Lista 1- Cálculo I – Lic. - Resolução
Exercício 6: Uma molécula de açúcar comum (sacarose) pesa 5,7×10-22 g e uma de água, 3×10-23 g. Qual
das duas é mais pesada? Quantas vezes uma é mais pesada que a outra?
Solução:
Para saber qual é a mais pesada, fazemos uma comparação através da relação de ordem:
5,7.10-22 > 3.10-23 ñ
5,7.10-22 - 3.10-23 > 0
Como 5,7.10-22 = 57.10-23 , substituindo na subtração obtemos:
57.10-23 – 3.10-23 = 54.10-23 e 54.10-23 > 0
∴ 57.10-23 é maior que 3.10-23 , sendo que 54.10-23 = 5,4.10-22.
Portanto, a molécula de sacarose é mais pesada que a molécula de água.
Para saber quantas vezes uma é mais pesada que a outra, basta dividirmos a massa da molécula de
sacarose pela massa da molécula de água, obtendo assim um número, N, que será o número de vezes que a
molécula de sacarose é mais pesada que a molécula de água.
N=
é
é
á
ï
N=
,.
.
Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base :
N=
,.((
ï
N=
,.(
ï
N=
,.
ï
N= 19
Portanto, a molécula de sacarose é 19 vezes mais pesada que a molécula de água.
Exercício 7: Num copo de água com açúcar há 180 g de água e 11,4 g de açúcar. Usando os dados do
exercício anterior, calcule:
a)
b)
c)
d)
Quantas moléculas de água há no copo;
Quantas moléculas de açúcar;
Quantas vezes mais moléculas de água há do que de açúcar;
O total de moléculas de água com açúcar.
Solução:
a) O número de moléculas de água é obtido facilmente através da divisão da massa de todas as moléculas
de água no copo pela massa de uma molécula de água. Chamando este número de K, temos :
K=
é
á !
é
á
î
" #
".$
K= . # î K= .
Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base :
1
K=
".($(
î
K=
".
î
K=
".%
î
K= 6.1024 moléculas
Portanto, o número de moléculas de água no copo é igual a 6.1024.
b) Para descobrir o número de moléculas de sacarose, utilizaremos o mesmo raciocínio do item a),
chamando este número de S:
S=
é
!
é
î S=
,& #
,. #
î S=
,&.$
,.
Utilizando a propriedade da divisão de potências de mesma base :
S=
,&.($(
,
î
S=
,&.
,
î
S = 2.1022 moléculas
Portanto, o número de moléculas de sacarose no copo é de 2.1022.
c) Para saber isto, basta dividir o número de moléculas de água no copo pelo número de moléculas de
sacarose no copo, que chamando este número de J:
'ú é
á !
!
J= 'ú é
(.% )*+é,-+./
î J= 0. )*+é,-+./ î B=
(.(%
0
î B= 300
Portanto, o número de moléculas de água no copo é 300 vezes maior que o número de moléculas de
sacarose.
d) Basta somar o número de moléculas de ambos, chamando este número, por exemplo, de C:
C = 'ú é
á + ú é
C = 6.1024 + 2.1022
Como 6.1024 = 6.102.1022 = 600.1022, segue que
C = 600.1022 + 2.1022
î C = 602.1022 î
C = 6,02.1024
Portanto, o número de moléculas presentes dentro do copo é igual a 6,02.1024.
Exercício 11: Suponha que um país A tenha uma renda per capta anual de 20.000 dólares e uma
população de 50 milhões de habitantes. Um outro país B tem uma renda per capta de 10.000 dólares e
uma população de 20 milhões. Se os dois países se fundirem para formar um novo país, a renda per capta
resultante estará mais próxima de qual valor?
Solução:
Para resolver o exercício primeiramente devemos saber o que é renda per capita.
Renda per capita é a média do quanto cada habitante de uma determinada região recebe de salário.
2
Sabendo isto, essa média está diretamente relacionada a quantidade de habitantes de uma região, logo
devemos saber quantos habitantes o novo país chamado, por exemplo, C terá. A população do país C será
dada pela soma dos habitantes dos países A e B:
População do país C = 2!
