0.361
94.67
33.21
45.35
1.16
0.900
32.74
13.32
67.26
0.59
0.377
91.02
31.81
45.04
1.18
0.906
32.32
13.24
68.91
0.60
0.3.93
87.62
30.52
44.77
1.20
0.912
31.93
13.16
70.60
0.61
0.409
84.46
29.33
44.54
1.22
0.917
31.57
13.08
72.33
0.62
0.425
81.51
28.24
44.35
1.24
0.922
31.23
13.01
74.11
0.63
0.441
78.76
27.24
44.21
1.26
0.926
30.92
12.95
75.92
0.64
0.456
76.18
26.30
44.10
1.28
0.931
30.62
12.89
77.78
0.65
0.472
73.76
25.45
44.02
1.30
0.934
30.34
12.84
79.66
0.66
0.487
71.49
24.65
43.98
1.32
0.938
30.08
12.79
81.60
0.67
0.502
69.36
23.91
43.97
1.34
0.942
29.83
12.74
83.58
0.68
0.517
67.36
23.22
43.98
1.36
0.945
29.60
12.70
85.58
0.69
0.531
65.47
22.59
44.03
1.38
0.948
29.39
12.66
87.63
0.70
0.545
63.69
22.00
44.11
1.40
0.950
29.18
12.62
89.72
0.71
0.559
62.01
21.44
44.21
1.42
0.953
28.99
12.59
91.84
0.72
0.573
60.42
20.93
44.34
1.44
0.955
28.80
12.56
94.01
0.73
0.587
58.92
20.45
44.49
1.46
0.958
28.63
12.53
96.20
0.74
0.600
57.51
20.00
44.66
1.48
0.960
28.47
12.50
98.45
0.75
0.613
56.16
19.38
44.86
1.50
0.962
28.31
12.47
100.72
0.76
0.625
54.89
19.19
45.08
1.52
0.964
28.16
12.45
103.02
0.77
0.637
53.69
18.83
45.33
1.54
0.966
28.02
12.43
105.38
0.78
0.649
52.54
18.48
45.59
1.56
0.967
27.89
12.40
107.76
0.79
0.661
51.46
18.16
45.87
1.58
0.969
27.76
12.38
110.16
0.80
0.672
50.42
17.86
46.17
1.60
0.970
27.64
12.37
112.61
0.81
0.683
49.44
17.57
46.30
1.62
0.972
27.53
12.35
115.12
0.82
0.693
48.51
17.31
46.84
1.64
0.973
27.42
12.33
117.62
0.83
0.703
47.62
17.06
47.20
1.66
0.974
27.31
12.32
120.17
0.84
0.713
46.78
16.82
47.57
1.68
0.975
27.21
12.30
122.76
0.85
0.723
45.97
16.60
47.97
1.70
0.977
27.12
12.29
125.41
0.86
0.732
45.21
16.39
48.38
1.72
0.978
27.03
12.27
128.04
0.87
0.741
44.48
16.19
48.81
1.74
0.979
26.94
12.26
130.75
0.88
0.750
43.78
16.00
49.25
1.76
0.980
26.86
12.25
133.50
0.89
0.758
43.12
15.82
49.71
1.78
0.980
26.78
12.24
136.24
0.90
0.766
42.48
15.66
50.19
1.80
0.981
26.70
12.23
139.05
0.91
0.774
41.87
15.50
50.68
1.82
0.982
26.63
12.22
141.85
0.92
0.782
41.30
15.35
51.18
1.84
0.983
26.56
12.21
144.78
0.93
0.789
40.74
15.21
51.50
1.86
0.983
26.49
12.20
147.65
0.94
0.796
40.21
15.07
52.24
1.88
0.984
26.43
12.19
150.60
0.95
0.803
39.70
14.95
52.78
1.90
0.985
26.37
12.18
153.54
0.96
0.809
39.22
14.82
53.35
1.92
0.985
26.31
12.18
156.53
0.97
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14.08
75.04
33.82
1.56
0.855
31.09
14.03
75.65
34.13
1.57
0.859
30.94
13.97
76.27
34.45
1.58
0.862
30.80
13.92
76.90
34.79
1.59
0.865
30.67
13.88
77.52
35.08
1.60
0.868
30.54
13.83
78.17
35.41
1.61
0.870
30.41
13.79
78.81
35.73
1.62
0.873
30.28
13.74
79.47
36.06
1.63
0.876
30.16
13.70
80.13
36.40
1.64
0.878
30.04
13.66
80.80
36.74
1.65
0.881
29.93
13.62
81.48
37.08
1.66
0.884
29.82
13.58
82.16
37.42
1.67
0.886
29.71
13.54
82.84
37.77
1.68
0.888
29.60
13.51
83.54
38.12
1.69
0.891
29.50
13.47
84.24
38.47
1.70
0.893
29.40
13.44
84.95
38.83
1.71
0.895
29.30
13.40
85.67
39.19
1.72
0.897
29.20
13.37
86.38
39.55
1.73
0.899
29.11
13.34
87.12
39.92
1.74
0.902
29.02
13.31
87.85
40.29
1.75
0.904
28.93
13.28
88.60
40.67
1.76
0.906
28.84
13.25
89.34
41.04
1.77
0.907
28.76
13.22
90.09
41.42
1.78
0.909
28.68
13.19
90.86
41.81
1.79
0.911
28.60
13.17
91.61
42.19
1.80
0.913
28.52
13.14
92.39
42.58
1.81
0.915
28.44
13.12
93.17
42.97
1.82
0.916
28.37
13.09
93.96
43.37
1.83
0.918
28.29
13.07
94.75
43.77
1.84
0.920
28.22
13.05
95.54
44.17
1.85
0.921
28.15
13.02
96.35
44.57
1.86
0.923
28.09
13.00
97.16
44.98
1.87
0.924
28.02
12.98
97.98
45.09
1.88
0.926
27.95
12.96
98.80
45.81
1.89
0.927
27.89
12.94
99.62
46.22
1.90
0.929
27.83
12.92
100.46
46.64
1.91
0.930
27.77
12.90
101.30
47.06
1.92
0.931
27.71
12.88
102.14
47.49
1.93
0.933
27.65
12.86
103.00
47.92
1.94
0.934
27.60
12.85
103.85
48.35
1.95
0.935
27.54
12.83
104.72
48.78
1.96
0.936
27.49
12.81
105.58
49.21
1.97
0.938
27.43
12.80
106.45
49.65
1.98
0.939
27.38
12.78
107.35
50.10
1.99
0.940
27.33
12.76
108.23
50.55
2.00
0.941
27.28
12.75
109.12
50.99
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO 5.17
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
06. Deformações das Lajes
Para efeito de dimensionamento das lajes há a necessidade de se determinar as
deformações ou deslocamentos nesses elementos estruturais provenientes da
atuação das cargas permanentes e acidentais, de modo a se evitar que essas
deformações sejam excessivas e dessa maneira venham a comprometer o
comportamento estrutural dessas lajes.
A NBR 6118 / 2003 estabelece alguns princípios importantes sobre essas
considerações:
06.01 – Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:
Nesses casos tomam-se as cargas permanentes [g] somadas às cargas
acidentais [q], de onde obteremos a carga total aplicada [p]. Assim sendo:
p = g+q
Os deslocamentos, também denominados flechas, estarão limitados em
l
250
Esses deslocamentos podem ser calculados utilizando-se de métodos
tradicionais. Toma-se pelas Tabelas de Marcus os valores de kx, a partir do qual
teremos as parcelas px e py, atuando das direções de Lx e Ly respectivamente.
Assim procedendo, o calculo dos deslocamentos será da seguinte maneira:
DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES
TIPO
A
DESLOCAMENTO (FLECHA)
B
lx
A
B
4
fx = 2 × p x × lx
384 × E × I
lx
A
4
f x = 5 × p x × lx
384 × E × I
B
lx
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
4
fx = p x × lx
384 × E × I
6.1
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Tendo em vista o Efeito de Deformação Lenta ou fluência sobre os
deslocamentos provenientes da atuação das cargas permanentes em elementos
estruturais de concreto armado, essa fluência pode ser considerada, de maneira
aproximada, dobrando-se os valores obtidos na tabela acima. Dessa maneira:
2 × fx ≤
l
≤ 2,5 cm.
250
Onde E = Modulo de Deformação Longitudinal do concreto e I = momento de
inércia em torno do eixo x da seção transversal da laje: 8,33 h3 – h em cm.
06.02 – Vibrações sentidas no piso:
Nesses casos a recomendação é que se tome dos valores devidos às cargas
acidentais [q] e, a partir desses valores se estabeleça como deslocamento ou
flecha máxima a relação:
l
350
E para efeito de determinação dos valores desses deslocamentos utiliza-se das
mesmas equações já especificadas:
DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES
TIPO
A
DESLOCAMENTO (FLECHA)
B
4
fx = 5 × q x × lx
384 × E × I
lx
A
B
4
fx = 2 × q x × lx
384 × E × I
lx
A
B
4
fx = q x × l x
384 × E × I
lx
Como efeito da deformação lenta ou fluência, podemos tomar das mesmas
prerrogativas anteriores, ou seja, podemos dobrar os valores dos deslocamentos
calculados de maneira que:
2 × fx ≤
l
350
E em que qx = parcela da carga q atuante no sentido de Lx e os demais valores
E e I conforme definidos anteriormente.
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6.2
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
06.03 – Efeitos em Elementos não estruturais:
Os deslocamentos das lajes também devem ser limitados a fim de se evitar
danos nos elementos não estruturais de uma obra, tais como as alvenarias,
divisórias, etc. Assim, quando houver a existência de paredes construídas sobre
as lajes, os deslocamentos deverão ter limites específicos e serão calculados
para a atuação da carga permanente [g] proveniente do peso próprio [gp] e do
peso das paredes [ga], pois nas construções em geral, as paredes são
executadas antes de se executarem os revestimentos. Nesses casos pode-se
desprezar no calculo dos deslocamentos a deformação lenta ou fluência, em
vista de que as cargas ocorrerão quase que de forma imediata à construção,
enquanto que os efeitos da fluência atuam ao longo do tempo.
Assim sendo, teremos como cargas atuantes:
g = gp + ga
E os deslocamentos não poderão exceder o valor de:
fx ≤
l
≤ 1,00 cm.
500
Onde ℓ é o vão na direção em que se desenvolve a parede, sendo que nos
casos de paredes uniformemente distribuídas sobre a laje, deve se tomar o valor
mais nocivo (maior vão).
E para efeito de determinação dos valores desses deslocamentos utiliza-se das
mesmas equações já especificadas:
DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES
TIPO
A
DESLOCAMENTO (FLECHA)
B
lx
A
B
4
fx = 2 × g x × lx
384 × E × I
lx
A
4
fx = 5 × g x × lx
384 × E × I
B
lx
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4
fx = g x × l x
384 × E × I
6.3
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CONCRETO B
06.04 – Contra flechas:
Nos casos em que os valores calculados dos deslocamentos ou flechas
ultrapassarem as determinações dos limites estabelecidos, deve-se aumentar a
altura da laje ou, se possível, aumentar o numero de engastes ou ainda
estabelecer-se a execução de contra-flechas, permitidas pela Norma desde que
estabelecidos alguns limites.
Se, por exemplo, obtivermos como deslocamento total, proveniente da carga (p
= g + q), o valor de 3,0 cm em uma laje cujo limite seja de 2,2 cm, sabemos que
a diferença entre o limite e o calculado é de 0,8 cm e daí podemos recomendar
uma contra-flecha de 1,0 cm. desde que adotadas determinadas
recomendações.
Inicialmente efetua-se o calculo do deslocamento proveniente somente do peso
próprio da laje a fim de compará-lo com o deslocamento recomendado.
Determina-se a diferença entre esses dois deslocamentos, denominado fcf cujo
valor deverá ser menor do que a contra-flecha recomendada, assim como esse
valor da contra-flecha não poderá ultrapassar o limite de:
l
350
06.05 – Exemplos:
(1) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos nas lajes L.201 do
Edifício em estudo.
Nesse caso temos como cargas atuantes:
g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 0,80 (revestimento) = 3,3 kN/m2
q (carga acidental) = 1,5 kN/m2
p (carga total) = 3,3 + 1,5 = 4,8 kN/m2
1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:
temos kx = 0,803 ↔ px = 0,803 x 4,8 = 3,85 kN/m2
4
4
fx = 2 × px × lx = 2 × 0,0385 × 285 = 0,065 × 2 = 0,13 cm ≤ 285 = 1,14 cm
384 × E × I 384 × 2.504 × 8.333
250
2) Vibrações sentidas no piso:
temos kx = 0,803 ↔ qx = 0,803 x 1,5 = 1,20 kN/m2
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6.4
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
4
4
285
fx = 2 × qx × lx = 2 × 0,012 × 285
= 0,02 × 2 = 0,04 cm ≤
= 0,81 cm
384 × E × . I 384 × 2.504 × 8.333
350
3) Efeitos em Elementos não estruturais:
Não existem alvenarias sobre a laje.
4) Contra-flecha: todas os deslocamentos atendem aos limites de Norma.
(2) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos nas lajes L.207 do
Edifício em estudo.
Nesse caso temos como cargas atuantes:
g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 0,80 (revestimento) + 1,6
(alvenaria) = 4,9 kN/m2
q (carga acidental) = 1,5 kN/m2
p (carga total) = 4,9 + 1,5 = 6,4 kN/m2
1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:
temos kx = 0,731 ↔ px = 0,731 x 6,4 = 4,68 kN/m2
4
0,0468 × 360 4
360
fx = p x × l x =
= 0,098 × 2 = 0,19 cm ≤
= 1,44 cm
384 × E × I 384 × 2.504 × 8.333
250
2) Vibrações sentidas no piso:
temos kx = 0,731 ↔ qx = 0,731 x 1,5 = 1,10 kN/m2
4
360
0,012 × 360 4
fx = q x × l x =
= 0,025 × 2 = 0,05 cm ≤
= 1,02 cm
350
384 × E × I 384 × 2.504 × 8.333
3) Efeitos em Elementos não estruturais:
g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 1,6 (alvenaria) = 4,1 kN/m2
temos kx = 0,731 ↔ gx = 0,731 x 4,1 = 3,00 kN/m2
4
0,030 × 360 4
390
fx = gx × lx =
= 0,063 ≤
= 0,78 cm
384 × E × I 384 × 2.504 × 8.333
500
4) Contra-flecha: todas os deslocamentos atendem aos limites de Norma.
