vers~
ao 28/03/2007
FCM 0101 – Fı́sica I
Cálculo para quem quer velocidade
Luiz Nunes de Oliveira
Instituto de Fı́sica de São Carlos — Universidade de São Paulo
O objetivo destas notas de aula é introduzir as ferramentas de Cálculo Diferencial e Integral mais empregadas na disciplina Fı́sica I. Nem tudo é demonstrado, e as
demonstrações não têm a análise detalhada que você encontrará nas disciplinas de Cálculo. Mesmo assim, elas
a ajudarão a ganhar familiaridade com a notação e as
operações que constituirão parte da linguagem empregada em sala de aula ao longo do ano.
I. POSIÇÃO
Para descrever o movimento de uma partı́cula, precisamos saber onde ela está. Se conhecermos a trajetória da
partı́cula, o procedimento simples mostrado na Fig. 1 associará um número x a sua posição: definido um sentido como
positivo ao longo da trajetória, x á a distância a que o corpo
está de um ponto de referência O, chamado de origem.
Figura 1 A posição da partı́cula é a distância x a que ela está
da origem. Se ela estivesse à esquerda de O, na contramão do
eixo, sua posição seria negativa.
O
x
A história do movimento é então uma relação entre a
posição x e o tempo t, que pode ser apresentada de três
formas, por meio de (i) uma função; (ii) uma tabela; ou
(iii) um gráfico. Seja o movimento de uma pedra que cai
a partir do repouso um exemplo. Como veremos mais adiante, escolhido o ponto de partida como origem e definido
o sentido descendente como positivo, no sistema CGS, a
equação horária para a pedra será
x = αt2 ,
2
(1)
2
onde α = 4, 90 × 10 cm/s .
Se interessados apenas no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3 s,
poderemos fornecer aproximadamente a mesma informação
por meio da tabela ou do gráfico da Fig. 2. Isso entendido,
podemos seguir adiante.
II. VELOCIDADE
Intuitivamente, temos a noção de que velocidade é o
espaço percorrido por unidade de tempo. Mais especifi-
Figura 2 Pedra que cai. O gráfico à direita representa os
pontos da tabela por quadrados e a Eq. (1) por uma linha
cheia.
t( s)
0, 00
0, 25
0, 50
0, 75
1, 00
1, 25
1, 50
1, 75
2, 00
2, 25
2, 50
2, 75
3, 00
x( cm)
0, 00
30, 6
1, 22 × 102
2, 76 × 102
4, 90 × 102
7, 66 × 102
1, 10 × 103
1, 50 × 103
1, 96 × 103
2, 48 × 103
3, 06 × 103
3, 71 × 103
4, 41 × 103
camente, podemos considerar uma partı́cula que avance da
posição x1 , no instante t1 , até a posição x2 , no instante t2 .
A distância andada será ∆x = x2 − x1 , e o tempo gasto,
∆t = t2 − t1 . Poderı́amos então definir a velocidade como
v=
∆x
,
∆t
(2)
mas essa expressão não é satisfatória. Vejamos como exemplo o que acontece quando a aplicamos aos intervalos de
tempo I1 = (0 : 1 s); I2 (1 s : 2 s); e I3 (2 s : 3 s) da tabela
na Fig. 2. No primeiro, temos que vI1 = (4, 90 × 102 −
0)/1 = 4, 90 × 102 cm/s; no segundo, de forma análoga,
vI2 = 1, 47×103 cm/s; e no terceiro, vI3 = 2, 45×103 cm/s.
A velocidade aumenta, como seria de se esperar, mas cresce
aos saltos, como mostra a Fig. 3.
Com intervalos menores, tais como I1′ = (0 : 0, 5 s),
I2′ = (0, 5 : 1 s), . . . , I6′ = (2, 5 : 3 s), no exemplo da
Fig. 4, o resultado será diferente. A definição (2) não parece promissora e a alternativa de se tomar ∆t = 0 conduz
ao resultado indefinido v = 0/0. Temos a impressão de ter
entrado em uma rua sem saı́da.
No entanto, com o tempo dividido em intervalos ainda
menores, tais como os I1′′ = (0 : 0, 25 s),I2′′ = (0, 25 :
′′
0, 5 s), . . . , I12
= (2, 75 : 3 s) da Fig. 5, embora o resultado
seja novamente diferente, podemos perceber luz no final do
2
Figura 3 Velocidade média para o movimento descrito na
Fig. 2, calculada em intervalos de um segundo, isto é, I1 =
(0 : 1 s), I2 = (1 s : 2 s) e (2 s : 3 s).
túnel: a seqüência de velocidades calculadas em intervalos
de tempo progressivamente menores aponta agora para uma
curva suave.
III. VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Será que a seqüência de velocidades tende mesmo a uma
função suave? Poderı́amos continuar com a sucessão de
cálculos e gráficos como os das Figs. 3-5; em algum momento, os intervalos ∆t ficariam tão pequenos que, a olho
nu, seria impossı́vel distinguir um gráfico do próximo e poderı́amos parar. Mais prático e mais convincente, porém,
é apelar para o procedimento algébrico equivalente. Na
prática, isso significa escolher dois instantes quaisquer, o
instante inicial ti e o final tf . Segundo a Eq. (1), as
posições nesses momentos são xi = αt2i e xf = αt2f , respectivamente. O deslocamento ∆x = xf − xi é portanto
∆x = α(t2f − t2i ), e a velocidade,
v=
α(t2f − t2i )
.
tf − ti
(3)
Lembrando do produto notável t2f −t2i = (tf +ti )(tf −ti ),
concluı́mos que
v(ti : tf ) = α(ti + tf ).
(4)
É fácil verificar que esse resultado reproduz cada uma das
velocidades que encontramos nos 18 intervalos que consideramos na Seç. II. Para o intervalo I1 = (0 : 1 s), por
Figura 4 Velocidade média para o movimento descrito na
Fig. 2, calculada em intervalos de 0, 5 s.
Figura 5 Velocidade média para o movimento descrito na
Fig. 2, calculada em intervalos de 0, 25 s. Examinado na
seqüência das Figs. 3 e 4, isto é, na seqüência de ∆t’s decrescentes, este gráfico indica que as velocidades médias se aproximam de uma função independente do intervalo de tempo,
representada pela reta pontilhada.
3
exemplo, a Eq. (4) dá v = α(0 + 1) = 4, 90 × 102 cm/s. E o
que é mais importante, ela permite que tomemos intervalos
arbitrariamente pequenos, isto é, que tomemos tf arbitrariamente próximo de ti . Nada impede que façamos tf = ti
para obter
v(ti ) = 2αti
(tf = ti ).
(5)
O gráfico da Eq. (5) em função do tempo é a linha pontilhada na Fig. 5.
Todo o procedimento que acabamos de descrever, que
no esquema da Seç. II consiste em calcular a velocidade em
intervalos de tempo que vão ficando sucessivamente menores até resultar uma função suave e que, no esquema
desta Seção, consiste em (a) considerar o deslocamento
∆x = xf − xi entre dois instantes ti e tf , (b) simplificar algebricamente o cálculo de v = ∆x/∆t e (c) fazer
tf = ti , é chamado de limite de ∆x/∆t quando ∆t tende
a zero e denotado
∆x
.
t→0 ∆t
v = lim
(6)
Quando for necessário distinguir esse procedimento da expressão simples para a velocidade definida na Seç. II, chamaremos o lado esquerdo da Eq. (6) de velocidade instantânea
e o da Eq. (2) de velocidade média.
A Fı́sica de hoje emprega extensivamente a noção de que
uma aproximação controlável, isto é, uma aproximação que,
dependendo do valor de um parâmetro [∆t, no caso da
Eq. (6)], pode tornar-se tão precisa quanto desejável, é tão
rigorosa quanto um resultado exato.
A Eq. (6) pode ser vista como um procedimento que
extrai de uma função x(t) outra função v(t). Por isso, a
velocidade poderia ser chamada de função derivada de x(t);
é mais fácil dizer que v(t) é a derivada de x em relação ao
tempo. Para simplificar a notação, em lugar do elaborado
lado direito da Eq. (6), adotamos a notação equivalente
v=
dx
.
dt
(7)
A expressão compacta v = ẋ(t) é também empregada, mas
a notação da Eq. (7), introduzida por Leibnitz, é conceitualmente mais valiosa, porque nos faz lembrar que a Eq. (6)
é uma versão refinada da Eq. (2). Quando calculamos v(t)
a partir de x(t), dizemos que estamos derivando ou diferenciando a função x(t).
O conceito de derivada, como veremos mais adiante, tem
muitas outras aplicações além do cálculo de velocidades.
Dada uma função f (x), onde x é uma variável qualquer,
podemos calcular sua derivada df /dx em relação a x:
∆f
df
= lim
.
dx ∆t→0 ∆x
(8)
IV. DERIVADA
A Eq. (6) é um caso particular da Eq. (8).
Qualquer seja o movimento, o raciocı́nio que conduziu da
Eq. (3) à Eq. (5) pode ser repetido. É importante notar que
ele exige um cuidado e habilidade matemática. O cuidado
necessário é simplificar a expressão ∆x/∆t antes de fazer
tf = ti ; se a precipitação nos levar a fazer tf = ti antes da
simplificação, iremos inevitavelmente cair em v = 0/0. E
precisamos de alguma habilidade para proceder a essa simplificação e eliminar o intervalo ∆t do denominador. Assim,
para simplificar a Eq. (3) e obter a Eq. (4), precisamos conhecer o produto notável a2 − b2 = (a + b)(a − b); em
outras circunstâncias, outras identidades algébricas são exigidas. Conforme veremos, isso é quase sempre simples, e o
limite à direita na Eq. (6) pode sempre ser tomado. É verdade que, se você se puser a imaginar expressões exóticas
para x(t), não terá dificuldade em encontrar igualdades que
inviabilizem o procedimento descrito acima, mas tais casos
são só produto da imaginação humana. Os movimentos
naturais são bem comportados.
