Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
c Publicação Eletrônica do KIT
http://www.dma.uem.br/kit
Ponto Fixo e forças da natureza na superfı́cie
da Terra
Emerson Barilli & Emerson Dionisio Belançon
Sumário
1 Introdução
1
2 TVI - um teorema importante
2
3 Mesma velocidade, temperatura e pressão
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Introdução
Os fenômenos da natureza causam
danos e parecem não ter explicação. Por isso muitos paı́ses
investem quantias vultosas em
previsão numérica do tempo.
Utilizam-se satélites para coletar
dados e informações que serão importantes nos modelos numéricos
de previsão do tempo. Em muitos
casos não podemos prever exatamente a magnitude do fenômeno,
mas à medida em que ele se define
vamos melhorando as previsões.
Nessas notas vamos apresentar uma aplicação da teoria dos pontos fixos para
obter alguma informação sobre a Terra. Vamos mostrar que existem pontos
diametralmente opostos da Terra que possuem a mesma temperatura. Antes
disso, vamos rever alguns resultados da Matemática.
c KIT
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Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
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TVI - um teorema importante
Definição 1 (Continuidade em um ponto) Seja função f : (a, b) → R.
Dizemos que f é contı́nua em um ponto x0 ∈ (a, b), se uma das condições
abaixo forem satisfeitas:
i)limx→x0 f (x) = f (x0 );
ii) ∀ > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ (a, b) | x − x0 |< δ tem-se | f (x) − f (x0 ) |
< ;
iii) Se para toda sequência xn ∈ (a, b), com xn → x0 temos f (xn ) →
f (x0 );
Seja f : I ⊂ R → R, dizemos que f é contı́nua no intervalo I ⊂ R, se for
contı́nua em todos os pontos deste intervalo.
Um dos resultados mais importantes sobre as funções contı́nuas é o seguinte
teorema.
Teorema 1 (Teorema do valor intermediário) Seja f : [a, b] → R contı́nua.
Se f (a)f (b) < 0, então, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.
A demonstração desse resultado pode ser encontrada por exemplo em [1]
ou [2].
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Seja f : X → X uma aplicação e x0 ∈ X. Dizemos que x0 é ponto
fixo de f se f (x0 ) = x0 . Geometricamente, o gráfico da aplicação f sempre
interceptará a reta y = x.
Teorema 2 Toda aplicação contı́nua f : [a, b] → [a, b] tem pelo menos um
ponto fixo.
Demonstração: Defina a seguinte aplicação g : [a, b] → R dada por g(x) =
f (x) − x. Assim g mede a distância orientada entre x e sua imagem f (x).
Da definição de ponto fixo, x será um ponto fixo de f se g(x) = 0. Se
um dos extremos do intervalo é ponto fixo nada temos a provar. Então
suponhamos que nenhum dos extremos seja ponto fixo. Como f (a) e f (b)
estão no intervalo [a, b] segue que a < f (a) e f (b) < b, pois supomos que nem
a e nem b são pontos fixos de f . Portanto g(a) > 0 e g(b) < 0. Como g é
contı́nua, segue do teorema do valor intermediário que, existe x0 ∈ [a, b] tal
que g(x0 ) = 0, assim g(x0 ) = f (x0 ) − x0 = 0, o que implica que f (x0 ) = x0 .
Portanto x0 é um ponto fixo de f .
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Teorema 3 Seja f : C → R aplicação contı́nua de um cı́rculo na reta.
Então, f tem um par de pontos diametralmente opostos com mesma imagem.
c KIT
Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
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Demonstração: Seja f : C → R uma aplicação contı́nua do cı́rculo C na
reta R. Considere x e x0 pontos diametralmente opostos sobre C e defina
g : C → R por g(x) = f (x) − f (x0 ). Como f é contı́nua, então g também é
contı́nua, assim, tomando x = x0 temos
g(x0 ) = f (x0 ) − f (x) = −(f (x) − f (x0 )) = −g(x).
Segue que g têm sinais opostos em x e x0 ou g(x0 ) = −g(x) = 0. Se g(x) = 0
então f (x) = f (x0 ) e o teorema está demonstrado. Se g(x) 6= 0, como g é
contı́nua segue do teorema do valor intermediário que, existe um ponto x0 ∈
C tal que g(x0 ) = 0, isto é, g(x0 ) = f (x0 ) − f (x00 ) = 0 então f (x0 ) = f (x00 ).
Portanto em pontos diametralmente opostos em um cı́rculo as imagem são
iguais.
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De modo inteiramente análogo, podemos demonstrar o resultado ainda é
válido quando a função está definida sobre uma esfera.
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Mesma velocidade, temperatura e pressão
Teorema 4 Toda aplicação contı́nua de uma esfera (do R3 ) na reta tem um
par de pontos diametralmente opostos com mesma imagem.
Demonstração: Seja f : E → R uma aplicação contı́nua definida sobre a esfera E. Considere (x, y, z) e (x, , y , , z , ) as coordenadas dos pontos diametralmente opostos em E, com isso, defina g : E → R dada por
g(x, y, z) = f (x, y, z) − f (x0 , y 0 , z 0 ). Como f é contı́nua, então g também é
contı́nua, além disso, tomando (x, y, z) = (x0 , y 0 , z 0 ) temos
g(x0 , y 0 , z 0 ) = f (x0 , y 0 , z 0 )−f (x, y, z) = −(f (x, y, z)−f (x0 , y 0 , z 0 )) = −g(x, y, z).
Assim, segue que g têm sinais opostos em (x, y, z) e (x0 , y 0 , z 0 ), ou ainda,
g(x0 , y 0 , z 0 ) = −g(x, y, z) = 0. Se g(x, y, z) = 0 então g(x, y, z) = f (x, y, z) −
f (x0 , y 0 , z 0 ) = 0 o que implica f (x, y, z) = f (x0 , y 0 , z 0 ) e o teorema está demonstrado. Se g(x, y, z) 6= 0, como g é contı́nua segue do teorema do valor intermediário que, existe um ponto de coordenadas (x0 , y0 , z0 ) ∈ E tal que
g(x0 , y0 , z0 ) = 0, isto é, g(x0 , y0 , z0 ) = f (x0 , y0 , z0 ) − f (x00 , y00 , z00 ) = 0 então
f (x0 , y0 , z0 ) = f (x00 , y00 , z00 ). Portanto, em pontos diametralmente opostos em
uma esfera as imagens serão iguais.
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Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência
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Uma conclusão curiosa é que
se considerarmos a superfı́cie da
Terra como sendo uma esfera
e a função contı́nua g como
sendo a velocidade do vento
nos pontos (x, y, z) de sua superfı́cie, podemos concluir que
existe, em cada instante, um par
de pontos diametralmente opostos com mesma velocidade. O
mesmo vale para temperatura
e pressão, consideradas como
funções contı́nuas.
Agradecimentos: Agradecemos ao prof. Doherty Andrade pelas sugestões
e correções ao texto.
Referências
[1] Figueiredo, Djairo G., Análise I, editora L.T.C., Rio de Janeiro, 1974.
[2] D. Andrade. Notas de Aula de Análise Real, UEM, 2002.