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6.5
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CONCRETO B
(3) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos em uma laje retangular
de 5,50 m por 5,00 m com 10 cm de espessura, simplesmente apoiada sobre os
quatro lados e sujeita a uma carga uniformemente distribuída descrita abaixo:
Nesse caso temos como cargas atuantes:
g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 2,50 (revestimento) = 5,0 kN/m2
q (carga acidental) = 2,0 kN/m2
p (carga total) = 5,0 + 2,0 = 7,0 kN/m2
1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:
temos
λ=
550
= 1.10
500
kx = 0,594 ↔ px = 0,594 x 7,0 = 4,16 kN/m2
4
4
fx = 5.px × lx = 5 × 0,0416 × 500 = 1,62 × 2 = 3,24 cm > 500 = 2,00 cm
384 × E × . I 384 × 2.504 × 8.333
250
2) Vibrações sentidas no piso:
temos kx = 0,594 ↔ qx = 0,594 x 2,0 = 1,19 kN/m2
4
4
fx = 5.qx × lx = 5 × 0,0119 × 500 = 0,46 × 2 = 0,92 cm ≤ 500 = 1,42 cm
384 × E × I 384 × 2.504 × 8.333
350
3) Efeitos em Elementos não estruturais:
Não existem alvenarias sobre a laje
4) Contra-flecha:
No caso das cargas totais, verifica-se um deslocamento maior do que o
permitido sendo possível a especificação de contra-flecha.
∆f = 3,24 – 2,00 = 1,24 cm
Podemos recomendar um contra-flecha de 1,5 cm, desde que:
4
4
fx = 5 × pp × lx = 5 × 0,025 × 0,594 × 500 = 0,58 cm
384 × E × I
384 × 2.504 × 8.333
fcf = 1,50 – 0,58 = 0,982 cm < 1,5 cm
fx ≤
550
= 1,57cm > 1,50 cm
350
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6.6
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CONCRETO B
07 - Dimensionamento das Lajes
07.01 – Compensação dos Momentos Fletores Negativos:
A fim de se prosseguir com o dimensionamento de lajes, uma vez determinados
os momentos fletores atuantes, é preciso efetuar-se a compensação dos
momentos fletores negativos. Nesses casos, conforme já comentado
anteriormente, adota-se como momento negativo em cada apoio o maior valor
da média dentre eles ou o valor de 0,8 do maior dos dois momentos entre as
lajes vizinhas.
H=10
M=1,79
X=4,04
X=1,55
L.207
H=10
M=1,56
X=5,05
X=5,05
X=5,05
X=3,25
X=3,78
X=1,94
X=0
X=3,51
M=2,09
X=1,94
X=5,05
M=2,08
M=1,79
L.202
M=0,90
H=10
X=3,91
X=3,91
L.201
X=3,91
M=0,90
No caso do prédio que estamos analisando, a compensação dos momentos
pode ser feita da seguinte maneira:
L.208
H=10
M=1,64
X=4,79
X=4,79
X=4,79
No caso dos momentos positivos, esses serão os mesmos valores calculados
pelas Tabelas de Marcus. Para os momentos negativos, subscrevem-nos dentro
do círculo e, em seguida, efetuamos a consolidação desses momentos
adotando-se a metodologia já descrita do maior valor dentre a média dos
momentos negativos das lajes adjacentes ou 0,8 do maior momento negativo
calculado. Assim sendo, escrevemos em anexo aos círculos, os valores que nos
servirão para o dimensionamento dos momentos negativos.
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1-7
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CONCRETO B
07.02 – Cálculo das Armaduras:
Uma vez estabelecidos os momentos atuantes sobre as lajes, pode-se
prosseguir, agora, determinando-se as armaduras necessárias essas lajes a fim
de combater os esforços atuantes.
O dimensionamento à flexão de lajes é feito a partir da consideração de uma
seção retangular unitária, ou seja, b x h, onde b é a largura – adotada igual a
100 cm. – e h é a altura da laje. A armadura uma vez estabelecida é alocada ou
distribuída nessa faixa de 100 cm. Daí sempre estabelecermos as armaduras
das lajes em cm2/m.
Entretanto, a fim de se calcular as armaduras necessárias, estaremos nos
utilizando, à partir das alturas das lajes, a altura útil (d). Tendo em vista que as
armaduras são colocadas de maneira sobreposta, ou seja, a armadura
correspondente ao maior momento fletor deve ser sempre a armadura inferior,
enquanto que a armadura correspondente ao menor momento fletor deverá ser
colocada sobre a primeira, teremos de efetivar os cálculos a partir de alturas
úteis diversas para o caso dos momentos fletores positivos, enquanto que para
os momentos fletores negativos, estaremos adotando sempre uma só condição.
b=100 cm.
x
c
dx
h
dy
y
h
dy
dx
Asy
Asx
Dessa maneira, adotando-se que sempre Mx deverá ser maior que My,
adotaremos dx também maior do que dy e, de acordo com afigura, teremos:
dx = h − c −
φx
φy
e dy = h − c − φx −
2
2
Onde:
c = cobrimento das armaduras
Φx = diamentro da armadura Asx
Φy = diamentro da armadura Asy
Nas lajes usuais de edificios, podemos adotar, conforme já verificado, c = 2 cm.
dx = h − c − 0,5 cm e dy = h − 2 − 1,0 cm
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2-7
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CONCRETO B
As armaduras devem respeitar determinados valores mínimos recomendados
pela NBR 6118, onde:
As
As, min
⎛ fcd ⎞
ρs =
e ρmin =
= ωmin ⎜ ⎟ ⇔ ωmin = 0,035
bw × h
bw × h
⎝ fyd ⎠
VALORES MÍNIMOS PARA ARMADURAS
ARMADURAS NEGATIVAS
ρs ≥ ρmin
ARMADURAS POSITIVAS DE LAJES
ARMADAS EM CRUZ
ρs ≥ 0,67 ρmin
ARMADURA POSITIVA (PRINCIPAL) DE
LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
ρs ≥ ρmin
ρs ≥ 20% As principal
ARMADURA POSITIVA (SECUNDÁRIA)
DE LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
ρs ≥ 0,50 ρmin
ρs ≥ 0,90 cm2/m
VALORES MÍNIMOS PARA ARMADURAS (ρmin)
fck
20
25
30
35
40
45
50
CA-50
0,150
0,150
0,173
0,201
0,230
0,259
0,288
CA-60
0,150
0,150
0,150
0,168
0,192
0,216
0,240
Quanto ao espaçamento das armaduras, esses deverão seguir a configuração
da tabela anexa, procurando-se, à medida do possível, adotar valores cujo
espaçamento mínimo seja de 7,5 cm., a fim de facilitar a concretagem das lajes
e, o espaçamento máximo deve ser limitado a 20 cm. ou 2 x h para a armadura
principal. A bitola mínima a ser utilizada deve ser de 5 mm e a máxima bitola não
deve ultrapassar a um décimo da espessura da laje.
Para o cálculo das armaduras, vamos nos utilizar das tabelas de kc e ks, para
que se possa determinar as bitolas a serem utilizadas, assim como o
espaçamento a ser adotado entre as barras.
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3-7
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CONCRETO B
O método a ser utilizado consiste em:
•
Determinar o momento fletor de cálculo, ou seja, o valor de Md que deverá
ser o valor Mk – determinado pelas Tabelas de Marcus – multiplicado pelo
coeficiente de ponderação já estabelecido anteriormente. Assim:
Md = Mk × γf
•
Em seguida calcula-se o valor do coeficiente kc:
kc =
bw × d2
com bw = 100 cm
Md
•
Conhecidos os materiais concreto e aço e o valor de kc, obtém-se na
tabela anexa (7.01) o valor de ks e, a partir desse calcula-se a armadura
necessária:
ks =
As × d
ks × Md
⇒ As =
Md
d
•
Na Tabela anexa (7.02) escolhemos a diâmetro das barras e o
espaçamento.
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4-7
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CONCRETO B
VALORES DE KC e KS PARA AÇOS CA-25, CA-50 e CA-60 – TABELA 7.01
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES
KC
KS
βx = x
d
C15
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
CA25
CA50
CA60
0,01
137,8
103,4
82,7
68,9
59,1
51,7
45,9
41,3
0,046
0,023
0,019
0,02
69,2
51,9
41,5
34,6
29,6
25,9
23,1
20,8
0,046
0,023
0,019
0,03
46,3
34,7
27,8
23,2
19,8
17,4
15,4
13,9
0,0,47
0,023
0,019
0,04
34,9
26,2
20,9
17,4
14,9
13,1
11,6
10,5
0,0,47
0,023
0,019
0,05
28,0
21,0
16,8
14,0
12,0
10,5
9,3
8,4
0,0,47
0,023
0,020
0,06
23,4
17,6
14,1
11,7
10,0
8,8
7,8
7,0
0,0,47
0,024
0,020
0,0,7
20,2
15,1
12,1
10,1
8,6
7,6
6,7
6,1
0,0,47
0,024
0,020
0,08
17,7
13,3
10,6
8,9
7,6
6,6
5,9
5,3
0,048
0,024
0,020
0,09
15,8
11,9
9,5
7,9
6,8
5,9
5,3
4,7
0,048
0,024
0,020
0,10
14,3
10,7
8,6
7,1
6,1
5,4
4,8
4,3
0,048
0,024
0,020
0,12
12,0
9,0
7,2
6,0
5,1
4,5
4,0
3,6
0,048
0,024
0,020
0,13
11,1
8,4
6,7
5,6
4,8
4,2
3,7
3,3
0,049
0,024
0,020
0,14
10,4
7,8
6,2
5,2
4,5
3,9
3,5
3,1
0,049
0,024
0,020
0,15
9,7
7,3
5,8
4,9
4,2
3,7
3,2
2,9
0,049
0,024
0,020
0,16
9,2
6,9
5,5
4,6
3,9
3,4
3,1
2,7
0,049
0,025
0,020
0,17
8,7
6,5
5,2
4,3
3,7
3,2
2,9
2,6
0,049
0,025
0,0,21
0,18
8,02
6,2
4,9
4,1
3,5
3,1
2,7
2,5
0,050
0,025
0,0,21
0,19
7,8
5,9
4,7
3,9
3,4
2,9
2,6
2,3
0,050
0,025
0,0,21
0,20
7,5
5,6
4,5
3,7
3,2
2,8
2,5
2,2
0,050
0,025
0,0,21
0,21
7,1
5,4
4,3
3,6
3,1
2,7
2,4
2,1
0,050
0,025
0,0,21
0,22
6,8
5,1
4,1
3,4
2,9
2,6
2,3
2,1
0,050
0,025
0,0,21
0,23
6,6
4,9
3,9
3,3
2,8
2,5
2,2
2,0
0,051
0,025
0,0,21
0,24
6,3
4,7
3,8
3,2
2,7
2,4
2,1
1,9
0,051
0,025
0,0,21
0,25
6,1
4,6
3,7
3,1
2,6
2,3
2,0
1,8
0,051
0,026
0,0,21
0,26
5,9
4,4
3,5
2,9
2,5
2,2
2,0
1,8
0,051
0,0,26
0,0,21
0,27
5,7
4,3
3,4
2,8
2,4
2,1
1,9
1,7
0,052
0,026
0,0,21
0,28
5,5
4,1
3,3
2,8
2,4
2,1
1,8
1,7
0,052
0,0,26
0,022
0,29
5,4
4,0
3,2
2,7
2,3
2,0
1,8
1,6
0,052
0,026
0,022
0,30
5,2
3,9
3,1
2,6
2,2
1,9
1,7
1,6
0,052
0,0,26
0,022
0,31
5,1
3,8
3,0
2,5
2,2
1,9
1,7
1,5
0,0,53
0,026
0,022
0,32
4,9
3,7
3,0
2,5
2,1
1,8
1,6
1,5
0,0,53
0,0,26
0,022
0,33
4,8
3,6
2,9
2,4
2,1
1,8
1,6
1,4
0,0,53
0,0,26
0,022
0,34
4,7
3,5
2,8
2,3
2,0
1,8
1,6
1,4
0,0,53
0,0,27
0,022
0,35
4,6
3,4
2,7
2,3
2,0
1,7
1,5
1,4
0,0,53
0,0,27
0,022
0,36
4,5
3,3
2,7
2,2
1,9
1,7
1,5
1,3
0,054
0,0,27
0,022
0,37
4,4
3,3
2,6
2,2
1,9
1,6
1,5
1,3
0,054
0,0,27
0,022
0,38
4,3
3,2
2,6
2,1
1,8
1,6
1,4
1,3
0,054
0,0,27
0,023
0,40
4,1
3,1
2,5
2,0
1,8
1,5
1,4
1,2
0,055
0,0,27
0,023
0,42
3,9
2,9
2,4
2,0
1,7
1,5
1,3
1,2
0,0,55
0,028
0,023
0,44
3,8
2,8
2,3
1,9
1,6
1,4
1,3
1,1
0,056
0,028
0,023
0,45
3,7
2,8
2,2
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
0,056
0,028
0,023
0,46
3,7
2,7
2,2
1,8
1,6
1,4
1,2
1,1
0,0,56
0,028
0,023
0,48
3,5
2,7
2,1
1,8
1,5
1,3
1,2
1,1
0,0,57
0,028
0,024
0,50
3,4
2,6
2,1
1,7
1,5
1,3
1,1
1,0
0,0,58
0,029
0,024
0,62
3,3
2,5
2,0
1,7
1,4
1,2
1,1
1,0
0,058
0,029
0,024
0,54
3,2
2,4
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
1,0
0,059
0,029
0,024
0,56
3,2
2,4
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
0,9
0,059
0,030
0,025
0,58
3,1
2,3
1,8
1,5
1,3
1,2
1,0
0,9
0,060
0,030
0,025
0,60
3,0
2,3
1,8
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,061
0,030
0,025
0,62
2,9
2,2
1,8
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,061
0,031
0,025
0,63
2,9
2,2
1,7
1,5
1,2
1,1
1,0
0,9
0,061
0,031
0,026
0,64
2,9
2,2
1,7
1,4
1,2
1,1
1,0
0,9
0,062
0,031
0,026
0,66
2,8
2,1
1,7
1,4
1,2
1,1
0,9
0,8
0,063
0,031
0,026
0,70
2,7
2,0
1,6
1,4
1,2
1,0
0,9
0,8
0,064
0,032
0,027
0,74
2,6
2,0
1,6
1,3
1,1
1,0
0,9
0,8
0,065
0,033
0,027
0,77
2,6
1,9
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,8
0,066
0,033
0,028
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
DOM.