çã 3 + 2!
çã 4
População do país C = 50 milhões + 20 milhões
População do país C = 70 milhões
∴ A população do novo país é de 70 milhões.
Quando calculamos a renda per capita, dividimos todo o dinheiro que a população tem, que chamaremos
de, por exemplo, renda total, pela população da região. Então para calcular a renda per capita do novo
país, devemos saber a renda total dos países A e B, somá-las e, assim obter a renda total do país C, para
finalmente podermos calcular a renda per capita do novo país:
Calculo da Renda total de A: Renda per capita do País A =
5 3
2!
çã 3
Renda total de A = 5 ! !6 2í 3 × 2!
çã 3
Renda total de A = 2.104 × 5.107 = 10 × 10(4+7).
Portanto,
Renda total de A = 1.1012 dólares
Cálculo da renda total de B: Renda per capita do País B =
5 2í 4
2!
çã 4
Renda do País B = Renda per capita do País B × População de B
Renda do País B = 1.104 × 2.107 = 2.10(4+7).
Portanto,
Renda do País B = 2.1011 dólares
Calculando a renda total do País C:
Renda total do País C = 5 2í 3 + 5 2í 4
Renda total do País C = 1.1012 dólares + 2.1011 dólares
Sabemos que 1.1012 = 10.1011, logo:
Renda total do País C = 10.1011 + 2.1011
Renda total do País C = 1,2.1012 dólares
3
Agora que conhecemos a população total do novo País e a população do mesmo, podemos calcular a
renda per capita de C:
Renda per capita do País C =
Renda per capita do País C =
5 2í 8
2!
çã 2í 8
,0.
.9
=
,0.(9
=
,0.:
Renda per capita do País C = 17142,85 dólares
A renda per capita do País C está mais próxima da renda do País A ou do País B?
Para saber a resposta, calculamos o módulo da diferença da renda do País C com as rendas dos Países A e
B, de modo que o menor valor nos indicará a resposta:
Calculando a diferença de renda entre os Países A e C, chamando, por exemplo, a diferença de DAC:
DAC = |<=>?@ ?A B@íC D − <=>?@ ?A B@íC F|
DAC = |20000 − 17142,85| î DAC= |2857,15| = 2857,15.
Calculando a diferença de renda entre os Países B e C, chamando, por exemplo, a diferença de DBC:
DBC = |<=>?@ ?A B@íC N − <=>?@ ?A B@íC F|
DBC = |10000 − 17142,85| î DBC = |−7142,85| = 7142,85.
Portanto, a renda per capita do novo país está mais próxima da renda per capita do país A.
Exercício 16: Efetue e/ou simplifique:
a)
OP
O
+
OP
OP
Neste item podemos simplesmente somar as frações, pois os seus denominadores são iguais:
OP
O
+
OP
OP
=
Q P QP
QP
x
1
−
x +1 x
Neste item precisamos utilizar a definição de soma de frações, pois os denominadores são diferentes:
x
1 x2 − x2 − 1
−1
−
=
=
2
2
x +1 x
x ( x + 1)
x ( x 2 + 1)
c)
2
f) R(3R & -
0
Q
&
+ Q )
Neste item basta apenas aplicar a propriedade distributiva da multiplicação:
R(3R & −
0
Q
+
&
Q
4
= 3R − 2 +
&
Q
Exercício 19: Determine o conjunto solução das equações e inequações abaixo:
b) |7R − 4 | < 10
Para resolver os exercícios a seguir, devemos sempre utilizar a definição de módulo:
VW − X < 10, C= 7W − X ≥ Z \
U
−(VW – X < 10, C= 7W − X < 0
X
VW − X < 10, C= R ≥ V
\
]
X
X − VW < 10, C= R <
î
V
A partir da situação acima temos duas possibilidades:
&
&
A inequação será resolvida para valores de x ≥ ,ou para valores de x < .
