Expressão Gráfica II
Unidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA
Departamentode
EXPRESSÃOGRÁFICA
Material elaborado por:
Profª MSc.Andrea Faria Andrade
Curitiba, PR / 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA
I – Introdução
A Geometria Descritiva (também denominada de Método Mongeano) foi desenvolvida pelo
desenhista francês Gaspard Monge (1746-1818), uma figura política do final do século XVIII e
início do século XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa e professor da Escola
Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria
diferencial de curvas e superfícies do espaço.
Definição:
Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim
representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria
Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões.
II – Sistemas de Projeção
Dizemos que uma figura F do espaço se projeta de um ponto C sobre um plano , que não contém o
ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as intersecções dos vários raios projetantes, determinados pelo centro de projeção C e pelos pontos da figura.
C
F
F'
'
F1'
F1
De acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção (finita ou no infinito), os sitemas de projeção
classificam em:
(a) sistema de projeção central (ou cônico);
(b) sistema de projeção cilíndrico.
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Sistema de Projeções Cônico
Este sistema de projeção é determinado pelo ponto C, centro de projeção (posição finita) e pelo
plano de projeção .
A figua F considerada é o triângulo ABC, cuja projeção sobre o plano ’, a partir do centro de projeção C, é o triângulo A’ B’ C’, que é a figura F’.
O centro de projeção C, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão
pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central ou cônica.
C
F
A
C
B
F'
C'
'
A'
B'
Sistema de Projeções Cilíndrico
Este sistema de projeção é determinado por:
a) uma direção de projeção ;
b) um plano de projeção ’, não paralelo a direção .
O centro de projeção C está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são as retas
paralelas à direção .
Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: oblíqua (a) e ortogonal (b). Quando a direção das
projetantes for perpendicular ao plano de projeções, o sistema é denominado cilíndrico ortogonal.
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III – O método Mongeano
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção cilíndrico-ortogonal, onde dois planos
, um horizontal e um vertical, se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas posições,
perpendiculares entre si. A intersecção desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra ( LT).
Esses planos determinam no espaço quatro diedros numerados no sentido anti-horário.
Monge idealizou um sistema de projeções no qual um ponto P é representado por duas projeções,
P’ e P”, nos dois planos de projeções ’ e ’’, perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano ’ (ou PH)
é denominado de plano horizontal de projeções; e ’’ (ou PV) é denominado de plano vertical de
projeções. Os pontos P’ e P” projetam-se sobre a LT em um mesmo ponto, denotado de P0. A linha de
terra divide cada plano de projeções em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa:
PHA – plano horizontal anterior;
PHP - plano horizontal posterior;
PVS - plano vertical superior, e;
PVI - plano vertical inferior.
Uma vez efetuada as projeções de P sobre ’ e ’’, fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, até
que ambos coincidam (rotação de 90 graus em torno da LT). Desta forma, ambas as projeções do ponto P
ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido é denominado de épura. Na épura, as projeções de um
ponto qualquer estão sobre uma reta perpendicular à linha de terra, chamada de linha de chamada.
Na Figura XXXb temos a épura de um ponto P situado no 1o diedro. Em épura representamos um
ponto através da sua abscissa, seu afastamento e sua cota.
A abscissa é a distância de um plano considerado como origem que passa por ( O), até a projeção
do ponto na LT.
A cota de um ponto P do espaço é a distância entre P e a sua projeção sobre o ’. Logo, a cota de
P é igual a medida do segmento P”P0, uma vez que d(P, ’) = d(P,P’) = d(P”,P0).
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O afastamento de um ponto P do espaço é a distância entre P e plano ’”. Logo, o afastamento de
P é igual a medida do segmento P’P0, uma vez que d(P,”) = d(P,P”) = d(P’,P0).
Exercício 01:
Obter a épura dos pontos cujas coordenadas são dadas abaixo e identifique a sua posição o espaço.
