15
2 Representação Gráfica
Quando temos que manipular grande quantidade de informação é
necessário o uso de gráficos. Isso se torna mandatário para a correta análise e
compreensão das grandezas envolvidas. Note que uma grande quantidade de
informação seja ele na forma de dados experimentais ou em qualquer outra
forma implica em conhecimento.
Necessitamos analisar essa coleção de
dados e, para isso, utilizamos a representação por gráficos. Assim, a relação
entre quaisquer grandezas envolvidas pode ser facilmente detectada.
2.1 Escala
O primeiro passo a ser determinado na construção de um gráfico é a
escala de representação dos dados. Toda escala possui um passo, ou seja,
um segmento de reta delimitado entre dois traços perpendiculares ao
segmento.
passo = 1cm
10
0
20
30
m (g)
degrau = 5g
Figura 2-1 Definição de passo e degrau num gráfico de representação de uma grandeza
física, i.e. a massa.
Na Figura 2-1 apresentamos a definição de passo que é a menor distância
real entre duas marcas seqüentes no segmento de reta. Como visto na figura
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em questão existe uma grandeza física associada a escala, assim esses dois
traços consecutivos dá-se o nome de degrau. Desta feita temos:
M=
passo 1 cm 1 cm
=
=
g
degrau 5 g 5
(1.3)
Figura 2-2 Exemplo de gráfico linear e logarítmico. Note que no gráfico linear o passo e
o degrau são facilmente determinados. Na escala logarítmica o degrau pode ser
determinado facilmente, mas o passo segue geometricamente uma função do tipo log.
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Assim, a cada variação de distância no papel temos uma variação na grandeza
física medida – a cada 1 cm tem-se 5 g. Na parte inferior da Figura 2-2
apresentamos um gráfico do movimento de um móvel em função do tempo
onde é assinalado os passos e degraus de cada eixo coordenado.
O passo de uma escala pode ser linear ou não. Os tipos mais comuns
de escalas são a linear e logarítmica mostrados na Figura 2-2 nas partes
inferior e superior, respectivamente.
Observe que na escala logarítmica o
degrau pode ser determinado facilmente,mas o passo segue geometricamente
uma função do tipo log, veja Figura 2-3.
1
2
3
4
5
6
7
8 9
10
Figura 2-3 Exemplo de uma escala log. Observe que os espaçamentos seguem uma
função log. A escala começa em 1, pois log(1) = 0. Observe que a distância entre dois
números no eixo é proporcional à diferença dos seus logaritmos.
Para facilitar a construção gráfica a leitura dos valores numa escala
logarítmica é direta ao invés dos seus logaritmos, conforme Figura 2-3. Veja
que uma unidade corresponde ao intervalo entre duas potências sucessivas de
dez† (log10[10n]-log10[10n-1]=n-n+1=1).
Na Figura 2-4 podemos averiguar com mais detalhe como as escalas se
relacionam entre si. No eixo das ordenadas temos uma escala linear cujo
espaçamento é linear nas divisões apresentadas inclusive nos números
delimitando cada ordenada, e.g. 0,8 − 0, 7 = 0,1 . No eixo das abscissas os
espaçamentos seguem uma função logarítmica (geometricamente) e os
números que delimitam cada divisão não. Observe que cada ponto do gráfico o
número apresentado na abscissa tem seu logaritmo correspondente na
ordenada.
†
Pela simplicidade os gráficos log utilizam a potência 10. Mas você pode inventar a sua.
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Abscissa
Ordenada
(Log)
(Linear)
1
0
2
0,30103
3
0,47712
4
0,60206
5
0,69897
6
0,77815
7
0,8451
8
0,90309
9
0,95424
10
1
1,1
1,0
Escala Linear
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-0,1
0,9 1
2
3
4
5
6
7
8 9 10
Escala Logarítimica
Figura 2-4 Comparação entre as escalas linear e logarítmica (base 10). Ao lado temos
uma tabela de comparação dos valores na escala logarítmica (abscissa) e linear
(ordenada). Observe que na escala linear os resultados assinalados são resultados da
aplicação da função log nos números da escala logarítmica.
2.1.1 Regras práticas de construção de um gráfico
Cada um dos eixos deve conter o nome (ou símbolo) da variável
representada, a escala de leitura e a unidade correspondente. Escolha uma
escala conveniente para a qual o gráfico represente bem o intervalo medido
para cada variável. A regra prática para esta definição é dividir a faixa de
variação de cada variável pelo número de divisões principais disponíveis é:
∆U
= x → Arredondar para o múltiplo mais próximo 1, 2 ou 5.
