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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - UFOP
ESCOLA DE MINAS – EM
COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E
AUTOMAÇÃO - CECAU
AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE CONTROLADORES
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E
AUTOMAÇÃO
CÁSSIO PASCOAL COSTA
Ouro Preto, 2005
i
CÁSSIO PASCOAL COSTA
AVALIAÇÃO DE PROJETOS DE CONTROLADORES
Monografia
Engenharia
de
apresentada ao Curso de
Controle
e
Automação
da
Universidade Federal de Ouro Preto como parte
dos requisitos para obtenção de Grau em
Engenheiro de Controle e Automação.
Orientador: Professor Dr. Ronilson Rocha
Ouro Preto
Escola de Minas - UFOP
JULHO / 2005
ii
iii
Dedico este trabalho primeiramente a
Deus que me proporcionou sabedoria e vitórias
e às pessoas que me incentivaram e apoiaram em todos os momentos
me ensinando sempre a lutar por meus ideais.
iv
“O coração do homem pode fazer planos,
mas a resposta certa dos lábios vem do Senhor.”
Pv 16:1
v
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS................................................................................................vii
LISTA DE TABELAS..............................................................................................viii
RESUMO..................................................................................................................... ix
ABSTRACT ................................................................................................................. x
I INTRODUÇÃO......................................................................................................... 1
1.1 Um Breve Histórico do Controle ......................................................................... 1
1.2 Visão Geral de Controle de Processo.................................................................. 2
1.3 Sistemas de Controle........................................................................................... 4
1.4 O Problema de Controle....................................................................................... 5
1.5 Objetivos .............................................................................................................. 6
1.6 Metodologia Adotada........................................................................................... 6
II CONTROLE DE TEMPERATURA DE LÍQUIDOS EM TUBOS.................... 7
2.1 Considerações Iniciais.......................................................................................... 7
2.2 A Planta Piloto ..................................................................................................... 8
2.3 Variáveis do Processo .......................................................................................... 9
2.3.1 Variável Controlada....................................................................................... 9
2.3.2 Variável Manipulada.................................................................................... 10
2.4 Concepção do Projeto do Sistema de Controle para a Planta Piloto.................. 10
2.4.1 Considerações Iniciais ................................................................................. 10
2.4.2 Fonte de Tensão Contínua Estabilizada....................................................... 11
2.4.3 Circuito Integrado de Controle de Fase (TCA785) ..................................... 12
2.4.4 Tensão de Sincronismos (TIL113) .............................................................. 14
2.4.5 Conversor de Potência a Triac - Optoacoplador MOC 3020....................... 15
2.4.6 Amplificadores Monolíticos de Termopar com Compensação de Junção Fria ..... 16
2.4.7 Amplificador Operacional JFET para Baixos Ruídos (TL071)................... 18
III MODELAGEM MATEMÁTICA ...................................................................... 19
3.1 Considerações Iniciais Sobre Modelos Matemáticos......................................... 19
3.2 Princípios Físicos do Processo ........................................................................... 21
3.2.1 Determinação da Função de Transferência.................................................. 22
3.3 Modelo Empírico ............................................................................................... 24
vi
IV PROJETOS DE CONTROLADORES .............................................................. 28
4.1 Definições das Estratégias de Controle.............................................................. 28
4.1.1 Considerações iniciais.................................................................................. 28
4.1.2 Estratégia de Controle da Temperatura ...................................................... 28
4.2 Noções Preliminares.......................................................................................... 29
4.3 Sintonia de Controladores – Método de Ziegler e Nichols ............................... 35
4.4 Método do Lugar das Raízes............................................................................. 37
4.5 Domínio da Freqüência ..................................................................................... 40
V AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL...................................................................... 46
VI CONCLUSÃO ...................................................................................................... 49
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Diagrama de um sistema de controle ........................................................... 4
Figura 2.1 – Planta piloto.................................................................................................. 8
Figura 2.2 – Circuito elétrico para uma fonte de tensão estabilizada ............................. 12
Figura 2.3 – Circuito elétrico TCA785 para o controle de fase..................................... 13
Figura 2.4 – Configuração das tensões no TCA785 ....................................................... 14
Figura 2.5 – Circuito de sincronismo.............................................................................. 15
Figura 2.6- Circuito de disparo no triac.......................................................................... 15
Figura 2.7 – Configuração eletrônica do AD595 para termopar tipo K ......................... 17
Figura 2.8- Configuração da pinagem do TL071 ........................................................... 18
Figura 2.9 – Configuração do amplificador.................................................................... 18
Figura 3.1 – Diagrama de blocos do sistema em malha aberta....................................... 23
Figura 3.2 – Diagrama de blocos do sistema com realimentação negativa .................... 24
Figura 3.3 – Resposta do processo de primeira ordem a um degrau de entrada............. 25
Figura 3.4 – Resposta ao degrau aplicado na entrada do processo................................. 26
Figura 3.5 – Dados reais comparados com a função encontrada e simulada no Simulink ...... 27
Figura 4.1 – Efeito da redução de PB no comportamento de PV ................................... 31
Figura 4.2 – Efeito da inclusão do controle Integral – PI ............................................... 32
Figura 4.3 – Comparação de um controle P com um controle PD ................................. 33
Figura 4.4 – Diagrama de Blocos de um sistema com PID ............................................ 34
Figura 4.5 – Modelo para obtenção dos parâmetros de primeira ordem ........................ 36
Figura 4.6 – Sistema de malha fechada controlada ........................................................ 38
Figura 4.7 – Lugar das raízes para o modelo proposto................................................... 39
Figura 4.8 – Resposta em freqüência.............................................................................. 42
Figura 4.9 – Diagrama de Bode ...................................................................................... 43
Figura 4.10 – Diagrama de Nichols ................................................................................ 44
Figura 5.1 – Resposta no tempo do controle PI para o (a) método Ziegler-Nichols
(b) método lugares das raízes e (c) domínio da freqüência...................................... 47
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Pinagem do TCA785..................................................................................... 13
Tabela 2 – Tensão de saída vs. temperatura do termopar ............................................... 17
Tabela 3 – Composição do controle P, I e D ................................................................. 30
Tabela 4 – Parâmetros de controle segundo o primeiro método de Ziegler-Nichols .... 36
Tabela 5 – Parâmetros de sintonia para o primeiro método de Ziegler-Nichols .......... 37
Tabela 6 – Tabela do diagrama de Bode......................................................................... 45
Tabela 7 – Índices de desempenho dos controladores.................................................... 48
ix
RESUMO
Uma das abordagens utilizadas em controle de processos é a questão da
análise e projeto de controle em malha fechada. Na análise do sistema de malha
fechada, tem-se o sistema, e se deseja determinar suas características ou
comportamento. No projeto, especifica-se as características ou comportamento
desejados e deve-se configurar ou sintetizar o sistema, de forma que ele exiba as
qualidades procuradas. O sistema de malha fechada proposto, deseja-se manter,
automaticamente, a temperatura da água no interior de um tubo em um determinado
valor de setpoint. As etapas do projeto de um sistema de controle aplicado em um
processo de aquecimento da água em tubos, utilizando material de baixo custo, são
descritos com o propósito de obter uma avaliação experimental para melhor caracterizar
a aplicabilidade e a viabilidade dos sistemas de controle. Na modelagem matemática do
processo de aquecimento da água é utilizado o método de identificação por resposta ao
degrau. A estimação dos parâmetros do modelo de primeira ordem é feita utilizando-se
métodos gráficos clássicos. Três metodologias são utilizadas no projeto de
controladores PI´s (proporcional e integral) para malhas de controle de temperatura.: o
método de Ziegler-Nichols para malhas abertas, Lugar das Raízes utilizando a alocação
de pólos estratégicos e o Domínio da Freqüência que verificam as melhores freqüências
para o controle. Para simular a operação de uma rede de chão de fábrica, um
Controlador Lógico Programável (CLP) efetuará a aquisição de dados e a execução dos
algoritmos de controle, enquanto que a supervisão do processo será realizada por um
microcomputador utilizando o software Elipse.
Palavras Chaves: Malha fechada, Controlador PI, Ziegler-Nichols, Lugar das Raízes e
Domínio da Freqüência.
x
ABSTRACT
One of the approaches used in control of processes it is the subject of the analysis and
control project in closed mesh. In the analysis of the system of closed loop, the system
is had, and one want to determine your characteristics or behavior. In the project, it is
specified the characteristics or behavior wanted and it should be configured or to
synthesize the system, so that him exhibits the sought qualities. The system of closed
loop proposed, it is wanted to maintain, automatically, the temperature of the water
inside a tube in a certain setpoint value. The stages of the project of a system of applied
control in a process of heating of the water in tubes, using material of low cost, they are
described with the purpose of obtaining an experimental evaluation for best to
characterize the applicability and the viability of the control systems. In the
mathematical modelling of the process of heating of the water the identification method
is used by answer to the step. The estimate of the parameters of the model of first order
is made being used classic graphic methods. Three methodologies are used in the
controllers PI project (proportional and integral) for loop of temperature control.: the
method of Ziegler-Nichols for open loop, Place of the Roots using the allocation of
strategic poles and the Domain of the Frequency that verify the best frequencies for the
control. To simulate the operation of a net of factory ground, a Programmable Logical
Controller (PLC) it will make the acquisition of data and the execution of the control
algorithms, while the supervision of the process will be accomplished by a
microcomputer using the software Ellipse.