A (1, 5, 3), está no __________B (3, 1, -4), está no _________
C (5, -2, -3), está no _________D (7, -5, 1), está no _________
E (8, 0, 2), está no __________F (9, 4, 0), está no __________
G (4, 0, 0), está no __________
LT
0
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Exercício 02:
Identifique a posição no espaço dos pontos cujas projeções são dadas abaixo:
P, está no ____________
Q, está no _____________
R, está no _____________
S, está no ____________
T, está no _____________
U, está no _____________
V, está no ____________
IV – Estudo da Reta
Conceitualmente não possui espessura, só possui uma dimensão: sobre ela só podemos medir
comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. São indicadas por letras minúsculas e normalmente são
utilizadas as últimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc.
Obtemos a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta
sobre o plano.
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TIPOS DE RETAS
Em geral, de acordo com sua posição em relação aos planos de projeção, as retas podem ser paralelas ou
não aos planos de projeções ’ e ’’.
Retas paralelas ao plano horizontal de projeções ’ :
1) Reta Horizontal
Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de projeção.
2) Reta de Topo
Essa reta é paralela ao PH e perpendicular ao PV.
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3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela à LT)
Essa reta é paralela ao PH e PV.
Retas paralelas ao plano vertical de projeções ” :
1) Reta Frontal
Essa reta é paralela ao Plano Vertical de projeção e inclinada ao Plano Vertical de projeção.
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2) Reta Vertical
Essa reta é paralela ao PV e perpendicular ao PH.
3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a LT)
(já visto anteriormente)
Retas inclinadas em relação aos planos de projeções ’ e ” :
1) Reta de Perfil
A reta de perfil é toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV
e ainda à linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo.
Não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção.
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2) Reta Qualquer
A reta qualquer, por estar inclinada em relação aos planos de projeção PH e PV, não se projeta em
verdadeira grandeza em nenhum desses planos.
Exercício 01:
Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B
pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm.
LT
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Exercício 02:
Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se:
a) o comprimento em mm de AB;
b) o ângulo que a reta faz com o PHP.
LT
Exercício 03:
Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ângulo de 45º com o
plano horizontal de projeções. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm.
LT
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TRAÇO DE RETAS
Denomina-se “traço de uma reta sobre um plano”, o ponto em que essa reta intercepta ou “fura” este
plano.
Traço Horizontal
É o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projeções. Possui cota=0.
Traço Vertical
É o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projeções. Possui afastamento=0.
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Exercício 01:
Representar a épura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posição no espaço, seus nomes
e obter as projeções dos seus traços.
A(4, 1, 2) B(4, 4, 2)
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C(1, 2, 1) D(4, 2, 3)
E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3)
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Exercício 02:
Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projeções dos traços horizontal e vertical da reta.
P(0, 3, 1) Q(?, 1, 3).
LT
Exercícios Propostos
Exercício 1: Dada a reta AB A(0, -20, -10)mm B(60, 20, 25)mm, pede-se:
a) sua posição no espaço;
b) os traços horizontal e vertical da reta.
Exercício 2: Dada a reta CD C(10, 20, 10)mm D(40, 10, 30)mm, pede-se:
a) sua posição no espaço;
b) os traços horizontal e vertical da reta.
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PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
Condição: Para um ponto pertencer a uma reta, ele deve ter suas projeções sobre as projeções de mesmo
nome da reta.
OBS. Esta condição não vale para a reta de perfil!
Exercício 01:
Obter as projeções do ponto P, que pertence à reta „qualquer‟ dada abaixo, sabendo que o mesmo possui
cota=2.
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Exercício 02:
Verificar se o ponto A pertence à reta de perfil EF.
E(4, 1, 5) F( 4, 5, 2) A(4, 4, 4)
LT
Exercício 03:
Obter as projeções do ponto B, que pertence à reta EF do exercício anterior, e tem cota =3cm.
