Um termômetro muito prático, para ensinar a ler termômetro e para trabalhar com
números negativos. As peças são uma base de trás pintada de preto, duas tábuas laterais entre
as quais vai correr o cursor branco. A parte da frente com uma abertura vertical e a
numeração. Para fechar embaixo, colocar um toquinho e, um pouco acima, dois preguinhos
para o cursor não chegar até em baixo o que esconderia o “bulbo de mercúrio”. O cursor deve
chegar até o –15 e ainda sobrar uma pontinha para poder pegar com os dedos e puxar.
perguntas do tipo: Qual é a temperatura? E agora? Quantos graus desceu?
Trilha para números relativos
A carapeta possui 4 faces com as inscrições: avança 7, volta 6, avança −8 e volta −9
ou apenas A 7, V 6, A −8 e V −9. Os três primeiros significados são bem aceitos, mas o
quarto é preciso ser convencionado pelos próprios jogadores. O que acaba acontecendo e a
convenção de V − 9 ser o mesmo que A 9, para ficar dois avançar e dois voltar. A trilha é
desenhada em uma cartolina ou cartão. Não precisa colorir.
A regra é apenas uma: jogar duas vezes encontrar o resultado e marcar na trilha
movendo o próprio botão. Por exemplo: um menino rodou duas vezes a carapeta e obteve
volta 6 e avança −8, assim deverá retroceder com seu botão 14 casas. Quem completar
primeiro duas voltas, ganhou o jogo.
O objetivo do jogo é o aluno se acostumar com a idéia que tirar dívida é colocar
crédito.
14
Mico matemático
Este é um jogo divertido e instrutivo.
10
5 + √25
Estas duas cartas formam um par porque a segunda é reposta da primeira. São trinta
cartas ou mais, metade com expressões e a outra metade com as respostas. As cartas são
distribuídas. Cada jogador compra do colega da esquerda e, se formar par, desce para a mesa e
deixa o colega da direita comprar. Continua assim até acabarem as cartas. Quem ficar com a
carta com um mico grande ou apenas um X, perde.
Outra variante que pode ser combinada é que ganha quem ficar com o mico.
Confecção do baralho.
Comprar um baralho comum e escrever (é melhor no verso, mesmo que o aluno acabe
decorando que expressão ou resposta está na carta) com uma caneta de retro-projetor as
expressões e respostas. Ou então, para fazer o baralho, as cartas podem ser recortadas em
cartolina ou cartão, inclusive em medidas maiores. Não cole nas cartas etiquetas ou adesivos
que dificultem o seu embaralhar.
Termômetro Fazer um de madeira com uma tira branca que desliza deixando ver o fundo
escuroi simulando o mercúrio
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
10cm
13
50cm
uma das extremidades há tentos unidos entre si, mas que deslizam: um, dois, quatro e oito.
O jogo é o seguinte: dizer um número de 1 até 15; para representá-lo, o aluno
puxa as contas para o centro do quadro. Por exemplo: para formar o número 7, o aluno
deve descobrir que precisa puxar para o centro 4+2+1 bolinhas. Para representar o 12, deve
puxar 8+4 e assim por diante cada vez mais rápido.
Há variações, como puxar o complementar do número dado, isto é, dito um
número, o aluno puxa o que falta para completar 16. Por exemplo, dizendo 7, o aluno
puxa 9, que é o que falta ao 7 para 16. E 9 é 8+1.
Os jogos com o quadro Paed envolvem associatividade e comutatividade.
Caixa de subtração
Pode ser uma caixa de fósforos grande, com uma divisória com passagem.
Colocar, por exemplo, 15 grãos de milho ou feijão de um lado, perguntar à criança −Quantos
são? Ela conta. A caixa é fechada, balançada e aberta até o meio, ficando grãos dos dois
lados, mas apenas um lado visível. − Quantos grãos estão escondidos? A criança deverá
contar os grãos que vê e subtrair de 15 para encontrar o número escondido.