2
3
4
5-7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE ARMADURA PARA LAJES
TABELA 07.02
(cm2/m)
BITOLAS PADRONIZADAS
ESPAÇAMENTO
BITOLAS (Ø)
3,2
4
5
6,3
8
10
12,5
7,0
1,14
1,79
2,86
4,50
7,14
11,43
17,86
7,5
1,07
1,67
2,67
4,20
6,67
10,67
16,67
8,0
1,00
1,56
2,.50
3,94
6,25
10,00
15,63
8,5
0,94
1,47
2,35
3,71
5,88
9,41
14,71
9,0
0,89
1,39
2,22
3,50
5,56
8,89
13,89
9,5
0,84
1,32
2,11
3,32
5,26
8,42
13,16
10,0
0,80
1,25
2,00
3,15
5,00
8,00
12,50
11,0
0,73
1,82
1,82
2,86
4,55
7,27
11,36
12,0
0,67
1,67
1,67
2,62
4,17
6,67
10,42
12,5
0,64
1,60
1,60
2,52
4,00
6,40
10,00
13,0
0,62
1,54
1,54
2,42
3,85
6,15
9,62
14,0
0,57
1,43
1,43
2,25
3,57
5,71
8,93
15,0
0,53
0,83
1,33
2,10
3,33
5,33
8,33
16,0
0,50
0,78
1,25
1,97
3,13
5,00
7,81
17,0
0,47
0,74
1,18
1,85
2,94
4,71
7,35
17,5
0,46
0,71
1,14
1,80
1,75
4,57
7,14
18,0
0,44
0,69
1,11
1,75
2,78
4,44
6,94
19,0
0,42
0,66
1,05
1,66
2,63
4,21
6,58
20,0
0,40
0,63
1,00
1,58
2,50
4,00
6,25
21,0
0,38
0,60
0,95
1,50
2,38
3,81
5,95
22,0
0,36
0,57
0,91
1,43
2,27
3,64
5,68
23,0
0,35
0,54
0,87
1,37
2,17
3,48
5,43
24,0
0,33
0,52
0,83
1,31
2,08
3,33
5,21
25,0
0,32
0,50
0,80
1,26
2,00
3,20
5,00
26,0
0,31
0,48
0,77
1,21
1,92
3,08
4,81
27,0
0,30
0,46
0,74
1,17
1,85
2,96
4,63
28,0
0,29
0,45
0,71
1,12
1,79
2,86
4,46
29,0
0,28
0,43
0,69
1,09
1,72
2,76
4,31
30,0
0,27
0,42
0,67
1,05
1,67
2,67
4,17
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
6-7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
07.03 – Verificação da fissuração:
De acordo com o estabelecido pela NBR 6118, a fissuração de elementos
estruturais de concreto armado é inevitável, devido à grande variabilidade e à
baixa resistência do concreto à tração (...) Visando obter bom desempenho
relacionado à proteção das armaduras quanto à corrosão e à aceitabilidade
sensorial dos usuários, busca-se controlar a abertura dessas fissuras.
Tendo em vista um dos principais objetivos da NBR 6118, conforme já vimos, é o
de proporcionar uma durabilidade considerável às estruturas de concreto, a
abertura máxima característica wk das fissuras, não deverá exceder o valor de
0,3 a 0,4 mm, sob a ação das condições freqüentes.
As ações freqüentes mais desfavoráveis nos levam à condição de adotarmos
para o momento fletor positivo: Mx = Mx[g] + 0,7 Mx[q], sendo que essa
verificação poderá ser efetuada para a laje cujas condições em um certo
pavimento, se apresente a mais desfavorável.
A abertura dessas fissuras pode ser determinada através da equação:
w=
φ
12,5ηb
×
σs ⎛⎜ 4
⎞
+ 45 ⎟⎟ ≤ 0,3 mm.
⎜
Es ⎝ ρr
⎠
Onde:
ηb = coeficiente de conformação superficial (1,00 para aços lisos e 1,5 para aços
de alta aderência)
ρr =
As
0,25 × b × h
σs =
Mxk
As × αe ⎡
2 ⎤
As
e x=
⎢− 1 +
⎥ onde ρd =
αe × ρd ⎦
b ⎣
b×d
⎡⎛
⎤
x⎞
⎢⎜ d − 3 ⎟ × As⎥
⎠
⎣⎝
⎦
⎧Es = 21.000 kN / cm2
Es
αe = ⇒ ⎪⎨
Ec
⎪⎩Ec = 560 × fck ( kN / cm2 )
07.04 – Verificação do cisalhamento:
De uma maneira geral, as armaduras transversais ou de cisalhamento podem
ser dispensadas nos casos das lajes, quando na verificação do concreto temos:
τrd1 ≥
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
Vd
γf × Vk
=
= τwd
b×d
b×d
7-7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
A tensão limite do concreto, por sua vez, pode ser determinada por:
τrd1 = 3 fck × (1,0 + 50 × ρ × l) × (1,6 − d) × αq
Onde:
d = altura útil da laje em metros
ρ=
As
≤ 0,02 → taxa de armadura longitudinal de tração
b×d
⎧ 0,097 c arg as lineares paralelas ao apoio
⎪
l
αq = ⎪⎨ 0,14
⇒ l = lx
para c arg as distribuídas ⇒ αq = 0,17 ⇒ d ≤
d⎞
20
⎪⎛
⎪ ⎜⎝1 − 3 × l ⎟⎠
⎩
Os casos de cisalhamento em lajes também, assim como no caso da fissuração,
devem ser calculados para a pior condição de trabalho, ou seja, para a maior
reação de apoio das lajes consideradas. Se, nesse caso, a pior condição de
trabalho atende à consideração de cisalhamento, as demais lajes também
atenderão.
Para atendermos ao calculo do cisalhamento é preciso dispormos das reações
de apoio das lajes, conforme segue abaixo, estabelecendo-se para efeito de
calculo, a soma das reações, ou seja, das reações provenientes das cargas
permanentes (à direita) somadas às reações das cargas acidentais (à esquerda).
L.207
H=10
6,45/1,97
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
2,82/1,29
H=10
1,65/0,75
2,76/1,24
L.208
H=10
1,93/0,86
1,67/0,51
1,65/0,75
6,45/1,97
L.202
3,21/0,98
3,22/1,44
H=10
4,72/2,14
L.201
0,99/0,45
4,72/2,14
2,82/1,29
0,99/0,45
4,60/2,06
8-7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
07.05 – Disposição das Armaduras:
Com relação à disposição das armaduras, o primeiro item que deve ser
analisado, embora de maneira superficial, pois estaremos desenvolvendo mais à
frente toda a teoria, é com relação à ancoragem das armaduras nos apoios das
lajes, ou seja, estabelecer-se um comprimento tal que o esforço da barra de aço
possa ser transferido ao concreto.
No caso da flexão simples, como ocorre nas lajes em analise, as barras que
compõem a armadura de tração devem ser ancoradas nos apoios para resistir a
um esforço de:
⎧Vd = esforço cor tan te
⎪⎪
⎛ al ⎞
⎨al = 1,5 × d para lajes sem armadura de cisalhamento
Rsd = ⎜ ⎟ × Vd
⎪
⎝d⎠
⎪⎩d = altura útil da laje
A armadura, portanto, para absorver esse esforço deve ser:
As, cal =
Rsd
fyd
Para comprimento de ancoragem básico de:
lb =
φ × fyd
4 × fbd
para fbd = 0,42 × k × ( fcd)
2/3
e lb, min ≥ 0,3lb;10φ ou 10 cm.
Onde k = 1,00 para barras nervuradas (CA50); k = 0,62 para barras entalhadas
(CA60) e k = 0,44 para barras lisas (CA25), e fbd = resistência de cálculo da
aderência.
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
lb, nec = α × lb ×
⎧α = 1,00 → barras sem gancho
As, calc
≥ lb, min → ⎪⎨
⎪α = 0,70 → barras com gancho
As, ef
⎩
O segundo item a ser analisado é com relação à ancoragem das armaduras
negativas compostas por somente uma barra, muito embora possam haver
outras composições com duas barras, que podem ser devidamente ancoradas
seguindo-se o esquema abaixo:
a1
a1
Momento
al
0,25l
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
0,25l
9-7
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Onde podemos adotar o comprimento a1 da seguinte maneira:
a1 ≥ al + lb ou 0,25 × l + 10φ
⎧al = 1,5 × d
⎪⎪
⎨lb = comprimento de ancoragem
⎪
⎪⎩φ = diâmetro da barra
Com relação à disposição das armaduras, as barras negativas (superiores)
seguem alocação de acordo com sua ancoragem e as barras positivas
(inferiores) podem seguir esquema abaixo, muito embora adote-se
freqüentemente todas as barras das armaduras positivas ancoradas nos
elementos de apoio:
0,70 ly
0,70 lx
0,85 ly
0,85 lx
0,85 ly
0,85 lx
Finalizando o item da disposição das armaduras, é importante se destacar a
necessidade de armaduras de canto. Nos casos das lajes formadas por duas
bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência de haver a atuação dos
denominados momentos volventes (torçores), para os quais existe a
necessidade de se dispor de uma armadura especial, denominada armadura de
canto. Essas armaduras deverão ter uma área de armadura, pelo menos igual à
metade da área da armadura no centro da laje, na direção mais armada. As
barras que compõem essa armadura de canto, deverão se estender até uma
distancia de 1/5 do menor vão da laje, medida das faces dos apoios e essas
armaduras deverão ser colocadas tanto na face superior quanto na face inferior.
Assim sendo, as armaduras de canto sempre serão compostas por barras
negativas e positivas, sendo que as barras negativas devem ser dispostas
paralelas à bissetriz do ângulo do canto, enquanto que as barras positivas
deverão ser perpendiculares às negativas.
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ARMADURA NEGATIVA
CONCRETO B
ARMADURA POSITIVA
Lx/5
Lx/5
Ly
Ly
Lx/5
Lx/5
Lx
Lx
07.06 – Cálculo das Lajes:
a) Cálculo das armaduras das lajes L.201 (H=10 cm)
Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm
Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m
Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m
Momento principal: Mk = 1,79 kN.m → Md = 1,4 x 1,79 x 100 = 250,6 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 22,46
250,6
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02
Portanto:
As =
0,02 × 250,6
= 0,67 cm2 / m
7,5
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5 (As = 1,14 cm2/m)
Momento secundário: Mk = 0,90 kN.m → Md = 1,4 x 0,90 x 100 = 126 kN.cm
kc =
100 × 72
= 38,89
126
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,019
Portanto:
As =
0,019 × 126
= 0,34 cm2 / m
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CONCRETO B
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5
Momento negativo entre L.201 e L.202:
Mk = 3,91 kN.m → Md = 1,4 x 3,91 x 100 = 547,4 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 10,28
547,4
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020
Portanto:
As =
0,020 × 547,4
= 1,46 cm2 / m
7,5
Adotamos como armadura negativa a mínima de Norma, ou seja:
As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5
b) Cálculo das armaduras da laje L.207 (H=10 cm)
Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm
Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m
Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m
Momento principal: Mk = 2,09 kN.m → Md = 1,4 x 2,09 x 100 = 292,6 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 19,36
290,6
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02
Portanto:
As =
0,02 × 292,6
= 0,78 cm2 / m
7,5
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5
Momento secundário: Mk = 1,56 kN.m → Md = 1,4 x 1,56 x 100 = 218,4 kN.cm
100 × 72
kc =
= 22,44
218,4
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02
Portanto:
As =
0,02 × 218,4
= 0,62 cm2 / m
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CONCRETO B
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5
Momento negativo máximo:
Mk = 5,05 kN.m → Md = 1,4 x 5,05 x 100 = 707 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 7,96
707
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020
Portanto:
As =
0,020 × 707
= 1,89 cm2 / m
7,5
Adotamos como armadura negativa → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 10
Momento negativo mínimo (L.207/L.208):
Mk = 3,51 kN.m → Md = 1,4 x 3,51 x 100 = 491,4 kN.cm
100 × 7,52
kc =
= 11,45
491,4
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020
Portanto:
As =
0,020 × 491,4
= 1,31 cm2 / m
7,5
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5 = 1,60 cm2/m
Momento negativo mínimo (L.207/L.201):
Mk = 4,04 kN.m → Md = 1,4 x 3,51 x 100 = 565,6 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 9,95
565,6
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020
Portanto:
As =
0,020 × 565,6
= 1,51 cm2 / m
7,5
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5 = 1,60 cm2/m
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CONCRETO B
c) Cálculo das armaduras da laje L.208 (H=10 cm)
Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm
Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m
Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m
Momento principal: Mk = 2,08 kN.m → Md = 1,4 x 2,08 x 100 = 291,2 kN.cm
100 × 7,52
kc =
= 19,32
291,2
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02
Portanto:
As =
0,02 × 291,2
= 0,78 cm2 / m
7,5
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5
Momento secundário: Mk = 1,64 kN.m → Md = 1,4 x 1,56 x 100 = 229,6 kN.cm
kc =
100 × 72
= 21,34
229,6
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02
Portanto:
As =
0,02 × 229,6
= 0,66 cm2 / m
7
Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:
As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5
Momento negativo máximo:
Mk = 4,79 kN.m → Md = 1,4 x 4,79 x 100 = 670,6 kN.cm
kc =
100 × 7,52
= 8,39
670,6
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020
Portanto:
As =
0,020 × 670,6
= 1,79 cm2 / m
7,5
Adotamos como armadura negativa → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 10
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CONCRETO B
d) Verificação da fissuração:
Conforme estabelecido anteriormente, estaremos verificando a fissuração para a
pior condição de momentos positivos, e a laje que nos oferece as condições
mais desfavoráveis é a L.207. Assim sendo teremos: Mx = Mx[g] + 0,7Mx[q]
Ao calcularmos os momentos fletores dessa laje, verificamos que sua carga
permanente [g] é de 4,9 kN/m2 e sua carga acidental [q] é de 1,5 kN/m2 e
também pela Tabela de Marcus temos mx = 39,74. Dessa maneira:
Mx =
4,9 × 3,602 0,7 × 1,5 × 3,602
+
= 1,94 kN.m
39,74
39,74
ρr =
As
1,14
As
1,14
=
= 0,0046 → ρd =
=
= 0,0015
0,25 × b × h 0,25 × 100 × 10
b × dx 100 × 7,5
αe =
Es
⇔ Es = 21.000 kN / cm2 e Ec = 560 × 20 = 2.504 ⇔ αe = 8,39
Ec
x=
⎤
2
1,14 × 8,39 ⎡
⎢− 1 +
⎥ = 1,11 cm
8,39 × 0,0015 ⎦
100 ⎣
σs =
Para Φ = 5 mm e ŋb = 1,5, teremos:
w=
194
= 23,86 kN / cm2
⎡⎛
⎤
1,11⎞
⎢⎜ 7,5 − 3 ⎟ × 1,14⎥
⎠
⎣⎝
⎦
0,5
23,86 ⎛ 4
⎞
×
+ 45 ⎟ = 0,028 ≤ 0,3 mm.