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B(?, ?, 3)
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V – Métodos Descritivos
A solução de um problema pode ser facilitada quando pelo menos um de seus elementos ocupa
uma posição particular (seja paralelo a um dos planos de projeção).
Para que, no método mongeano (dupla projeção ortogonal) uma figura ou objeto ocupe uma posição desejada podemos recorrer a artifícios que visem deslocar a figura (ou objeto) ou deslocar o sistema
de representação adotado. A estes artifícios denominamos, genericamente, de métodos descritivos, que
são:
- rotação
- mudança de planos de projeção.
Rotação
Quando conservamos o sistema de representação adotado e giramos a figura (ou objeto), em torno
de um eixo.
Mudança de Planos de Projeção
Quando a figura (ou objeto) é conservada e um dos planos de projeção (ou ambos) são substituídos, mantendo a ortogonalidade entre eles.
Quando um objeto possui uma face inclinada em relação aos planos principais de projeção, esta
face não aparece em verdadeira grandeza.
Para obter a verdadeira grandeza desta face, é preciso projetá-la em um plano auxiliar que lhe seja
paralelo. Para isso, é preciso mudar a posição de um dos planos de projeção, plano horizontal de projeção
ou plano vertical de projeção, ou os dois; um após o outro; de forma que fique paralelo à face inclinada.
Assim o objeto permanece fixo e os planos de projeção mudam de posição.
Fonte: adaptado de Barison. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_9t.php>
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Exercício 01:
Obter a verdadeira grandeza (VG) da reta „qualquer‟ dada abaixo:
a) utilizando o método da rotação.
b) pelo método da mudança de planos.
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Exercício 03:
Tornar „vertical‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.
Exercícios Propostos
Exercício 01:
Submeter a reta „qualquer‟ dada ao processo de mudança de planos de projeção, de modo a torná-la uma
reta „fronto-horizontal‟.
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Exercício 02:
Dada a reta PQ = „qualquer‟ pede-se obter a distância em „mm‟ entre os pontos P e Q, utilizando o método
da mudança de planos de projeção. P(10, 70, 20) Q(80, 10, 50)
Exercício 03:
Obter as projeções do ponto A, que pertence a reta do exercício anterior, e tem cota=3cm.
Exercício 04:
Tornar „de topo‟ a reta „qualquer‟ dada abaixo, utilizando o método da mudança de planos de projeção.
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VI – Posições Relativas de duas Retas
Quando COPLANARES podem ser:
Podem pertencer ao mesmo plano:
Ou as retas podem pertencer a planos distintos:
Quando NÃO COPLANARES podem ser:
Retas PARALELAS
Duas retas coplanares, que não possuem ponto comum são denominadas, retas paralelas.
Teorema: duas retas paralelas projetam-se em geral, segundo projeções paralelas.
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria
OBS. Estas condições não valem para a reta de perfil!
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Exercício 01:
Dados: reta r(P, Q) e ponto A. Pede-se: conduzir pelo ponto A, uma reta s(A, B) que seja paralela à reta r.
Resolver o exercício utilizando duas soluções: - pelo processo da rotação; - apoiando duas retas auxiliares
concorrentes.
Q"
P"
A"
LT
Q'
A'
P'
Q"
P"
A"
LT
Q'
A'
P'
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Exercício 02:
Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PARALELA à reta r.
A"
B"
P"
LT
A'
P'
B'
Exercícios Propostos
Exercício 01:
Dados: reta r(E, F) e ponto H. Pede-se: conduzir pelo ponto H, uma reta s(H, I) que seja paralela à reta r,
e tenha 3cm. Resolver o exercício utilizando o processo da MUDANÇA DE PLANOS.
E"
F"
H"
LT
E'
H'
F'
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Exercício 02:
Dados: pontos A, B e C. Pede-se: encontrar as projeções do paralelogramo ABCD.
C"
A"
B"
LT
B'
C'
A'
Retas CONCORRENTES
Duas retas coplanares que possuem um único ponto comum são denominadas concorrentes ou incidentes.