Key Words: Closed loop, Controller PI, Ziegler-Nichols, Place of the Roots and
Domain of the Frequency.
1
I INTRODUÇÃO
1.1 Um Breve Histórico do Controle
O primeiro trabalho significativo em controle automático foi o de James
Watt, que construiu, no século XVIII, um controlador centrífugo para o controle de
velocidade de uma máquina de vapor (OGATA, 2000).
Alguns termos surgiram como por exemplo “automático” que implica o
controle realizado sem intervenção humana e o termo “realimentado” que foi usado pela
primeira vez em 1920 pelo Bell Telephone Laboratories (PHILLIPS e HARBOR,
2000).
Segundo Ogata(2000) outros trabalhos importantes nos primeiros
estágios de desenvolvimento da teoria do controle se devem a Minorsky, Hazen e
Nyquist, dentre outros. Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automáticos
para pilotar navios e mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da
representação do sistema através de equações diferenciais. Em 1934, Hazen, que
introduziu o termo “servomecanismos” para designar sistemas de controle de posição,
discutiu o projeto de servomecanismos a relé capazes de seguir, de muito perto, uma
excitação variável no tempo.
Durante a década de 1940, os métodos de resposta de freqüência
tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada
satisfazendo requisitos de desempenho. Do final da década de 1940 até o início dos anos
50, desenvolveu-se completamente o método do lugar das raízes graças a Evans.
O método de resposta de freqüência e do lugar de raízes, que constitui o
núcleo da teoria de controle clássica, conduziram à realização de sistemas estáveis e que
satisfazem um conjunto de requisitos de desempenhos mais ou menos arbitrários. A
partir dos anos 50, a ênfase nos problemas de controle tem sido deslocada do projeto de
um dos muitos sistemas possíveis de operar para um projeto de um sistema que seja
ótimo de acordo com um determinado critério.
2
Tendo em vista que os sistemas modernos, dotados de muitas entradas e
muitas saídas, se tornam cada vez mais complexos, a descrição de um sistema de
controle envolve um grande número de equações. A teoria de controle clássica, que trata
somente de sistemas com uma única entrada e uma única saída, tornou-se insuficiente
para lidar com sistemas de entradas e saídas múltiplas. A partir de 1960,
aproximadamente, a disponibilidade dos computadores digitais tornou possível a
análise, no domínio do tempo, de sistemas complexos, ensejando o desenvolvimento da
moderna teoria de controle baseada nas técnicas de análise e síntese através de variáveis
de estado. Esta teoria foi desenvolvida com o objetivo de tratar a complexidade
crescente dos sistemas modernos e atender às rigorosas exigências quanto ao peso,
exatidão e custos de projetos relativos às aplicações militares, espaciais e industriais.
Durante o período de 1960 a 1980, foram investigados os controles
ótimos de sistemas determinísticos e estocásticos bem como o controle adaptativo e o
controle com aprendizado. De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na moderna
teoria de controle têm se concentrado no controle robusto, no controle de H2 e H∞ e
tópicos associados (OGATA, 2000).
1.2 Visão Geral de Controle de Processo
Nestes tempos de produção e consumo globalizados, onde a competição
industrial é acirrada (com a tendência de acirrar-se ainda mais no futuro), a Engenharia
de Controle é considerada como uma semente de qualidade, eficiência, produtividade e
evolução tecnológica, uma vez que, para produzir em grande escala, com uniformidade
e qualidade sob restrições ambientais, operacionais e econômicas, são necessárias
máquinas que funcionem sob controle automático para atender a exigência por produtos
com especificações cada vez mais rígidas e de natureza complexa. Sob um outro ponto
de vista, o controle de um processo industrial (manufatura, produção e assim por diante)
de modo automático, otimiza a utilização de recursos e energia, além de permitir
melhorar as condições de trabalho e segurança, proporcionando maior liberdade e
criatividade. Neste contexto, o setor de controle e automação possui influência direta e
3
importância capital em praticamente todos os processos industriais, sejam eles de
natureza petroquímica, metalúrgica, produção, exploração ou tratamento de minérios,
fabricação de cimento, geração, transmissão ou distribuição de energia elétrica,
alimentos ou medicamentos, etc. Além das áreas industriais têm se ganhado um amplo
espaço também nas áreas comerciais e de serviços.
O que se entende então por controle de processos é atuar sobre um
determinado processo, ou sobre as condições a que este processo está sujeito, de modo a
atingir algum objetivo específico. Este objetivo pode ser manter uma variável do
processo em um valor constante na presença de distúrbios ou fazê-la seguir uma
determinada função (setpoint) no tempo (OGATA, 2000).
Um sistema de controle confiável permite operar próximo aos limites
impostos pela segurança, pelo meio ambiente e pelo processo, o que permite alterar as
condições normais de operação para uma condição mais favorável. Os ganhos
associados a uma menor variabilidade se tornam ainda maiores em processos onde
existem transições entre produtos com diferentes graus ou especificações, como ocorre
freqüentemente no refino do petróleo e em unidades de polimerização. Desta forma, a
seleção de uma boa estratégia de controle permite reduzir o tempo de produção fora da
especificação, e conseqüentemente melhora o resultado econômico do processo.
Os controladores de processos industriais devem ser desenvolvidos para
oferecer o máximo desempenho nas mais variadas aplicações. Qualitativamente, o
desempenho de um sistema de controle pode ser avaliado pela sua capacidade em
manter a variável controlada próximo a um valor desejado (setpoint), mesmo em
presença de perturbações externas. Outro critério a ser considerado em um sistema de
controle é a sua robustez, uma vez que ele deve proporcionar um bom desempenho
tanto para pequenas perturbações como para grandes perturbações. Uma vez que os
controladores possuem parâmetros ajustáveis que permitem alterar seu comportamento,
a sintonia de controladores na obtenção de um melhor desempenho para uma dada
aplicação consiste em um dos campos mais interessantes e de grande aplicação prática
da teoria de controle.
4
1.3 Sistemas de Controle
Na operação e controle da produção, são utilizados sistemas mecânicos,
eletro-eletrônicos e computacionais. A atuação de um sistema de controle pode ser
representada graficamente como um fluxo de informações entre módulos com funções
distintas, conforme mostra a figura 1.1:
Figura 1.1 - Diagrama de um sistema de controle
A função do elemento de monitoração (sensor) é a medição de alguma
propriedade do sistema e a sua conversão em um tipo de sinal que possa ser utilizado
para controle. Em alguns casos, o elemento sensor gera um tipo de sinal que não é
diretamente compatível com o sistema de controle, sendo necessário utilizar elementos
transmissores ou transdutores para converté-lo em um sinal adequado ao sistema. Em
muitos casos, o próprio transmissor é também o elemento sensor. A informação obtida
pelo elemento de monitoração é enviada ao controlador, que opera como o cérebro do
sistema, tomando decisões baseadas nas informações disponíveis e comunicando-as a
um elemento final de ação a ser tomada. O elemento final, também conhecido como
atuador, interfere em alguma condição de processo para alterar o comportamento do
processo.
5
1.4 O Problema de Controle
Segundo Phillps e Harbor(2000) o problema do controle pode ser
estabelecido como se segue. Um sistema físico ou processo deve ser precisamente
controlado através de uma operação em malha fechada ou de realimentação. A variável
de saída, chamada resposta, é ajustada conforme determinação do sinal de erro. Este
sinal é a diferença entre a resposta do sistema, medida por um sensor, e o sinal de
referência, que representa a resposta desejada.
Geralmente, é necessário um controlador ou compensador para filtrar o
sinal de erro de forma que certos critérios ou especificações, sejam satisfeitos. Estes
critérios podem envolver as seguintes características (porém não estão limitados a elas):
1.
Rejeição a distúrbios.
2.
Erro de regime estacionário.
3.
Características da resposta transitória.
4.
Sensibilidade às mudanças de parâmetros da planta.
Resolver o problema de controle, geralmente envolve:
1.
Escolha de sensores para medida da saída da planta.
2.
Escolha de atuadores que irão agir sobre a planta.
3.
Desenvolvimento de equações (modelos) da planta, dos atuadores e dos
sensores.
4.
Projeto do controlador baseado nos modelos desenvolvidos e critérios de
controle.
5.
Avaliar o projeto analiticamente, por simulação, e finalmente, pelo teste do
sistema físico.
6.
Se os testes físicos não forem satisfatórios, repetir estes estágios
Devido às imprecisões nos modelos, os testes nos sistemas físicos de
controle normalmente não são satisfatórios. Deve-se então repetir o procedimento de
projeto , usando todas as ferramentas disponíveis para melhorar o sistema. Geralmente a
intuição, desenvolvida ao longo das experimentações com os sistemas físicos, tornam-se
um importante passo para o projeto.
6
1.5 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo desenvolver um sistema de controle da
temperatura de líquidos (água) em tubos. O trabalho desenvolve-se nas seguintes etapas:
1. Descrição detalhada do processo, com a definição das variáveis a serem controladas
2. Modelagem matemática com vistas ao projeto de controladores, utilizando-se o
método de resposta ao degrau
3. Implementação prática do sistema de controle com a utilização do controlador
lógico programável industrial (CLP).
4. Interface entre a planta piloto e CLP.
5. Projeto de controladores PID.
6. Discussão dos resultados obtidos no sistema real.
Estas etapas proporcionarão uma aplicação real de técnicas de controle
em um processo de aquecimento de líquidos.