O procedimento resumido pela Eq. (6) apareceu na segunda metade do Século XVII, com Newton e Leibnitz. Antes deles, a noção de que a velocidade v = ∆x/∆t tinha de
ser calculada para ∆t = 0 causava perplexidade. Para superar essa barreira, os dois grandes cientistas se apoiaram em
uma linha de pensamento desconhecida na época: em lugar de fazer ∆t = 0 para calcular diretamente o quociente
∆x/∆t no instante t, eles propuseram considerar um intervalo de tempo perto de t para calcular uma aproximação
para aquele quociente e mostrar que a aproximação se torna
arbitrariamente precisa à medida em que ∆t tende a zero.
V. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO
O movimento nem sempre é simples como o descrito por
x(t) = t2 . A posição de um oscilador harmônico, por exemplo, pode ser x(t) = e−t ( cos(t)+sen(t)). Para calcular sua
velocidade, poderı́amos aplicar a definição de derivada, isto
é, computar xi = x(ti ), em seguida xf = x(tf ), efetuar a
subtração, manipular o resultado até conseguir fatorar ∆t,
dividir por ∆t e finalmente fazer ∆t → 0. Felizmente, existe
uma alternativa muito mais prática: combinadas, as regras
simples de derivação listadas na Tab. I permitem diferenciar
qualquer função de nosso interesse.
Para ser completa, a Tabela inclui uma relação (a última
nas colunas da esquerda) que só discutiremos na Seç. VII.
A relação mais freqüentemente usada, a regra do tombo, na
primeira linha à direita, não é difı́cil de ser demonstrada para
n inteiro: empregue a expansão de Newton para o binômio
na definição de df /dx; a relação vale, no entanto, para qualquer n. A maioria das demais relações é facilmente obtida
da definição de derivada, mas algumas merecem atenção especial: (1) a do produto, quarta linha à esquerda, também
conhecida como regra de Leibnitz; (2) a função seno; (3)
a função exponencial; e (4) a regra da cadeia, penúltima
linha nas colunas da esquerda.
Via de regra, a obtenção das derivadas exige que escrevamos ∆f como f˜∆x, onde f˜ é uma expressão matemática
que assume um valor bem definido quando ∆x → 0. Assim,
4
Tabela I Regras elementares de derivação. Os sı́mbolos c e n
denotam constantes que podem ser até números complexos.
Nas colunas da esquerda, g e h são duas funções quaisquer
de x, e g(h(x)) indica a função g da função h de x. A regra
na última linha das colunas à esquerda só será discutida na
Seç. VII.
f (x)
df /dx
f (x)
df /dx
c
0
xn
nxn−1
c g(x)
c dg/dx sen(x)
cos(x)
g(x) + h(x)
dg/dx + dh/dx cos(x)
− sen(x)
g(x) h(x)
h dg/dx + g dh/dx
tg(x)
sec2 (x)
2
g(x)/h(x) (h dg/dx − g dh/dx)/h cotg(x) − cossec2 (x)
g(h(x))
(dg/dh)(dh/dx) exp(t)
exp(t)
R
g(x) dx
g(x)
ln(x)
1/x
Tabela II Expressões matemáticas úteis para cálculo das derivadas na Tab. I. Em todos os casos, o erro é também indicado
[termo O()], para mostrar que as relações se tornam mais precisas à medida em que ǫ → 0. Na última linha, n é um real
qualquer.
ǫ
2
2
e = 1 + ǫ + O(ǫ ) ln(1 + ǫ) = ǫ + O(ǫ )
sen(ǫ) = ǫ + O(ǫ3 )
cos(ǫ) = 1 − ǫ2 /2 + O(ǫ4 )
n
2
(1 + ǫ) = 1 + nǫ + O(ǫ )
para obter a derivada de x2 , temos de notar que x2f − x2i =
(xf + xi )(xf − xi ), ou seja que x2f − x2i = (xf + xi )∆x, de
forma que nesse caso f˜ = xf + xi , que tende a 2xi quando
∆x → 0. Em outros casos, o fatoramento necessário está
longe de ser evidente e exige dedução. Para ajudar, a Tab. II
mostra quatro resultados que se tornam progressivamente
mais precisos quando ǫ → 0 e que simplificam a tarefa
de se fatorar ∆x em quatro dos casos listados na Tab. II.
A demonstração da primeira linha à direita será feita na
Seç. XI.C; as das demais você verá na disciplina Cálculo I.
Podemos agora fatorar h(xf ) nos dois primeiros termos do
numerador e g(xi ) nos dois últimos:
df
(g(xf ) − g(xi ))h(xf ) + g(xi )(h(xf ) − h(xi ))
.
=
dx
xf − xi
(11)
Como, quando xf → xi , a fração (g(xf )−g(xi ))/(xf −xi )
se aproxima de dg/dx e a fração (h(xf ) − h(xi ))/(xf − xi )
se aproxima de dh/dx, a Eq. (11) é equivalente a
dg
dh
df
= h(x)
+ g(x) ,
dx
dx
dx
onde, por simplicidade, escrevemos x em lugar de xi e de
xf no limite em que xf → xi .
Como exemplo de aplicação da regra de Leibnitz, podemos calcular a velocidade v que corresponde a x(t) =
et sen(t): segundo a Tab. I, a derivada de et é et , e a derivada de sen(t) é cos(t). Assim, v(t) = et sen(t) + et cos(t),
ou seja, v(t) = et ( sen(t) + cos(t)).
B. A função seno
Partimos da definição de derivada:
d sen(x)
sen(x + ∆x) − sen(x)
≈
,
dx
∆x
(13)
e expandimos o seno da soma no numerador, à direita:
sen(x) cos(∆x) + sen(∆x) cos(x) − sen(x)
d sen(x)
≈
.
dx
∆x
(14)
Para ∆x pequeno, a Tab. II nos diz que sen(∆x) ≈ ∆x,
enquanto cos(∆x) ≈ 1 − (∆x)2 /2. Assim, a Eq. (14) pode
ser escrita
sen(x)(1 − (∆x)2 /2) + ∆x cos(x) − sen(x)
d sen(x)
≈
,
dx
∆x
(15)
expressão que pode ser simplificada:
d sen(x)
− sen(x)(∆x)2 /2 + ∆x cos(x)
≈
.
dx
∆x
(16)
Efetuada a divisão por ∆x, teremos que
d sen(x)
≈ cos(x) − sen(x)∆x/2.
dx
A. Regra de Leibnitz
(12)
(17)
Partimos da definição de derivada. Tomamos dois x’s
vizinhos, xi e xf , e calculamos
Podemos finalmente deixar ∆x → 0, o que elimina o
segundo termo à direita e transforma a aproximação na
Eq. (17) em uma relação exata:
g(xf )h(xf ) − g(xi )h(xi )
df
,
=
dx
xf − xi
d sen(x)
= cos(x).
dx
(9)
com o propósito de fazer xf se aproximar de xi . Para contornar os zeros que aparecerão no numerador e no denominador, somamos e subtraı́mos g(xi )h(xf ) ao numerador:
g(xf )h(xf ) − g(xi )h(xf ) + g(xi )h(xf ) − g(xi )h(xi )
df
.
=
dx
xf − xi
(10)
(18)
C. A função exponencial
Mais uma vez, partimos da definição:
exp(x + ∆x) − exp(x)
d exp(x)
≈
,
dx
∆x
(19)
5
e fatoramos o exp(x) que comparece nos dois termos do
numerador:
d exp(x)
exp(x)( exp(∆x) − 1)
≈
.
dx
∆x
(20)
Para pequenos ∆x’s, a Tab. II nos mostra que exp(∆x) −
1 ≈ ∆x. Assim, a Eq. (20) se converte em
exp(x)∆x
d exp(x)
≈
,
dx
∆x
Figura 6 Interpretação gráfica do quociente ∆f /∆x. A partir
de dois pontos A e B sobre a curva, podemos construir o
triângulo retângulo indicado, cuja base é ∆x = xB − xA e
cuja altura é ∆f = f (xB ) − f (xA ); a tangente do ângulo α
é então a razão entre o cateto oposto e o adjacente, isto é,
tg α = ∆f /∆x.
(21)
e, dividido o numerador por ∆x, vemos que, para ∆x → 0,
d exp(x)
= exp(x).
dx
(22)
D. A regra da cadeia
A regra da cadeia segue imediatamente da identidade
∆f ∆g
∆f
=
;
∆x
∆g ∆x
(23)
basta tomar o limite em que ∆x → 0, o que faz com que
∆g também se aproxime de zero. Na prática, para aplicar a
regra, convém pensar na função g como se fosse uma nova
variável, X [ou no caso em que da posição x(t) se pretende
calcular a velocidade v(t), como se fosse uma nova variável,
T ]. Como exemplo, considere a função f (x) = sen(2x).
Convém escrever f (x) = sen(X), onde X = 2x. A regra
da cadeia nos dá então que
df
df dX
=
.
dx
dX dx
(24)
Cada uma das duas derivadas à direita aparece na Tab. I:
d sen(X)/dX = cos(X) e d(2x)/dx = 2. Assim,
df
= 2 cos(2x).
dx
(25)
Note que o argumento do cosseno é X = 2x — e não x.
Como outra ilustração, vamos obter a derivada da função
logaritmo. Seja, pois, f (x) = ln(x). O logaritmo (neperiano) é o inverso da função exponencial. Assim,
exp (f (x)) = x.