•
&
Para valores de x ≥ ,temos :
7R − 4 < 10 î 7R < 14
R <2
î
Portanto para esse caso, x pode assumir os valores
•
&
Para valores de x < , temos:
4 − 7R < 10
&
≤ R <2
ï − 7R < 6
Quando multiplicamos uma desigualdade por valores negativos, invertemos a desigualdade:
(
R < −
Nesse caso, x pode assumir valores − < R <
S = `R ∈ ℝ c−
&
(
6
7
, logo a solução da inequação é:
< R < 2d
d) | R + 5| ≥ 2
Utilizando a definição de módulo temos:
R + 5 ≥ 2 , C= R + 5 ≥ 0 \
U
−(R + 5 ≥ 2 , C= R + 5 < 0
î
U
R + 5 ≥ 2 , C= R ≥ − 5 \
−(R + 5 ≥ 2 , C= R < −5
Assim, a inequação poderá ter soluções em duas regiões: R ≥ −5 ou R < −5.
• Resolvendo a inequação para R ≥ −5 :
R + 5 ≥ 2 î R ≥ −3
Portanto, para R ≥ −5, x poderá assumir valores tais que R ≥ −3 .
•
Resolvendo a inequação para R < −5 :
R ≤ −7
−(R + 5 ≥ 2 î − R − 5 ≥ 2 î − R ≥ 7 î
Portanto, para R < −5, x poderá assumir valores tais que R ≤ −7.
Logo, o conjunto solução da inequação é S = eR ∈ ℝ| R ≤ −7 Af R ≥ −3g
5
e) |3R + 5| = | 3R + 1|
Para resolver essa equação, podemos utilizar uma das propriedades do módulo que é a seguinte:
|R|0 = R 0
Segundo essa propriedade, podemos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado e assim, retiramos o
módulo dos dois lados da equação:
|3R + 5| 0 = | 3R + 1|0
î (3R + 50 = (3R + 10
Agora basta resolver a equação de segundo grau:
9R 0 + 6R + 1 = R 0 − 4R + 4 î 8R 0 + 10R − 3 = 0
î R=
i±k i&.".(i
0."
î R = − 0 Af R =
Assim, conjunto solução da equação é S = `− 0 , &d.
&
Exercício 24:
a) Calcule 1001, 1001,5 e 1002.
b) A média aritmética dos expoentes 1 e 2 é 1,5. A média aritmética das potências 1001 e 1002 é 1001,5?
Justifique sua resposta.
c) Verifique se a média geométrica de 1001 e 1002 é 1001,5.
Solução:
a) 1001 = 100 e 1002 = 10000.
Para calcularmos 1001,5 escrevemos 1,5 = 0 e, portanto,
1001,5 = 100 = √100 = k(100 = √10( = 10 = 1000.
b) A média aritmética entre 1001 e 1002 é dada por:
mD =
P 0
î
mD = 5050
Portanto, a média aritmética de 1001 e 1002 é diferente de 1001,5.
c) A média geométrica entre 1001 e 1002 é dada por:
mn = √100 . 1000 î mn = 1000
Logo, a média geométrica de 1001 e 1002 é igual a 1001,5.
Exercício 26: Quanto mede a aresta de um cubo que tem volume igual ao de um bloco retangular de 512
mm × 216 mm × 125 mm?
Solução:
6
Segundo o enunciado, o volume do cubo,Vc, de aresta a, é igual ao volume do paralelepípedo, Vp, de
dimensões 512 mm, 216 mm e 125 mm, ou seja,Vp = Vc.
O volume do paralelepípedo é dado pelo produto de suas dimensões:
Vp = (512 mm) × ( 216 mm) × ( 125 mm) î
ou
Vp = 13824000 mm3
Vp = 13,824 dm3 .
O volume do cubo é dado por: Vc = a3 e, por hipótese, Vc = 13,824 dm3 .
Calculando o valor da aresta do cubo:
13,824 = a3
î a = √13,824 î
a = 2,4 dm ou a = 240 mm
Exercício 27: A porcentagem de fumantes de uma cidade é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de
fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12800. Calcule:
a) O número de fumantes da cidade.
b) O número de habitantes da cidade.