Teorema: duas retas concorrentes projetam-se em geral, segundo projeções concorrentes.
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria
OBS. Esta condição não vale para quando uma das retas é a reta de perfil!
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Exercício 01:
Dados: retas r(A, B) e s(B, C), e o ponto F. Pede-se: pelo ponto F, inserir uma reta f (F, G) = (FRONTAL)
que seja concorrente às retas r e s. Obter a segunda projeção do ponto F, ou seja, e o valor da sua cota.
C"
A"
B"
LT
B'
A'
F'
C'
Exercício 02:
Dados: reta r(A, B)=de perfil, reta s(C, D). Pede-se: verificar se as retas r e s são concorrentes.
A"
D"
C"
B"
LT
A'
D'
C'
B'
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Exercícios Propostos
Exercício 01:
Obter as projeções da reta HORIZONTAL (AB), apoiada nas retas FRONTAIS paralelas (MN) e (PQ).
A(6, 3, ?) B(10, ?, ?)
M(3, 2, 1) N(9, ?, 8)
P(7, 5, 2) Q(11, ?, ?)
N"
P"
M"
LT
M'
A'
P'
Exercício 02:
Obter as projeções das retas AB e CD CONCORRENTES, e obter as projeções dos TRAÇOS (horizontal e
vertical) de cada uma das retas.
A(-25, 10, 30) B(60, -20, -20) C(60, 15, 30) D(0, ?, -40)
Exercício 03:
Conhecida a projeção horizontal da reta AB e a projeção vertical do ponto A, determinar a projeção vertical
da reta, sabendo-se que o outro ponto pertence a uma reta de perfil FG.
A(-10, 50, 30) B(50, 15, ?)
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F(?, 30, -30) G(?, -20, 35)
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Retas REVERSAS
Duas retas são reversas quando não possuírem ponto comum e não forem paralelas; portanto, poderemos
identificá-las por exclusão, ou observando os dois casos abaixo.
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria
Retas COINCIDENTES
Duas retas são coincidentes quando suas projeções de mesmo nome se confundem. Na prática, é uma
única reta com dois nomes.
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Retas PERPENDICULARES/ORTOGONAIS
Teorema de Monge: "Quando duas retas são perpendiculares entre si no espaço, sendo uma delas paralela
a um plano dado, sem que a outra seja perpendicular ao plano, as projeções destas duas retas sobre o
plano são perpendiculares entre si.
Fonte: adaptado de Ferreira. Disponível em: http://xa.yimg.com/kq/groups/24030724/1839328182/name/Geometria
Observação: quando duas retas perpendiculares ou ortogonais no espaço (casos particulares de retas
concorrentes e retas reversas respectivamente) estiverem oblíquas a um plano dado, serão identificadas
como tal, quando da aplicação de métodos descritivos, que envolvem conteúdos avançados; mas por hora
poderemos identificá-las como concorrentes ou reversas (FERREIRA, E. N.).
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Exercício 01:
Dados: reta r(A, B) e ponto P. Pede-se: conduzir pelo ponto P uma reta s, que seja PERPENDICULAR à reta
r.
A"
B"
P"
LT
A'
P'
B'
Exercício 02:
Obter a distância do ponto P a reta AB, em cm, do exercício anterior.
Exercício 03:
Dados: reta a(A, B) e o ponto P. Pede-se obter pelo ponto P, uma reta PERPENDICULAR à reta a.
P"
B"
A"
LT
B'
P'
A'
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Exercício 04:
Dados: reta a, e um ponto P. Pede-se conduzir pelo ponto P, uma reta ORTOGONAL a reta dada.
Obter as 3 soluções possíveis.