(26)
Vamos diferenciar os dois lados em relação a x. À esquerda,
aplicamos a regra da cadeia e com isso temos que
d exp(f ) df
= 1.
df
dx
(27)
Assim vemos que df /dx = 1/ exp(f ), um resultado ainda
insatisfatório, porque expressa a derivada em função de f ;
nós queremos a derivada em função de x. Dada a Eq. (26),
porém, podemos imediatamente escever
df
= 1/x,
dx
que é o resultado apresentado na Tab. I
(28)
VI. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA DERIVADA
Dada uma função f (x), podemos sempre mostrá-la em
gráfico, como o da Fig. 2. Podemos também acompanhar
graficamente os passos que, em um ponto x qualquer, definem a derivada. A Fig. 6 mostra a função f (x), que queremos diferenciar em x = xA . O ponto A, com abscissa
xA e ordenada f (xA ), foi nela demarcado. Para obter um
valor aproximado ∆f /∆x para a derivada df /dx, escolhemos um segundo ponto B e tomamos ∆x = xB − xA ;
assim, ∆f = f (xB ) − f (xA ). A trigonometria do triângulo
retângulo indicado mostra então que ∆f /∆x = tg α, onde
α é o ângulo entre a reta que passa por A e B e a horizontal.
O primeiro ponto mantido fixo, podemos agora aproximar
B de A. O valor de ∆f /∆x e o ângulo α poderão mudar,
mas a relação tg α = ∆f /∆x será preservada, como mostra a Fig. 7
Podemos portanto aproximar o ponto B de A sem prejudicar o procedimento gráfico. Para ∆x suficientemente
pequeno, o triângulo retângulo indicado nas Figs. 6 e 7 se
tornará microscópico; ainda assim, como mostra a Fig. 8,
não teremos dificuldade em traçar a reta AB, que se aproxima da tangente à curva f (x) no ponto A. No limite em
que ∆x → 0, portanto, α é o ângulo entre a reta tangente
e a horizontal, e df /dx = tg α.
Em particular, se f (x) for uma função linear, f (x) =
ax + b, seu gráfico será uma reta. Nesse caso, a geometria
analı́tica nos diz que o ângulo α será a inclinação da reta,
6
Figura 7 Repetição do procedimento gráfico da Fig. 6 para
um valor menor de ∆x; o ângulo α é alterado, mas tg α ainda
é igual a ∆f /∆x
isto é, que tg α = a, valor que coincide com a derivada de
f (x): se f (x) = ax + b, então df /dx = a. A interpretação
geométrica da derivada mostra, assim, que df /dx nada mais
é que uma extensão para funções não lineares do conceito de
inclinação. Para uma função linear, a derivada é a inclinação
da reta que a representa. Para outra função, a derivada
em um dado ponto é a inclinação da reta que a tangencia
naquele ponto.
Se a tangente à curva for horizontal, df /dx será zero.
A derivada nula, portanto, indica que a função está passando por um extremo, normalmente um máximo ou um
mı́nimo. Assim, por exemplo, podemos facilmente identificar o extremo do trinômio y(x) = ax2 + bx + c: basta
calcular dy/dx = 2ax + b e igualar a zero. Encontramos
então que x = −b/2a, que como se sabe, é o extremo. Para
distinguir um mı́nimo de um máximo, precisaremos analisar
a segunda derivada. Veremos isso na Seç. XI.A, mas antes
vamos conhecer a operação inversa da diferenciação.
VII. INTEGRAÇÃO
Figura 8 Repetição do procedimento das Figs. 6 e 7 para
∆x → 0. Com o ponto B muito próximo de A, o triângulo
cuja hipotenusa é o segmento AB se torna invisı́vel na escala da figura, e a reta que passa por A e B se aproxima
da tangente à curva f (x) no ponto A. A derivada df /dx é
portanto a inclinação da reta tangente, isto é, df /dx = tg α,
onde α é o ângulo que a tangente forma com a horizontal.
Definimos algebricamente a derivada, na Seç. IV, e depois, na Seç. VI, encontramos sua interpretação geométrica.
Para definir a integral de uma função, caminharemos no sentido inverso: começaremos pela ilustração na Fig. 9. A integral definida de uma função f (x) entre os pontos x = xA e
x = xB é a área sombreada na Figura, expressa na unidade
de f (x) multiplicada pela unidade de x. Assim, se f for
expressa em kg e x em segundos, a integral será expressa
em kg s. Se a função f (x) estiver abaixo do eixo, a área
será computada como negativa.
A. Cálculo da integral a partir da definição
Duas funções particularmente simples permitem que computemos sua integral diretamente a partir da definição. A
primeira é a função constante, f (x) = f0 . Nesse caso,
como mostra a Fig. 10, a área sob a curva é f0 ∆x, onde
∆x = (xB − xA ). Em particular, convém lembrar o resultado para f0 = 1:
Z xB
dx = ∆x,
(29)
xA
onde para abreviar a notação, seguimos a prática de não
inscrever
o valor unitário
R xB
R xB na integral, isto é, escrevemos
dx
em
lugar
de
1 dx. A Eq. (29) expressa a intexA
xA
gral que aparece com mais freqüência; interrompa a leitura,
tome uma folha de papel e escreva-a quantas vezesRprecisar até que você se acostume com a suavidade do “ ” e a
expressão lhe pareça familiar. Depois disso, continue com a
leitura.
A segunda função especial é a linear. A Fig. 11 mostra o
gráfico de f (x) = x. Tanto a base do triângulo sombreado
como sua altura valem X. A área é portanto
Z X
X2
x dx =
.
(30)
2
0
7
Figura 9R Interpretação geométrica da integral definida. A
x
integral x B f (x) dx é a área delimitada verticalmente pela
A
curva e pelo eixo x e horizontalmente pelas retas verticais
que definem as coordenadas xA e xB . A área é medida em
unidades de f × x, isto é, o produto da unidade de f (x) pela
unidade de x. No caso, a curva está acima do eixo x; se uma
parte dela estivesse abaixo, a contribuição dessa parcela para
a integral seria negativa.
Figura 11 Integral definida da função f (x) = x. A integral
entre 0 e X é a área do triângulo sombreado (base×altura/2).
B. Segmentação: aproximação por retângulos.
Figura 10 Integral definida de uma constante f0 . A área sob
a curva é igual f0 (xB − xA ). Assim, a integral definida vale
f0 ∆x.
Infelizmente, os exemplos das Figs. 10 e 11 representam
parte substancial do conjunto de polı́gonos cuja área conhecemos. Somente em situações muito especiais conseguiremos efetuar integrações a partir de áreas previamente
conhecidas. Precisamos, portanto, de procedimentos alternativos. Embora rudimentares (as disciplinas de Cálculo
Numérico ensinam métodos muito mais eficientes), as duas
abordagens de segmentação que discutiremos a seguir podem ser facilmente transformadas em códigos computacionais que, em um computador moderno, calcularão a integral
de qualquer função de interesse prático. Aqui, porém, elas
interessam porque ajudam a entender o que é uma integral.
Começamos com a aproximação por retângulos. Dada
uma função f (x) cuja integral definida desejamos calcular
entre os pontos x0 e x1 , podemos sempre dividir o intervalo
∆x = (x1 − x0 ) em N intervalos menores δx = ∆x/N ,
onde N > 1 é um inteiro arbitrário. Quando N cresce, δx
diminui. Se N for suficientemente grande, cada intervalo
δx será tão pequeno que, dentro dele, a função f (x) poderá
ser aproximada por uma constante. (Para visualizar, pense
por exemplo em uma função do tempo f (t) que descreve
o crescimento de seu cabelo. Considerada essa função em
um intervalo de tempo de um mês, você percebe que ela
não é constante. No intervalo de um dia, porém, é uma
boa aproximação considerá-la constante, e no intervalo de
uma hora, a aproximação se tornará excelente — salvo se
você tiver passado essa hora em uma cadeira de barbeiro ou
cabeleireiro.)
Dado um N grande, como mostra a Fig. 12, a função
8
Figura 12 Cálculo da integral definida na aproximação por
retângulos. O intervalo ∆x é dividido em N partes iguais
δx = ∆x/N . Em cada pequeno intervalo δx, a função pode
ser aproximada por uma constante, e a integral pode ser aproximada por uma soma de áreas de retângulos. Quando N
cresce, a aproximação ganha precisão.
pode, portanto, ser aproximada por uma seqüência de traços
horizontais, e a área que define a integral é aproximadamente dada por uma soma de áreas de N retângulos:
Z
xB
xA
f (x) dx =
N
X
f (xn )δx
(31)
n=1
Tipicamente, essa aproximação só se torna razoável para
N bem acima 100, de forma que, com giz ou lápis, o procedimento se torna impraticável: ele só pode ser desenvolvido com auxı́lio de uma boa calculadora ou, melhor, de um
computador. Apesar disso, duas circunstâncias tornam a
Eq. (31) importante.
Em primeiro lugar, não podemos deixar de notar a semelhança entre os dois membros. Não se trata de coincidência. A notação à esquerda foi introduzida, por Leibnitz, para fazer lembrar que a integral pode ser entendida
como uma soma infinita das áreas de retângulos com bases
estreitı́ssimas. A Eq. (31) assim dá uma noção concreta do
significado da integral definida.
Em segundo lugar, a Eq. (31) é instrutiva porque, em
situações especiais, a soma à direita pode ser efetuada algebricamente para qualquer N ; em tais casos, podemos fazer N crescer arbitrariamente e portanto podemos reduzir
o erro embutido na aproximação a um valor arbitrariamente
pequeno — essencialmente transformar a aproximação em
uma igualdade. O exemplo mais interessante é o da função
exp(x).