1.6 Metodologia Adotada
Três metodologias são utilizadas no projeto de controladores para malhas
de controle de temperatura.:
¾ Método de Ziegler-Nichols para malhas abertas utiliza os parâmetros da função
de transferência em malha aberta para projetar os ganhos dos controladores;
¾ Método do Lugar das Raízes utilizando a alocação de pólos estratégicos;
¾ Método do Domínio da Freqüência que verificam as melhores freqüências para o
controle.
Estes métodos abordados são os utilizados amplamente em projetos de controladores.
7
II CONTROLE DE TEMPERATURA DE LÍQUIDOS EM TUBOS
2.1 Considerações Iniciais
Devido à existência de um alto nível de abstração envolvido, um dos
tópicos mais difíceis de ser apresentado dentro do estudo de controle e automação é a
conexão entre a teoria e a prática. A experiência prática dentro da engenharia de
controle e automação deve ter o propósito de demonstrar conceitos e idéias importantes.
Por exemplo, a modelagem de um sistema é fundamental para o entendimento de
problemas de controle de processo, sendo um processo complexo que não se resume
simplesmente a montar e resolver uma equação. Ao executar a modelagem de um
sistema, não se deve perder de vista a distinção entre modelo e sistema: o modelo a ser
desenvolvido deve ser uma representação adequada (não necessariamente perfeita) do
sistema. Desta forma, o planejamento de experimentos constitui-se em atividade
fundamental para a coleta racional de dados para a modelagem de um processo, e
conseqüentemente, para o projeto de um sistema de controle.
Neste contexto, a utilização de uma planta piloto representa uma maneira
de superar muitas dificuldades existentes na compreensão dos problemas encontrados
dentro do estudo e projeto de controle e automação. Na implementação de uma planta
piloto em escala reduzida, muitas situações encontradas pelos profissionais de
instrumentação e controle aparecem, tais como a validação de modelos, avaliação do
efeito dos distúrbios e da medição sobre a planta, análise de técnicas e estratégias de
controle, implementação e sintonia de reguladores, etc.
Uma planta piloto oferece grande versatilidade com baixo custo, uma vez
que é possível construir uma planta piloto em escala de laboratório utilizando apenas
componentes baratos e equipamentos provenientes de “sucata”. As experiências
permitem auxiliar nas pesquisas, permitindo avaliar quantitativamente a aplicação de
técnicas de controle avançadas. Através delas, pode-se demonstrar a operação de várias
malhas de controle aplicadas industrialmente, as quais podem ser geradas a partir da
estrutura física montada apenas modificando a configuração dos dispositivos,
8
permitindo estudar e analisar criticamente a aplicabilidade e a viabilidade de um
determinado sistema de controle.
2.2 A Planta Piloto
A planta piloto a ser montada neste projeto consiste basicamente de uma
pequena bomba automotiva de 12 Vcc e um dispositivo de aquecimento utilizado em
cafeteiras elétricas, constituído por um tubo metálico conjugado a resistência elétrica. A
água armazenada em um reservatório é bombeada e aquecida, sendo reutilização no
processo. O diagrama esquemático deste processo é mostrado na figura 2.1.
Figura 2.1- Planta piloto
O objetivo a princípio é controlar a temperatura da água no tubo
regulando a energia elétrica dissipada no dispositivo resistivo de aquecimento.
A regulação da energia dissipada de aquecimento é feita através da
variação da tensão elétrica da rede utilizando um conversor de potência a Triac. A
temperatura na saída do dispositivo de aquecimento é medida utilizando um termopar
tipo K.
9
2.3 Variáveis do Processo
Basicamente se trata de um sistema com uma entrada (tensão aplica ao
dispositivo de aquecimento) e uma saída (temperatura na saída do dispositivo de
aquecimento).
É importante observar que a planta apresenta uma grande versatilidade
para o estudo e avaliação de estratégias e técnicas de controle, permitindo tanto uma
abordagem monovariável (SISO – Single-input Single-output, uma entrada e uma saída)
como multivariável (MIMO – Multiple-input Multiple-output, múltiplas entradas e
múltiplas saídas). No primeiro caso, a temperatura do líquido pode ser controlada
utilizando somente o dispositivo de aquecimento, enquanto que variações da velocidade
da bomba simulariam a ocorrência de distúrbios externos. No segundo caso, a tensão
aplicada ao dispositivo de aquecimento e a velocidade de rotação da bomba podem ser
utilizadas em uma configuração multivariável para efetuar o controle simultâneo da
temperatura e da vazão. A despeito da relativa simplicidade da planta piloto proposta, é
necessário ressaltar que vários sistemas similares para aquecimento de líquidos podem
ser encontrados em diversas plantas industriais reais.
2.3.1 Variável Controlada
A variável controlada é a grandeza ou condição que é medida e
controlada. A variável controlada é normalmente a grandeza de saída do sistema.
Controlar significa medir o valor da variável controlada e aplicar o valor conveniente da
variável manipulada ao sistema de modo a corrigir ou limitar o desvio entre o valor
medido e o valor desejado da variável controlada.
A variável controlada desejada é: temperatura da água dentro do tubo.
10
2.3.2 Variável Manipulada
A variável manipulada é normalmente a grandeza ou condição variada
pelo controlador de modo a afetar o valor da variável controlada.
Variável manipulada no processo é: tensão aplicada ao dispositivo de aquecimento.
Os valores dessas variáveis podem ser obtidos por análise dinâmica ou
podem ser estimados por modelos que levam em consideração outras varáveis do
processo.
2.4 Concepção do Projeto do Sistema de Controle para a Planta Piloto
2.4.1 Considerações Iniciais
A planta piloto para o controle de temperatura de líquidos em tubos
representa uma planta industrial em tamanho reduzido que deve ser implementada no
intuito de desenvolver um experimento prático e pesquisa na área de controle de
processos. Neste contexto, foi idealizado o controle do processo através de uma rede de
“chão de fábrica”, utilizando controlador lógico programável (CLP) modelo PL-104 da
Altus para a aquisição de dados, seqüências de intertravamento e implementação das
leis de controle. O CLP é um dispositivo concebido com base na arquitetura de
computador para aplicações industriais de controles seqüenciais, combinacionais e
temporais. Na concepção inicial, foram previstas duas possibilidades de operação da
planta:
(a) No modo local cada equipamento pode ser comandado individualmente através do
painel de operação. Além dos botões de comando individual dos equipamentos e
potenciômetros para ajuste manual, o painel local possui indicação visual do estado das
entradas e das variáveis de processo.
11
(b) No modo automático, a planta é operada via uma estação de supervisão, a qual pode
ser operada à distância. Um sistema de supervisão instalado em um microcomputador
tipo PC proporciona a interface Homem-Máquina, permitindo monitorar e atuar no
sistema em funcionamento, disponibilizar ao usuário ferramentas de criação de telas de
sinótico, registros gráficos, relatórios, bancos de dados, transferência de informações
para outros aplicativos, entre outras características. O modelo automático com
supervisório foi o desenvolvido para operação da planta piloto.
Utilizando princípios da eletrônica analógica e dispositivos disponíveis
no mercado, o desenvolvimento de circuitos elétricos principalmente para o controle de
potência e para a leitura da temperatura da água no interior do tubo são peças chaves na
interação da planta piloto com o CLP.
2.4.2 Fonte de Tensão Contínua Estabilizada
Esta fonte de tensão figura 2.2 é um conversor CA-CC. Corresponde a
dois retificadores de ½ onda associados em série, formando uma ponta (ponte de
Graetz), sendo que uma leva a corrente até a carga e outra promove o retorno. Para uma
fonte de tensão ideal, a tensão em seus terminais independe do circuito conectado a ela.
A fonte trabalha com a tensão da rede de 127 VCA e retifica, utilizando um retificador de
onda completa, em uma tensão estável de +15VCC e -15VCC . Esta fonte é utilizada para
circuitos de baixa tensão.
12
Figura 2.2 – Circuito elétrico para uma fonte de tensão estabilizada
2.4.3 Circuito Integrado de Controle de Fase (TCA785)
Este circuito integrado (CI) de controle de fase (Fig. 2.3) está designado
para controle de tiristores, triacs e transistores. Os pulsos de disparo podem ser
deslocados dentro de um angulo de fase entre 0° e 180º. Aplicações típicas incluem
circuitos conversores, controladores de C.A. e controladores trifásicos.
13
Figura 2.3 – Circuito elétrico TCA785 para o controle de fase
Tabela 1 – Pinagem do TCA785
Pino
1
5
6
9
10
11
12
13
14
15
16
Função
Terra
Tensão de Sincronismo
Tensão de alimentação (+15Vcc)
Resistência da Rampa
Capacitância da Rampa
Voltagem de controle
Extensão do pulso
Pulso Longo (+15Vcc)
Output 1
Output 2
Tensão de alimentação (+15Vcc)
14
Figura 2.4 – Configuração das tensões no TCA785
A voltagem de controle na figura 2.4 funciona da seguinte forma: uma
tensão C.C. (pino 11) com valores entre 0V e 10V é fornecida pelo CLP, esta tensão é
comparada com uma rampa (gerada internamente pelo TCA785) produzindo pulsos
quadrados temporizados de –15V a 15V. Observando que as saídas output1 (V15) e
output2 (V16) estão defasados de 180º uma da outra. Estes pulsos temporizados
proporcionam disparos no optacoplador MOC3020.