Dominó de contas
7 8+3
Comprar ripa aparelhada, que é uma tábua de uns 3,5 cm de largura. Cortar umas 50
peças de 8 cm de comprimento.
Em cada peça é escrito uma conta e uma resposta, com um pincel atômico. Pronto.
5 8+3 11 7−5 2 6+6
As peças são repartidas como com dominó comum. O primeiro menino coloca uma
peça, digamos: 5 8+3 . O próximo a jogar deve procurar dentre as suas peças se há a
resposta 11, encontrou a peça: 11 7−5 . O próximo precisa ter a peça com o número 2,
encontrou: 2 | 6+6 . O próximo não tem o número 12, então deve tentar a outra ponta,
procurando, dentre as suas peças, alguma conta cuja resposta seja 5. Se encontrar pode
colocá-la, se não, passa a vez. Quem fica com menos peças, ganha o jogo.
As crianças gostam muito desse jogo e ficam jogando até no recreio.
O outro lado das peças pode ser pintado de outra cor para não misturar, e ali escrever
outro jogo. Pode ter dominó de contas de vários níveis, até com frações.
Uma observação: colocar sempre duas ou três contas diferentes com a mesma resposta
e também peças diferentes com o mesmo numeral. O aluno põe uma peça e há duas ou três
que servem na seqüência. Isso para não dar sempre a mesma configuração de jogo. Mesmo
assim eles decoram tudo com rapidez e esse não é o objetivo.
12
entre os objetos do cotidiano e os números, até que o aluno entre no estágio das operações
formais. Com material dourado formamos símbolos de números, portanto, ficando entre os
objetos e os signos.
As outras observações são as mesmas do cavalu. Fazer que os alunos manuseiem o
material, tanto em grupo como individualmente. Fazer graficamente.
Existe, no mercado, esse material para compra. Mas também pode ser feito pela
escola, cortando a madeira e desenhando os cubinhos com uma esferográfica.
Ver as Mini-aulas Material dourado e Polinômios no site: www.Matinterativa.com.br.
Quadro de varetas
Consiste em um quadro de madeira em cima do qual se colocam varetas ou arames.
No desenho há quatro varetas dispostas de lado e três de comprido, logo, são doze
cruzamentos (3×4). O jogo é simples: colocar as varetas e perguntar ao aluno o número de
cruzamentos. Pode falar em mapa de uma cidade com os cruzamentos de ruas.
Em um primeiro momento o aluno conta os cruzamentos um a um, em um segundo
momento, conta os cruzamentos de uma rua e soma tantas vezes quantas forem essas ruas, em
um terceiro momento ele multiplica os dois números de ruas.
Atenção para um detalhe: o quadro não pode ser liso em cima, para que as varetas não
rolem; alguns preguinhos ou varetas que não rolam também resolvem o problema.
Podemos efetuar multiplicações com números maiores que 9. Por exemplo 13×12
1
5
6
Quadro PAEd
Como mostra a figura, trata-se de um quadro com dois arames em diagonal; em cada
11
Agora sim podemos distribuir, dando 3 placas para cada um e sobrando 1.
Não podemos continuar distribuindo placas, pois há somente uma. Então, trocamos a
placa por barras, ficando 10:
Distribuímos as barras e cada criança recebe 2, sobrando 2:
Trocamos as duas barras por 20 cubinhos, ficando 25, com os 5 que já havia:
Distribuindo entre as 4 crianças, damos 6 para cada uma e resta 1 cubinho.
326
326
326
326
O material dourado é uma calculadora que dá a resposta.