FiguraR 13 Integral definida da função exponencial. Para calX
cular 0 exp(x) dx, dividimos o intervalo de integração em N
pedaços iguais. Em cada um deles, a função pode ser aproximada pelo seu valor no inı́cio do intervalo, o que permite
aproximar a área sob a curva pela área de um retângulo. O
texto mostra que, ainda que grosseira para pequenos N ’s, essa
aproximação se torna exata quando N cresce indefinidamente.
C. A integral da função exponencial
RX
Seja, pois, f (x) = ex , e vamos calcular 0 f (x) dx. Seguindo a receita da Seç. VII.B, como mostra a Fig. 13,
segmentamos o intervalo ∆x = X − 0 = X em N pedaços
δx = X/N . O primeiro intervalo vai de 0 a δx, o segundo
de δx a 2δx e assim por diante até o N -ésimo intervalo, que
vai de (N − 1)δx a X. No primeiro intervalo, a função f (x)
varia de f (0) = 1 a f (δx) = eδx . Vamos aproximá-la pelo
seu valor no ponto inicial, f (x) ≈ 1. A área sob a curva no
primeiro intervalo, isto é, a área do primeiro retângulo, será
portanto δx (altura × base).
No segundo intervalo, a função varia de f (δx) a f (2δx).
De novo, vamos aproximá-la pelo seu valor no ponto inicial,
f (x) ≈ eδx . A área do segundo retângulo será eδx δx. E
assim continuamos até o último intervalo, no qual a função
será aproximadamente e(N −1)δx e a área do retângulo,
e(N −1)δx δx.
Temos agora de somar todas áreas, isto é, trabalhar com
a seguinte aproximação para a integral:
Z
0
X
ex dx ≈ δx + eδx δx + . . . e(N −1)δx δx.
(32)
O lado direito tem um fator comum: δx aparece em cada
9
termo da soma. Vemos portanto que
Z X
ex dx ≈ δx(1 + eδx + . . . e(N −1)δx ).
(33)
0
À direita, o termo entre colchetes a soma dos N termos de
uma progressão geométrica com razão eδx e termo inicial
unitário. Segue portanto que
N δx
Z X
e
−1
ex dx ≈ δx
.
(34)
eδx − 1
0
Figura 14 Cálculo da integral definida na aproximação por
trapézios. Dividido o intervalo ∆X em N segmentos iguais,
em cada segmento a função f (x) é aproximada por uma reta
que vai do valor dela no começo do segmento até seu valor no
final do segmento. A área sob a curva em cada intervalo é
portanto representada pela área de um pequeno trapézio.
Reencontramos aqui um problema conhecido: tanto o
fator δx que multiplica os colchetes à direita como o denominador da fração entre colchetes são muito pequenos e se
tornarão ainda menores quando N crescer. É verdade que
nossa aproximação se torna progressivamente mais precisa
quando N aumenta, mas para mostrar que ela tende a um
valor fixo, precisamos eliminar esses dois termos que tendem
a zero. Para isso, notamos que, quando N crescer desmedidamente, δx se tornará tão pequeno que eδx poderá ser
aproximado por 1 + δx (ver Tab. II). Assim, o denominador
da fração dentro dos colchetes à direita é aproximadamente
igual a δx e temos que
Z X
ex dx ≈ eN δx − 1.
(35)
0
Tendo eliminado os termos que tendiam a zero, podemos
agora fazer δx → 0. Basta lembrar que N δx = X para
chegarmos ao resultado exato
Z X
ex dx = eX − 1.
(36)
A integral é a soma das áreas, dada aproximadamente por
0
Z
D. Segmentação: aproximação por trapézios
xA
A Fig. 14 mostra um procedimento mais preciso para
cálculo de integrais que não podem ser efetuadas algebricamente. De novo, dividimos o intervalo ∆x em N intervalos
menores, mas em lugar de aproximar a função f (x) por uma
constante, nós a aproximamos por uma reta que acompanha a (pequena) variação de f (x) no intervalo. Quando
N → ∞, esse procedimento equivale à aproximação por
retângulos da Seç. VII.B; quando se faz um cálculo aproximado, baseado em número não tão grande de intervalos,
porém, este procedimento resulta bem mais preciso do que
aquele.
Mais especificamente, o intervalo ∆x é dividido em N
segmentos iguais. Sejam xn e xn+1 o extremo esquerdo e
o extremo direito do n-ésimo segmento, respectivamente.
Nesse intervalo, a função f (x) é aproximada por uma reta
que vai do ponto com abscissa xn e ordenada f (xn ) ao
ponto com abscissa xn+1 e ordenada f (xn+1 ). A área
abaixo da curva nesse intervalo é assim aproximada pela
área de um trapézio com bases f (xn ) e f (xn+1 ) e altura
δx = xn+1 − xn . Em outras palavras, a área sob a curva
nesse pequeno segmento é aproximada por
∆An = δx [f (xn ) + f (xn+1 )] /2.
xB
(37)
f (x) dx ≈
N
X
∆An ,
(38)
n=1
um resultado que aproveitaremos na próxima Seção.
VIII. A RELAÇÃO ENTRE A INTEGRAL E A DERIVADA
Em Fı́sica, a integral definida tem inúmeras aplicações.
Em poucas palavras, isso acontece porque, como sugerem
as Eqs. (31) e (37), a integral equivale a uma soma de
infinitos termos. Infelizmente, é muito difı́cil efetuar somas infinitas — infelizmente, porque tais somas pipocam
em praticamente todos os ramos da Fı́sica. A integral oferece uma saı́da que, em muitos casos, conduz à solução do
problema. Para isso, claro, precisamos encontrar um procedimento alternativo para calcular a integral definida, um
procedimento independente de áreas e somas infinitas. É
esse o objetivo desta Seção.
A. A integral indefinida
Começamos com uma definição. Chamamos de integral
indefinida de f (x) a Rfunção que associa a uma variável
x
x a integral definida x0 f (X) dX. Aqui, x0 é um valor
10
qualquer de referência fixo em relação a x. Freqüentemente, escolhe-se x0 = 0, mas em muitos casos
R a escolha é outra. A integral indefinida é denotada f (x)dx,
sem especificação dos limites inferior ou superior. Uma vez
que o ponto de referência é arbitrário, somar uma constante à integral indefinida nãoR tem efeito nenhum. Assim, tanto podemos dizer
que cos(x) dx = sen(x) como
R
podemos dizer que cos(x)
√ dx = sen(x) + π, ou que
R
cos(x) dx = sen(x) + 2 etc.. Se a primeira afirmação
for correta, as demais também serão.
Dos resultados da Seç. VII, podemos extrair três integrais indefinidas. A primeira provém da integral definida da
função unitária, Eq. (29). Tomando o ponto de referência
em x = 0, aquela igualdade se converte em
Z
dx = x.
(39)
Figura 15 Demonstração de que a derivada da integral indefinida de f (x) é a própria função f (x). Se, como na Eq. (42),
denotarmos a integral indefinida por F (x), então F (x) será a
área riscada sob a curva f (x), enquanto F (x + ∆x) é a soma
daquela área com a treliçada. A diferença ∆F entre F (x+∆x)
e F (x) é portanto a área treliçada, aproximadamente igual à
do trapézio. No limite em que ∆x → 0, como o texto mostra,
∆F tende a f (x)∆x. Segue que dF (x)/dx = f (x).
Da mesma forma, a integral definida da função linear,
Eq. (30), nos dá
Z
x dx = x2 /2.
(40)
E finalmente, da integral
R definida da exponencial, Eq. (36),
podemos concluir que ex dx = ex −1. Como a constante à
direita é irrelevante, preferimos a expressão mais compacta
Z
ex dx = ex .
(41)
B. A derivada da integral indefinida
As Eqs. (39-41) trazem a Tab. I à lembrança. A derivada
em relação a x da função f (x) = x é a unidade, a qual
está implı́cita no integrando, isto é, na função a ser integrada, da Eq. (39). Da mesma forma, a derivada da função
x2 /2, que aparece à direita na Eq. (40), é o integrando à esquerda. E na Eq. (41), a derivada da função exponencial à
direita é também o integrando à esquerda. Cabe perguntar,
portanto, se, a relação
Z
f (x) dx = F (x)
(42)
ser aproximada pela área do trapézio indicado na Figura,
que é
Atrapézio = Altura(Base menor + Base maior)/2,
ou seja,
Atrapézio = ∆x [f (x) + f (x + ∆x)] /2.
dF (x)
= f (x).
dx
(43)
A resposta, veremos a seguir, é afirmativa.
A Fig. 15 conduz a demonstração. Ela mostra uma
função f (x),
sua integral indefinida no ponto x, isto é,
R
F (x) = f (x) dx (a área sombreada com riscos ascendentes), e a integral indefinida no ponto x + ∆x, isto
é, F (x + ∆x) (a área riscada mais a sombreada com
uma treliça). A variação da integral indefinida, ∆F (x) =
F (x + ∆x) − F (x), é portanto a área da treliça. Esta pode
(45)
Vemos assim que
∆F ≈ ∆x [f (x) + f (x + ∆x)] /2,
(46)
e portanto que
∆F
≈ [f (x) + f (x + ∆x)] /2.
∆x
equivale a
(44)
(47)
Essa aproximação se torna mais precisa à medida em que
∆x diminui, porque o segmento de reta no topo do trapézio
descreve melhor a função f (x). Quando ∆ → 0, f (x +
∆x) → f (x), e assim a Eq. (47) se converte na expressão
exata que buscávamos demonstrar:
∆F
= f (x).