⎜
12,5 × 1,5 21.000 ⎝ 0,0046
⎠
Portanto, não existe fissuração excessiva nas lajes.
e) Verificação do cisalhamento:
Assim como no caso da fissuração, estaremos verificando o cisalhamento para o
caso mais desfavorável que também vem a ocorrer na L.205, pois teremos aí a
maior reação de apoio: Vk = 6,45 + 1,97 = 8,42 kN/m = 8420 N/m
τwd = γf × Vd = 1,4 × 8420 = 157.153 N / m2 = 15,72 N / cm2
b×d
ρ=
1× 0,075
lx 360
Asx
1,14
0,152
=
=
e
=
= 18 > d = 7,5 cm ⇒ αq = 0,17
b × d 100 × 7,5 100
20 20
A tensão limite do concreto, por sua vez, pode ser determinada por:
τrd1 = 3 20 × (1,0 + 50 ×
0,156
× 3,60) × (1,6 − 0,075) × 0,17 = 0,90 MPa = 90 N / cm2 > 15,72 N / cm2
100
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CONCRETO B
Tendo em vista que as tensões admissíveis são superiores às tensões atuantes,
podemos concluir que não há necessidade de armadura de cisalhamento nas
lajes.
f) Ancoragem das barras:
⎛ 1,5 × 7,5 ⎞
Rsd = ⎜
⎟1,4 × 8,42 = 17,68 kN
⎝ 7,5 ⎠
A armadura, portanto, para absorver esse esforço deve ser:
As, cal =
17,68
= 0,34 cm2 / m
60
1,15
Comprimento de ancoragem básico:
lb =
5 × 52,17
20
para fbd = 0,42 × 0,62 × ( )2 / 3 ⇒ lb = 26,40 cm
4 × fbd
1,4
lb, nec = 1,00 × 26,40 ×
0,34
= 7,87 cm. < 26,40 cm.
1,14
lb, min ≥ 0,3 × 26,4 = 7,95 cm; 10 × 0,5 = 10 cm. ou 10 cm.
Assim sendo, o comprimento de ancoragem necessário será de 10 cm.
compatível com as vigas com espessura de 14 cm.
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CONCRETO B
ARMADURA POSITIVA
L.201
L.202
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
L.208
L.207
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
Ø 5 c/17,5
ARMADURA NEGATIVA
Ø 5 c/12,5
L.202
Ø 5 c/10
Ø 5 c/10
L.201
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Ø 5 c/12,5
L.208
Ø 5 c/10
Ø 5 c/10
L.207
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CONCRETO B
08 - Marquises e Escadas
08.01 – Marquises ou Lajes em balanço:
Marquises ou Lajes em balanço, são aquelas que se projetam para fora do
edifício, tendo como apoio apenas em um dos seus lados sendo o outro lado
sem qualquer tipo de apoio, ou seja, em balanço. Essas lajes são sempre
calculadas a partir das equações elementares da Resistência dos Materiais para
peças em balanço, a fim de se determinar os momentos fletores assim como os
esforços de cisalhamento.
Sendo uma estrutura do tipo isostática, qualquer que seja a falha na região do
apoio faz com que esse tipo de estrutura sofra colapso estrutural de maneira
praticamente imediata. Daí a necessidade de sempre se tomar cuidados
especiais no seu dimensionamento, no que diz respeito aos esforços assim
como quanto às deformações.
08.02 – Cargas Atuantes nas Marquises:
Para efeito de cargas atuantes, valem as mesmas definidas para as demais
lajes, no que se refere às cargas distribuídas. Assim sendo, se tivermos para
essa laje uma utilização residencial, tomaremos as cargas para esse fim.
Entretanto, em vista de que essas lajes têm uma extremidade em balanço, é
bastante comum que nessa extremidade sejam colocadas cargas adicionais, tais
peitoris de alvenaria ou mesmo gradis metálicos, assim como vigas testeiras de
concreto armado, cuja finalidade seria a de arrematar forros de madeira a fim de
esconder possíveis drenagens de águas pluviais ou mesmo por razoes
arquitetônicas.
Nesses casos a NBR 6120 prevê que para as cargas em “balcão”, deverão ser
previstas alem das cargas distribuídas convencionais, ao longo dos parapeitos
uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical de
2 kN/m, tais como indicadas na figura abaixo:
2 kN/m
0,8 kN/m
MARQUISE
PEITORIL
L balanço
VIGA DE APOIO
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1-8
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CONCRETO B
08.03 – Esforços Atuantes nas Marquises:
Conforme já mencionado, os esforços atuantes de flexão e de cisalhamento,
assim como as deformações nas marquises, deverão ser determinadas pelas
equações da Resistência dos Materiais. Assim sendo:
LAJES EM BALANÇO
TIPO
REAÇÕES DE
APOIO
MOMENTO FLETOR
DEFORMAÇÃO
(FLECHA)
Py
R = p × l + Px
f
p
H peitoril
Px
X=
p × l2
+ Px × l + Py × h
2
L balanço
3
f=
P×l
p × l4
+
8 ×E ×I 3 ×E ×I
f≤
l
125
Onde:
p = carga distribuída
Px = carga vertical do peitoril + testeiras + alvenarias ou gradis
Py = carga vertical para balcão.
Uma vez determinados os esforços de flexão e cisalhamento, os demais
procedimentos para dimensionamento das marquises prossegue da mesma
maneira como se processa o dimensionamento das lajes maciças
convencionais, ou seja, a partir dos esforços calculados, tomam-se os valores
das Tabelas de kc e ks. Quanto ás armaduras, essas devem ser dispostas
corretamente, levando-se em conta que o momento principal calculado para as
marquises é negativo, a armadura principal deve ser disposta como armadura
negativa e as demais devem seguir as regras de armaduras mínimas já
convencionadas.
A disposição das armaduras negativas deverá ter seu comprimento determinado
a partir do comprimento do balanço. Sendo l o comprimento da barra no
balanço, o comprimento total do trecho horizontal da barra será igual a 2,5 l..
Havendo qualquer tipo de rebaixo, muito comum nesses tipos de lajes, em
especial nos edifícios residenciais a fim de se evitar a entrada de água para o
interior da unidade residencial, as armaduras deverão ser dispostas de maneira
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2-8
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
a proporcionar o engastamento necessário. Os desenhos abaixo especificam
tais procedimentos:
LAJES EM NÍVEL
LAJES COM REBAIXO
ARMADURA PRINCIPAL
H
H
ARMADURA PRINCIPAL
ARMADURAS SECUNDÁRIAS
(DISTRIBUIÇÃO)
1,5L
ARMADURAS SECUNDÁRIAS
(DISTRIBUIÇÃO)
1,5L
L
L
08.04 – Exemplo Prático de Marquise:
Desenvolver o cálculo da laje em balanço da varanda do apartamento
apresentado como projeto padrão, tendo como vão o valor de 1,20 m..
Inicialmente devemos admitir as cargas atuantes na laje em questão. Para efeito
de peso próprio, adotaremos a laje com espessura de 10 cm, assim como as
demais; como revestimento, os valores também serão os mesmos anteriores; as
cargas de peitoril serão adotadas as recomendas pela NBR 6120, acrescidas do
peso de uma mureta de alvenaria em blocos de concreto com espessura
nominal de 9 cm. e altura de 1,10 m. A alvenaria da mureta lateral deverá ter sua
carga dividida pela área da laje.
Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenaria lateral =
2,5 kN/m2+0,8 kN/m2+(1,7x1,1x1,2/2,2x1,1=0,93 kN/m2) = 4,23 kN/m2
Carga acidental [q] = 3,0 kN/m2 (terraços com acesso ao público)
Cargas de balcão: Px = 2,0 kN/m + (1,7 x 1,10)kN/m = 3,87 kN/m.
Carga de balcão: Py = 0,8 kN/m.
Calculo dos esforços:
R = ( 4,23 + 3,0)x1,2 + 3,87 = 12,55 kN / m
2
(4,23 + 3,0) × 1,2
+ 3,87 × 1,2 + 0,8 × 1,1 = 10,73 kN.m
2
⎛ 4,23 + 3,0 ⎞
4
⎜
⎟
3
⎜⎜
⎟⎟ × 120
3,87 × 120
l 120
100
⎝
⎠
f=
+
= 0,19 cm <
=
= 0,96 cm
8 × 2.504 × 8.333
125 125
3 × 2.504 × 8.333
X=
Cálculo da armadura: Mk = 10,73 kN.m→ Md = 1,4x10,73x100 = 1.502 kN.cm
kc =
100 × 7,52
0,022 × 1.502
= 3,75 → ks = 0,022 → As =
= 4,41 cm2 / m
1.502
7,5
Adotamos como armadura negativa 1Φ 8 c/10 = 5,00 cm2
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3-8
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
08.05 – Escadas:
Somente estarão sendo analisadas, nesse tópico, escadas usuais, pois as
especiais ou de comportamento diferenciado não serão aqui estudadas.
Um dos fatores, embora não estrutural, preponderante no dimensionamento das
escadas se refere ao seu conforto de uso e, para isso, se faz necessário que
seja verificada e satisfeita a relação p + 2e = 60 a 64 cm., onde p representa a
dimensão do piso ou passo, enquanto e refere-se à altura do degrau ou espelho.
Não menos importante do que a relação especificada acima, também nos
detemos na altura livre (hl), ou seja, a altura entre o elemento superior mais
próximo (viga, laje forros) e a linha de união entre os vértices das arestas
superiores dos degraus, conforme indica o desenho abaixo, devendo ser
superior a 2,10 m.:
ESTRUTURA SUPERIOR
hl>
0
21
e
Lv
p
H
Onde:
H = altura da laje (seguem-se os mesmos parâmetros já apresentados para
lajes)
Lv = altura do desnivel a ser vencido
08.06 – Cargas Atuantes em Escadas:
Para efeito de cargas atuantes, valem as mesmas definidas para as demais
lajes, no que se refere às cargas distribuídas. Assim sendo, se tivermos para
essa laje uma utilização residencial, tomaremos as cargas para esse fim.
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4-8
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
A primeira consideração com relação às cargas, nos diz respeito à avaliação do
peso próprio das escadas, já que as mesmas por possuírem degraus, cujos
enchimentos são, em geral, executados com o próprio concreto mas, em
algumas circunstancias também pode ser em alvenaria, aumentam o peso
destas. Nesses casos, toma-se para peso próprio, então, o somatório da carga
de peso da laje, determinado como das outras vezes, e do peso dos degraus.
Para que se determine o peso dos degraus, toma-se a média da altura dos
degraus (e/2) e multiplica-se pelo peso especifico do material que se está
utilizando, concreto ou alvenaria.
Tomemos a escada:
1o. Caso – degraus em concreto
peso do degrau = 25 kN/m3 x 0,09 = 2,25 kN/m2
28
12
1-2) enchimento do degrau em concreto:
18
1-1) peso próprio da laje = 25 kN/m3 x 0,12 = 3 kN/m2
1-3) peso próprio total = 3 + 2,25 = 5,25 kN/m2
2o. Caso – degraus em alvenaria de tijolos de barro
1-1) peso próprio da laje = 25 kN/m3 x 0,12 = 3 kN/m2
ENCHIMENTO DO DEGRAU
(NÃO ESTRUTURAL)
1-2) enchimento do degrau em concreto:
peso do degrau = 16 kN/m3 x 0,09 = 1,44 kN/m2
1-3) peso próprio total = 3 + 1,44 = 4,44 kN/m2
Para os revestimentos, podemos tomar os mesmos valores já anotados
anteriormente, variando entre 0,8 kN/m2 e 1,2 kN/m2, a menos que se utilize de
materiais mais pesados tais o mármore ou granito, devendo, nessas ocasiões
singulares, determinar-se o peso do revestimento pela espessura das pedras a
serem utilizadas.
Para efeito das cargas acidentais, tomam-se os mesmos valores utilizados para
as marquises, ou seja:
•
3,0 kN/m2 para escadas com acesso publico e
•
2,0 kN/m2 para escadas sem acesso publico.
Finalizando o item das cargas, ainda teremos a inclusão das cargas
provenientes de paredes, gradis ou muretas entre os lances das escadas. Assim
como avaliada essa carga no caso das marquises, procede-se de maneira
análoga no caso das escadas, tomando-se essas cargas lineares e
transformando-as em cargas uniformemente distribuídas: verifica-se a magnitude
total da carga e divide-se essa carga pela área de projeção da escada.
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5-8
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CONCRETO B
08.07 – Tipos Usuais de Escadas:
Embora existam diversos tipos de escadas do ponto de vista de suas
considerações estruturais, tipos de apoio, etc., nesse trabalho, conforme já
mencionado anteriormente, estaremos nos ocupando apenas das escadas mais
usuais em edifícios residências, comerciais ou industriais. Os tipos mais usuais
de escadas armadas longitudinalmente são:
•
Escadas com um único lance com ou sem patamares;
•
Escadas com lajes ortogonais em L;
•
Escadas com lajes ortogonais em U e
•
Escadas com lajes em lances adjacentes.
08.07.a) Escadas com um único lance:
V.300
V.200
EM PLANTA
p
EM CORTE
VIGA DE APOIO
V.300
H
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
L
ARMADURA PRINCIPAL
VIGA DE APOIO
V.200
L
Para esse tipo de escada, os esforços atuantes (reações de apoio e momento
fletor) serão calculados da seguinte maneira:
R=
p×l
p × l2
e M=
2
8
E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras
segue o modelo das lajes anteriores.
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6-8
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CONCRETO B
08.07.b) Escadas com um único lance e com patamares:
As disposições para esse tipo de escada são bastante variáveis, sendo que para
efeito de calculo, procede-se da mesma maneira do tipo anterior, adotando-se
para a determinação de esforços as mesmas equações.
p
p
APOIO
APOIO
APOIO
p
p
APOIO
APOIO
APOIO
APOIO
APOIO
L
L
Assim , os esforços seguem as equações:
R=
p×l
p × l2
e M=
2
8
Entretanto, nesses tipos de escadas com patamares há que se tomar especial
cuidado com o detalhamento das armaduras positivas. Muito embora o processo
de cálculo dessas armaduras se dê da mesma maneira como em todas as lajes
já dimensionadas, a disposição dessas armaduras deve ser dotada de alguns
procedimentos:
lb
Onde:
lb
H
c
lb = comprimento de ancoragem reta
c = cobrimento da armadura
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
ARMADURA PRINCIPAL
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7-8
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CONCRETO B
08.07.c) Escadas com lajes ortogonais em L:
V.I.200
V.200
EM PLANTA
V.300
EM CORTE
EM CORTE
(2° LANCE)
H
(1° LANCE)
VIGA DE APOIO
V.300
H
VIGA DE APOIO
V.I.200
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
(2° LANCE)
H
ARMADURA DO LANCE ADJACENTE
(2° LANCE)
H
ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO
(1° LANCE)
ARMADURA PRINCIPAL
(2° LANCE)
VIGA DE APOIO
V.I.200
ARMADURA PRINCIPAL
(1° LANCE)
ARMADURA DO LANCE ADJACENTE
(1° LANCE)
VIGA DE APOIO
V.200
L1
L2
Nesses tipos de escadas, os esforços atuantes podem ser determinados
estabelecendo que um dos lances deverá ser o denominado principal que, por
sua vez, recebe como apoio de parte do lance denominado secundário. A laje
tida como principal, além das cargas comuns a todas as escadas, recebe na
região do patamar esforços adicionais provenientes do apoio da laje adjacente.
Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:
(1 ° L A N C E )
Lb + Ba/2
Lb
Ba/2
Ba
(2° LANCE)
Bb
La
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8-8
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CONCRETO B
As reações de apoio e os momentos fletores serão calculados admitindo-se duas
lajes armadas em uma única direção, cada uma com sua carga especifica.
R=
1o. Lance:
p × la
p × la 2
e M=
2
8
⎛
Ba ⎞
⎛
⎜ p × ⎜ la + ⎟
2⎠
⎝
R=⎜
⎜
2
⎜
⎝
2o. Lance:
⎞
Ba ⎞
⎛
p × ⎜ la + ⎟
⎟
2⎠
⎝
⎟e M=
⎟
8
⎟
⎠
2
E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras
segue o modelo das lajes anteriores.
08.07.d) Escadas com lajes ortogonais em U:
EM PLANTA
V .I.2 0 0
V .2 0 0
V .3 0 0
EM CORTE
EM CORTE
(1 ° L A N C E )
H
(3 ° L A N C E )
V IG A D E A P O IO
V .3 0 0
H
A R M AD U R A D O LAN C E A DJAC EN TE
(2 ° L A N C E )
A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O
(3 ° L A N C E )
H
A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O
(1 ° L A N C E )
H
V IG A D E A P O IO
V .I.2 0 0
A R M A D U R A P R IN C IP A L
(3 ° L A N C E )
A R M A D U R A P R IN C IP A L
(1 ° L A N C E )
V IG A D E A P O IO
V .2 0 0
V IG A D E A P O IO
V .I.2 0 0
AR M AD U R A D O LAN C E ADJAC EN TE
(2 ° L A N C E )
L1
L3
EM CORTE
H
(2 ° L A N C E )
H
A R M AD U R A DO LAN CE AD JAC EN TE
(3 ° L A N C E )
A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O
(2 ° L A N C E )
H
A R M A D U R A P R IN C IP A L
(2 ° L A N C E )
A R M AD U R A D O LAN C E A D JAC EN TE
(2 ° L A N C E )
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9-8
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CONCRETO B
Nesses tipos de escadas, os esforços atuantes não fogem às regras já
determinadas no caso anterior e, nesse caso, podem ser determinados
estabelecendo que dois lances deverão ser denominados principais que, por sua
vez, recebe como apoio de parte do lance denominado secundário. As lajes tidas
como principais, além das cargas comuns a todas as escadas, recebe na região
do patamar esforços adicionais provenientes do apoio da laje adjacente.
Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:
Lc
(2 ° L A N C E )
Bb
La
(3° LANCE)
Bc
(1° LANCE)
Ba
B a /2
Lb
B c/2
As reações de apoio e os momentos fletores serão calculados admitindo-se as
três lajes armadas em uma única direção, cada uma com sua carga especifica.
o
o
1 . e 3 . Lances:
2o. Lance:
R=
p × la 2
p × la
e M=
8
2
⎛
Ba Bc ⎞
⎛
⎜ p × ⎜ la +
+ ⎟
2
2⎠
⎝
⎜
R=
⎜
2
⎜
⎝
⎞
Ba Bc ⎞
⎛
+ ⎟
p × ⎜ la +
⎟
2
2⎠
⎝
⎟e M=
⎟
8
⎟
⎠
2
E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras
segue o modelo das lajes anteriores.
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10-8
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08.07.e) Escadas com lajes em lances adjacentes:
EM PLAN TA
V.I.200
V .200
V.300
E M CO R TE
EM C O RTE
(1° LAN C E)
H
(2° LAN C E)
VIG A DE APO IO
V.300
H
H
V IG A DE APO IO
V.I.200
AR M AD U R A D E D ISTRIBU IÇÃO
(PATAM AR)
AR M AD U RA D E DISTRIBU IÇÃO
(2° LAN CE)
H
AR M AD U R A D E D ISTR IBUIÇÃO
(1° LANC E)
AR M A DU R A PR IN CIPAL
(2° LAN CE)
AR M AD U RA PRINCIPAL
(1° LAN CE)
VIG A D E APO IO
V.200
VIG A D E A PO IO
V.I.200
AR M A DU R A D E D ISTR IBUIÇÃO
(P ATAM AR)
L1
L3
É um dos modelos mais comuns de escadas e, nesses casos, os dois lances
formam duas lajes distintas entre si, apoiadas em uma única direção e que não
sofrem efeitos de cargas adjacentes, somente havendo, em comum, um patamar
intermediário.
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Bb
(2° LANCE)
Lb
Ba
(1° LANCE)
La
Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:
11-8
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CONCRETO B
Assim , os esforços seguem as equações:
R=
p × la 2
p × la
e M=
8
2
08.08) Calculo da Escada do Edifício Modelo:
Cargas Atuantes
Peso próprio – l = 345 cm (para efeito de pré-dimensionamento das lajes de
escadas desse tipo, podemos multiplicar o valor do vão por 0,028 e, assim,
podemos obter a espessura da laje) – 345 x 0,028 = 9,66 cm ↔ H = 10 cm.
Quanto aos degraus, estamos admitindo pé-direito de 280 cm., no que resultam
dezesseis degraus com dezoito centímetros de altura, ou seja, 16 x 18; para
efeito de alvenarias, admitimos a existência de parede entre os lances da
escada como fechamento e as cargas acidentais serão as preconizadas por
normas técnicas. Assim:
p.p. = 25 x 0,10 = 2,5 kN/m2
degraus: 25 x 18 / 2 = 2,25 kN/m2
alvenaria:
H alv × L alv × γalv 2,80 × 2,10 × 1,7
=
= 1,07 kN / m 2
A esc
2,70 × 3,45
c. acidental = 3,00 kN/m2
Total de cargas aplicadas = 8,82 kN/m2
Ra =
8,82 × 3,45
8,82 × 3,45 2
= 15,21 kN / m e M =
= 13,12 kN × m
2
8
Cálculo das armaduras (H=10 cm)
Teremos a altura útil definida como: dx = 7,5 cm
Armadura mínima: ρx = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m e ρy = 0,10% x 100 x 10
= 1,00 cm2/m
Momento principal: Mk = 13,12 kN.m → Md = 1,4 x 13,12 x 100 = 1.837 kN.cm
100x7,52
= 3,06
kc =
1.837
Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA50 → ks = 0,027
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12-8
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Portanto:
As =
CONCRETO B
0,027 × 1.837
= 6,61 cm2 / m → 1φ8 c / 7,5
7,5
ARMAÇÃO DA ESCADA
EM CORTE
10
(1° LANCE)
VIGA DE APOIO
V.I.200
10
1 Ø 5 c / 20
1 Ø 5 c / 20
1 Ø 8 c / 7,5
VIGA DE APOIO
V.200
EM CORTE
(2° LANCE)
10
VIGA DE APOIO
V.300
10
1 Ø 5 c / 20
1 Ø 8 c / 7,5
VIGA DE APOIO
V.I.200
1 Ø 5 c / 20
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13-8
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CONCRETO B
09 - Vigas
09.01 – Definições:
Como definição básica, pode-se estabelecer que vigas são “elementos lineares
em que a flexão é preponderante” (NBR 6118), o que equivale a dizer que são
elementos estruturais cuja predominância de solicitações se dá através da
flexão, sendo, portanto, seus esforços principais os momentos fletores e as
forças cortantes.
Nos edifícios correntes, a finalidade das vigas está em servir como elemento
estrutural de apoio para lajes e paredes, conduzindo essas cargas até os pilares
e também como elementos de composição de estruturas aporticadas.
As vinculações das vigas com os pilares podem se dar através de simples apoio,
assim como através de engastamentos, quando as necessidades estruturais
assim determinarem. Os vãos vencidos pelas vigas são denominados vão livre a
distância entre as faces dos apoios, enquanto que o vão teórico ou vão efetivo é
decorrente das dimensões dos elementos de apoio. Para edifícios de pequeno
porte, em vista de que as dimensões dos pilares não são muito grandes, à
exceção de algum pilar parede, pode-se trabalhar com os vãos das vigas como
sendo a distancia entre seus apoios.
09.02 – Cargas Atuantes:
As cargas que atuam sobre as vigas são provenientes, em geral, das cargas
verticais do seu peso próprio, das reações de apoio das lajes, das paredes de
alvenaria que nelas se apóiam e também da reação de apoio de outras vigas
que compõe um determinado quadro de estruturas. As primeiras cargas podem
ser consideradas como sendo uniformemente distribuídas, enquanto que no
caso de apoio de outras vigas, ou mesmo pilares – vigas de transição – as
cargas devem ser consideradas como sendo concentradas.
a) para efeito de peso próprio, a sua avaliação será determinada pelo peso
especifico do concreto multiplicado pela seção transversal da viga:
Peso = bw × h × γc
b) as reações das lajes são aquelas oriundas dos cálculos específicos desses
elementos estruturais;
c) para efeito do peso das paredes apoiadas sobre as vigas, não se desconta
vãos devido a portas ou janelas, a menos que esses vãos sejam maiores do que
1/3 da área total, devendo-se, nesses casos, considerar-se o peso dos caixilhos
ou outro elementos de vedação, somente descontando-se da altura entre as
lajes dos pavimentos, a altura da viga imediatamente acima.
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1-9
CONCRETO B
ALVENARIA
Halvenaria
Hviga
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09.03 – Prescrições Gerais:
Definido pela NBR 6118/2003, a seção transversal das vigas não deverá
apresentar largura menor que 12 cm. e das vigas parede, menor que 15 cm.
esses limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10
cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes
condições:
a) alojamento das armaduras e suas interferências com armaduras de outros
elementos estruturais respeitando os espaçamentos e as coberturas
estabelecidos nesta Norma;
b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14391.
Alguns autores propõem que geometricamente as vigas deverão manter uma
relação entre vão e altura, para vigas isostáticas, de l/h ≥ 3,0 e, para vigas
continuas, de l/h ≥ 2,0 em que l é o comprimento do vão teórico (dobra-se esse
vão no caso de balanços) e h a altura total da viga. Ainda a relação entre a
largura e a altura da seção deverá ser menor ou igual a cinco.
Quanto à disposição das armaduras nas vigas, deve-se observar a acomodação
das barras dentro da seção proposta, de tal forma que bw = bs + 2c, onde bw é a
largura da viga; bs a largura livre para acomodação das barras longitudinais e c o
cobrimento das armaduras. Essas medidas podem ser verificadas em tabelas
adiante, assim como outras dimensões mínimas que deverão ser respeitadas.
Mas, se a disposição das armaduras é importante, não menos importante são as
definições das armaduras longitudinais mínimas e máximas para as seções
transversais das vigas.
No primeiro caso, das armaduras mínimas, estabelece-se como critério para sua
obtenção, que essa armadura longitudinal de tração mínima deva resistir a um
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2-9
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CONCRETO B
momento fletor igual ou superior ao de ruptura da seção sem armadura, sem
considerar a resistência à tração do concreto. Com base nesse principio, a NBR
6118, estabelece que o valor do momento fletor mínimo para se determinar a
armadura mínima de tração, para as seções retangulares deve ser:
Md, min = 0,052 × bw × h2 × fck 2 / 3
Dessa maneira, as taxas mínimas de armadura deverão atender à tabela abaixo:
ρmin =
As
bw × h
SEÇÃO
fck (Mpa)
RETANGULAR
20
25
30
35
40
45
50
ρmin (%)
0,15
0,15
0,173
0,201
0,23
0,259
0,288
Quanto à armadura longitudinal máxima, sua necessidade decorre da
necessidade de se manter a dutibilidade da estrutura, evitando-se excessiva
concentração de armaduras longitudinais em determinadas partes da seção
transversal. Assim, a NBR 6118 estabelece que a soma das armaduras de
tração (As) e de compressão (A´s), ou seja, a armadura total da seção, As, tot,
deverá ser:
As, tot = As + A´s ≤ 4%(bw × h)
Em vigas com altura superior a 60 cm, deve-se adicionar uma armadura
denominada de armadura de pele, alojada nas faces laterais verticais das vigas
e cuja quantidade deve ser igual 0,1%Ac = 0,001 x b x h, por face. O
espaçamento recomendado para essa armadura é de 20 cm. ou a 1/3 da altura
útil da seção transversal da viga.
b
d
sp
p
d´
c
h
t
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3-9
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CONCRETO B
TABELA 09.01 - ÁREA DE SEÇAO DE BARRAS (As) e LARGURA MÍNIMA POR
CAMADA (bw)
BITOLA MASSA
5
0,16
As
(cm2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
As
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
Br.1
-
10
12
15
18
21
23
26
29
32
Br.2
-
10
14
17
21
24
28
31
35
38
0,32
0,63
0,95
1,26
1,58
1,89
2,21
2,52
2,84
3,15
Br.1
-
10
13
16
19
21
24
27
30
33
Br.2
-
11
14
18
21
25
29
32
36
40
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
Br.1
-
10
13
16
19
22
26
29
32
35
Br.2
-
11
15
18
22
26
30
34
37
41
0,8
1,60
2,40
3,20
4,00
4,80
5,60
6,40
7,20
8,00
Br.1
-
11
14
17
20
24
27
30
34
37
Br.2
-
11
15
19
23
27
31
35
39
43
1,25
2,50
3,75
5,00
6,25
7,50
8,75
10,00
11,25
12,50
Br.1
-
11
15
18
22
25
29
32
36
39
Br.2
-
12
16
20
25
29
33
37
42
46
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
18,00
20,00
Br.1
-
12
16
20
23
27
31
35
39
43
Br.2
-
12
17
22
26
31
35
40
45
49
3,15
6,30
9,45
12,60
15,75
18,90
22,05
25,20
28,35
31,50
Br.1
-
13
17
21
25
30
34
38
43
47
Br.2
-
13
18
23
28
33
38
413
48
53
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
Br.1
-
14
19
24
29
34
39
44
49
54
Br.2
-
14
20
25
31
36
42
47
53
58
bw
As
6.3
0,25
bw
As
8
0,40
bw
As
10
0,63
bw
As
12.5
1,00
bw
As
16
1,60
bw
As
20
2,50
bw
As
25
4,00
bw
VALORES ADOTADOS Φe = 6,3 mm e C=2,5 cm
Br.1 = BRITA 1 (Φmax = 19 mm) – Br.2 = BRITA 2 (Φmax = 25 mm)
eh ≥ Φl ou 2 cm – ev ≥ Φl ou 2 cm
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4-9
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CONCRETO B
09.04 – Dimensionamento das Armaduras:
As armaduras das vigas sujeitas a flexão, deverão ser dimensionadas para
absorver os esforços dos momentos fletores e esforços de cisalhamento.
a) Momento Fletor:
No o dimensionamento das armaduras para combater o Momento Fletor, o
cálculo se faz da mesma maneira como já indicado caso das lajes, utilizando-se
das Tabelas de Kc e Ks, inclusive determinando-se o valor da altura útil (d).
b
φl
2
d
t
h
d´= h − d = c + φt +
d´
c
Onde:
c = cobrimento das armaduras
Φt = diâmetro da armadura transversal de cislhamento
Φl = diâmetro da armadura longitudinal As
Nas vigas usuais de edificios podemos adotar:
d = h − (c − 2 cm) ⇔ d ≅ h − 5 cm
O método a ser utilizado consiste em:
• Determinar o momento limite para armadura simples:
Md, lim =
b × d2
Kc, lim
Para Kc,lim → valor de Kc correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4
(Tabela 9.03 – área sem sombreamento).