Nas quatro operações, em um primeiro momento, trabalhar somente com o material
dourado e obter a resposta. Em um segundo momento, ir trabalhando o material e, passo a
passo, escrevendo, fazendo uma associação entre o manuseio do material e o algoritmo. Em
um quarto momento, sem o material, escrever a conta, representando uma operação que é
concreta porque corresponde ao manuseio. Desse modo o material dourado faz uma ponte
10
9. Multiplicação: Como exemplo, vamos fazer 13×12 sabendo que, com seus
valores: vezes é igual a
e vezes é e vezes é :
13×12 = 10×10 + 3×10 + 2×10 + 3×2 = 100+30+20+6 = 156.
Outro exemplo:
32×24 = (30+2)×(20+4) = 30×20 + 30×4 + 2×20 + 2×4 = 600+120+40+8 = 768.
Tudo isso é completamente improdutivo na construção do algoritmo da multiplicação.
Para quem já sabe o algoritmo, até que não é difícil usar os cubos e é até curioso, mas
começar com os cubos para aprender a conta é sem sentido para a criança.
10. Divisão. A divisão com o material dourado é muito interessante e até útil,
principalmente para ilustrar aulas conteudistas. Como primeiro exemplo vamos dividir
67 por 3:
67
22 + 22 + 22 + 1 = 67
Chamamos três alunos para receber as partes. Distribuímos entre eles os cubinhos e as barras.
Cada um receberá duas barras e dois cubinhos, sobrando um. Portanto, 67 dividido por 3 é 22,
com resto 1.
Outro exemplo: 1 305 dividido por 4. Chamamos quatro alunos para receberem os
cubinhos.
Começamos com o cubo. Não podemos distribuir cubos pois só temos um. Trocamos,
então, o cubo por 10 placas que, com as outras 3, formam 13:
9
Sugestões de atividades
1. Quantidades. Do mesmo modo que com o cavalu, começar a representar os
números na medida em que forem sendo estudados: um, dois, três... Chegando ao dez
combinar a troca por uma barra.
2. Estabelecer correspondência entre peças. Perguntar, por exemplo:
−Treze cubinhos correspondem a quê? (A uma barra e três cubinhos.)
Notar que não importa o jeito de colocar as peças, sempre valerão treze. Não há valordo-lugar, nem há ordem. Mas podemos pedir aos alunos que façam de uma forma organizada,
colocando juntas as peças iguais e as maiores à esquerda.
3. Ditado e solfejo. Dar um número e representá-lo com o material. Inversamente,
representar um número e pedir para o aluno ler. Veja um exemplo com número grande apenas
para ilustrar:
4. Adição sem elevação: 25 + 31
20 + 5
30 + 1
Basta contar as dezenas (cinco) e as unidades (seis).
5. Adição com agrupamento: 146 + 275
100 + 40 + 6
+
200 + 70 + 5
400 + 20 + 1
Agrupar 10 cubinhos substituindo por uma barra e agrupar 10 barras trocando por uma placa.
6. Subtração simples: 48 − 25
40 + 8
− 20 + 5
20 + 3
Retirar duas barras e 5 cubinhos, restando 2 barras e 3 cubinhos.
7. Subtração trocas: 53 − 18
10 + 8
50 + 3
40 + 13
30 + 5
Trocar uma barra por 10 cubinhos transformando o 53 em 40+13. Retirar 18.
8. Propriedades da multiplicação:
4×(10 + 3) = 4×10 + 4×3
Esses tipos de atividades trabalham áreas, comutatividade, distributividade, quadrado
da soma. Só que deve ficar para a 5ª série. Podemos, do mesmo modo, fazer os outros
produtos notáveis. Também podemos fazer esse tipo de atividade em um caderno
quadriculado.
8
Ábaco
Em cada arame ficam dezoito discos (podem ser sementes furadas ou rodinhas
cortadas de um cabo de vassoura e furadas). É preciso serrar madeira, pregar, fixar arames
curvos. Há outros tipos de confecção um pouco mais simples, mas esse funciona bem e está
com os discos sempre à disposição, sem perdas.
No ábaco acima está representado o número 214.