2.4.4 Tensão de Sincronismos (TIL113)
Utilizando a freqüência da rede (60Hz) este circuito fornece pulsos
(quadrados) de tensão para sincronismo V5 (pino 5) do TCA785 mostrado anteriormente
na figura 2.3. A figura 2.5 exemplifica seu funcionamento.
15
Figura 2.5 – Circuito de sincronismo
2.4.5 Conversor de Potência a Triac - Optoacoplador MOC 3020
O propósito do optoacoplador é manter as duas partes do circuito isoladas
entre si: o circuito de controle (TCA785) e de potência. Os optoacopladores incluem um
LED e um fototransistor juntos no mesmo encapsulamento. O modo como trabalham é
simples: quando o sinal chega, o LED do optoacoplador conduz e ilumina o
fototransistor assim o transistor começa a conduzir. A figura 2.6 mostra como ocorre o
funcionamento.
Figura 2.6- Circuito de disparo no triac
16
A ação de controle, constituída de uma corrente elétrica, é enviada a um
triac, que tem a função de chavear a corrente elétrica que alimentará a resistência,
promovendo ou não o aquecimento. O Triac é uma chave eletrônica de estado sólido.
Neste caso, o termopar mede de modo contínuo a temperatura (analógica) e envia ao
controlador (CLP. O CLP gera um sinal de tensão continua fornecida no pino 11 do
TCA785. Este converte o sinal de erro em pulsos temporizados disparados no gate do
triac, que por sua vez energiza a resistência elétrica. Portanto, o elemento final de
controle (a resistência)
é controlador com uma saída lógica. Esta controlaria um
“variador de voltagem” que por sua vez energizaria a resistência elétrica, alternando a
potência da mesma até um valor desejado (setpoint) de temperatura.
2.4.6 Amplificadores Monolíticos de Termopar com Compensação de Junção Fria
Se dois fios metálicos de composição distinta são soldados nas
respectivas extremidades e uma das junções é mantida a temperatura superior à outra,
circulará corrente elétrica entre estas junções. Trata-se de um efeito termoelétrico bem
conhecido da física. Para diferentes combinações de metais e diferentes temperaturas, a
diferença de potencial entre estas junções será também diferente. Este é o princípio em
que se baseia a operação dos termopares. Assim sendo, utilizou-se um dispositivo para
codificar esta diferença de potencial.
O AD595 é um instrumento amplificador e um compensador de junção
fria para termopares tipo K em um chip monolítico. Combina um referido ponto de gelo
eletrônico com a precalibração do amplificador para produzir um nível (10 mV/°C)
diretamente na saída do sinal do termopar. O circuito amplificador-compensador é
linear com um controle de reparo ou calibragem. A tabela 2 mostra a tensão de saída e a
temperatura do termopar:
17
Tabela 2: Tensão de saída vs. Temperatura do termopar
Temperatura
ºC
10
20
25
30
40
50
60
80
100
120
Tipo K
Voltagem
mV
0.397
0.798
1.000
1.203
1.611
2.022
2.436
3.266
4.095
4.919
AD595
Output
mV
101
200
250
300
401
503
605
810
1015
1219
Figura 2.7 – Configuração eletrônica do AD595 para termopar tipo K
O LED (figura 2.7) é importante pois se ocorrer o rompimento ou mau
encaixe dos fios do termopar o LED informará que ocorreu algum erro na leitura da
temperatura.
18
2.4.7 Amplificador Operacional JFET para Baixos Ruídos (TL071)
Em sistemas de controle físicos, geralmente há um elemento adicional de
circuito que são os amplificadores operacionais. O amplificador operacional é
normalmente usado em circuitos de sensores para amplificar pequenos sinais e também
em circuitos de compensação (PHILLIPS e HARBOR, 2000).
A amplificação do sinal do termopar será útil para melhor percepção da
tensão de saída do AD595. O amplificador operacional escolhido é o TL071 mostrado
na figura 2.8.
Figura 2.8- Configuração da pinagem do TL071
Figura 2.9 – Configuração do amplificador
Sua amplificação do sinal será de: A = 1 +
90k
= 1 + 9 = 10
10k
A amplificação obtida é de 10 vezes, não perdendo assim a relação de
linearidade da leitura do termopar. O sinal de saída será então convertido no CLP para
uma temperatura em graus Celsius. Por exemplo se a leitura na saída do AD595
amplificado for 1,5V a temperatura convertida no CLP será de 15ºC. O “setpoint” para
o controle do dispositivo de aquecimento da água também seguirá esta mesma
conversão.
19
III MODELAGEM MATEMÁTICA
3.1 Considerações Iniciais Sobre Modelos Matemáticos
O desenvolvimento de um modelo matemático para um determinado
processo é de suma importância em várias áreas da engenharia de sistemas de controle,
tais como Análise e Simulação, Controle, Otimização, etc. Um modelo nada mais é que
uma abstração matemática de um processo real. A equação ou conjunto de equações que
compõem o modelo é, na melhor das hipóteses, uma aproximação do processo
verdadeiro. Deste modo, o modelo não pode incorporar todas as características, tanto
macroscópicas quanto microscópicas, do processo real. Na realidade, grande parte do
trabalho no campo da engenharia lida com o problema de fazer bons projetos baseados
em modelos matemáticos. Em processos é fundamental que o sistema de controle a ser
implementado seja previamente simulado, utilizando modelos matemáticos. O
engenheiro normalmente necessita estabelecer um compromisso que envolve o custo de
obtenção de um modelo, que é, o tempo e o esforço requerido para obtê-lo e validá-lo.
Estas considerações são relacionadas ao nível de detalhes físicos e químicos no modelo
e os benefícios esperados devem vir de seu propósito de uso. A precisão do modelo está
intimamente interligada ao seu compromisso e a finalidade de uso do mesmo ditará o
quão preciso ele deverá ser. Modelos matemáticos são muito úteis na análise e controle
de processos, das seguintes formas (SEBORG, 1989):
¾ Para aumentar o entendimento do processo;
¾ Para treinamento de operadores de planta;
¾ Para projeto da estratégia de controle de um novo processo;
¾ Para ajustar as constantes do controlador;
¾ Para o projeto da lei de controle;
¾ Para otimizar processos em operação.
Devido a estes fatores, particularmente quando estão envolvidos
processos novos, perigosos e de operação cara, o desenvolvimento de um modelo
matemático conveniente pode ser crucial para o sucesso de tal processo. Dependendo do
20
modo empregado para se desenvolver um modelo, estes podem ser classificados de três
modos:
1.
Modelos teóricos desenvolvidos usando os princípios químicos e físicos
(balanços de massa, energia e quantidade de movimento);
2.
Modelos empíricos obtidos a partir de uma análise matemática (estatística) dos
dados de operação do processo;
3.
Modelos semi-empíricos que são um compromisso entre (1) e (2), com um ou
mais parâmetros que são estimados a partir dos dados da planta.
Na última classificação, certos parâmetros do modelo teórico tais como
constante (ou coeficiente) da taxa de reação, coeficiente de transferência de calor, e
outras relações fundamentais similares usualmente necessitam ser avaliados a partir de
experimentos físicos ou a partir de dados de operação do processo. Tais modelos semiempíricos têm várias vantagens inerentes. Podem freqüentemente ser extrapolados sobre
uma larga faixa de condições operacionais quando comparados com os modelos
empíricos, que são geralmente válidos em apenas uma pequena faixa de operação.
Modelos semi-empíricos também proporcionam a capacidade de inferir variáveis de
processo não medidas ou não mensuráveis e como estas variam à medida que as
condições operacionais do processo mudam. Esta área tem despertado muito interesse
nos últimos tempos, juntamente com a validação “on-line” de medidas de variáveis de
processo (temperatura, pressão, vazão, etc.) utilizando-se técnicas baseadas no modelo
matemático.
Do ponto de vista de controle de processos os modelos dinâmicos são os
mais importantes. Os processos com dinâmica de 1a ordem (descritos por equações
diferenciais de 1a ordem) são os mais comuns, apesar de uma parte não desprezível
apresentar dinâmica de 2a ordem. No entanto, apesar dos sistemas de 1a ordem
predominarem, sabe-se que tal sistema apresenta dinâmica de 2a ordem em malha
fechada, ou seja, na presença de um controlador. Assim, o estudo de tais dinâmicas é de
fundamental relevância na síntese de malhas de controle, bem como na sintonia das
constantes do controlador.
Nas aplicações de engenharia de sistemas de controle, os modelos
matemáticos são usualmente representados em termos de função de transferência ou de
equações de estado. Estas funções matemáticas modelam o comportamento dinâmico
das saídas em relação às entradas de um sistema.
21
3.2 Princípios Físicos do Processo
A investigação da modelagem teórica pode ser feita utilizando os
princípios básicos da termodinâmica.
Lei da conservação das massas:
⎧ massa ⎫ ⎧massa de⎫ ⎧massa de⎫
⎨
⎬=⎨
⎬−⎨
⎬
⎩acumulada ⎭ ⎩ entrada ⎭ ⎩ saída ⎭
(3.1)
O balanço de massa de acordo com a equação 3.1 será:
d (Vρ )
= min − mout
dt
(3.2)
onde min é o fluxo de massa da entrada [kg/s], mout é o fluxo de massa da saída [kg/s],
ρ a densidade da água [kg/m3], V o volume interno do aquecedor [m3].