P"
P"
a"
a"
LT
LT
a'
a'
P'
P'
P"
a"
LT
a'
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P'
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Exercício Proposto
Exercício 01:
Dados: reta r(P, Q) e o ponto A. Pede-se conduzir pelo ponto A, uma reta „DE PERFIL‟ que seja
ORTOGONAL a reta dada. Utilizar o método da mudança de planos para resolver o problema.
P(5, 1, 6) Q(5, 7, 1)
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A(1, 2, 1 )
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VII – Estudo do Plano
O plano tem duas dimensões: sobre ele podemos medir comprimentos e larguras.
Elementos Definidores
Um plano pode ser definido por:
a) três pontos não colineares
b) Uma reta e um ponto fora dela
c) Duas retas paralelas
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d) Duas retas concorrentes
e) Pelos seus TRAÇOS: Horizontal e Vertical
Tipos de Planos
Grupo 1 - Grupo dos planos que são paralelos a um dos planos de projeção, e conseqüentemente, perpendiculares (projetantes) aos outros dois.
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Grupo 2 - Grupo dos planos que são perpendiculares a somente um dos planos de projeção, e
conseqüentemente, oblíquos aos outros dois.
Grupo 3 - Grupo dos planos que são oblíquos aos três planos de projeção, conseqüentemente, jamais
será paralelo ou perpendicular a qualquer um dos planos de projeção.
1 – Plano HORIZONTAL
Retas do plano:
- horizontal
- // a LT
- de topo
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Épura:
(")
LT
B"
(")
C"
A"
LT
A'
VG
C'
B'
2 – Plano FRONTAL
Retas do plano:
- frontal
- // a LT
- vertical
Épura:
A"
v"
VG
C"
B"
LT
LT
(')
(')
B'
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v'
A'
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C'
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3 – Plano DE PERFIL
Retas do plano:
- de perfil
- de topo
- vertical
Épura:
(")
LT
(')
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção.
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4 – Plano VERTICAL
Retas do plano:
- vertical
- qualquer
- horizontal
Épura:
A"
C"
B"
(")
LT
LT
B'
(')
A'
C'
(')
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção.
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5 – Plano DE TOPO
Retas do plano:
- frontal
- de topo
- qualquer
Épura:
(")
C"
A"
(")
B"
LT
LT
A'
(')
C'
B'
VG – através da utilização dos processos descritivos de rotação ou mudança de planos de projeção.
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6 – Plano PARALELO À LT
Retas do plano:
- // à LT
- de perfil
- qualquer
Épura:
(")
(")
A"
C"
B"
LT
LT
A'
B'
(')
C'
(')
VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de
projeção.
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7 – Plano QUALQUER
Retas do plano:
- qualquer
- de perfil
- horizontal
- frontal
Épura:
(")
(")
A"
C"
B"
LT
LT
A'
C'
B'
(')
(')
VG – através da utilização dos processos descritivos de rebatimento ou da dupla mudança de planos de
projeção.
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VIII – Construção de Figuras Planas
Exercício 01:
Dados: um plano  (A, B, C) = Horizontal. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero ABD pertencente
ao plano. Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa possível.
A"
B"
C"
LT
A'
C'
B'
Exercício 02:
Obter as projeções de um quadrado ABCD pertencente a um plano de perfil, definido pelos pontos ABR,
utilizando-se do método de mudança de planos de projeção. Sabe-se que os pontos C e D possuem as
maiores cotas possíveis.
B"
A"
R"
LT
A'
B'
R'
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Exercício 03:
Transformar o plano DE TOPO, definido pelos pontos ABC, em um plano HORIZONTAL, utilizando-se do
método da rotação.
A"
B"
C"
LT
B'
C'
A'
Exercício 04:
Obtenha as projeções de um quadrado ABCD, inscrito na circunferência que contém os pontos P, Q e R.
Um dos vértices do quadrado coincide com o ponto Q, e o plano PQR corresponde a um plano DE TOPO.