Por exemplo, para o aço CA50 e concreto C20, teremos Kc,lim = 2,2.
Para valores maiores que Md,lim, devemos aumentar a seção da viga ou
utilizar armadura dupla (A´s), ou seja, armadura de compressão, cujo
calculo deve ser feito conforme definido logo a seguir (Tabela 09.02).
•
Para os casos de armadura simples, nos utilizamos do momento fletor de
cálculo obtido pela resolução estática da viga, ou seja, o valor de Md que
deverá ser o valor Mk multiplicado pelo coeficiente de ponderação já
estabelecido anteriormente. Assim:
Md = Mk x γf
•
Em seguida calcula-se o valor do coeficiente kc:
bw × d2
kc =
Md
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5-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
•
Conhecidos os materiais, concreto e aço e o valor de kc, obtém-se na
tabela anexa (9.03) o valor de ks e, a partir desse calcula-se a armadura
necessária:
ks =
•
•
CONCRETO B
As × d
ks × Md
⇔ As =
Md
d
Na Tabela anexa (9.01) escolhemos a diâmetro das barras.
Para as armaduras duplas, teremos:
TABELA 09.02 – FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA DUPLA
b
A ´s
+
=
d
h
d´
b × d2
M1 =
Kc, lim
M2 = Md − M1
As
As1 =
A s1
Ks × M1
d
A s2
As2 =
Ks2 × M2
d − d´
A´s =
K´s × M2
d − d´
VALORES DE Ks2
AÇO
CA25
CA50
CA60
AÇO
Ks2
0,046
0,023
0,019
Ks2
VALORES DE K´s
d´/h
CA25
CA50
CA60
d´/h
0,05
0,046
0,023
0,019
0,05
0,10
0,046
0,023
0,019
0,10
0,15
0,046
0,023
0,021
0,15
0,20
0,046
0,027
0,027
0,20
0,25
0,046
0,041
0,041
0,25
Ks – VALOR DA TABELA 09.03
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
6-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
VALORES DE KC e KS PARA AÇOS CA-25, CA-50 e CA-60 – TABELA 9,03
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES
KC
KS
βx = x
d
C15
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
CA25
CA50
CA60
0,01
137,8
103,4
82,7
68,9
59,1
51,7
45,9
41,3
0,046
0,023
0,019
0,02
69,2
51,9
41,5
34,6
29,6
25,9
23,1
20,8
0,046
0,023
0,019
0,03
46,3
34,7
27,8
23,2
19,8
17,4
15,4
13,9
0,0,47
0,023
0,019
0,04
34,9
26,2
20,9
17,4
14,9
13,1
11,6
10,5
0,0,47
0,023
0,019
0,05
28,0
21,0
16,8
14,0
12,0
10,5
9,3
8,4
0,0,47
0,023
0,020
0,06
23,4
17,6
14,1
11,7
10,0
8,8
7,8
7,0
0,0,47
0,024
0,020
0,0,7
20,2
15,1
12,1
10,1
8,6
7,6
6,7
6,1
0,0,47
0,024
0,020
0,08
17,7
13,3
10,6
8,9
7,6
6,6
5,9
5,3
0,048
0,024
0,020
0,09
15,8
11,9
9,5
7,9
6,8
5,9
5,3
4,7
0,048
0,024
0,020
0,10
14,3
10,7
8,6
7,1
6,1
5,4
4,8
4,3
0,048
0,024
0,020
0,12
12,0
9,0
7,2
6,0
5,1
4,5
4,0
3,6
0,048
0,024
0,020
0,13
11,1
8,4
6,7
5,6
4,8
4,2
3,7
3,3
0,049
0,024
0,020
0,14
10,4
7,8
6,2
5,2
4,5
3,9
3,5
3,1
0,049
0,024
0,020
0,15
9,7
7,3
5,8
4,9
4,2
3,7
3,2
2,9
0,049
0,024
0,020
0,16
9,2
6,9
5,5
4,6
3,9
3,4
3,1
2,7
0,049
0,025
0,020
0,17
8,7
6,5
5,2
4,3
3,7
3,2
2,9
2,6
0,049
0,025
0,0,21
0,18
8,02
6,2
4,9
4,1
3,5
3,1
2,7
2,5
0,050
0,025
0,0,21
0,19
7,8
5,9
4,7
3,9
3,4
2,9
2,6
2,3
0,050
0,025
0,0,21
0,20
7,5
5,6
4,5
3,7
3,2
2,8
2,5
2,2
0,050
0,025
0,0,21
0,21
7,1
5,4
4,3
3,6
3,1
2,7
2,4
2,1
0,050
0,025
0,0,21
0,22
6,8
5,1
4,1
3,4
2,9
2,6
2,3
2,1
0,050
0,025
0,0,21
0,23
6,6
4,9
3,9
3,3
2,8
2,5
2,2
2,0
0,051
0,025
0,0,21
0,24
6,3
4,7
3,8
3,2
2,7
2,4
2,1
1,9
0,051
0,025
0,0,21
0,25
6,1
4,6
3,7
3,1
2,6
2,3
2,0
1,8
0,051
0,026
0,0,21
0,26
5,9
4,4
3,5
2,9
2,5
2,2
2,0
1,8
0,051
0,0,26
0,0,21
0,27
5,7
4,3
3,4
2,8
2,4
2,1
1,9
1,7
0,052
0,026
0,0,21
0,28
5,5
4,1
3,3
2,8
2,4
2,1
1,8
1,7
0,052
0,0,26
0,022
0,29
5,4
4,0
3,2
2,7
2,3
2,0
1,8
1,6
0,052
0,026
0,022
0,30
5,2
3,9
3,1
2,6
2,2
1,9
1,7
1,6
0,052
0,0,26
0,022
0,31
5,1
3,8
3,0
2,5
2,2
1,9
1,7
1,5
0,0,53
0,026
0,022
0,32
4,9
3,7
3,0
2,5
2,1
1,8
1,6
1,5
0,0,53
0,0,26
0,022
0,33
4,8
3,6
2,9
2,4
2,1
1,8
1,6
1,4
0,0,53
0,0,26
0,022
0,34
4,7
3,5
2,8
2,3
2,0
1,8
1,6
1,4
0,0,53
0,0,27
0,022
0,35
4,6
3,4
2,7
2,3
2,0
1,7
1,5
1,4
0,0,53
0,0,27
0,022
0,36
4,5
3,3
2,7
2,2
1,9
1,7
1,5
1,3
0,054
0,0,27
0,022
0,37
4,4
3,3
2,6
2,2
1,9
1,6
1,5
1,3
0,054
0,0,27
0,022
0,38
4,3
3,2
2,6
2,1
1,8
1,6
1,4
1,3
0,054
0,0,27
0,023
0,40
4,1
3,1
2,5
2,0
1,8
1,5
1,4
1,2
0,055
0,0,27
0,023
0,42
3,9
2,9
2,4
2,0
1,7
1,5
1,3
1,2
0,0,55
0,028
0,023
0,44
3,8
2,8
2,3
1,9
1,6
1,4
1,3
1,1
0,056
0,028
0,023
0,45
3,7
2,8
2,2
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
0,056
0,028
0,023
0,46
3,7
2,7
2,2
1,8
1,6
1,4
1,2
1,1
0,0,56
0,028
0,023
0,48
3,5
2,7
2,1
1,8
1,5
1,3
1,2
1,1
0,0,57
0,028
0,024
0,50
3,4
2,6
2,1
1,7
1,5
1,3
1,1
1,0
0,0,58
0,029
0,024
0,62
3,3
2,5
2,0
1,7
1,4
1,2
1,1
1,0
0,058
0,029
0,024
0,54
3,2
2,4
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
1,0
0,059
0,029
0,024
0,56
3,2
2,4
1,9
1,6
1,4
1,2
1,1
0,9
0,059
0,030
0,025
0,58
3,1
2,3
1,8
1,5
1,3
1,2
1,0
0,9
0,060
0,030
0,025
0,60
3,0
2,3
1,8
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,061
0,030
0,025
0,62
2,9
2,2
1,8
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,061
0,031
0,025
0,63
2,9
2,2
1,7
1,5
1,2
1,1
1,0
0,9
0,061
0,031
0,026
0,64
2,9
2,2
1,7
1,4
1,2
1,1
1,0
0,9
0,062
0,031
0,026
0,66
2,8
2,1
1,7
1,4
1,2
1,1
0,9
0,8
0,063
0,031
0,026
0,70
2,7
2,0
1,6
1,4
1,2
1,0
0,9
0,8
0,064
0,032
0,027
0,74
2,6
2,0
1,6
1,3
1,1
1,0
0,9
0,8
0,065
0,033
0,027
0,77
2,6
1,9
1,5
1,3
1,1
1,0
0,9
0,8
0,066
0,033
0,028
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
DOM.
2
3
4
7-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Ainda com referencia às armaduras longitudinais de vigas, quando se tratar de
momentos fletores positivos e a viga tiver a contribuição de lajes de concreto
adjacentes junto a sua borda superior, é possivel dispensar-se a utilização da
armadura dupla, ou armadura de compressão, calculando-se essa viga como
viga “T” .
A solidarização da laje com a viga, permite que na borda comprimida do
concreto, haja um aumento substancial dessa zona de compressão, que pode
ser aproveitada para o cálculo das armaduras. A NBR 6118 estabelece que a
consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de
esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma
forma mais realista.
A largura da mesada viga T (bf), ou seja, a parte da laje que será considerada no
dimensionamento dessas seções deve seguir os seguintes parametros:
⎧0,1 a
b1 ≤ ⎨
⎩0,5 b2
SEÇÃO EM "T"
bf
Onde:
hf
b2 = distância entre as faces de duas nervuras
a = vão da viga em analise, admitido sob as
h
sucessivas
b1
b1
seguintes hipoteses:
viga simplesmente apoiada → a = l
b
viga com engaste em uma extremidade → a = 0,75 l
viga com engaste nas duas extremidades → a = 0,60 l
viga em balanço → a = 2 l
Para o dimensionamento das vigas em “T”, devemos observar dois casos:
1) com a linha neutra dentro da mesa de compressão → y < hf
nesses casos o dimensionamento pode ser efetuado considerando-se uma
seçao retangular de bf x h
hf
h
y
bf
b
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
8-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
2) com a linha neutra dentro da nervura → y > hf
nesses casos o dimensionamento da armadura será efetuado dividindo-se o
momento fletor Md em duas parcelas:
Mdf = momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais da
mesa, com largura bf - b.
hf ⎞
Mdf
⎛
Mdf = 0,85 × fcd × hf × (bf − b ) × ⎜ d − ⎟ ⇒ Asf =
hf ⎞
2⎠
⎛
⎝
⎜ d − ⎟ × fyd
2⎠
⎝
Mdw = momento fletor resistido pela seção retangular b x h.
Mdw = Md − Mdf ⇔ Kc =
Ks × Mdw
b × d2
⇔ Ks ⇔ Asw =
d
Mdw
A armadura total longitudinal de traçao será: As = Asf + Asw
b) Cisalhamento:
A NBR 6118 estabelece que para o dimensionamento das peças lineares dois
modelos de calculo, cujo principio baseia-se no modelo tradicional da treliça de
Mörsch, sugerindo uma parcela da força cortante resistida por mecanismos
complementares ao modelo em treliça – mecanismos resistentes
complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural representados
por Vc:
Modelo I – considera bielas com inclinação θ = 45o
Modelo II – considera bielas comprimidas com inclinação 30o ≤ θ ≤ 45o
Figura A
Figura B
Cordão comprimido
As (longitudinal)
As (longitudinal)
VIGA
T
APOIO
Biela
As (transversal)
APOIO
As (transversal)
Ruptura As transversal
A figura A representa o modelo tradicional de analogia de treliça, considerando
as bielas de compressão com inclinação de 45o e os banzos paralelos. Todavia,
alguns resultados provenientes de ensaios comprovaram que há algumas
imperfeições nessa analogia de treliça clássica, principalmente porque podem
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
9-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
ocorrer inclinações das fissuras menores que 45o. Daí a proposta da NBR 6118
de dois modelos.
A figura B, por sua vez, corresponde a uma ruína por cisalhamento decorrente
da ruptura da armadura transversal (estribos). É o tipo mais comum de ruptura
por cisalhamento, decorrente da insuficiência de armadura transversal que
possa suportar os esforços de tração provenientes da força cortante.
Para efeitos didáticos, estaremos nos utilizando apenas do Modelo I
Nessas condições, devemos proceder o dimensionamento à força cortante
verificando, inicialmente, a máxima força cortante Vsd, nas faces dos apoios que
não deverá ultrapassar a força cortante ultima Vrd2, especificada pela NBR 6118
como sendo:
⎛ fck ⎞
Vsd ≤ VRd2 = 0,27 × αv 2 × fcd × b × d ⇔ αv 2 = ⎜1 −
⎟
⎝ 25 ⎠
Onde Vsd é a força cortante solicitante de cálculo, ou seja, Vsk x γf, na face do
apoio que, por motivos didáticos, estaremos adotando como sendo o próprio
esforço cortante no eixo de apoio e que nos levará a uma situação a favor da
segurança, visto que esse valor deverá ser pouco superior ao valor do esforço
cortante na face do apoio. Vrd2, por sua vez, vem a ser a força cortante resistente
de calculo, ou seja, a força máxima cortante que a peça estrutural em analise
possa suportar.
Uma vez verificada a condição de que Vsd ≤ Vrd2, pode-se prosseguir o calculo
da armadura transversal, satisfazendo uma segunda condição:
Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
Onde:
Vrd3 = força cortante resistente de calculo relativa à ruina por tração diagonal;
Vc = força cortante resistente de calculo absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça;
Vsw = parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal.
Para o Modelo I, o calculo de Vc na flexão simples será:
Vc = 0,6 × fctd × b × d ⇔ fctd =
fctk, inf
γf
⇔ fctk, inf = 0,7.fct, m = 0,7 × 0,3 × fck 2 / 3 = 0,21.fck 2 / 3 (MPa)
Onde fctm –resistência do concreto à tração – segue os parâmetros da NBR
6118, no item 8.2.5.
No mesmo Modelo I, o cálculo de Vsw na flexão simples será:
⎛ Asw ⎞
Vsw = ⎜
⎟ × 0,9 × d × fywd × (sen α + cos α )
⎝ s ⎠
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
10-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Onde:
Asw = área de todos os ramos da armadura transversal;
ramos = numero de hastes transversais dos estribos – nas vigas comuns
utilizamos estribos de dois ramos;
s = espaçamento da armadura transversal;
fywd = tensão na armadura transversal - Aços CA50 ou CA60 = 43,50 kN/cm2;
α = ângulo de inclinação da armadura transversal (45o ≤ α ≤ 90o) – em geral
adotam-se estribos verticais com α = 90o.