É sabido também que,
ρdV
dt
•
=m=
dm
dt
(3.3)
Lei da conservação da energia:
⎧ Energia ⎫ ⎧ Energia na entrada ⎫ ⎧ Energia na saída ⎫ ⎧Calor adicional para ⎫
⎬
⎬+⎨
⎬−⎨
⎬=⎨
⎨
o sistema
⎭
⎩acumulada ⎭ ⎩ por convecção ⎭ ⎩ por convecção ⎭ ⎩
(3.4)
Balanço de energia:
dE
= min c p (Tin − Tref ) − mout c p (T − Tref ) + Q
dt
(3.5)
onde cp é o calor específico da água [J/kg.K], Tin temperatura na entrada [K], T
temperatura na saída [K], Tref temperatura de referência [K], Q calor adicional para o
sistema [W ou J/s].
Como
E = mtotal c p (T − Tref )
(3.6)
Consideremos
Tref = 0
(3.7)
, isto será necessário para simplificação do modelo.
Desenvolvendo as derivadas parciais da equação 3.6 sabendo da equação 3.7 temos:
dE d ( mtotal c pT )
dT
dmtotal ⎤
⎡
=
= c p ⎢mtotal
+T
dt
dt
dt
dt ⎥⎦
⎣
(3.7)
22
•
•
dE
⎡
⎤
= c p ⎢mtotal T + m total T ⎥
dt
⎣
⎦
(3.8)
Igualando a Eq.3.5 com a Eq.3.8:
•
•
⎡
⎤
min c pTin − mout c pT + Q = c p ⎢mtotal T + T m total ⎥
⎣
⎦
(3.9)
Substituindo a Eq.3.2 na Eq.3.9 temos:
•
min c pTin − mout c pT + Q = c p ρV T + c pT ( min − mout )
•
c p minTin − c p moutT + Q = c p ρV T + c p minT − c p moutT
•
c p minTin + Q = c p ρV T + c p minT
•
(3.10)
(3.11)
(3.12)
c p ρV T = c p min (Tin − T ) + Q
(3.13)
min (Tin − T )
Q
+
ρV
c p ρV
(3.14)
•
T=
Sabendo que o calor dissipado pelo aquecedor pode ser relacionado da seguinte forma:
Q=
ε2
R
(3.15)
onde ε é a tensão média aplicada [VRMS], R é a resistência do aquecedor [Ω].
Substituindo a Eq.3.15 na Eq.3.14, obtém-se a equação geral da variação do gradiente
de temperatura Eq.3.16:
•
T=
min (Tin − T )
ε2
+
ρV
c p ρVR
(3.16)
3.2.1 Determinação da Função de Transferência
A função de transferência é uma expressão algébrica em s (Laplace), da
relação dinâmica existente entre entrada e saída de um processo. Se a função de
23
transferência é escrita na forma padrão (Eq.3.17), então as propriedades dinâmicas do
processo a que se refere podem ser facilmente identificadas na expressão:
G( s ) =
K
(τs + 1)
(3.17)
A Eq.3.17 é uma forma padronizada de representação dos processos de
primeira ordem, onde K é o ganho estático e τ a constante de tempo. O pólo da função
de transferência (-1/τ) é real e negativo.
Para obtenção destes parâmetros foi aplicado na Eq.3.16 a transformada
de Laplace com as condições iniciais nulas.
Ts =
M in (Tin − T )
E2
+
ρV
c p ρVR
(Eq.18)
E2
M
M
= Ts + in T − in Tin
ρV
ρV
c p ρVR
(Eq.19)
⎛
E2
M ⎞ M
= T ⎜⎜ s + in ⎟⎟ − in Tin
ρV ⎠ ρV
c p ρVR
⎝
(Eq.20)
⎛
M ⎞
E 2 = (c p ρVR )⎜⎜ s + in ⎟⎟T − M in c p RTin
ρV ⎠
⎝
(3.21)
Se considerarmos a entrada nula, obtemos o distúrbio no sistema:
Distúbio = − M in c p RTin
(3.22)
A função de transferência em malha aberta para o sistema proposto será:
T
=
E2
1
⎛
M ⎞
c p ρVR⎜⎜ s + in ⎟⎟
ρV ⎠
⎝
* Diagrama de blocos do sistema em malha aberta:
Figura 3.1 – Diagrama de blocos do sistema em malha aberta
* Sistema de malha fechada ou realimentada:
(3.23)
24
A realimentação será feita utilizando um termopar que amostra a
temperatura de saída e converte-a em tensão para a comparação na entrada.
Consideremos que essa relação é proporcional (linear) de valor K e que o sistema seja
controlado.
Figura 3.2 – Diagrama de blocos do sistema com realimentação negativa
3.3 Modelo Empírico
O modelo do processo é a lei que expressa a influência de u (entrada)
sobre y (saída). Nos processos químicos, essa lei é normalmente conseqüência de
balanço de massa e energia, e acaba sendo expressa por equações diferenciais do tipo:
τ
dy (t )
+ y (t ) = ku (t )
dt
(3.24)
Pelo fato dessa equação envolver uma derivada de primeira ordem, diz-se
que os modelos dos processos químicos são geralmente de primeira ordem. Quando
uma variação única e brusca é aplicada na entrada u (variação denominada degrau), a
integração dessa equação fornece a seguinte solução típica.
25
Figura 3.3 - Resposta do processo de primeira ordem a um degrau de entrada.
Três termos são importantes para o modelo:
Ganho do processo (Kp) expressa quanto se altera a variável de saída para cada
unidade de variação da variável de entrada. O ganho é uma razão, possui unidades e
pode ser calculado pela expressão:
Kp =
ΔT
Δζ
(3.25)
onde ΔT é a variação da temperatura [ºC], Δζ é a variação de tensão fornecida pelo
CLP para a placa de controle de potência (varia de 0 a 10Volts) [Volts].
Tempo morto (τd - delay time) é o tempo que o processo leva para começar a responder
à variação em degrau;
Tempo de primeira ordem (τ) é o tempo que o processo demora, uma vez iniciada a
variação, para chegar aos 63% da variação total final. Esse número 63% é conseqüência
de uma exponencial que aparece na solução analítica da equação diferencial, podendose facilmente constatar que 100.(1 −e −1 ) = 63,2% .
Para sistemas de primeira ordem o modelo se comporta da seguinte
forma:
−τ s
d
y K pe
=
u
τ .s + 1
(3.26)
26
O gráfico da figura 3.4 mostra a resposta da temperatura no tempo após
um degrau, saindo de uma temperatura inicial de 47,8ºC para uma à 67,8ºC.
Figura 3.4 – Resposta ao degrau aplicado na entrada do processo
Os parâmetros da variação da tensão (degrau) do CLP e da temperatura na saída são:
Δζ = 2 Volts
ΔT = T(∞) – T(0) = 67,5ºC - 47,8ºC = 19,7ºC
Logo Kp =
19,7
ºC
= 9,85
2
Volts
A constante de tempo obtida no gráfico construído, como mostra a
fig.3.4, é τ = 1700seg. Note que este resultado é retirado quando 63,2% da resposta é
completado, isto é o tempo para a temperatura:
T = 47,8ºC + 0,632(19,7ºC) = 60,25ºC
O atraso de tempo observado τ d será de 7 segundos.
Conseqüentemente, o modelo proposto para o processo será:
9,85
T
e −7 s
=
2
1700.s + 1
E
(3.27)
Utilizando o software MATLAB pode-se observar na figura 3.5 a
semelhança do modelo dos dados reais plotados e o modelo de primeira ordem
simulado.
27
Figura 3.5 - Dados reais comparados com a função encontrada e simulada no Simulink
É claro que existem modelos muito mais sofisticados para o processo.
Para a maioria das finalidades práticas basta um modelo de primeira ordem com atraso.
28
IV PROJETOS DE CONTROLADORES
4.1 Definições das Estratégias de Controle
4.1.1 Considerações iniciais
A definições da estratégia de controle consiste, basicamente, na escolha
da variável manipulada x controlada mais efetiva para se atingir os objetivos do sistema
de controle.
-
A temperatura na saída do tubo deve ser controlada, para assegurar que o
processo siga o setpoint.
-
A vazão da água deve ser monitorada, para evitar aumento na temperatura de
saída do tubo.
Pelo exposto, pode-se concluir que os controles da temperatura e a vazão
estão interligados, onde é sabido que existem interferências entre estas variáveis.
4.1.2 Estratégia de Controle da Temperatura
A proposta é considerar inicialmente que a vazão seja constante:
ρdV
dt
=0,
(Eq.4.1)
Então
min = mout = constante
(Eq.4.2)
O interesse, a princípio, será apenas o controle da temperatura. Visto que
a vazão, caso se atinja o controle da temperatura, comportará como um distúrbio.
Qualquer sistema possui outras entradas que influenciam a saída e que, em geral, não
29
controlamos. Essas entradas chamamos de distúrbios (ou perturbações) e normalmente
tenta-se projetar o sistema de controle de tal forma que estes distúrbios tenham um
mínimo efeito no sistema.
Lembrando que a temperatura de saída (T) está relacionada apenas com a
tensão aplicada (ε) no dispositivo resistivo de aquecimento, o modelo se tornará um
sistema com uma simples entrada e uma simples saída (SISO - Single-input Singleoutput,).
4.2 Noções Preliminares
Algumas definições de siglas e termos utilizados neste capítulo:
9 PV: Process Variable ou variável de processo. Variável que é controlada no
processo, como temperatura, pressão, umidade, etc.
9 SV ou SP: Setpoint. Valor desejado para a variável de processo.
9 MV: Variável Manipulada. Variável sobre a qual o controlador atua para
controlar o processo, como posição de uma válvula, tensão aplicada a uma
resistência de aquecimento, etc.