P"
R"
LT
Q'
R'
P'
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Exercício 05:
Obter as projeções de um triângulo eqüilátero ABF, pertencente a um plano QUALQUER, definido pelos
pontos ABC, utilizando-se do método da dupla mudança de planos de projeção.
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Exercícios Propostos
Exercício 01:
Dados: um plano  (A, B, C) = Vertical. Pede-se: as projeções do triângulo eqüilátero PQR inscrito na
circunferência que passa pelos pontos A, B e C. Sabe-se que o ponto Q coincide com o ponto A.
A(1, 7, 2) B(5, ?, 7) C(8, 1, 4)
Exercício 02:
Obter a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ISÓSCELES contido em um plano VERTICAL, utilizando o
método da mudança de planos de projeção.
A(1, 4, 1) B(4, 1, 4)
Exercício 03:
Determinar as projeções de um quadrado ABCD, situado em um plano DE TOPO, tendo o vértice A
pertencente ao plano vertical de projeções. Sabe-se que o plano está inclinado de 45º em relação ao plano
horizontal de projeções (‟), e que a diagonal do quadrado mede 6cm.
Utilizar o método da mudança de planos de projeção na solução do exercício.
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VIII – Rebatimento de Plano
O rebatimento é um método particular da Rotação de um plano onde uma de suas retas
serve como eixo. Esta reta é denominada de eixo de rebatimento ou charneira (ch).
Rebater um plano é fazer girar em torno de uma de suas retas, até que o mesmo fique
paralelo ou coincidente a um dos planos principais de projeção. A figura abaixo representa o
rebatimento de um plano genérico sobre o plano horizontal de projeção. Observa-se que:
a) O ponto A descreve uma circunferência cujo plano é perpendicular à charneira e cujo raio é à
distância ao ponto rebatido A1, denominado de „raio de rebatimento‟;
b) A 1ª projeção do ponto A (A‟) e o ponto rebatido (A‟1) estão em uma perpendicular à charneira;
c) O raio de rebatimento é a hipotenusa do triângulo de rebatimento, em que um dos catetos é a
distância da 1ª projeção do ponto A (A‟) ao eixo, e o outro cateto a distância do ponto A ao plano
horizontal de projeções;
d) Pontos pertencentes ao eixo de rebatimento não mudam de posição.
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Rebatimento do Plano genérico ou qualquer:
"

B"
")
(
 ')
(
COTA
COTA
B
r"
B'
H"
r'
'
B'1
H=H'=H'1
r '1 = vg
eixo (charneira)
r
B"
r"
B0
LT=eixo "
H"
B'
r'
B'1
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H'
r'1 = vg
eixo '
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Exercício 01:
Obtenha a verdadeira grandeza (VG) do triângulo ABC, utilizando o processo do rebatimento (pelo
triângulo de rebatimento).
B"
A"
C"
LT
B'
A'
C'
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Exercício 02:
Dados: a reta r (R, S), e o ponto P fora dela. Pede-se: as projeções de um quadrado com um lado apoiado
na reta r, e um vértice no ponto P.
R (3, 4, 0)
S (11, 8, 4)
P (8, 9, 7)
P"
S"
LT
R"
R'
P'
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S'
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Exercícios Propostos
Exercício 01:
Dado o plano  (A, B, C). Obter as projeções de um triângulo ABD, assim como a sua verdadeira grandeza.
Sabe-se que o ponto D é o de maior abscissa.
A(20, 20, 10)
B(50, 0, 40)
C(86, 40, 0)
Exercício 02:
Dado o plano  (A, B, C), pede-se as projeções do quadrado inscrito na circunferência que passa pelos
pontos dados, sabendo que um dos seus vértices é o ponto B.
A(40, 60, 30)
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B(70, 10, 10)
C(110, 40, 20)
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IX – Projeção de Poliedros
Poliedros – são sólidos com faces planas. São classificados em regulares e irregulares.
Regulares – quando todas as suas faces são constituídas por polígonos regulares e iguais.