⎛ Asw ⎞
Vsw = ⎜
⎟ × 0,9 × d × fywd
⎝ s ⎠
No cálculo da armadura transversal considera-se Vrd3 = Vsd, de onde resulta:
Vsw = Vsd – Vc
Vsd − Vc
⎛ Asw ⎞
asw = ⎜
⎟ ⇔ asw =
0,9 × d × fywd
⎝ s ⎠
Sendo:
As peças estruturais sujeitas à flexão simples, assim como necessitam dispor de
uma armadura mínima longitudinal, também necessitam de uma armadura
mínima transversal, cuja taxa geométrica de armadura será:
ρsw =
Asw
fctm
≥ 0,2 ×
⇔ para α = 900 ⇔ asw, min = ρsw × b
b × s × sen α
fywk
Onde:
ρsw = taxa geométrica da armadura transversal;
fywk = resistência característica de escoamento da armadura transversal
Sendo a taxa geométrica de armadura transversal dependente das resistências
do concreto e do aço, podemos determinar essa taxa mínima de acordo com a
tabela abaixo:
CONCRETO – ρsw,min
AÇO
C20
C25
C30
C35
C40
C45
C50
CA25
0,1768
0,2052
0,2317
0,2568
0,2807
0,3036
0,3257
CA50
0,0884
0,1026
0,1159
0,1284
0,1404
0,1580
0,1629
CA60
0,0737
0,0855
0,0965
0,1070
0,1170
0,1265
0,1357
Dessa maneira, podemos determinar a força cortante relativa à taxa mínima de
armadura:
Vsw, min = ρsw, min× 0,9 × b × d × fywd
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
11-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Para o detalhamento dos estribos, a NBR 6118 estabelece que os estribos para
forças cortantes podem ser fechados através de um ramo horizontal, o que
equivale a dizer que as barras que formam os estribos devem ser fechadas.
Quanto aos limites dos diâmetros dos estribos, temos:
5,0 mm ≤ φt ≤
b
10
Quanto ao espaçamento máximo entre os estribos na direção longitudinal da
peça estrutural, recomenda-se:
Vsd ≤ 0,67 Vrd2 → smáx = 0,6 × d ≤ 30 cm
Vsd > 0,67 Vrd2 → smáx = 0,3 × d ≤ 20 cm
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
12-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE ARMADURA PARA ESTRIBOS
TABELA 09.04
(cm2/m)
ESPAÇAMENTO
3,2
BITOLAS PADRONIZADAS
BITOLAS (Ø)
4
5
6,3
8
10
12,5
7,0
1,14
1,79
2,86
4,50
7,14
11,43
17,86
7,5
1,07
1,67
2,67
4,20
6,67
10,67
16,67
8,0
1,00
1,56
2,.50
3,94
6,25
10,00
15,63
8,5
0,94
1,47
2,35
3,71
5,88
9,41
14,71
9,0
0,89
1,39
2,22
3,50
5,56
8,89
13,89
9,5
0,84
1,32
2,11
3,32
5,26
8,42
13,16
10,0
0,80
1,25
2,00
3,15
5,00
8,00
12,50
11,0
0,73
1,82
1,82
2,86
4,55
7,27
11,36
12,0
0,67
1,67
1,67
2,62
4,17
6,67
10,42
12,5
0,64
1,60
1,60
2,52
4,00
6,40
10,00
13,0
0,62
1,54
1,54
2,42
3,85
6,15
9,62
14,0
0,57
1,43
1,43
2,25
3,57
5,71
8,93
15,0
0,53
0,83
1,33
2,10
3,33
5,33
8,33
16,0
0,50
0,78
1,25
1,97
3,13
5,00
7,81
17,0
0,47
0,74
1,18
1,85
2,94
4,71
7,35
17,5
0,46
0,71
1,14
1,80
1,75
4,57
7,14
18,0
0,44
0,69
1,11
1,75
2,78
4,44
6,94
19,0
0,42
0,66
1,05
1,66
2,63
4,21
6,58
20,0
0,40
0,63
1,00
1,58
2,50
4,00
6,25
21,0
0,38
0,60
0,95
1,50
2,38
3,81
5,95
22,0
0,36
0,57
0,91
1,43
2,27
3,64
5,68
23,0
0,35
0,54
0,87
1,37
2,17
3,48
5,43
24,0
0,33
0,52
0,83
1,31
2,08
3,33
5,21
25,0
0,32
0,50
0,80
1,26
2,00
3,20
5,00
26,0
0,31
0,48
0,77
1,21
1,92
3,08
4,81
27,0
0,30
0,46
0,74
1,17
1,85
2,96
4,63
28,0
0,29
0,45
0,71
1,12
1,79
2,86
4,46
29,0
0,28
0,43
0,69
1,09
1,72
2,76
4,31
30,0
0,27
0,42
0,67
1,05
1,67
2,67
4,17
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
13-9
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CONCRETO B
c) Decalagem das armaduras:
O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão, é efetuado através da
compatibilidade de deformações e equilíbrio de esforços da seção transversal de
um modelo de barra fletida, enquanto que o dimensionamento da armadura
transversal é efetuado com base no modelo análogo de treliças.
Essas diferenças de concepção tornam necessária uma compatibilização dos
cálculos para que se efetue o detalhamento das armaduras que deve ser feita
através de um deslocamento do diagrama de flexão de um comprimento al, por
meio de uma translação paralela ao eixo da peça, no sentido mais desfavorável.
Esse deslocamento al recebe o nome de decalagem, que de acordo com a NBR
6118 deverá ser:
⎡
Vsd, máx
(1 + cot gα ) − cot gα⎤⎥ sen do :
al = d ⎢
⎣ 2(Vsd, máx − Vc )
⎦
al ≥ 0,5 d ⇔ caso mais geral (estribos a 900 )
al ≥ 0,2 d ⇔ estribos inclinados a 450
al al
al
Mmáx,positivo
al
M máx negativo
Diagrama corrigido
al
Diagrama corrigido
l
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14-9
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CONCRETO B
d) Aderência e Ancoragem das armaduras:
Os elementos constitutivos do concreto armado são o concreto, o aço e a
aderência. Sem que esses elementos trabalhem de maneira eficiente, o conjunto
será prejudicado. A aderência é a propriedade cuja finalidade é a de impedir que
haja escorregamento das barras de aço em relação ao concreto envolvente.
A ancoragem deve ser efetuada de tal maneira que os esforços a que sejam
submetidas as barras de aço sejam integralmente transmitidas ao concreto,
que pode ser obtida através das simples aderência entre o concreto e as barras
de aço, através de dispositivos mecânicos ou ambos conjuntamente.
A ancoragem por aderência ou de transmissão de esforços ao concreto, pode
ser por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido
ou não de gancho. A ancoragem com dispositivos mecânicos tem sido
utilizados em obras com concreto protendido ou estruturas pré-moldadas em
concreto.
A classificação da aderência pode ser considerada em três parcelas: adesão,
atrito e aderência mecânica.
A aderência por adesão ocorre através das ligações físico-químicas quando do
processo de pega do concreto, ou seja, ao lançar-se o concreto sobre as barras
de aço, passa a ocorrer, nessa interface, as ligações citadas, dando origem a
uma resistência denominada de adesão. O exemplo prático nesse sentido,
decorre da moldagem de um cubo de concreto sobre uma placa de aço e, uma
vez estabelecido o endurecimento do concreto, há a necessidade de se aplicar
uma força Rb1, que dá origem a uma força de reação de mesma intensidade e
que se opõe à separação do concreto e do aço.
A aderência por atrito ocorre quando se aplica uma força Rb2 a fim de se
arrancar uma barra de aço inserida dentro do concreto, cuja intensidade deverá
ser maior do que a intensidade da força Rb1 por adesão. O atrito deverá se
manifestar quando houver a ocorrência de um deslocamento relativo entre as
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15-9
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CONCRETO B
barras de aço e o concreto. Esse atrito depende das condições de rugosidade
das barras de aço, assim como da força pressão transversal Pt, exercida pelo
concreto sobre as barras de aço. O coeficiente de atrito entre o aço e o concreto
resulta em valores na ordem de 0,3 a 0,6.
A aderência mecânica decorre das saliências ou mossas existentes nas barras
de aço. Essas saliências, existentes mesmo em barras lisas em função da
rugosidade superficial, criam pontos especificos de apoio no concreto, auxiliando
a evitar o escorregamento entre as barras de aço e o concreto, constituindo-se
na parcela mais importante da aderência total.
Determinada a área da armadura de flexão, quando se definem as bitolas
utilizadas, assim como o numero de barras que comporão a armadura, com base
no diagrama deslocado, procede-se a colocação das barras projetadas.
Esse detalhamento das barras projetadas deve ser efetuado dentro das etapas
conforme se segue:
•
Deslocamento do diagrama de momentos fletores no comprimento al;
•
Dividir as ordenadas dos momentos fletores máximos (positivos e
negativos) pelo numero de barras da armadura escolhida – se
escolhemos, por exemplo, quatro barras de uma determinada bitola,
divide-se o diagrama em quatro partes iguais e dos pontos dessa divisão
traçam-se retas paralelas ao eixo da viga;
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16-9
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•
CONCRETO B
A partir dos pontos de interseção dessas retas com o diagrama de
momentos fletores deslocado, as barras de aço representadas devem ser
ancoradas com o comprimento lb – comprimento de ancoragem das
barras.
Os comprimentos de ancoragem por aderência das barras tracionadas sofrem
variações em função dos tipos de aço e de concreto, assim como em função do
posicionamento das barras na concretagem, pois a NBR 6118 define zonas de
boa aderência e zonas de má aderência, em que se pode garantir o bom
adensamento e a vibração do concreto.
Zonas de boa aderência são consideradas na totalidade nos elementos
estruturais com h ≤ 30 cm, ou para elementos estruturais com h ≥ 60 cm
somente os elementos localizados na faixa inferior de medida ≤ 30 cm.
B
h ≥ 60 cm
M
h≤30 cm
B
h≤30 cm
Onde:
B = zona de boa aderência e
M = zona de má aderência.
O comprimento de ancoragem básico das barras deve ser determinado através
das equações:
lb = φ × fyd → fbd = η1 × η2 × η3 × fctd
4 × fbd
⎛ 0,21⎞
⎟ × fck 2 / 3 = tensão de aderência aço / concreto
fctd = ⎜⎜
⎟
⎝ γc ⎠
fyd = tensão de escoamento do aço =
fyk
γa
η1 − depende da conformação sup erficial da barra
⎧1,0 para φ ≤ 32 mm
⎪⎧1,0 para região de boa aderência
⎪⎪
η2 = ⎨
→ η3 = ⎨
(132 − φ)
⎪⎩0,7 para região de má aderência
⎪
para φ > 32 mm
⎪⎩ 100
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17-9
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CONCRETO B
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO- MÚLTIPLOS DE Φ
CONCRETO
C20
C25
C30
C40
ZONA
DE
ADERÊNCIA
CA50
CA60
NERVURADO
η1 = 2,25
LISO
η1 = 1,00
CA25
ENTALHADO
η1 = 1,40
LISO
η1 = 1,00
RETO
GANCHO
RETO
GANCHO
RETO
GANCHO
RETO
GANCHO
M
62
44
169
118
120
84
70
49
B
44
31
118
83
84
59
59
34
M
54
38
145
102
104
73
61
42
B
38
26
102
71
73
51
42
29
M
48
33
129
90
92
64
54
38
B
33
23
90
63
64
45
38
27
M
39
28
106
74
76
53
44
31
B
28
19
74
52
53
37
31
22
O comprimento de ancoragem necessário pode ser determinado nos casos em
que a área efetiva da armadura (As,ef) é maior do que a área calculada (As, calc),
uma vez que a tensões nas barras sofre uma diminuição e, assim sendo, o
comprimento de ancoragem pode ser diminuído na mesma proporção.
lb, nec = α1 × lb ×
As, calc
≥ lb, min
As, ef
⎧1,0 para barras sem gancho
⎪
α1 = ⎪⎨0,7 para barras tracionadas com gancho,
⎪
⎪⎩com cobrimento ≥ 3φ no plano normal ao do gancho
lb, min é o maior valor entre 0,3 × lb; 10φ e 10cm.
e) Ancoragem nos Apoios
A NBR 6118/2003 estabelece que os esforços de tração junto aos apoios de
vigas simples ou continuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais que
satisfaçam à mais severa das seguintes condições:
1 – no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através
do dimensionamento da seção;
2 – em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão,
armaduras capazes de resistir a uma força de tração Rsd:
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18-9
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CONCRETO B
⎛ al ⎞
Rsd = ⎜ ⎟ × Vd + Nd
⎝d⎠
Vd = força cor tan te no apoio
As, calc =
Nd = força de tração eventualmente existente
Rsd
fyd
3 – em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da
armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo
do tramo (Mvão), de modo que:
As, apoio ≥
1
(As, vão ) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto Mapoio ≤ 0,5 Mvão
3
As, apoio ≥
1
(As, vão ) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5 Mvão
4
Em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da
face do apoio, com comprimento igual ou superior ao maior dos seguintes
valores:
⎧lb, nec
⎪
lbe, min ≥ ⎪⎨r + 5,5φ → r = raio de curvatura do gancho
⎪
⎪⎩60mm
c
lbe
c
Ø
Rst
As nec,apoio
8Ø
l
be
Ø
db
As nec,apoio
b
Rst
b
2Ø
4Ø
Os ganchos de extremidade das barras da armadura longitudinal de tração
seguem três diferentes padrões:
1 – semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2Ø;
2 – em ângulo de 450 com ponta reta de comprimento não inferior a 4Ø;
3 – em ângulo reto com ponta de comprimento não inferior a 8Ø.
8Ø
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19-9
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CONCRETO B
Por sua vez, o diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras
longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao que se segue na tabela
abaixo:
BITOLA (mm)
CA-25
CA-50
CA-60
Ø < 20
4Ø
5Ø
6Ø
Ø ≥ 20
5Ø
8Ø
-
Para o caso de estribos, a ancoragem deve ser garantida por meio de ganchos
que podem ser de três tipos diferentes:
1 – semicirculares ou em ângulo de 450 com ponta reta de comprimento igual a
5Ø e não inferior a 5cm.
2 – em ângulo reto com ponta de ancoragem maior ou igual a 10Ø e não inferior
a 7cm.
5Ø
10Ø=7cm.
.
cm
=5
5Ø=5cm.