9 Erro ou Desvio: Diferença entre SV e PV (SV - PV) para ação reversa e (PV SV) para ação direta.
9 Ação de controle: Pode ser reversa ou direta. Define genericamente a atuação
aplicada à MV na ocorrência de variações da PV.
9 Ação Reversa: Se PV aumenta, MV diminui. Tipicamente utilizada em controles
de aquecimento.
9 Ação Direta: Se PV aumenta, MV aumenta. Tipicamente utilizada em controles
de refrigeração.
A técnica de controle PID consiste em calcular um valor de atuação sobre
o processo a partir das informações do valor desejado e do valor atual da variável do
processo. Este valor de atuação sobre o processo é transformado em um sinal adequado
ao atuador utilizado (válvula, motor, relé, aquecedor), e deve garantir um controle
estável e preciso.
30
De uma maneira bem simples, o PID é a composição de 3 ações quase
intuitivas, conforme resume na tabela 3:
Tabela 3: Composição do controle P, I e D
A correção a ser aplicada ao processo deve
CORREÇÃO PROPORCIONAL AO
crescer na proporção que cresce o erro entre
P
ERRO
o valor real e o desejado.
CORREÇÃO PROPORCIONAL AO Erros pequenos mas que existem há muito
I
PRODUTO ERRO x TEMPO
tempo requer correção mais intensa.
Se o erro está variando muito rápido, esta
CORREÇÃO PROPORCIONAL À
taxa de variação deve ser reduzida para
D
TAXA DE VARIAÇÃO DO ERRO
evitar oscilações.
A equação mais usual do PID é apresentada a seguir:
dE (t ) ⎤
⎡
MV (t ) = kp ⎢ E (t ) + ki ∫ E (t )dt + kd
dt ⎥⎦
⎣
(Eq.4.3)
Onde Kp, Ki e Kd são respectivamente os ganhos das parcelas P, I e D, e definem a
intensidade de cada ação.
Equipamentos PID de diferentes fabricantes implementam esta equação
de diferentes maneiras. É usual a adoção do conceito de “Banda Proporcional” em
substituição a Kp, “Tempo derivativo” em substituição a Kd e “Taxa Integral” ou
“Reset” em substituição a Ki, ficando a equação da seguinte forma.
MV (t ) =
dE (t ) ⎤
100 ⎡
E (t ) − Ir ∫ E (t )dt + Td
⎢
Pb ⎣
dt ⎥⎦
(Eq.4.4)
Aonde Pb, Ir e Td estão relacionados respectivamente a Kp, Ki e Kd
* Controle Proporcional
No controle Proporcional, o valor de MV é proporcional ao valor do
desvio (SV - PV, para ação reversa de controle), ou seja, para desvio zero (SV = PV),
MV = 0; à medida que o desvio cresce, MV aumenta até o máximo de 100%. O valor de
desvio que provoca MV = 100% define a Banda Proporcional (Pb). Com Pb alta, a saída
MV só irá assumir um valor alto para corrigir o processo se o desvio for alto. Com Pb
baixa, a saída MV assume valores altos de correção para o processo mesmo para
pequenos desvios. Em resumo, quanto menor o valor de Pb, mais forte é a ação
31
proporcional de controle. A figura 4.1 ilustra o efeito da variação de Pb no controle de
um processo.
Figura 4.1 - Efeito da redução de PB no comportamento de PV
Na (Fig.4.1-A), com a banda proporcional grande, o processo estabiliza, porém muito
abaixo do setpoint. Com a diminuição da banda proporcional (Fig.4.1-B), a
estabilização ocorre mais próximo do setpoint, mas uma redução excessiva da banda
proporcional (Fig.4.1-C) pode levar o processo à instabilidade (oscilação). O ajuste da
banda proporcional faz parte do processo chamado de sintonia do controle.
Quando a condição desejada (PV = SV) é atingida, o termo proporcional
resulta em MV = 0, ou seja, nenhuma energia é entregue ao processo, o que faz com que
volte a surgir desvio. Por causa disto, um controle proporcional puro nunca consegue
estabilizar com PV = SV. Muitos controladores que operam apenas no modo
proporcional, adicionam um valor constante à saída de MV para garantir que na
condição PV = SV alguma energia seja entregue ao sistema, tipicamente 5%. Este valor
constante é denominado Bias de polarização, e quando ajustável permite que se
obtenha uma estabilização de PV mais próxima a SV.
* Incluindo o controle Integral – PI
O integral não é, isoladamente, uma técnica de controle, pois não pode
ser empregado separado de uma ação proporcional. A ação integral consiste em uma
resposta na saída do controlador (MV) que é proporcional à amplitude e duração do
32
desvio. A ação integral tem o efeito de eliminar o desvio característico de um controle
puramente proporcional.
Para compreender melhor, imagine um processo estabilizado com
controle P, conforme apresentado na figura 4.2-A.
Figura 4.2 – Efeito da inclusão do controle Integral – PI
Na fig.4.2-A, PV e MV atingem uma condição de equilíbrio em que a
quantidade de energia entregue ao sistema (MV), é a necessária para manter PV no
valor em que ela está. O processo irá permanecer estável nesta condição se nenhuma
perturbação ocorrer. Apesar de estável, o processo não atingiu o setpoint (SV), existindo
o chamado erro em regime permanente.
Agora observe a fig.4.2-B, onde no instante assinalado, foi incluída a
ação integral. Observe a gradual elevação do valor de MV e a conseqüente eliminação
do erro em regime permanente. Com a inclusão da ação integral, o valor de MV é
alterado progressivamente no sentido de eliminar o erro de PV, até que PV e MV
alcancem um novo equilíbrio, mas agora com PV = SV.
A ação integral funciona da seguinte maneira: A intervalos regulares, a
ação integral corrige o valor de MV, somando a esta o valor do desvio (SV – PV). Este
intervalo de atuação se chama Tempo Integral, que pode também ser expresso por seu
inverso, chamado Taxa Integral (Ir). O aumento da Taxa Integral – Ir – aumenta a
atuação do Integral no controle do processo.
A ação integral tem como único objetivo eliminar o erro em regime
permanente, e a adoção de um termo integral excessivamente atuante podem levar o
33
processo à instabilidade. A adoção de um integral pouco atuante, retarda em demasia a
estabilização PV = SV.
* Incluindo o controle derivativo – PD
O derivativo não é, isoladamente, uma técnica de controle, pois não pode
ser empregado separado de uma ação proporcional. A ação derivativa consiste em uma
resposta na saída do controlador (MV) que é proporcional à velocidade de variação do
desvio. A ação derivativa tem o efeito de reduzir a velocidade das variações de PV,
evitando que se eleve ou reduza muito rapidamente.
O derivativo só atua quando há variação no erro. Se o processo está
estável, seu efeito é nulo. Durante perturbações ou na partida do processo, quando o
erro está variando, o derivativo sempre atua no sentido de atenuar as variações, sendo
portanto sua principal função melhorar o desempenho do processo durante os
transitórios.
A figura 4.3 compara respostas hipotéticas de um processo com controle
P (Fig.4.3-A) e PD (Fig.4.3-B):
Figura 4.3 – Comparação de um controle P com um controle PD
No controle P (Fig.4.3-A), se a banda proporcional é pequena, é bem
provável que ocorra “overshoot”(sobre-sinal), onde PV ultrapassa SV antes de
estabilizar. Isto ocorre pelo longo tempo em que MV esteve no seu valor máximo e por
ter sua redução iniciada já muito próxima de SV, quando já é tarde para impedir o
34
overshoot. Uma solução seria aumentar a banda proporcional, mas isto aumentaria o
erro em regime permanente. Outra solução é incluir o controle derivativo (Fig.4.3-B),
que reduz o valor de MV se PV está crescendo muito rápido. Ao antecipar a variação de
PV, a ação derivativa reduz ou elimina o overshoot e as oscilações no período
transitório do processo.
Matematicamente, a contribuição do derivativo no controle é calculada
da seguinte maneira: A intervalos regulares, o controlador calcula a variação do desvio
do processo, somando à MV o valor desta variação. Se PV está aumentando, o desvio
está reduzindo, resultando em uma variação negativa, que reduz o valor de MV e
conseqüentemente retarda a elevação de PV. A intensidade da ação derivativa é ajustada
variando-se o intervalo de cálculo da diferença, sendo este parâmetro chamado Tempo
Derivativo – Td. O aumento do valor de Td aumenta a ação derivativa, reduzindo a
velocidade de variação de PV.
* Controle PID
Ao unir as 3 técnicas conseguimos unir o controle básico do Proporcional
com a eliminação do erro do Integral e com a redução de oscilações do Derivativo, mas
se cria a dificuldade de ajustar a intensidade da cada um dos termos, processo chamado
de sintonia do PID.
Figura 4.4 – Diagrama de Blocos de um sistema com PID
O regulador PID tem a propriedade de adaptar a própria função de
transferência às características do sistema controlado de forma a obter uma regulagem
estável e rápida. Esta adaptação é feita ajustando os coeficientes Kp, Ki e Kd de modo a
misturar adequadamente o sinal de saída e obter uma característica P, PI, PD ou PID.