∆C
(1.4)
aqui ∆U é a variação de unidades dos dados e ∆C é a variação na escala
disponível. Toma-se então um arredondamento a valor superior e de fácil
leitura. Estes valores de fácil leitura são: 1, 2 ou 5 unidades ou qualquer
múltiplo ou submúltiplo de 10 delas. Por exemplo, no papel milimetrado, se a
faixa de variação dos dados for de 35 unidades e o número de cm disponíveis
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for de 10 cm, chegamos ao valor ideal de 5 unidades para cada divisão do
gráfico, pois
35
Múltiplo mais próximo
= 3, 5 
→5 .
10
Apresentamos abaixo um exemplo de um gráfico:
220
200
180
Velocidade (km/h)
160
140
120
100
80
60
40
20
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Tempo (s)
Figura 2-5 Velocidade de um automóvel acelerando. Aqui ∆C= 10 cm e ∆U= 35 s, portanto
∆U
Múltiplo mais próximo
= 3,5 
→5 .
∆C
Na Tabela 2-1 estão dispostos os pontos experimentais apresentados no
gráfico na Figura 2-5. Observe que na coluna das velocidades há uma
incerteza em cada medida. E essa incerteza é apresentada no gráfico anterior
como uma barra vertical indicando valores acima e abaixo do valor da
velocidade.
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Tabela 2-1 Velocidade (v) medida em função do
tempo (t), para um automóvel acelerando.
t(s)
v(km/h)
0
42 ± 7
5
67 ± 7
10
101 ± 7
15
134 ± 7
20
161 ± 7
25
183 ± 7
30
196 ± 7
35
200 ± 7
2.2 Análise Gráfica
O gráfico cartesiano é composto de duas retas ortogonais ou
perpendiculares. O ponto de intersecção das retas ou semi-retas é o ponto de
origem do gráfico que nem sempre se identifica com a origem das escalas. A
escala horizontal é chamada de eixo das abscissas e a vertical de eixo das
ordenadas. Através de um par de coordenadas um ponto é estabelecido no
gráfico. Esse ponto pode representar a medida de duas grandezas físicas.
Uma reta, conforme mostrado na Figura 2-6, é caracterizada pela
relação linear entre um par de pontos no gráfico cartesiano, isto é
y = a + bx
(1.5)
a é o coeficiente linear e b é o coeficiente angular da equação. O coeficiente
angular é numericamente igual a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
das abscissas:
b=
∆y y2 − y1 numericamente igual
=
→ tan θ
∆x x2 − x1
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(1.6)
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e quando a abscissa se anula temos o coeficiente linear:
(1.7)
x=0→ y=a
O coeficiente linear também pode ser obtido da equação (1.5) com um ponto
qualquer da reta, e.g. (x1, y1):
(1.8)
a = y1 − bx1
Eixo y
(Ordenada)
y2
∆y=y2-y1
θ
y1
∆x=x2-x1
x1
x2
Eixo x
(Abscissa)
Figura 2-6 Elementos no plano cartesiano necessários para a determinação de uma reta.
2.3 Linearização
Analisar uma grande quantidade de pontos experimentais é uma tarefa
árdua e dispor esses pontos experimentais num gráfico facilita a compreensão
da situação.
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2.3.1 Linearização de polinômios
É comprovado cientificamente que nosso cérebro facilmente identifica uma
curva de uma reta; funções do tipo x2 e x4 não são perceptíveis.
Para funções polinomiais do tipo:
(1.9)
y ( x ) = Ax B + C
Resulta numa reta se fazemos a seguinte substituição de variáveis:
(1.10)
z = x B → y ( z ) = Az + C
Assim, fazendo-se o gráfico da função da equação (1.10) os coeficientes A e
C são determinados prontamente.
200
200
h(cm)
150
150
100
h (cm)
50
0
100
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
t(s)
50
θ
0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
2
z (s )
Figura 2-7 Gráfico linearizado de um objeto em queda livre com a mudança de variável
2
z=t . No gráfico interior podemos observar o gráfico dos pontos originais.
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Tabela 2-2 Altura (h) em
função do tempo (t) para
um objeto em queda livre.
2
2
t(s)
h(cm)
z=t (s )
0,01
200
0,0001
0,225
173
0,051
0,319
151
0,102
0,390
124
0,152
0,450
99
0,203
0,504
76
0,254
0,552
48
0,305
0,596
26
0,355
0,637
1
0,406
Na Tabela 2-2 apresentamos os pontos experimentais da Figura 2-7. A
partir desse gráfico podemos determinar os coeficientes da reta, isto é
A = -4,9 × 102 cm s 2 e C = 2, 0 × 10 2 cm .