Øt
Øt
Øt
O diâmetro dos pinos de dobramento dos estribos seguem a tabela abaixo:
BITOLA (mm)
CA-25
CA-50
CA-60
Øt ≤ 10
3 Øt
3 Øt
3 Øt
10 < Ø < 20
4 Øt
5 Øt
-
Ø ≥ 20
5 Øt
8 Øt
-
Em apoios intermediários, o procedimento de dará conforme esquematização
abaixo. No primeiro caso, quando o ponto de inicio de ancoragem estiver na face
do apoio, o comprimento de ancoragem deverá ser medido a partir dessa face,
com a força Rsd. No segundo caso, quando o ponto de ancoragem não atingir a
face do apoio, as barras deverão ser prolongadas até o apoio com comprimento
de ancoragem marcado a partir do ponto de ancoragem e deve ultrapassar 10Ø
da face desse apoio.
Em apoios intermediários, o procedimento de dará conforme esquematização
abaixo. No primeiro caso, quando o ponto de inicio de ancoragem estiver na face
do apoio, o comprimento de ancoragem deverá ser medido a partir dessa face.
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20-9
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CONCRETO B
Apoio
Apoio
Viga
Viga
Barra
Barra
10Ø
Diagrama Deslocado
l
l
b
b
Diagrama Deslocado
Teremos, ainda, nas vigas, armaduras que denominamos porta estribos, ou seja,
armaduras dispostas longitudinalmente, cuja finalidade seja apenas a de servir
de suporte aos estribos. Esse tipo de armadura ocorre nas vigas de dois apoios
com armaduras simples ou em vigas continuas, em geral na face superior
dessas vigas após o termino da ancoragem reta das barras que absorvem os
esforços fletores negativos.
Por serem meramente de caráter construtivo, à exceção de quando forem
armaduras de compressão das armaduras simples, podemos estabelecer regras
praticas para sua adoção com referencia às armaduras principais.
VIGAS BIAPOIADAS
Ø PORTA ESTRIBO
Porta Estribo
As,nec
Ø ARMADURA DE TRAÇÃO
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21-9
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CONCRETO B
VIGAS CONTÍNUAS
Ø PORTA ESTRIBO
Ø ARMADURA DE TRAÇÃO
As,nec
Porta Estribo
As,nec
Ø ARMADURA DE TRAÇÃO
RECOMENDAÇÃO PRÁTICA PARA PORTA ESTRIBOS
Ø ARMADURA DE TRAÇÃO
10
12.5
16
20
25
Ø PORTA ESTRIBO
6.3
8
8
10
10
Como recomendação ultima, no caso das armaduras porta estribos, é
recomendável que seu diâmetro seja, também, maior ou igual ao diâmetro do
maior estribo que se venha a utilizar nas armaduras transversais.
Finalizando, nos cabe verificarmos as emendas de barras. As barras de aço
apresentam usualmente o comprimento comercial entre 11 e 12 m. e em muitos
casos é necessária a execução de emendas nessas barras. A NBR 6118/03
apresenta a emenda das barras segundo um dos seguintes tipos:
a) por traspasse (ou transpasse);
b) por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas;
c) por solda;
d) por outros dispositivos devidamente justificados.
No caso de emenda por transpasse de barras tracionadas, que são as mais
usuais, a emenda é feita pela simples justaposição longitudinal das barras num
comprimento de emenda bem definido. A NBR 6118/03 estabelece que a
emenda por transpasse só é permitida para barras de diâmetro até 32 mm.
Tirantes e pendurais também não admitem a emenda por transpasse.
A transferência da força de uma barra para outra numa emenda por transpasse
ocorre por meio de bielas inclinadas de compressão, como indicado na figura
abaixo e requer a NBR 65118/03 que as barras emendadas devem estar
próximas uma da outra a uma distância não superior a 4Ø.
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22-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Tendo em vista a introdução de tensões localizadas de tração ou compressão na
região das emendas por transpasse, deve-se limitar a quantidade de emendas
numa mesma seção transversal da peça estrutural.
A NBR 6118/03 considera estando na mesma seção transversal, as emendas
que se sobrepõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas
menos que 20 % do maior comprimento de transpasse.
A proporção máxima de barras emendadas em uma única seção transversal
deve seguir os parâmetros a seguir:
TIPO DE
BARRA
ALTA
ADERÊNCIA
LISA
TIPOS DE CARREGAMENTOS
SITUAÇÃO
ESTÁTICO
DINÂMICO
EM UMA CAMADA
100%
100%
EM MAIS DE UMA CAMADA
50%
50%
Ø < 16 mm.
50%
25%
Ø ≥ 16 mm.
25%
25%
O comprimento dos transpasses em barras tracionadas, quando a distancia
entre as barras estiver compreendida entre zero e 4Ø, será determinado por:
⎧0,3 × α0 t × lb
⎪
l0t = α0t × lnec ≥ l0t, min →≥ ⎪⎨15φ
⎪
⎪⎩200mm
BARRAS EMENDADAS NA MESMA
SEÇÃO(%)
≤20
25
33
50
>50
VALORES DE α0T
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
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23-9
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CONCRETO B
ESQUEMA DE ANCORAGEM DE BARRAS
lb
lb
N1 - 2Ø
N2 - 2Ø
lb
lb
N4 - 1Ø
N3 - 2Ø
c/ gancho
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lb
lb
24-9
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CONCRETO B
Ø
lb
M
lb
B
V.425 - 20/40
CONCRETO: C25
Cobrimento = 2,5 cm.
12.5
16
20
68
87
108
48
61
76
p = 17,60 kN/m
6.40
Msk (kN.m)
M=90,12
a=1,58
Vsk (kN)
Ve=56,32
Vd=56,32
Msd (kN.m)
M=126,17
Kc
1,94
Ks
0,029
As (cm2)
10,46
BITOLA
4Ø20
bw=17 (3Ø)
1Ø - 2° camada
Vsd (kN)
Ve=78,85
Ve=78,85
Vrd2 (kN)
Ve=303,75
Ve=303,75
Vsd,min (kN) Ve=81,92
a (cm)
Ve=81,92
0
0
Asw,min (cm2/m)
1,03
1,03
Asw (cm2/m)
1,03
1,03
1Ø20
3Ø20
76
76
CORTE A
20
40
34 N18 c/19
620
N15 2Ø 10 C:695
A
35
N17 1Ø20 C:525
15
34 N18 Ø5 C:115
N16 3Ø20 C:711
P8
20
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20/40
620
P9
20
25-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
09.05 – Exemplo Prático:
Desenvolvimento dos cálculos da V.425:
a) Cálculo das armaduras de à flexão
Armadura mínima – As,min = 0,15% x 20 x 40 = 1,20 cm2
Altura útil – d = 40 – 5 = 35 cm.
Momento máximo admissível para armadura simples – Tabela 9.03 – Kc,lim = 1,8
b × d2 20 × 352
Md, lim =
=
= 13.611 kN.cm = 136,11 kN.m
Kc, lim
1,8
Cálculo das armaduras de tração:
Kc =
b × d2
As × d
ks × Md
⇔ ks =
⇔ As =
Md
Md
d
Mk
(kNn.m)
Md (kN.m)
Kc
Ks
As (cm2)
BITOLA
(mm)
90,12
126,17 < Md,lim
1,94
0,029
10,46
4 Φ 20
b) Cálculo das armaduras de cisalhamento
Cálculo do esforço máximo de cisalhamento permissível: Vrd2
⎛ 2,5 ⎞ 2,5
Vsd ≤ VRd2 = 0,27 × αv 2 × fcd × b × d = 0,27 × ⎜1 −
× 20 × 35 = 303,75 kN
⎟×
⎝ 25 ⎠ 1,4
Apoio 0 (D)
Apoio 1 (E)
Vk
56,32
56,32
Vsd ≤ Vrd2
78,85
78,85
Cálculo da força cortante relativa a armadura transversal mínima: Vsd,min
fctd =
0,21× fck 2 / 3
γf
=
0,21× (25)2 / 3
= 1,2825 MPa = 0,1282 kN / cm2
1,4
Vc = 0,6 × fctd × b × d = 0,6 × 0,1282 × 20 × 35 = 53,84 kN
Vsw, min = ρsw, min× 0,9 × b × d × fywd =
0,1026
× 0,9 × 20 × 35 × 43,5 = 28,12 kN
100
Vsd, min = Vsw, min+ Vc = 28,12 + 53,84 = 81,92 kN
Os esforços cortantes do apoio 0 (D) e apoio 1 (E) são menores que Vsw,min →
deve-se utilizar armadura mínima.
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26-9
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CONCRETO B
Cálculo da armadura transversal mínima:
aw =
Asw
= ρsw.b = 0,001026 × 0,20 = 0,000205 m 2 / m = 2,05 cm 2 / m
2
Para estribos de 2 ramos, teremos:
aw =
2,05
= 1,03 cm2 / m ⇔ Tabela 9.4 → φ5 c / 19
2
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
27-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
Ø
lb
M
lb
B
V.421 - 20/40
CONCRETO: C25
Cobrimento = 2,5 cm.
Msk (kN.m)
16
68
87
48
61
p = 21,30 kN/m
4.60
6.40
X=92,40
M=30,80
M=67,70
a=1,58
Ve=40,20
Msd (kN.m)
12.5
p = 26,20 kN/m
a=1,58
Vsk (kN)
CONCRETO B
Vd=80,40 Ve=82,60
M=43,12
Vd=53,75
M=129,36
M=94,78
Kc
5,68
1,89
2,58
Ks
0,024
0,029
0,027
As (cm2)
2,96
10,72
7,31
BITOLA
3Ø12.5
6Ø16
bw=16
4Ø16
bw=16 (3Ø)
2Ø - 2° camada
bw=16 (3Ø)
1Ø - 2° camada
Vsd (kN)
Ve=56,28
Vd=112,56 Ve=115,64
Vd=75,25
Vrd2 (kN)
Ve=303,75
Vd=303,75 Ve=303,75
Vd=303,75
Vd=81,92
Ve=81,92
Vd=81,92
0
84
113
0
Asw,min (cm2/m)
1,03
1,03
1,03
1,03
Asw (cm2/m)
1,03
2,14
2,26
1,03
Vsd,min (kN) Ve=81,92
a (cm)
2Ø16
2Ø16
2Ø16
87
87
87
87
1Ø12.5
2Ø12.5
48
2Ø16
2Ø16
48
CORTE A
61
20
19 N10 c/19
366
6 N11 c/14
64
8 N11 c/14
93
61
28 N10 c/19
517
40
N1 2Ø16 C:391
N2 2Ø16 C:265
N4 2Ø 8 C:355
N3 2Ø16 C:175
N5 2Ø 8 C:545
A
35
15
47 N10 Ø5 C:115
14 N11 Ø6.3 C:115
N8 2Ø16 C:403
N6 1Ø12.5 C:243
N9 2Ø16 C:712
N7 2Ø12.5 C:525
P1
20
20/40
430
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
P2
40
20/40
610
P3
20
28-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
09.06 – Exemplo Prático:
Desenvolvimento dos cálculos da V.421:
a) Cálculo das armaduras de à flexão
Armadura mínima – As,min = 0,15% x 20 x 40 = 1,20 cm2
Altura útil – d = 40 – 5 = 35 cm.
Momento máximo admissível para armadura simples – Tabela 9.03 – Kc,lim = 1,8
b × d2 20 × 352
Md, lim =
=
= 13.611 kN.cm = 136,11 kN.m
Kc, lim
1,8
Cálculo das armaduras de tração:
Kc =
b × d2
As × d
ks × Md
⇔ ks =
⇔ As =
Md
Md
d
Mk
(kNn.m)
Md (kN.m)
Kc
Ks
As (cm2)
BITOLA
(mm)
92,40
129,36 < Md,lim
1,89
0,029
10,72
6 Φ 16
30,80
43,12 < Md,lim
5,68
0,024
2,96
3 Φ 12.5
67,70
94,78 < Md,lim
2,58
0,027
7,31
4 Φ 16
b) Cálculo das armaduras de cisalhamento
Cálculo do esforço máximo de cisalhamento permissível: Vrd2
⎛ 2,5 ⎞ 2,5
Vsd ≤ VRd2 = 0,27 × αv 2 × fcd × b × d = 0,27 × ⎜1 −
× 20 × 35 = 303,75 kN
⎟×
⎝ 25 ⎠ 1,4
Apoio 0 (D)
Apoio 1 (E)
Apoio 1(D)
Apoio 2 (E)
Vk
40,20
80,40
82,60
53,75
Vsd ≤ Vrd2
56,28
112,56
115,64
75,25
Cálculo da força cortante relativa a armadura transversal mínima: Vsd,min
fctd =
0,21× fck 2 / 3
γf
0,21× (25)2 / 3
=
= 1,2825 MPa = 0,1282 kN / cm2
1,4
Vc = 0,6 × fctd × b × d = 0,6 × 0,1282 × 20 × 35 = 53,84 kN
Vsw, min = ρsw, min× 0,9 × b × d × fywd =
0,1026
× 0,9 × 20 × 35 × 43,5 = 28,12 kN
100
Vsd, min = Vsw, min+ Vc = 28,12 + 53,84 = 81,92 kN
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
29-9
PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL
CONCRETO B
Os esforços cortantes do apoio 0 (D) e apoio 2 (E) são menores que Vsw,min →
deve-se utilizar armadura mínima.
Os esforços cortantes do apoio1 (E) e (D) são maiores que Vsw,min → deve-se
dimensionar armadura adequada.
Cálculo da armadura transversal mínima:
Asw
= ρsw.b = 0,001026 × 0,20 = 0,000205 m 2 / m = 2,05 cm 2 / m
2
aw =
Para estribos de 2 ramos, teremos:
2,05
= 1,03 cm2 / m ⇔ Tabela 9.4 → φ5 c / 19
2
Cálculo das armaduras transversais para os esforços cortantes do apoio 01:
aw =
- trecho onde será necessária armadura transversal
a1 =
Vsd − Vsd, min 112,56 − 81,92
=
= 0,84 m = 84 cm
pd
26,20 × 1,4
Vsw1 = Vsd − Vc = 112,56 − 53,84 = 58,72 kN
Asw1
Vsw1
58,72
=
=
= 0,0429 cm2 / cm = 4,28 cm2 / m
2
0,9 × d × fywd 0,9 × 35 × 43,5
aw1 =
Para estribos de 2 ramos, teremos:
4,28
= 2,14 cm2 / m ⇔ Tabela 9.4 → φ6.3 c / 14
2
aw1 =
a2 =
Vsd − Vsd, min 115,64 − 81,92
=
= 1,13 m = 113 cm
pd
21,30 × 1,4
Vsw 2 = Vsd − Vc = 115,64 − 53,84 = 61,80 kN
aw 2 =
Asw1
Vsw 2
61,80
=
=
= 0,0451 cm2 / cm = 4,51 cm2 / m
2
0,9 × d × fywd 0,9 × 35 × 43,5
Para estribos de 2 ramos, teremos:
aw 2 =
4,51
= 2,26 cm2 / m ⇔ Tabela 9.4 → φ6.3 c / 14
2
Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO
30-9