K (s) =
K
U (s)
= K p + i + sK d
E (s)
s
(4.5)
35
se Kd = 0 ⇒ PI , se Ki = 0 ⇒ PD , se Ki = Kd = 0 ⇒ P
Desenvolvendo a Eq.5.1:
K ( s) =
K i + sK p + s 2 K d
s
=
K
⎞
Ki ⎛ 2 K d
⎜⎜ s
+ s p + 1⎟⎟
s ⎝ Ki
Ki
⎠
(4.6)
Obs: Pólo na origem ⇒ erro estático tende a zero
Quando os zeros são reais e distintos correspondem as constantes de tempo τ i e τ d :
(1 + sτ i )(1 + sτ d ) = s 2τ iτ d + s (τ i + τ d ) + 1 = s 2
Onde τ iτ d =
Kp
Kd
+s
+1
Ki
Ki
Kp
Kd
e τ i +τ d =
Ki
Ki
(4.7)
(4.8)
4.3 Sintonia de Controladores – Método de Ziegler e Nichols
Ziegler e Nichols foram os primeiros na década de 1940 a sistematizar
um mecanismo de identificação de parâmetros de controladores PID’s com dois
métodos extremamente simples e facilmente aplicáveis na indústria, baseado em um
processo em malha aberta (primeiro método) e baseado no ganho crítico em malha
fechada (segundo método). Estes métodos devem ser encarados como uma forma
sistemática de obter uma primeira aproximação (em geral conservadora), a ser
melhorada.
O método de sintonia em malha aberta é muito utilizado para sistema de
primeira ordem e seus parâmetros são obtidos como mostra a figura 4.5:
36
Figura 4.5 – Modelo para obtenção dos parâmetros de primeira ordem
Onde
K=
Δy
Δu
(4.9)
τ é a constante de tempo de primeira ordem, R é a inclinação da reta, τ d é a constante
de atraso de tempo.
É sabido que: K =
Δy 19,7
=
= 9,85
Δu
2
(4.10)
τ = 1700 seg e τ d = 7 seg
R=
K
τ
=
9,85
(inclinação)
1700
(4.11)
Utilizando a tabela de Ziegler e Nichols para o método de sintonia em malha aberta:
Tabela 4 – Parâmetros de controle segundo o primeiro método de Ziegler-Nichols
Kp
Ki
Ti
Kd
Td
Controlador P
1
RL
-
-
-
-
Controlador PI
0 .9
RL
0.27
RL2
L
0 .3
-
-
Controlador
1 .2
RL
0.6
RL2
2L
0 .6
R
0.5L
PID
37
A tabela 5 mostra os valores dos parâmetros obtidos:
Tabela 5 –Parâmetros de sintonia para o primeiro método de Ziegler-Nichols
Tipo de
Kp
Ki
Ti
Kd
Τd
Controlador P
24,65
-
-
-
-
Controlador PI
22,18
0.95
23,33
-
-
Controlador
29,58
2,11
17
103,55
3,5
Controle
PID
Utilizando um controlador PI temos:
Gc ( s ) = 22,18 +
0.95
s
(4.12)
4.4 Método do Lugar das Raízes
O projeto do sistema de controle em malha fechada pela técnica do lugar
das raízes nos permite controlar pelo menos alguns lugares dos pólos do sistema de
malha fechada e, portanto, controlar em certo grau a resposta transitória.
O lugar das raízes de um sistema é a representação em um gráfico das
raízes da equação característica do sistema (os pólos da função de transferência em
malha fechada) para algum parâmetro do sistema que é variado. Este método nos indica
as características da resposta natural de um sistema de controle (FREGOSI et al., 1980).
Considerando a função de transferência do modelo do sistema encontrado
e desconsiderando o atraso de tempo (muito pequeno) temos:
G p (s) =
9,85
1700.s + 1
(4.13)
O controlador PI tem a função de transferência:
GC ( s ) = Kp +
Ki
s
(4.14)
38
Este controle aumenta o sistema em uma unidade e é usada para melhorar
a resposta em regime estacionário. O sistema passa a ser de 2ª ordem, o erro em regime
estacionário será zero para uma entrada constante, isto é, se os parâmetros do processo
apresentarem variação, o erro em regime estacionário permanecerá igual a zero. Aqui
temos duas das principais razões para o emprego do controlador PI no controle do
sistema deste tipo: (1) o erro em regime estacionário é zero, e (2) este erro é insensível
aos parâmetros do modelo do processo. Obviamente, todos estes resultados são válidos
apenas se o sistema em malha fechada for estável.
A função de transferência para o controlador PI pode ser expressa como:
⎛
Ki ⎞
⎟
Kp⎜⎜ s +
Kp ⎟⎠
Kps + Ki
⎝
=
GC ( s ) =
s
s
O controlador tem um pólo na origem (p0 = 0) e um zero em −
(4.15)
Ki
. A Função de
Kp
transferência controlada em malha fechada, pode se expressa como:
9,85 ⎛
Ki ⎞
⎜ Kp + ⎟
1700.s + 1 ⎝
s ⎠
FT =
9,85 ⎛
Ki ⎞
1+
⎜ Kp + ⎟
1700.s + 1 ⎝
s ⎠
FT =
9,85( Kps + Ki )
1700 s + (1 + 9,85 Kp ) s + 9,85 Ki
2
(4.16)
(4.17)
A figura 4.6 mostra o diagrama de blocos para o sistema da equação 4.16:
Figura 4.6 – Sistema de malha fechada controlada
Assim, a equação característica, que é o denominador da função de
transferência em malha fechada igualando a zero, é dada por:
1700s 2 + (1 + 9.85Kp ) s + 9.85Ki = 0
(4.18)
39
Considerando que para atender os requisitos de erro em regime estacionário,
especificamos Ki igual a 0.27, menor do que o utilizado no método de Ziegler-Nichols
(Ki = 0.95) que servirá como um parâmetro inicial de escolha, e queiramos representar
o lugar das raízes para Kp variável. A equação característica pode ser expressa como:
1700s 2 + (1 + 9,85Kp ) s + 2,659 = 0
(4.19)
1700s 2 + s + 2,659 + 9,85 Kps = 0
(4.20)
1 + 9,85Kp
s
1700s 2 + s + 2,659
=0
(4.21)
Função de malha aberta equivalente em função de Kp é dada por:
Geq ( s )
s
1700s 2 + s + 2,659
(4.22)
A função de malha aberta equivalente tem um zero na origem e dois pólos em
s = ±0,0395 j . O diagrama do lugar das raízes é dado na figura 4.7.
Figura 4.7 – Lugar das raízes para o modelo proposto
Agora que o lugar das raízes está disponível como função de Kp, as
raízes da equação característica podem ser especificadas mais facilmente. Suponhamos
40
que se deseje um amortecimento crítico, de modo que o sistema tenha um tempo de
acomodação mínimo sem sobre-sinal para uma variação em degrau na entrada. Da
figura 4.7, as raízes da equação característica estarão aproximadamente em s = -0.04.
Para a equação característica (Eq.4.21) o valor de Kp que resulta nestas raízes é:
Kp = −
1700 s 2 + s + 2,659
|s = −0.04 = 13,6
9,85s
(4.23)
Logo o controlador PI tem a função de transferência:
GC ( s ) = 13,6 +
0,27
s
(4.24)
4.5 Domínio da Freqüência
Nesta seção desenvolvemos um procedimento diferente, o método da
resposta em freqüência, baseado no critério de Nyquist. Através deste critério podemos
determinar a estabilidade de um sistema em malha fechada a partir do mapeamento da
função de transferência em malha aberta. Se esta função não tiver pólos no eixo
complexo (jw), este mapeamento será a resposta em freqüência da função de malha
aberta. Se a função tiver pólos no eixo jw, o mapeamento incluirá curvas à resposta em
freqüência.
Pelo termo resposta de freqüência é a resposta em regime estacionário de
um sistema submetido a um sinal de entrada senoidal. Nos métodos de resposta em
freqüência, varia-se a freqüência do sinal de entrada ao longo de uma faixa de interesse
e estuda-se a resposta resultante. A resposta nos dá informações sobre a resposta em
regime estacionário (resposta em baixas freqüências), as margens de estabilidade e
sobre a largura de faixa do sistema (FREGOSI et al., 1980).
Qualquer sinal pode ser aproximado por uma combinação de senoides de
diferentes amplitudes e freqüência (Análise de Fourier). Se uma senoide de freqüência
‘w’ for aplicada a um sistema linear, a saída também será uma senoide, de mesma
freqüência, mas geralmente com módulo (amplitude) e fase diferente.
41
U = A sen(wt + ϕ1)
Y = B sen(wt + ϕ2)
G
A ϕ1
B ϕ2
Ganho do Sistema: relação entre as amplitudes de entrada e saída
G=
⎛B⎞
G ( dB ) = 20 log 10 ⎜ ⎟
⎝ A⎠
B
A
(4.25)
Obs.: Geralmente o ganho é expresso em decibéis
Deslocamento de Fase: diferença de fase entre a entrada e a saída.
Δφ = φ 2 − φ1 (radianos ou graus)
(4.26)
Variando a freqüência w do sinal de entrada sobre uma faixa apropriada os efeitos da
freqüência sobre o ganho e o deslocamento de fase podem ser determinados. A análise
das informações da resposta em freqüência é representável por 3 gráficos:
1 Diagrama de Bode: dois diagramas logarítmicos que representam o ganho e a
fase em função da freqüência;
2 Diagrama de Nyquist; representação do lugar geométrico da planta G no plano
complexo para um dado conjunto de valores de w.