- Tetraedro – 4 triângulos eqüiláteros regulares
- Hexaedro (cubo) – 6 quadrados
- Octaedro – 8 triângulos eqüiláteros
- Dodecaedro – 12 pentágonos
- Icosaedro – 20 triângulos eqüiláteros
Irregulares –
- Prismas: arestas laterais paralelas. Podem ser retos ou oblíquos.
- Pirâmides: arestas laterais se encontram em um ponto. Podem ser retas ou oblíquas.
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Retas perpendiculares aos planos
Plano
Reta perpendicular
Frontal
Reta de topo
Vertical
Horizontal
Plano de Perfil
Fronto-horizontal
Horizontal
Vertical
Paralelo a LT
Reta de perfil
Qualquer
Qualquer
Exercício 01:
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, 1)
B( 4, 4, 1)
a) Base ABC, pertencente a um plano horizontal;
b) Altura=5cm;
c) Vértice C com menor afastamento possível.
LT
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Exercício 02:
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 3, ?)
B( 4, 4, 1)
a) Base ABC, pertencente a um plano de topo, inclinado de 30º no sentido horário;
b) Altura=5cm;
c) Vértice C com menor afastamento possível.
LT
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Exercício 03:
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 4, 3, 4)
B( 4, 4, 1)
a) Base ABC, pertencente a um plano de perfil;
b) Altura=5cm;
c) Vértice C com menor afastamento possível.
LT
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Exercício 04:
Obter as projeções de um prisma triangular regular reto, sendo dados: A( 1, 5, 1)
B( 3, 2, 4)
a) Vértice C com a maior cota possível;
b) Altura=5cm;
c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior afastamento possível.
LT
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Exercício 05:
Obter as projeções de um hexaedro ABCDEFGH, sabendo-se que as faces adjacentes à aresta AB dada,
estão inclinadas de 30º em relação ao plano horizontal de projeções. A(10, 10, 10)
B(30, 35, 10)mm
LT
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Exercícios Propostos
Exercício 01:
Determinar as projeções de uma pirâmide de base triangular, apoiada no plano horizontal de projeções, e
tendo uma das arestas da base perpendicular ao plano vertical de projeções. Dados: altura = 4cm; aresta=
3cm. A (3, 1, 1)
Exercício 02:
Determinar as projeções de um hexaedro com uma face ABCD horizontal. A(2, 1, 1)
B(6, 4, 1).
Exercício 03:
Determinar as projeções de um prisma triangular regular, sabendo que: A(3, 3, 2)
B(6, 1, 5)
a) Sua base ABC pertence a um plano paralelo a LT;
b) Altura=5cm;
c) A face oposta à ABC, deverá ter o maior cota possível.
Exercício 04:
Determinar as projeções do octaedro regular ABCDEF, sabendo-se que: A(5, 5, 1)
B(5, 5, 6)
a) O segmento AB é a diagonal do octaedro;
b) Outra das diagonais está inclinada de 60º em relação ao plano vertical de projeções.
X – Seções Planas em Poliedros
As seções planas em sólidos são dadas pela intersecção entre um sólido e um plano gerando um elemento geométrico plano fechado (polígono) podendo este em épura ter ou não
verdadeira grandeza (VG).
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Exercício 01: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no
mesmo por um plano   de tôpo que contém a reta r.
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Exercício 02: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar as projeções e hachurar a VG da seção plana produzida no
mesmo por um plano   vertical que contém a reta r.
GEOMETRIA DESCRITIVA
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Exercício 03: Dadas Dadas as projeções mongeanas dos sólidos abaixo representadas, pede-se achar as projeções mongeanas da seção plana produzida
nos mesmos pelos planos   de tôpo que contém a reta r e   de tôpo que contém a reta s.
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Exercício 04: Dadas as projeções mongeanas do sólido abaixo representadas, pede-se achar e hachurar a VG da seção plana produzida no mesmo por um
plano   frontal.
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