∆x
(48)
Vemos assim que a derivada da integral indefinida de f (x)
é a própria função f (x). Isso é muito atraente. Ficamos
11
tentados a pensar que, para encontrar a integral F (x), basta
encontrar, por advinhação, por exemplo, a função cuja derivada é f (x). Há um problema com esse raciocı́nio: pode
ser que haja outras funções, G(x), H(x) etc., com derivada
também igual a f (x). Nessa hipótese, nossa advinhação
poderia conduzir a uma conclusão errônea.
Se você receber um e-mail de uma pessoa desconhecida
que pede para apanhá-la na rodoviária: “Chego no ônibus
das 10:00”, não faria sentido convidar para entrar em seu
carro a primeira pessoa que descesse do ônibus: você sabe
que dez ou mais pessoas chegarão no ônibus das 10 h e que,
portanto, a frase na mensagem eletrônica não especifica a
pessoa que você quer encontrar. O mesmo problema pode
estar ocorrendo com a Eq. (48).
Mas vejamos o que acontece se duas funções, F (x) e
G(x), tiverem derivada igual a f (x). Se for assim, teremos
que
dF
dG
=
dx
dx
(49)
dG
dF
−
= 0,
dx
dx
(50)
Tabela III Regras práticas de integração. As integrais fornecidas são indefinidas — uma constante pode ser adicionada
ao lado direito de cada igualdade. Como na Tab. I, c e n são
constantes. Nas colunas da esquerda, u(x), g(x) e h(x) são
funções quaisquer; G e H [abreviações de G(x) e H(x)] são
as primitivas das duas últimas, respectivamente.
f (x)
cg(x)
g(x) + h(x)
G(x) h(x)
g(x)
R
f (x) dx
cG
G+H
R
GH − g(x)H dx
R
g(u)(dx/du) du
R n
x dx = xn+1 /(n + 1)
R
sen x dx = − cos x
R
cos x dx = sen x
R
(cos x)−2 dx = tg x
R
(sen x)−2 dx = − cotg x
R
exp(x) dx = exp(x)
R
(1/x) dx = ln(x)
R
1/(1 + x2 ) dx = arctg (x)
R √
1/ 1 − x2 dx = arcsen (x)
e seguirá que
ou que
d(F − G)
= 0.
(51)
dx
Resulta, em outras palavras, que F − G independe de x: é
igual a uma constante. Assim, se encontrarmos uma função
cuja derivada é f (x), teremos encontrado a integral
R indefinida a menos de uma constante aditiva. Como a f (x) dx
é sempre definida a menos de uma constante, essa incerteza
é irrelevante.
Para encontrar a integral indefinida de f (x), podemos
sempre tentar calcular a área sob a curva f (x), mas graças
à Eq. (43), dispomos agora de uma alternativa atraente:
encontrar uma função F (x) cuja derivada seja igual a f (x).
Dizemos que F (x) é uma primitiva de f (x) [uma primitiva,
e não a primitiva porque F (x) não é única].
C. A primitiva e a integral definida
Rx
Como indicado na Fig. 9, a integral definida xAB f (x) dx
é a área
R sob a função f (x) entre xA e xB . A integral indefinida f (x) dx, igual à área entre um ponto de referência
e o ponto x, é a primitiva F (x). Assim como a distância de
São Carlos a Limeira (88 km) é a diferença entre a distância
de São Carlos a São Paulo (235 km) e a distância de Limeira
a São Paulo (147 km), a integral definida é igual à diferença
entre duas áreas sob a função, ambas medidas do ponto de
referência:
Z xB
f (x) dx = F (xB ) − F (xA ).
(52)
xA
A subtração à direita eliminará qualquer
constante adicioR
nada à primitiva. Por essa razão, f (x) dx pode ser definida a menos de uma constante.
A Eq. (52) é tão importante que uma notação especial
foi introduzida para representar o lado direito:
Z xB
f (x) dx = F |xxB
.
(53)
A
xA
IX. REGRAS PRÁTICAS DE INTEGRAÇÃO
A Eq. (52) reduz o problema de calcular uma integral
definida ao de obter uma função primitiva do integrando
f (x). Encontrar a primitiva — encontrar a função F (x)
cuja derivada é f (x) — nem sempre é fácil, mas lida da
direita para a esquerda, Tab. I atende à maioria de nossas
necessidades. Para facilitar, copiamos na Tab. III os resultados que ajudam a encontrar primitivas. As duas últimas
linhas à esquerda são conhecidas por designações especiais:
a penúltima é chamada de integração por partes e a última
mudança na variável de integração. O exercı́cio pleno dessas duas regras requer prática que só a disciplina Cálculo I
poderá oferecer.
Em um caso muito comum, porém, a mudança de
variáveis é simples e conveniente. O seguinte exemplo serve
como ilustração. RSuponhamos que precisemos calcular a integral indefinida e−x/L dx, onde L é uma constante (que
tem a dimensão de x). Na Tabela, encontramos a integral
da exponencial simples, mas não a exponencial de −x/L.
Podemos, no entanto, transformar a integral que desejamos na que aparece à direita na sexta linha da Tabela por
meio de uma mudança de variáveis: definimos a variável
adimensional u = −x/L. Segue que x = −Lu e, portanto,
dx/du = −L. De acordo com a última linha à esquerda na
Tabela,
Z
Z
−x/L
e
dx = eu (dx/du) du,
(54)
12
o que, no caso, dá
Z
Z
e−x/L dx = −L eu du,
(55)
Figura 16 Integral definida da função cosseno. No intervalo
de x = 0 a x = π, metade da área entre a curva e o eixo está
acima de x, enquanto a outra metade está abaixo. A integral
nesse intervalo é, portanto, nula.
pois a derivada dx/du é constante e pode sair da integral.
A sexta linha à direita na Tab. III dá a integral indefinida à
direita, e encontramos que
Z
e−x/L dx = −Le−x/L.
(56)
Note que tanto o lado esquerdo como o direito têm a dimensão de x, o da esquerda porque a integral é sobre x e
o da direita porque L tem a dimensão de x.
Como esse exemplo mostra, sempre que o argumento do
integrando for uma constante multiplicada pela variável de
integração [−(1/L)x, no caso], uma simples mudança na
variável de integração eliminará a constante.
Em alguns casos aparentemente complexos, a mudança
de variáveis
é√ainda
peficaz. Como exemplo, considere a inR
tegral [sen( x)/ (x)] dx, quepparece difı́cil tanto porque
o argumento da função seno é (x) — e não x como na
Tab. III — como porque o integrando é o quociente de duas
funções. Acontece
que, nesse caso, a mudança da variável
√
x para u = √x resolve os dois problemas. Vejamos como.
Com u = x, temos que x = u2 , e a regra do tombo nos
diz que dx/du = 2u. Assim a mudança de variáveis tem a
seguinte conseqüência:
√
Z
Z
sen u
sen( x)
p
dx =
(2u) dx.
(57)
u
(x)
O fator (2u) no integrando à direita é o fator du/dx, o
pedágio que temos de pagar para fazer uma mudança de
variáveis. No caso, porém, temos um bônus disfarçado de
pedágio, porque du/dx cancela a função u no denominador
do integrando. Ficamos assim com
√
Z
Z
sen( x)
p
dx = 2 sen u dx,
(58)
(x)
e a segunda linha à direita na Tab. III nos conduz imediatamente a
√
Z
√
sen( x)
p
(59)
dx = −2 cos( x).
(x)
Essa simplificação, porém, é fortuita, como você verificará ao tentar
aplicar
o mesmo procedimento à integral seR
√
melhante sen( x)/x dx: aR mesma mudança de variáveis
agora conduzirá à integral 2 sen u/u du, que não saberemos calcular. Em muitos casos, uma mudança de variáveis
simplifica a integração; em outros ela conduz a integrais
igualmente difı́ceis ou até mais difı́ceis de efetuar. A experiência que você adquirirá nas disciplinas de Cálculo desenvolverá uma intuição que permitirá distinguir os casos
favoráveis dos desfavoráveis.
Aqui, estamos interessados nas integrais relativamente
simples que aparecem com freqüência em Fı́sica. Uma
classe delas é a das funções trigonométricas elementares.
Rπ
Como exemplo, calculemos a integral definida 0 cos xdx,
representada graficamente na Fig. 16. De acordo com a
Tab. III, a primitiva daRfunção cosseno é o seno. A Eq. (52),
π
nesse caso, se escreve 0 cos xdx = sen(π) − sen(0), ou na
notação padrão da Eq. (53),
Z π
π
cos x dx = sen x|0 .
(60)
0
Rπ
De qualquer forma, 0 cos xdx = 0, já que tanto em x = 0
como em x = π, a primitiva se anula. Esse resultado é
consistente com o gráfico da Fig. 16, o qual mostra que
a integral envolve uma área que conta positivamente (a
integral de 0 a π/2) e outra, igual, que conta negativamente
(a integral de π/2 a π). Já se os limites de integração se
estendessem de 0 a 3π/2, a integral seria
Z
0
3π/2
3π/2
cos x dx = sen x|0
,
(61)
e o resultado seria sen(3π/2) = −1. Você deve certificar-se
de que também esse número negativo é compatı́vel com a
Fig. 16.
Como segundo exemplo de integração, vamos considerar uma função que reencontraremos em nossa análise do
oscilador harmônico, a função cos2 x, que não
R 2πaparece na
Tab. III. Mesmo assim, queremos calcular 0 cos2 x dx.
Para isso, vamos empregar a identidade trigonométrica
cos2 x = [1+cos(2x)]/2. Até quem desconhece essa relação
13
Figura 17 Integral de cos2 x. Essa função, igual a [1 +
cos(2x)]/2, oscila entre zero e a unidade com perı́odo π e é
simétrica em relação à linha pontilhada, cuja ordenada é 1/2.