3 Diagrama de Nichols: gráfico que representa o ganho em função da fase.
Vantagens do método:
•
Tem um elo direto com o domínio do tempo
•
Fornece informações sobre o comportamento do sistema a ruídos e perturbações
•
Permite uma compreensão entre os compromissos do controle realimentado
•
Método mais confiável e simples para a análise experimental de um sistema
•
Fácil representação, basta obter a resposta em freqüência a partir da função de
transferência do sistema
G(s) ⇒ G(jw)
A função resposta em freqüência do sistema é dada por:
1
−
9.85
Gp( jw) =
= 9.85(1 + (1700w) 2 ) 2
1700 jw + 1
− tan −1 (1700w)
(4.27)
Um modo comum é mostrar esta resposta em freqüência é através de um
diagrama polar (Diagrama de Nyquist). Neste diagrama, a amplitude e o ângulo da
função resposta em freqüência (ou sua parte real e imaginária) são representados em um
plano para a variação da freqüência w. Para construir um diagrama polar da Eq.4.27,
42
primeiro calculamos a função para os valores de ‘w’ e os valores de Gp(jw). Os valores
são representados na figura 4.8. Observe que, matematicamente, a resposta é um
mapeamento do plano s no plano Gp(jw). O critério de estabilidade de Nyquist diz que
um sistema de malha fechada é estável se, e somente se, o diagrama de Nyquist da
função de malha aberta, de − ∞ < w < +∞ , não envolve o ponto –1 + 0j.
Figura 4.8 – Resposta em freqüência
No diagrama polar da figura 4.8, a freqüência w aparece como
parâmetro. Um segunda forma de mostrar a resposta em freqüência é representar a
amplitude, ou ganho, de Gp(jw) versus w e o ângulo de Gp(jw) versus w também
chamado de diagrama de Bode. Estas representações aparecem na figura 4.9.
43
Figura 4.9 – Diagrama de Bode
Observe que a variação do ganho do sistema com o aumento da
freqüência fica mais clara nesta representação do que no diagrama polar. Para ser
estável basta que o sistema corte a linha de 0dB com –20dB/dec e para projetos de
sistemas de controle, é recomendável manter uma margem de ganho maior que 6 dB e
uma margem de fase maior que 45 º.
O Diagrama de Nichols mostra a relação do ganho com a fase de acordo
com a Fig.4.10. Este diagrama nos mostra que quanto maior o ganho maior será a fase.
44
Figura 4.10 – Diagrama de Nichols
A função de transferência do controlador PI é dada por:
Gc( s ) = Kp +
Ki Kps + Ki
=
s
s
(4.28)
O controlador tem um pólo na origem e um zero no eixo real negativo. Se escrevermos
a função de transferência como
⎛
s ⎞
⎟
Ki⎜⎜1 +
wo ⎟⎠
⎝
Gc( s ) =
s
(4.29)
Agora encontramos através da tabela 6 a freqüência w1 para a qual o ângulo Gp(jw1) é
igual a ( -180º + φ m + 5º ).
45
Tabela 6 – Tabela do diagrama de Bode
W
0.09011
0.097712
0.10596
0.1149
0.12459
0.1351
0.1465
0.15886
0.17226
0.18679
0.20255
0.21964
0.23817
0.25826
0.28005
0.30368
Fase
Amplitude
-89,6260
0.0643
-89,6551
0.0593
-89,6819
0.0547
-89,7067
0.0504
-89,7295
0.0465
-89,7505
0.0429
-89,7699
0.0396
-89,7878
0.0365
-89,8043
0.0336
-89,8196
0.0310
-89,8336
0.0286
-89,8466
0.0264
-89,8585
0.0243
-89,8695
0.0224
-89,8797
0.0207
-89,8890
0.0191
De acordo com a tabela 6 escolheremos a freqüência w1 = 0.10596 rad/s.
O ganho Kp será então:
Kp =
1
1
=
= 18,28
Gp( jw1 ) 0,0547
(4.30)
A amplitude de w0 é dada por
Ki
= 0,1w1
Kp
(4.31)
Ki = 0,1w1 Kp = w0 Kp
(4.32)
Ki = 0,19
(4.33)
w0 =
e assim
A função do controlador PI é então dada por
Gc ( s ) = 18,28 +
0,19
s
(4.34)
46
V AVALIAÇÃO EXPERIMENTAL
A tarefa de avaliação de desempenho de um controlador é realizada na
prática por meio de critérios subjetivos. A avaliação assim realizada fundamenta-se em
bases experimentais sendo muito dependente da experiência pessoal de cada um. Dessa
forma, as avaliações sobre o desempenho de controladores variam de acordo com o
interesse e a função de quem está avaliando. Por exemplo, na opinião de um engenheiro
de controle é mais importante manter a variável no nível de referência pré-estabelecido
do que economizar energia; por outro lado, para um administrador, de uma usina, por
exemplo, o segundo aspecto é geralmente mais importante que o primeiro. Faz-se
portanto necessário definir um critério múltiplo que leve em conta aspectos importantes
para cada tipo de avaliador de modo a fornecer um índice global de avaliação.
Qualitativamente, o desempenho de um controlador pode ser avaliado
pela sua capacidade de manter a variável controlada próximo ao valor desejado
(setpoint), mesmo em presença de perturbações externas.
Em aplicações práticas, porém, pode ser desejável "medir" o desempenho
de um controlador por meio de um índice que permita buscar melhoras de desempenho.
Alguns índices sugeridos na literatura e na prática são propostos. Em
geral, eles consideram a resposta do controlador a uma entrada em degrau. O mais
interessante para o sistema será a velocidade de resposta, definida como o tempo
necessário para atingir o setpoint (não necessariamente se estabilizando no setpoint). A
figuras 6.1(a), (b) e (c) mostram as respostas para cada controlador dado um setpoint de
60ºC.
47
Figura 5.1 – Resposta no tempo do controle PI para o (a) método Ziegler-Nichols
(b) método lugares das raízes e (c) domínio da freqüência
O desempenho do controlador foi testado por 13 minutos e 9 segundos
em cada ensaio. Foram comparados ainda os valores de erro da estabilização da
temperatura (es), a velocidade de resposta (tr) e os valores dos erros especificados a
seguir (SPANDRIL, 2003):
∞
Valor absoluto do erro (IAE): IAE = ∫ .e(t ) .dt
(5.1)
0
∞
Valor absoluto do erro ao quadrado (ISE): ISE = ∫ .e(t ) dt
2
(5.2)
0
∞
Valor do erro absoluto ponderado (ITAE): ITAE = ∫ t. e(t ) .dt
0
(5.3)
48
Quanto menores estes índices especificados melhor será o desempenho
do controlador. Na tabela 7 mostra-se os valores dos índices de erros (IAE, ISE e ITAE)
calculados para cada sintonia, a velocidade de resposta (tr) e erro de sobre-sinal (es).
Tabela 7 – Índices de desempenho dos controladores
Método
IAE
(ºC)
ISE
(ºC2)
ITAE
(ºC.s)
tr
(s)
es
(ºC)
Ziegler
1.3424*103 4.9564*103 3.0486*105
324
0.9400
Lugar Raízes
1.8256*103 6.8351*103 4.9947*105
358
1.7251
Freqüência
1.4059*103 3.7522*103 4.9442*105
224
1.8400
Observando a tabela 7 tem-se que o desempenho do controlador PI
utilizando o método Ziegler-Nichols mostra melhores valores para os erros
especificados (IAE e ITAE) e menor erro de estabilização da temperatura, logo será
mais utilizado para controles onde seja necessário um sobre sinal baixo em regime
permanente. O método no domínio da freqüência obteve um melhor desempenho no
tempo da velocidade de resposta, mas proporcionou um erro de estabilização maior que
os demais, todavia mostrou menores oscilações em regime permanente. Estas oscilações
na leitura da temperatura podem ser eliminados utilizando filtros elétricos.
Outro aspecto não considerado nos índices de desempenho é a robustez
do controlador. É possível ajustar um controlador com um excelente desempenho para
perturbações pequenas, mas que seja instável quando ocorrer uma perturbação maior.
49
VI CONCLUSÃO
Utilizou-se, neste trabalho, três metodologias simples para o projeto de
controladores PI para malhas de controle de temperatura. Estas metodologias também
podem ser aplicadas a processos cuja resposta possa ser aproximada por funções de
transferência de primeira ordem com ou sem atraso de tempo.
Para obtenção dos parâmetros das funções de transferência, o método
empírico utilizado fora capazes de produzir resultados satisfatórios. Este fato foi
comprovado, não somente pela simulação do modelo, como também pelo desempenho
alcançado pelos controladores a partir do modelo projetado.
Os três métodos utilizados no projeto de controladores PI´s para malhas
de controle de temperatura.: o método de Ziegler-Nichols, Lugar das Raízes e Domínio
da Freqüência, mostraram-se coerentes com a inspeção visual que pode ser feita nos
dados dos testes realizados e também através dos resultados dos avaliadores de
desempenho obtidos.
Houve então uma melhor compreensão da aplicação e das necessidades
dos sistemas controle mostrada no presente projeto.
50
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Junction Compensation. Data sheet. 1999.
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Controle – Fundamentos do Enfoque e Método do Lugar das Raízes . Volume 2,
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FREGOSI, A. E.; FEINSTEIN, J.; CALDEIRA, L. Enfoque Clássico da teoria de
Controle – Fundamentos do Enfoque e Método da Resposta em Freqüência.
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MOC3020
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TEXAS INSTRUMENTS INCORPORATED. TL071 Low-Noise JFET-Input
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