O argumento da neutralidade de risco para obter
a equação de Black e Scholes
Aqui vou deduzir novamente a equação de Black e Scholes usando um argumento conhecido como o da neutralidade de risco. Então, considere que a
dinâmica do preço da ação seja dada pelo movimento browniano geométrico:
dS
= ρSdt + σSdW,
com σ > 0 e ρ constantes reais. Aqui, para facilitar a notação, estou usando,
para o preço da ação,
S
= S (t)
e, para o processo de Wiener padrão,
W
= W (t) .
O preço c da opção de compra do tipo europeu deve depender do preço da
ação e do tempo e, portanto, escrevemos
c = c (S, t) .
Usando o lema de Ito, obtemos
dc
∂c
1 ∂2c
∂c
2
dt +
dS +
(dS) ,
∂t
∂S
2 ∂S 2
=
isto é,
(
dc
=
∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
+ ρS
+
S
∂t
∂S
2
∂S 2
)
dt + σS
∂c
dW,
∂S
já que
2
(dS)
=
2
(σSdW ) = σ 2 S 2 dt.
Apenas por analogia com a dinâmica estocástica da ação de preço S, podemos
definir as funções:
(
)
1 ∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
ρc =
+ ρS
+
S
c ∂t
∂S
2
∂S 2
e
σc
σS ∂c
.
c ∂S
=
Então, a equação para o preço da opção que acabamos de obter acima,
(
)
∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
∂c
dc =
+ ρS
+
S
dt + σS
dW,
∂t
∂S
2
∂S 2
∂S
1
pode ser reescrita assim:
dc
=
ρc cdt + σc cdW,
de forma análoga à equação do preço da ação. Note que, em princípio, ρc e σc
podem ser funções complicadas do preço da ação e do tempo.
Vamos montar uma carteira que não tenha perdas pela compra de σc c ações
e pela venda simultânea, a descoberto, de σS opções. O valor dessa carteira é
dado por
Π
=
(σc c) S − (σS) c = (σc − σ) Sc.
Depois de decorrido um intervalo de tempo dt, mas mantendo inalteradas as
quantidades σc c e σS de ações compradas e opções vendidas, respectivamente,
obtemos:
dΠ
=
(σc c) dS − (σS) dc,
isto é,
dΠ
=
(σc c) (ρSdt + σSdW ) − (σS) (ρc cdt + σc cdW ) ,
ou seja,
dΠ
=
ρσc Scdt + σσc ScdW − ρc σScdt − σσc ScdW,
ou ainda,
dΠ =
ρσc Scdt − ρc σScdt = (ρσc − ρc σ) Scdt.
No entanto, supondo que o mercado seja tão eficiente que não seja possível haver
oportunidades de lucro sem risco, impomos:
dΠ =
rΠdt,
onde r é a taxa de juros livre de risco. Lembre-se que já utilizamos esse argumento na postagem O princípio do hedging sem risco e a teoria de Black, Scholes e Merton.
Assim, como vimos que
dΠ = (ρσc − ρc σ) Scdt,
igualamos essas duas equações para a variação do valor da carteira hipotética e
obtemos
(ρσc − ρc σ) Scdt
= r (σc − σ) Scdt,
isto é,
ρσc − ρc σ
= r (σc − σ) ,
2
ou seja,
ρc − r
σc
=
ρ−r
,
σ
ou ainda,
ρc −
ρ−r
σc − r
σ
=
0.
Mas lá em cima definimos as quantidades
(
)
1 ∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
ρc =
+ ρS
+
S
c ∂t
∂S
2
∂S 2
e
σc
σS ∂c
,
c ∂S
=
cuja substituição em
ρc −
ρ−r
σc − r
σ
= 0
leva ao seguinte resultado:
(
)
1 ∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
ρ − r σS ∂c
+ ρS
+
S
−
−r
c ∂t
∂S
2
∂S 2
σ
c ∂S
=
0.
Multiplicando ambos os membros por c resulta na equação:
∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
∂c
+ ρS
+
S
− (ρ − r) S
− rc
∂t
∂S
2
∂S 2
∂S
= 0,
isto é,
∂c σ 2 2 ∂ 2 c
∂c
+
S
+ rS
− rc
∂t
2
∂S 2
∂S
=
0,
que é a equação de Black e Scholes.
Você notou que na equação de Black e Scholes não aparece ρ? É como se a
única taxa de juros fosse r, isto é, a livre de risco. Veja também que, a expressão
que define a função ρc , isto é,
(
)
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
1 ∂c
+ ρS
+
S
,
ρc =
c ∂t
∂S
2
∂S 2
pode ser escrita assim:
∂c
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
+ ρS
+
S
− ρc c =
∂t
∂S
2
∂S 2
3
0,
que é parecida, nessa forma, com a equação de Black e Scholes. Se dissermos
que a única taxa de juros que entra na formulação é r e, portanto, tomarmos
ρ
= ρc = r,
a equação
∂c
σ2 2 ∂ 2 c
∂c
+ ρS
+
S
− ρc c
∂t
∂S
2
∂S 2
= 0
tornar-se-á a de Black e Scholes. Esse é o argumento da neutralidade de risco.
Como o retorno esperado para a ação é dado em termos de ρ, mas essa grandeza
não aparece na precificação da opção, então os investidores podem supor qualquer retorno esperado e, assim mesmo, chegar ao preço justo da opção. Todos
os investidores, em princípio, podem montar uma carteira que elimina o risco
da ação com a venda da quantidade certa de opções e isso possibilita a precificação das opções independentemente da percepção de risco de cada um. Não é
impressionante? Veja, no entanto, que a precificação depende da volatilidade σ
da ação.
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