2.3.2 Linearização de funções especiais
Se a função for do tipo y = C ⋅ e β x (‡) é facilmente linearizada pela função ln,
i.e. a função logaritmo natural ou neperiano:
(
)
ln y = ln C ⋅ e β x = ln C + β x
(1.11)
Um outro tipo de função pode ser y = A ⋅ x B que pode ser linearizada pela
aplicação da função log:
(
)
log y = log A ⋅ x B = log A + B ⋅ log x
(1.12)
Após a aplicação da função ln ou log nas funções acima os pontos passam
a descrever uma reta.
‡
O numero transcendental
e equivale a: e = 2,7182818284590452353602874713527...
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Na equação (1.11) os dados do eixo das ordenadas descrevem uma
função ln e o eixo das abscissas descrevem uma função linear em x. Se
colocamos os pontos dessa função num papel do tipo mono-log teremos uma
reta.
Tabela 2-3 Exemplo de valores de uma função
exponencial.
x(cm)
0,0
0,4
1
1,4
2,0
4,0
4,4
7,5
T/T0
1,0
0,801
0,606
0,473
0,341
0,127
0,102
0,0165
ln (T/T0)
0
−0,222
−0,501
−0,749
−1,076
−2,064
−2,280
−4,104
Na Tabela 2-3, apresentamos os dados para um decaimento
exponencial, e na mesma tabela já incluímos os valores do logaritmo da
ordenada.
1
0
ln(T/T0)
T/T0
-1
0,1
-2
∆ln(T/T0)=4
-3
∆x=-7,4
-4
0,01
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x (cm)
x (cm)
Figura 2-8 Gráfico dos dados da Tabela 2-3 da transmissão normalizada. A esquerda a
transmissão T/T0 (segunda coluna) é graficada diretamente na escala mono-log
e a
direita temos o gráfico linearizado ln (T/T0) (terceira coluna) em papel milimetrado.
Graficando-se os dados desta tabela (Figura 2-8) podemos verificar a
linearização da curva, indicando que a exponencial é uma boa aproximação
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para estes pontos. Os parâmetros β e ln C são dados, respectivamente, pelo
coeficiente angular e pelo termo constante da reta. Do gráfico (a direita),
obtemos:
β = −0, 54 cm−1 e C = 1. (1.13)
Podemos obter os mesmos valores diretamente do gráfico da Figura 2-8
(esquerda) lembrando que o papel é log na base 10. Para que possamos obter
o mesmo resultado tomamos (por exemplo) dois pontos (1º. e o ultimo), então o
coeficiente angular β´ nessa escala será:
β ´=
log1 − log 0, 0165
≅ −0, 2377...cm -1
7, 5 − 0
(1.14)
Essa discrepância com o valor apresentado na equação (1.13) é devido ao log
ser na base 10, portanto:
β=
β´
log e
= 0, 54 cm -1
(1.15)
Na Tabela 2-4 temos os pontos apresentados no gráfico da Figura 2-8.
Tabela 2-4 Comprimento (L)
e período (T) do pêndulo.
L(cm) ±0,1
T(s) ±0,01
10,0
0,72
40,0
1,13
70,0
1,75
100,0
1,95
130,0
2,42
160,0
2,46
190,0
2,82
Um exemplo muito ilustrativo na obtenção do coeficiente de atenuação
de um gráfico exponencial é mostrado na Figura 2-9. Nesse gráfico temos
todos os passos para a obtenção desse coeficiente e sua correção devida a
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escala logarítmica ser na base 10. Uma outra forma de encontrar o resultado
da expressão log Y f − log Y é medir ∆Y e L (medida de uma década) com uma
régua, a razão
∆Y
é o resultado quisto, conforme mostrado na Figura 2-9.
L
T (oC)
Y = A ⋅ ebX
A=160º
30
b ⋅ log e =
200
log 20 − log100
71 − 10
≅ −0, 012 s-1
100
L
∆Y log Y f − log Yi
=
∆X
X f − Xi
=
50
4
∴ b ≅ −0,027s-1
∆Y = Y f − Yi
30
20
∆X = X f − X i
1
0
10
20
30
40
50
60
70
t (s)
Figura 2-9 Gráfico exemplo de obtenção do coeficiente b de atenuação da função
Y = A ⋅ ebX . Note que o coeficiente deve ser corrigido conforme equação (1.15). O
resultado
b ⋅ log e pode ser obtido através da razão
∆Y
com as medidas de ∆Y e L
L ⋅ ∆X
obtidas através de uma régua.
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