As atividades são as mesmas do cavalu. Quando inteira dez tentos em um arame, eles
são voltados para trás, em troca de puxar um para a frente no arame à esquerda. Veja a soma
27+15:
Ver o artigo As seis etapas, no site www.Matinterativa.com.br.
Material Dourado Montessori
São peças de madeira de quatro tipos:
cubinho de 1×1×1cm3
barra de 1×1×10cm3
placa de 1×10×10cm3
cubo de 10×10×10cm3
O material dourado serve para trabalhar a base decimal (e há material para outras
bases), áreas e volumes, propriedades das operações, produtos notáveis. O material dourado
permite trocar dez cubinhos soltos por uma barra de dez cubinhos presos, portanto, faz
agrupamentos decimais. Ele é decimal, mas não posicional. O cavalu e o ábaco são
posicionais, pois peças iguais podem possuir valores diferentes conforme o lugar que ocupam.
Por isso, podemos começar com o material dourado, trabalhando apenas o decimal e, depois,
passar para o cavalu, trabalhando o decimal e o valor posicional. Mas somente o cavalu já
resolve o problema, se antes for feito o trabalho com jogos posicionais.
O material dourado pouco contribui para a construção do valor posicional. O adulto se
encanta com ele porque já elaborou o conhecimento. Aliás, esse fato é muito comum. O
adulto se encanta com certos materiais porque já possui o conhecimento.
7
Argolas
− Quantos pontos ele fez?
− 12.
− Como?! Se ele acertou 3 argolas, fez 3 pontos!
Tombalata
1
10
1
1
10
1
Fliperama
Dar um piparote na bola da direita, ela sobe rebate na tábua 45° e vem caindo batendo
no pinos. Jogar 5 bolas e dizer quantos pontos fez. Na figura já são 201 pontos. Se uma bola
cai de volta ao boxe de lançamento, atirar outra vez.
O rebatedor passa a importante informação que o ângulo de incidência é igual ao de
reflexão. Isso ocorre de uma forma não formalizada, mas é base para os conceitos de ótica. A
criança percebe que a intenção é rebater em ângulo de 90°.
A confecção é simples: um taboleiro com os boxes, o rebatedor e os preguinhos.
Colocar dois pequenos toquinhos atrás para dar uma pequena inclinação ao taboleiro.
6
c) Na terceira série de exercícios é feita somente a conta, sem o cavalu:
27 = 60 + 7
+ 26 = 20 + 6
80 + 13 = 80+10+3 = 90+3 = 93.
d) A quarta série de exercícios formaliza aos poucos o algoritmo:
6 5
+2 7
8 12
9 2
56
+37
93
29 = 20 + 9
+ 38 = 30 + 8
5 =
5
50 + 22 = 70+2 = 72.
21. Subtração com reserva:
a) Só no cavalu: 65 − 27:
→
60 + 5
→
48
27
50 + 15
O cavalu é uma calculadora que dá a resposta, sem papel nem lápis.
Fazer a associação, passo a passo, entre o cavalu e o algoritmo:
22. Operações com numerais decimais. Trocar as fichas indicativas de ordens. A ficha
unidade possui uma vírgula.
Tudo se passa como se não houvesse vírgula.
O cavalu é muito versátil. É posicional e serve para qualquer base. Trabalha com
numerais decimais e unidades de medidas. Além disso, podem ser colocadas, nas pregas,
outras fichas de outras atividades: letras, palavras, gravuras etc. Lembrar que o cavalu
trabalha numerais e não números, cuja construção possui outra seqüência.
O professor decide o que fazer em cada série, mas nos capítulos que se seguem há
sugestões.
Jogos posicionais. São jogos em que os acertos possuem valores diferentes, por
convenção. Eles trabalham o valor-do-lugar e podem ser jogados desde a pré-escola. Há
várias possibilidades como tiro ao alvo, argolas, derrubar latas, fliperama etc. (Ver o artigo
Seis estapas)
Tiro ao alvo
5
com mais linhas, mas estando feita a compreensão, isso perde o sentido.