Assim, o valor médio da função é 1/2, e a integral ao longo de
um número inteiro de perı́odos é igual a 1/2 vezes o intervalo
de integração. Em particular, se o intervalo for de zero a 2π,
a integral será igual a π.
Tabela IV Integrais definidas que aparecem com freqüência.
Na última linha, n é um inteiro não negativo
1/(1 + x2 ) dx=π
R 2π
sen2 x dx=π
R02π
cos2 x dx=π
R0 ∞
sen x dx=1
R0∞
cos x dx=0
0
R∞
√
2
exp(−x
) dx= π
−∞
R∞ n
x exp(−x) dx=n!
0
R∞
−∞
cálculo concorda com aquilo que a Fig. 17 sugere:
Z 2π
cos2 x dx = π,
(65)
0
é capaz de reconhecê-la no gráfico da Fig. 17: uma função
com perı́odo π, que oscila em torno de 1/2 com amplitude
também igual a 1/2. Temos então que
Z
2π
2
cos x dx =
Z
2π
0
0
1 + cos(2x)
dx,
2
X. VELOCIDADE E POSIÇÃO
(62)
ou seja,
Z
2π
2
cos x dx =
0
Z
0
2π
1
dx +
2
Z
2π
0
cos(2x)
dx.
2
(63)
A primeira integral à direita, de uma constante, é simplesmente essa constante vezes o tamanho do intervalo, isto
é, a primeira integral dá π. Na segunda, fazemos a mudança de variável u = 2x, do que resulta que x = u/2 e
dx/du = 1/2. Assim,
Z
0
2π
1
cos x dx = π +
2
2
Z
0
π
cos u
dx
du.
du
uma expressão que vale a pena lembrar. Se a integral fosse,
digamos, de 0 a 5π/3, seria mais difı́cil estimar seu valor,
mas como 2π é múltiplo do perı́odo (π) da função cos2 x,
a integral é simplesmente 2π vezes o seu valor médio, 1/2.
A mesma conclusão se aplica à função sen2 x, cujo perı́odo
também é π e cujo valor médio também tem de ser 1/2, já
que cos2 x + sen2 x = 1.
Temos aı́ duas funções cujas integrais definidas, em certos intervalos de integração, tomam valores particularmente
fáceis de lembrar. Há outras funções que aparecem freqüentemente em problemas fı́sicos com integrais definidas que
merecem ser recordadas. A Tab. IV coleciona exemplos importantes.
(64)
Para acompanhar a mudança na variável de integração, o
limite superior da integral à direita mudou, de x = 2π para
u = π. O inferior, por ser nulo, não se alterou. Na integral
remanescente à direita, dx/du = 1/2 é uma constante que
pode sair. O integrando e os limites são então idênticos
aos da Eq. (60), e a integral é portanto nula. Assim, nosso
Estabelecida a base matemática, voltaremos agora à cinemática. Aprendemos com a Eq. (7), v = dx/dt, que a
velocidade é a derivada da posição. Isso equivale a dizer
que a posição é uma primitiva da velocidade. A integral
definida da velocidade, em outras palavras, é dada pela correspondente diferença entre as posições:
Z tB
x
v(t) dt = x|xB
= ∆x.
(66)
A
tA
Em particular, se o instante inicial for zero e o instante final
for t, teremos que
Z t
v(t′ ) dt′ ,
(67)
x(t) = x(0) +
0
onde, para evitar confusão com o instante t em que queremos achar a posição, chamamos a variável de integração de
t′ .
Dada a velocidade em função do tempo, e conhecida a
posição inicial, a Eq. (67) reduz a uma integral o problema
de se encontrar a posição em função do tempo. Um exemplo
14
particularmente simples é provém do movimento uniforme
(M. U.), no qual a velocidade é constante, v(t) = v0 . Nesse
caso, a Eq. (67) passa a ser
Z
x(t) − x(0) =
isto é,
Z
v(t) = v(0) +
t
a(t′ ) dt′ .
(73)
0
t
v0 dt′
(M. U.)
(68)
0
Como v0 é constante, sai da integral à direita. Resulta
então a conhecida expressão
x(t) = x(0) + v0 t
(M. U.).
(69)
Conhecidas a aceleração e a velocidade inicial, a determinação da velocidade depende apenas do cálculo da integral à direita. A partir daı́, se também conhecermos a
posição inicial, poderemos empregar a Eq. (66) para calcular a posição em função do tempo. Em resumo, dadas a
aceleração em função do tempo, e a posição e a velocidade
iniciais, duas integrações são suficientes para determinar a
posição e a velocidade em função do tempo.
XI. ACELERAÇÃO
Definiremos agora a aceleração a de uma partı́cula. Assim
como a velocidade mede a variação da posição com o tempo,
a aceleração mede a variação da velocidade em função do
tempo. Por analogia com a Eq. (7), escrevemos
a=
dv
,
dt
(70)
Z
t
dt′ .
(74)
0
d2 x
,
dt2
(71)
notação que designa a segunda derivada (derivada da derivada) da posição em relação ao temp. Enquanto a velocidade é medida em m/s (no Sistema MKS) ou em cm/s
(CGS), a aceleração é expressa em m/s2 ou cm/s2 . Essas unidades significam que a velocidade está variando
x m/s (ou x cm/s) em y s. A aceleração da gravidade,
por exemplo, faz a velocidade de uma pedra aumentar de
0 a 10m/s em um segundo —um variação bem elevada,
em pouco tempo. Campeões nesse quesito, alguns automóveis comerciais, de preço astronômico, conseguem de
ir de 0 a 100 km/h em 2,6 s, o que equivale a uma aceleração (10,7 m/s2 ) ligeiramente superior à da gravidade.
No mundo dos mortais, um modelo esportivo desses que se
vêem na rua leva 8 s para chegar aos mesmos 100 km/h,
aceleração inferior a 3,5 m/s2 .
Uma pulga, quando salta, sofre uma aceleração mais de
100 vezes superior à aceleração g da gravidade. Um ser
humano, no entanto, não resiste às acelerações substancialmente superiores a 10 g que podem ocorrer, por exemplo,
em uma colisão automobilı́stica. Na Lua, a aceleração da
gravidade é bem menor do que a nossa, inferior a 2 m/s2 .
No maior planeta do Sistema Solar, Júpiter, ela chega a
26 m/s2.
Em todos esses casos, a aceleração é dada pela Eq. (70).
A velocidade, podemos alternativamente dizer, é uma primitiva da aceleração. Conseqüência imediata da Eq. (52),
a integral definida da aceleração é a diferença entre as velocidades no final e no inı́cio do intervalo:
Z t
a(t′ ) dt′ = v(t) − v(0),
(72)
0
Como exemplo, vejamos o movimento uniformemente variado (M. U. V.). Como a aceleração a é constante, podemos extraı́-la da integral à direita na Eq. (73). Temos então
que
v(t) = v(0) + a
ou em termos da posição,
a=
A. Movimento Uniformemente Variado
A integral é simples,
velocidade:
Rt
0
dt′ = t, e a Eq. (74) determina a
v(t) = v0 + at
(M. U. V.).
(75)
Na seqüência, conhecida a posição inicial, poderemos calcular a posição. Para isso, basta substituir essa expressão
para v(t) no lado direito da Eq. (66). O resultado é
x(t) = x(0) +
Z
t
v0 + at′ dt′ ,
(76)
0
que podemos também escrever
x(t) = x(0) +
Z
t
′
v0 dt +
0
Z
t
at′ dt′ .
(77)
0
Rt
Rt
Efetuadas as duas integrais ( 0 dt′ = t e 0 t′ dt′ = t2 /2)
a Eq. (77) deságua em uma expressão bem conhecida:
1
x(t) = x(0) + v0 t + at2
2
(M. U. V.).
(78)
As Eqs. (75) e (78) determinam a velocidade e a posição
em função do tempo. Muita vez, no entanto, o tempo não
é a variável de interesse. Se alguém quer saber com que velocidade chega ao solo uma pedra derrubada de uma altura
de 20 m, por exemplo, precisa relacionar a velocidade com
a distância percorrida. Ele pode, evidentemente, recorrer à
Eq. (78) para encontrar o tempo de queda e substituir na
Eq. (75) para determinar a velocidade, mas provavelmente
preferirá empregrar a expressão de Torricelli, que expressa
diretamente a velocidade em função de ∆x.
15
A Equação de Torricelli pode ser derivada das Eqs. (75) e
(78): basta isolar o tempo na primeira e substituir na segunda. O Cálculo nos oferece, porém, uma alternativa menos trabalhosa e mais instrutiva: aplicamos a regra da cadeia à definição de aceleração, a = dv/dt, para escrever
Significa que, como função da posição, a é uma primitiva
de v 2 /2. Sua integral em relação a x é portanto igual à
variação de v 2 /2:
Z x
1 v
a dx′ = v 2 v0 .
(82)
2
x0
Particularmente importante, nessa expressão, é o sinal
do lado direito. Se o eixo das posições apontar para a direita, o sinal indica que, para acelerações positivas, o ponto
de retorno estará à esquerda da origem e que, para acelerações negativas, o ponto de retorno estará à direita da
origem. Fisicamente, isso é fácil de se entender: como a
velocidade é oposta à aceleração, esta ser positiva é sinal
de que a partı́cula se deslocava para a esquerda ao passar
pela origem no instante zero; assim, quando parar, ela estará forçosamente à esquerda da origem. Se, ao contrário, a
aceleração for positiva, é sinal de que a partı́cula corria para
direita no instante zero do tempo; freada pela aceleração,
ela parará à direita da origem.