Solução:
"
"
a) Se param de fumar, então continuam fumando. Logo teremos 12800 = . F , onde F é o número
total de fumantes.
Resolvendo a equação descobrimos que F = 17600.
Portanto, o número de fumantes da cidade é igual a 17600.
b) A porcentagem de fumantes da cidade é 32% e, pelo item a) descobrimos que o número de fumantes é
igual a 17600. Logo, 17600 = 0,32 × N, onde N é o número de habitantes da cidade. Portanto,
N=
(
,0
î N = 55000
Portanto, o número de habitantes da cidade é igual a 55000.
Exercício 30: Divida (isto é, dê o quociente e o resto):
2
a) 4 x − 3x + 6 por x + 2
4
3
2
b) x + x + 2 x + 15 por 2 x − 6 x + 4
Solução:
a)
4 x 2 − 3x + 6 x + 2
−4 x 2 − 8 x
0 − 11x + 6
4 x − 11
+11x + 22
0 + 28
Portanto, quociente = 4x – 11 e resto = 28.
7
b)
x 4 + x 3 + 2 x + 15
2x2 − 6x + 4
1 2
x + 2x + 5
2
− x 4 + 3x 3 − 2 x 2
0 + 4 x 3 − 2 x 2 + 2 x + 15
− 4 x 3 + 12 x 2 − 8 x
0 + 10 x 2 − 6 x + 15
− 10 x 2 + 30 x − 20
24 x − 5
Portanto, quociente =
1 2
x + 2x + 5 e
2
resto = 24x – 5.
Exercício 31. Fatore:
2
a) x + 4 x + 3
3
d) 8 x − 27
3
f) 2 x − 4 x + 2
Solução:
Para fatorar um polinômio inicialmente devemos encontrar suas raízes. Assim:
−4 ± 16 − 12
−4 ± 4
⇔ x=
⇔ x = −1 ou x = −3 .
2
2
Portanto, podemos escrever x2 + 4x + 3 = (x+1) (x+3).
2
a) x + 4 x + 3 = 0 ⇔ x =
27
27
3
3
3
d) 8 x − 27 = 0 ⇔ x = 8 ⇔ x = 3 8 ⇔ x = 2 .
Neste caso o polinômio possui apenas uma raiz real, o que significa que ela pode ter multiplicidade 3
ou que as outras duas são complexas. Para saber qual situação ocorre, devemos dividir o polinômio por
(x – 3/2). Efetuando esta divisão, obtemos:
3
3


8 x 3 − 27 =  x −  (8 x 2 + 12 x + 18) =  x −  2 (4 x 2 + 6 x + 9) = (2 x − 3) (4 x 2 + 6 x + 9) .
2
2


Note que o segundo polinômio não possui raízes reais (verifique!). Assim, a forma fatorada do polinômio
dado é a expressão encontrada acima, ou seja, esta é a forma de representar o polinômio 8x3 – 27 como
produto de dois polinômios mais simples (de menor grau).
f) 2 x 3 − 4 x + 2 = 0 ⇔ 2 x 3 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x 3 − 2 x + 1 = 0.
(
)
É fácil ver que x = 1 é uma raiz do polinômio acima. Portanto, podemos escrever x3 – 2x + 1 = (x -1) ×
p(x), onde p(x) é encontrado quando fazemos a divisão (x3 – 2x + 1) / (x-1). Efetuando esta divisão
obtemos (x3 – 2x + 1) = (x-1) (x2 + x – 1) . Porém, p(x) = x2 + x – 1 possui duas raízes reais, que são
x1 =
−1 + 5
2
e
x2 =
−1 − 5
. Logo, podemos escrever
2

−1 + 5  
−1 − 5 
2 x 3 − 4 x + 2 = 2 ( x 3 − 2 x + 1) = 2( x − 1)  x −
 x −

2 
2 

que é a forma fatorada do polinômio dado.
8