14. Divisão por 2. Repartir as fichas em duas dobras, de uma em uma, de duas em
duas, como quiser.
8÷2
15. Divisão por 3. Repartir as fichas em três dobras, como no item anterior.
15÷3
16. Maiores que cem. Representar números maiores que cem e pedir ao aluno que leia.
Dar um número e pedir para representá-lo.
17. O valor do lugar. Transformar centena em dezena e vice-versa (análogo ao item 6).
18. Valor absoluto versus valor relativo.
Discutir os valores destes | | | que aparecem em cada coluna valendo 3, 30 e 300. Comparar
com a outra notação: 333.
19. Multiplicação por 10:
10×2 = 2×10 = 10+10 = 2 dezenas.
20. Adição com reserva:
a) A primeira série de exercícios é feita somente no cavalu. O cavalu é uma
calculadora:
47 + 35
b) Na segunda série de exercícios é feita a associação, passo a passo, do cavalu com a
conta:
(1) colocamos no cavalu e escrevemos 40+7 e 30+5;
(2) separamos uma dezena e escrevemos: 70+10+2;
(3) passamos a dezena para o outro lado e escrevemos 80+2, que é 82. Assim:
47
+35
40 + 7
30 + 5
70 + 12
→
82
70+10+2 = 80+2 = 82.
4
depois o represente apenas com unidades.
10
+4
14
7. Cavalu desenhado. Desenhar o cavalu simplificado no caderno, repetir as atividades
do item 6. Fazer variações como: pedrinhas em buracos, ábaco, dois meninos (o menino das
unidades e o das dezenas, representando com os dedos; veja o 37 na figura a seguir) etc.
8. Adição com reserva:
11
9
+2
Dez unidades foram transformadas em uma dezena, obtendo 11. Isso foi feito
retirando 10 unidades do cavalu e colocando um palito na coluna das dezenas.
9. Adição e subtração de dezenas inteiras:
60 − 40
20 + 50
Fazer do mesmo modo que no item 4.
10 Adição e subtração com dezenas e unidades sem reserva:
34
+23
57 − 23
11. Par ou ímpar? Dado um número colocar as fichas uma debaixo da outra, duas a
duas, para ver se sobra alguma sem par. Se tiver que ocupar a coluna da esquerda retirar as
fichas indicativas de dezena e centena.
7 é ímpar
Mostrar que dezena é par e o que vai decidir se o número é par ou ímpar são as unidades. Em
37 o trinta é par, devemos olhar apenas as unidades que, no caso, é sete, que é ímpar, logo o
número 37 é ímpar.
12. Multiplicação por 2:
2×3
13. Multiplicação por 3:
3×12
Ler assim mesmo, sem mexer no cavalu: trinta e seis. Dizer: três vezes duas unidades, três
vezes uma dezena, preparando o algoritmo. Para fazer 4 vezes, ou mais, precisaria um cavalu
3
temos o numeral 301.
Tudo deve ser bem-feito e bonito, mas simples e que possa ser visto com clareza do
fundo da sala. Todos os palitos devem ser iguais: o que diferencia as ordens é o lugar. Aí está
o fundamental: o valor-do-lugar. O cavalu é posicional e pode ser usado para qualquer base.
O conceito de numeração posicional é muito difícil, principalmente com signos, por
isso deve ser utilizado o cavalu (ou o ábaco), onde usamos símbolos que, além disso, são
manuseáveis.
Também podem ser feitos cavaluzinhos para trabalhos em grupos. Basta dividir todas
as medidas por 4 e fazer em cartolina ou papel manilha.
Sugestões de atividades
1. Quantidades. Os números vão sendo representados no cartaz-valor-do-lugar à
medida que vão sendo estudados. Com isso os alunos vão se acostumando com o cavalu.