Matematicamente, a Eq. (84) é muito útil. Vimos na
Seç. VI que a derivada de uma função se anula nos pontos
extremos, que tanto podem ser máximos como mı́nimos da
função. A Eq. (85) permite distinguir um caso do outro. Ela
nos diz que, se a derivada segunda de uma função (no caso,
a = d2 x/dt2 ) for positiva no ponto onde a derivada primeira
é nula (no caso, v = dx/dt = 0), o ponto é um mı́nimo da
função. Se, ao contrário, a derivada segunda for negativa
no ponto onde a derivada primeira é nula, o ponto é um
máximo da função. Na hipótese de a derivada segunda ser
também nula, será necessário examinar a derivada terceira,
preocupação que deixaremos para as disciplinas de Cálculo.
Uma vez que a é constante,
R x a integral à esquerda pode ser
imediatamente efetuada [ x0 dx′ = (x − x0 )], e chegamos
à relação que querı́amos demonstrar:
B. Movimento oscilatório
a=
dv dx
.
dx dt
(79)
Como dx/dt = v, isso equivale a
dv
.
dx
(80)
1 dv 2
.
2 dx
(81)
a=v
Daı́ vemos que
a=
v 2 − v02 = 2a(x − x0 ).
(83)
Com ela, podemos facilmente calcular a velocidade com
que chega ao solo a pedra que cai de 20 m: como ela parte
do repouso, v0 = 0. Tomando o ponto de partida como
origem (x0 = 0) e orientando o eixo x para baixo, de forma
que a aceleração seja positiva (a = g = 10 m/ s2 ), temos
que v 2 = 400( m/s)2 , ou seja, v = 20 m/s.
Quando a velocidade inicial é oposta à aceleração, o movimento reflete uma competição entre a tendência inicial,
de se mover em um determinado sentido, e a tendência imposta pela aceleração, que com o correr do tempo acabará
subjugando a velocidade. Se a partı́cula cujo movimento
é descrito pela Eq. (78) estiver inicialmente avançando, ela
acabará recuando; se estiver inicialmente recuando, ela acabará avançando. Em qualquer um desses casos, ela terá de
parar antes de inverter o sentido do movimento. O lugar
onde ocorre a inversão é chamado de ponto de retorno.
Para encontrar o ponto de retorno de um movimento uniformemente variado, empregamos a Equação de Torricelli.
Admitindo que a posição inicial seja nula e lembrando que,
no ponto de retorno (x = xret ), a partı́cula está parada
(v = 0), podemos simplificar a Eq. (83):
−v02 = 2axret .
(84)
Dessa igualdade obtemos a posição do ponto de retorno:
xret = −
v02
.
2a
(85)
Outro movimento importante, que desponta em inúmeras
situações de interesse prático, é o provocado por uma aceleração oscilatória:
a(t) = a0 cos(ωt),
(86)
onde a0 e ω são constantes, com dimensões de aceleração
e de inverso de tempo, respectivamente.
Em lugar do cosseno na Eq. (86), não poderı́amos ter
um seno? Poderı́amos, mas a fı́sica seria praticamente a
mesma: uma mudança na origem dos tempos definida pela
variável t′ = t + π/(2ω) (de forma que ωt = ωt′ − π/2),
transformaria a Eq. (86) em a(t′ ) = a0 cos(ωt′ − π/2), isto
é, em a(t′ ) = a0 sen(ωt′ ). As funções seno e cosseno e
qualquer mistura das duas diferem entre si apenas por uma
mudança na origem dos tempos.
Para prosseguir, além da aceleração, precisamos conhecer
dois dados: a velocidade e a posição iniciais. Para simplificar, suporemos que ambas sejam nulas. É fácil ver, porém,
que o procedimento a seguir independe de v(0) e x(0).
Como a = dv/dt, a velocidade é uma primitiva de a.
Logo, a Eq. 86) nos dá
v(t) − v(0) =
Z
t
a0 cos(ωt′ ) dt′ .
(87)
0
Mais uma vez, para evitar confusão com o instante final t,
empregamos t′ como variável de integração. À esquerda,
v(0) = 0. À direita, a constante a0 sai da integral. Mudamos então a variável de integração: definimos u = ωt,
16
do que segue que t = u/ω e que dt/du = 1/ω. Temos
portanto que
Z ωt
1
v(t) = a0
cos(u) du.
(88)
ω
0
A constante 1/ω Rpode agora ser extraı́da, e a integral à
direita, efetuada ( cos u du = sen u). O resultado é
v(t) =
a0
sen(ωt).
ω
Figura 18 Aceleração, velocidade e posição em função do
tempo no movimento oscilatório. Variáveis adimensionais foram escolhidas para representar as ordenadas e a abscissa. A
linha cheia representa a Eq. (86); a tracejada com segmentos curtos, a Eq. (89); e a tracejada com segmentos longos,
a Eq. (93). O perı́odo T da oscilação é dado pela relação
ωT = 2π.
(89)
Se desejarmos, é fácil verificar que esse resultado é correto:
uma vez que sen 0 = 0, ele satisfaz à condição inicial v(0) =
0; derivados os dois lados em relação a t, recuperamos a
Eq. (86).
De forma análoga, podemos obter a posição em função
do tempo. Como v = dx/dt, a posição é uma primitiva da
velocidade. Segue que
Z t
a0
sen(ωt′ ) dt′ .
(90)
x(t) − x(0) =
0 ω
À esquerda, a condição inicial é x(0) = 0. À direita, a
constante a0 /ω sai da integral. Mudamos então a variável
de integração de t′ para u = ωt′ . Resulta que
Z
a0 ωt
1
x(t) =
(91)
sen(u) du.
ω 0
ω
Extraı́da aR constante 1/ω, a integral pode ser facilmente
efetuada ( sen u du = − cos u), e obtemos
a0
cos(u)|ωt
0 ,
ω2
(92)
a0
[1 − cos(ωt)].
ω2
(93)
x(t) = −
ou
x(t) =
A Fig. 18 mostra os gráficos das Eqs. (86), (89) e (93).
Em cada caso, para não ter de mostrar unidades, o eixo
das ordenadas apresenta uma variável adimensional: a/a0
para a Eq. (86), (ω/a0 )v para a (89) e (ω 2 /a0 )x para a
Eq. (93). Também escolhemos uma variável adimensional,
ωt, para rotular o eixo das abscissas.
A linha cheia identifica o perı́odo da aceleração. Ela se repete a partir do momento em que ωt = 2π. Se chamarmos
esse instante de T , teremos que T = 2π/ω. A constante ω
é conhecida como a freqüência angular da oscilação. Ela (ou
se você preferir, o perı́odo) define uma escala caracterı́stica
de tempo para a vibração e por isso é a grandeza mais importante na Eq. (86). Se encararmos a oscilação como uma
volta completa da aceleração, que vai desde ωt = 0 até
ωt = 2π, a freqüência angular medirá o número de radianos avançados por segundo. Esse é um conceito com que
estamos familiarizados, porque encontramos diferentes oscilações no dia-a-dia: balanços, redes, cadeiras de balanço,
pêndulos, molas, cordas, peles ou palhetas de instrumentos
musicais, cordas vocais, ciclos biológicos, o bater de asas
de pássarso e insetos, o dia e a noite, as estações do ano
etc.. Nessa lista de fenômenos cı́clicos, encontramos desde
oscilações preguiçosas (pequeno ω) até frenéticas (grande
ω).
Como não poderia deixar de ser, a freqüência angular
marca também a velocidade. O gráfico desta é semelhante
ao da aceleração, mas está defasado da linha cheia. É fácil
entender por quê: como a aceleração é a derivada da velocidade, quando a se anula, a velocidade atinge um extremo
(máximo ou mı́nimo); assim, as duas funções devem estar deslocadas de π/2. Fisicamente, vemos que no inı́cio,
quando a aceleração é máxima (igual a a0 ), a velocidade
é nula. Com o correr do tempo, a velocidade cresce, enquanto a aceleração diminui. No instante t = T /4, quando
ωt = π/2, a velocidade já alcançou um valor relativamente
grande (a0 /ω); nesse momento, porém, a aceleração se
anula, e a partir daı́, por um bom tempo, até o instante
t = 3T /4 (ou ωt = 3π/2), ela se torna negativa. A velocidade, como conseqüência, diminui e depois se torna negativa, chegando a valer −a0 /ω no instante t = 3T /4. A
partir daı́, a aceleração é positiva e a velocidade aumenta
até se anular no instante t = T (ou ωt = 2π). Daı́ por
diante, tudo se repete.
A velocidade aumenta e diminui ao longo do ciclo, mas
seu valor médio não se altera, porque a integral da aceleração ao longo do perı́odo é nula. Como o valor inicial era
zero, mesmo depois de muitos ciclos, a velocidade estará
oscilando em torno de zero, o que significa que a partı́cula
17
não deve sair muito de seu lugar. Se a velocidade inicial
fosse, por exemplo 100 m/s, ao final de muitos ciclos a velocidade média seria ainda 100 m/s; nesse caso, ao final de
muitos ciclos, a partı́cula estaria muito distante do ponto
de partida [nesse caso, como seria o gráfico de (ω 2 /a0 )x
em função de ωt?].
O gráfico da posição mostra que a partı́cula oscila em
torno da posição x = a0 /ω 2 . Não deveria ela oscilar em
torno de x = 0? Não, porque na primeira metade do movimento, de t = 0 a t = T /2 (ou de ωt = 0 a ωt = π), a velocidade é positiva. Como conseqüeência, a partı́cula avança
até chegar à posição x = a0 /ω02 no instante t = T /2. Daı́
por diante, a velocidade será negativa; no entanto, como
a partı́cula avançou demais na primeira fase, ela não terá
tempo para recuar até posições negativas antes de a velocidade voltar a ser positiva. No final do perı́odo, ela voltará
apenas à posição inicial e, na repetição dos ciclos, ficará
presa entre as posições x = 0 e x = 2a0 /ω 2 , em média na
posição x = a0 /ω 2 .
Esse deslocamento de x = 0 para x = a0 /ω 2 ajuda a
entender o misterioso resultado apresentado na quarta linha
da Tab. IV. Pode parecer estranho que a integral do seno,
função cujo valor médio é nulo, seja igual à unidade. Para
esclarecer a dúvida, vale a pena escrever a Eq. (91) no limite
em que t → ∞:
Z
a0 ∞
x(t → ∞) = 2
sen(u) du.
(94)
ω 0
De acordo com a Tab. IV, a integral à direita é unitária.
Assim, x(t → ∞) = a0 /ω 2 , resultado cuja interpretação
agora reconhecemos: não se trata da posição da partı́cula,
a qual nunca tende a um valor fixo, mas sim da posição
média em torno da qual ela oscila. De forma análoga, é
fácil ver que a substituição da quinta linha da Tab. IV na
Eq. (88) mostra que, t → ∞, a velocidade oscila em torno
do valor médio v = 0.
x(t) − x(0) =
Z
Esta Seção apresenta um último exemplo de movimento
freqüentemente encontrado, o que deriva de uma velocidade
que decai exponencialmente com o tempo:
(95)
O pré-fator v0 é a velocidade inicial. A constante τ tem
dimensão de tempo. A Eq. (95) decorre, como veremos no
mês de maio, da aplicação da Segunda Lei de Newton ao
movimento de um barco que desliza na superfı́cie de um
lago tranqüilo, sujeito apenas, na horizontal, ao atrito com
o ar e com a água. A constante τ depende desse atrito,
embora não seja igual ao coeficiente de atrito.
Para prosseguir, precisamos da posição inicial, que suporemos ser igual a zero. Queremos, a partir dessas informações, encontrar x(t).
Começamos lembrando mais uma vez que, como v =
dx/dt, a posição é uma primitiva da velocidade. Aplicado
t
v0 exp(−t′ /τ ) dt′ .
(96)
0
À esquerda, x(0) = 0. À direita, a constante v0 pode ser
extraı́da da integral e u = −t′ /τ pode substituir a variável
de integração. Como t′ = −τ u, temos que dt′ /du = −τ , e
resulta que
x(t) = v0
Z
−t/τ
exp(u)(−τ ) du,
(97)
0
e extraı́da a constante −τ da integral à direita,
x(t) = −v0 τ
Z
−t/τ
exp(u) du,
(98)
0
ou seja
x(t) = v0 τ [1 − exp(−t/τ )] .
(99)
A Fig. 19 mostra a velocidade (linha cheia) e a posição
(linha tracejada) em função do tempo. Quando o tempo
cresce, enquanto a velocidade se aproxima de zero, a posição
tende a um valor constante, v0 τ : ainda que nunca se anule,
a velocidade se torna tão pequena que o avanço se torna
insignificante.
O parâmetro τ é tão importante aqui quanto a freqüência
angular ω no movimento oscilatório da Seç. XI.B. Ele define
a escala de tempo. Para tempos curtos, muito menores do
que τ , a velocidade decai, aproximadamente, segundo a reta
em traço mais leve na Figura. De fato, se t ≪ τ , o expoente
à direita na Eq. (95) é muito pequeno, e a exponencial pode
ser aproximada por exp(−t/τ ) = 1 − t/τ (veja o que diz a
primeira linha à esquerda na Tab. II). Assim, a velocidade
é aproximadamente dada por
v(t) ≈ v0 (1 −
C. Frenagem exponencial
v(t) = v0 exp(−t/τ ).
à Eq. (95), isso significa que
t
)
τ
(t ≪ τ ),
(100)
expressão cuja representação gráfica é a reta pontilhada na
Fig. 19. Essa relação representa, aproximadamente, um
movimento uniformemente variado com aceleração −v0 /τ
[compare a Eq. (100) com a Eq. (75)].
No limite oposto, para tempos muito superiores a τ , que
apenas começam a aparecer no extremo direito da Fig. 19, a
velocidade é muito pequena: a partı́cula está praticamente
parada.
A posição tem comportamento semelhante: para tempos
muito pequenos, como mostra a curva tracejada em traço
leve na Fig. 19, ela se aproxima de um movimento uniformemente desacelerado com aceleração a = −v0 /τ , isto é,
x = v0 t − (v0 /τ )t2 /2. Para tempos muito grandes, quase
parando, ela se aproxima da reta horizontal x = v0 τ .
A identificação de uma escala caracterı́stica é sempre
grande vantagem: como nosso exemplo mostra, ela permite decompor o problema em duas partes. No caso, se
no inı́cio desta Seção tivéssemos identificado τ como escala
18
Figura 19 Velocidade e posição na frenagem exponencial. A
linha cheia representa a velocidade [Eq. (95)] dividida pelo
pré-fator v0 , e a tracejada, a posição [Eq. (99)] dividida pelo
pré-fator v0 τ , de forma que as ordenadas são adimensionais,
em função do tempo dividido por τ , de forma que as abscissas
são também adimensionais. A reta contı́nua mostra o decaimento que a velocidade teria se mantivesse a taxa original de
queda, isto é, se mantivesse a desaceleração inicial de −v0 /τ ,
hipótese em que ela se anularia no instante t = τ . A curva
tracejada em traço leve mostra a posição que corresponderia
a esse movimento uniformemente desacelerado.
especiais: elas permitem identificar imediatamente as escalas caracterı́sticas nela embutidas. Encontrar uma delas
em um problema de Fı́sica é como encontrar um oásis no
deserto: sabemos que ela facilitará nossa vida.
Vale a pena, por isso, gastar mais alguns minutos com a
função exponencial. Como sabemos, ela está associada ao
número e, base dos logaritmos neperianos, definido por um
limite especial:
e = lim (1 +
1 N
) .
N
(101)
ex = lim (1 +
1 xN
) .
N
(102)
N →∞
Daı́ temos que
N →∞
Introduzindo agora a variável n = xN (de forma que 1/N =
x/n), podemos escrever
ex = lim (1 +
n→∞
x n
) ,
n
(103)
já que seja qual for o valor de x, N/x crescerá desmedidamente quando N ficar enorma.
Suponhamos, agora, que ao fazer n → ∞ escolhamos
sempre números inteiros. O lado direito da Eq. (103) será
então um binômio, que pode ser expandido pela expressão
de Newton:
n(n−1) n−2 2
a
b
2
n(n−1)(n−2) n−3 3
+
a
b + ....
3!
(a + b)n = an + nan−1 b +
(104)
Como n é muito grande, podemos fazer n−1 ≈ n, n−2 ≈ n
etc.. Assim, a Eq. (104) pode ser escrita
caracterı́stica de tempo, já poderı́amos esperar um comportamento para t ≪ τ e outro para t ≫ τ ; com um pouco
mais de reflexão, poderı́amos ter chegado a descrever aproximadamente o movimento em cada um desses dois extremos
sem precisar de recorrer a integrações ou derivações.
Para entender melhor, convém pensar em um outro exemplo. A Terra é aproximadamente uma esfera com raio
R = 6, 4 × 106 m. Esse raio define uma escala de distância.
Para nós, que somos muito menores que R, é excelente
aproximação pensar que a Terra é plana; praticamente todo
o nosso quotidiano é plantado sobre essa aproximação. Já
quem está muito longe da Terra, a uma distância muito
maior que R, pode perfeitamente pensar no nosso planeta
como um ponto, da mesma forma que nós visualizamos
Vênus ou Júpiter como pontos luminosos no céu noturno.
Somente quem tem de trabalhar com distâncias comparáveis
com o raio da Terra precisa se preocupar com a noção de
que ela é redonda: se um piloto de avião que vai de São
Paulo a Lisboa quiser tratar a Terra como plana, provavelmente acabará fazendo um pouso de emergência no Oceano
Atlântico, e se ele quiser tratar a Terra como um ponto, derrubará o aeroplano antes de chegar a Santos.
Por isso, a função exponencial e as trigonométricas são
(a + b)n = an + nan−1 b +
n2 n−2 2
b
2 a
3
+ n3! an−3 b3 + . . . ,
(105)
um resultado aproximado que fica progressivamente mais
preciso quando n aumenta. Substituı́do no lado direito da
Eq. (103) (com a = 1 e b = x/n), ele nos dá
ex = lim (1 + n
n→∞
x n2 x 2 n3 x 3
+
( ) +
( ) + . . . ). (106)
n
2 n
3! n
Como a mesma potência de n aparece no numerador e no
denominador em cada um dos termos da soma entre os
colchetes à direita, podemos eliminar essas potências:
ex = lim (1 + x +
n→∞
x2
x3
+
+ . . . ).
2!
3!
(107)
Uma vez que o termo entre colchetes é independente de n,
podemos tomar o limite n → ∞ sem qualquer preocupação.
Conseguimos com isso expressar a exponencial como uma
soma infinita:
ex = 1 +
x2
x3
x4
x
+
+
+
+ ....
1!
2!
3!
4!
(108)
19
Em particular, se x for muito pequeno, poderemos desprezar
os termos proporcionais a x2 , x3 etc., do lado direito e
recuperaremos a primeira linha à esquerda na Tab. II. Se x
não for pequeno, precisaremos manter mais e mais termos
à direita, até que o fatorial no denominador se torne tão
grande que os termos subseqüentes possam ser desprezados.
Nas disciplinas de Cálculo, voce verá que a Eq. (108) é um
caso particular da expansão de Taylor, que permite escrever
a maioria das funções como somas (normalmente infinitas)
de potências.