2. Ditado e solfejo. Quando chegar ao 5 iniciar atividades assim:
a) escolher um número para o aluno representar no cavalu,
b) representar um número para que o aluno o leia.
3. Adição:
3
2
Contar o total. Repetir esse tipo de conta. Os alunos devem manusear o cavalu.
4. Subtração:
5
5−2
Colocar 5 palitos, os alunos contam, passar 2 palitos para baixo e contar.
Quantos sobraram? Essa disposição não só mostra que 5−2 = 3, como também que
3+2 = 5. É necessário o ato de retirar 2 palitos dos 5 e passar para baixo, restando 3 em cima.
5. Amarradinhos. Continuar representando os números até passar de dez, sempre na
coluna das unidades. Combinar de fazer amarradinhos de dez (de uma dezena), porque os
palitos não estão mais cabendo na coluna. Trabalhar um pouco com amarradinhos: um
amarradinho mais um palito, um amarradinho mais dois etc. Depois, combinar que os
amarradinhos ficarão do lado esquerdo. Coloque as fichas indicativas de unidades e dezenas
que, até agora, não tinham sentido. Trabalhar um pouco dessa forma, separando os
amarradinhos das unidades. Por último, uma vez que na segunda coluna só ficam as dezenas,
combinar de colocar uma única ficha para representar uma dezena. Assim, cada ficha da
esquerda vale um amarradinho, vale uma dezena. É o valor do lugar. Integrar com tiro ao alvo
e outros jogos onde os valores dependem do lugar onde foi o acerto. Ver jogos posicionais.
6. Ditado e solfejo. À medida que os números vão sendo estudados, repetir sempre
essa atividade:
a) Representar um número e pedir ao aluno que o leia.
b) Dizer um número e pedir ao aluno que o represente apenas com unidades e depois
com dezenas e unidades. Sempre ditado e solfejo.
c) Dizer um número e pedir ao aluno que o represente com unidades e dezenas e
2
ARITMÉTICA
Cavalu
Material dourado
Tiro ao alvo
Argolas
Tombalata
Ábaco
Quadro de varetas
Quadro PAED
Dominó de contas
Mico matemático
Caixa de subtração
1) Cavalu
O cartaz-valor-do-lugar ou cartaz de pregas, conhecido por cavalu ou CVL, é
decisivo no trabalho com números e operações quanto ao problema da elevação. Ele não serve
para construir o conceito de número nem de operações. Ele é muito útil na alfabetização
matemática no fundamental problema da elevação (reagrupamento). Esse problema não existe
com os números, existe somente nos numerais posicionais.
O cartaz deve ficar permanentemente preso na parede e em lugar bem visível e de fácil
acesso.
A confecção do cartaz é muito simples. Em um cartão de 97cm × 66cm fazer os riscos
de dobras como na ilustração abaixo. A primeira dobra é para trás, a segunda para frente,
assim por diante até o fim. Na parte de trás colar tudo, fixando as dobras e fazendo a barra de
2,5cm. Na parte da frente, fazer 4 costuras verticais, dividindo o cavalu em três colunas,
ficando com doze bolsas. Recortar três fichas de cartolina (18cm × 14cm) e escrever 100, 10,
1, que, mais tarde serão substituídas por centena, dezena, unidade. Preparar 40 fichas
compridas de cartolina (1,5cm × 14cm) ou palitos de picolé ou canudinhos cortados de
tamanhos convenientes. Pronto, é só isso! O cavalu pode ser feito de lona costurada e fixada
em compensado ou papelão. O verso pode ser também usado para outras coisas.
2,5 cm
15 cm
8 cm
15 cm
8 cm
15 cm
8 cm
15 cm
8 cm
2,5 cm
16 cm
20 cm
30 cm
No cavalu aqui desenhado temos na primeira linha as fichas: centena, dezena, unidade.
Na segunda linha temos o numeral 63, isto é, |||||| dezenas e ||| unidades. Na terceira linha
1