Determinação
da Latitude e da
Declinação
11
05
06
R. Boczko
IAG-USP
Latitude j e
Longitude l
PN
Greenwich
j l
j<0
PS
Movimento noturno aparente
olhando ao Sul
24 horas
20 horas
22 horas
Pólo Sul
Sul
Leste
Oeste
Latitude Austral
Z
PS
E
N
j
S
W
Movimento noturno aparente olhando ao
Norte desde o HS
20 horas
24 horas
22 horas
Leão
Norte
Oeste
Leste
Movimento noturno aparente de
uma estrela circumpolar norte
Pólo Norte
Norte
Oeste
Leste
Latitude Boreal
Z
PN
j
L
N
S
W
Nadir
Latitude astronômica e/ou geográfica
Zênite
PS
jA Horizonte
j  hPN
PS
jG x
jA
j = - hPS
Horizonte
PN
Equador
PS
PN
jA = jG
Trajetórias
diurnas das
estrelas
Trajetórias
diurnas
paralelas
PNC
Eixo de
rotação
PN
PS
N
PSC
L
Coordenadas Horárias e Equatoriais
Z
PN
p
M
a
g
W
d
H
Tipos de
Meridianos
Zênite
Meridiano
Zenital
Z
Horizonte
N
S
PV
Meridiano
Nadiral
Horizonte
Nadir
Z
E
N
Horizonte
S
PI
W
Nadir
Z
Latitude local
e
Declinação da estrela
através de
passagens meridianas
(Método geométrico)
Latitude e declinação no HN
hp = (hs + hi) / 2
j  hp
CS
Se a
culminação
superior se
der ao sul do
zênite:
hs = 1800 - hCS
PN
p
p
d
Equador
hs
PN
Z
PN
hp
p = (hs - hi) / 2
d = 900 - p
Oeste
CI
hi
N
hs
hCS
S
N
Leste
Latitude e declinação no HS
hp = (hs + hi) / 2
j = - hp
CS
PN
Equador
d
r
hs
PS
r
Se a
culminação
superior se
der ao norte
do zênite:
hs = 1800 - hCS
Z
PS
PS
r = (hs - hi) / 2
d=-
(900
- r)
hp
CI
hi
hCS
N
hs
S
S
Leste
Oeste
Restrições à determinação da Latitude e
da Declinação através de passagens
meridianas
No Verão, quando
a noite é curta, o
processo não
funciona pois não
se pode ver as 2
culminações
meridianas num
mesmo dia.
CS
P
CI
Obtenção do pólo
visível através de
culminações
Obtenção do pólo norte com
Culminações
Z
PN
a d
CS
M
CI
N
Horizonte
S
Obtenção do pólo sul com
Culminações
CS
Z
PS
M
CI
N
a d
Horizonte
S
Latitude local
e
Declinação da estrela
através de
passagens meridianas
(Método algébrico)
Culminações
ou passagens
meridianas
Culminação ou passagem meridiana
Z
Na passagem
meridiana
superior:
H  0.
PN
M
L
Horizonte
Na passagem
meridiana
inferior:
H  180o.
S
W
PS
Passagens meridianas no HN
Z
Na passagem
meridiana
superior:
H  0.
PN
Na passagem
meridiana
inferior:
M
L
H  180o.
N
Horizonte
S
W
Observador no
Hemisfério Norte
PS
Passagens meridianas no HS
Na passagem
meridiana
superior:
H  0.
Z
PS
Na passagem
meridiana
inferior:
M
L
H  180o.
Horizonte
N
S
W
PN
Observador no
Hemisfério Sul
Convenção de sinais na
passagem meridiana
Z
Z: positivo ao norte do
zênite
Z: negativo ao sul do
zênite
Z>0
N
Z
E
N
Horizonte
W
Nadir
S
Z<0
Horizonte
S
Culminações no HN
Culminação inferior
Culminação superior
Z
j + zi + d = 180o
-zs = j – d
PN
zi = 180o - d - j
zs = d - j
j
-Zs
j
N
Zi
d
Horizonte
d
S
Latitude e declinação no HN
zs = d - j
zi = 180o - d - j
Obtenção da latitude local
Somando membro a membro
zi + zs = 180o - 2j
j = +90o – (zi + zs) / 2
Obtenção da declinação do astro
Subtraindo membro a membro
zi - zs = 180o - 2d
d = +90o – (zi - zs) / 2
Culminação superior
Culminações no HS
Z
zs = (-j) – (-d)
Culminação inferior
PS
zs = d - j
(-j) + (-zi) + (-d) = 180o
+Zs
-j
-d
N
zi = -180o - d - j
-Zi
-j
Horizonte
S
-d
Latitude e declinação no HS
zs = d - j
zi = -180o - d - j
Obtenção da latitude local
Somando membro a membro
zi + zs = -180o - 2j
j = -90o – (zi + zs) / 2
Obtenção da declinação do astro
Subtraindo membro a membro
zi - zs = -180o - 2d
d = -90o – (zi - zs) / 2
Latitude e declinação
Hemisfério Norte
j = +90o – (zi + zs) / 2
d = +90o – (zi - zs) / 2
Hemisfério Sul
j = -90o – (zi + zs) / 2
d = -90o – (zi - zs) / 2
Fórmulas gerais
j =  90o – (zi + zs) / 2
+ : observador no HN
- : observador no HS
d =  90o – (zi - zs) / 2
+ : astro no HN
- : astro no HS
Latitude e declinação
a d
Enunciado:
Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no
sentido horário. Na culminação superior X está a 20o ao norte do
zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70o ao sul do zênite.
Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude
astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a
declinação da estrela X.
zs = +20o
zi = -70o
Pólo Sul
Sul
Oeste
Leste
Sentido horário
Hemisfério Sul
j =  90o – (zi + zs) / 2
d =  90o – (zi - zs) / 2
+ : observador no HN
- : observador no HS
+ : astro no HN
- : astro no HS
j = - 90o – (zi + zs) / 2
d = - 90o – (zi - zs) / 2
j = - 90o – ([-70] + [+20]) / 2
d = - 90o – ([-70] - [+20]) / 2
j = - 90o – (- 50) / 2
d = - 90o – (- 90) / 2
j = - 90o + 25
d = - 90o + 45
jAst= jGeo = - 65o
d = - 45o
Determinação do
centro e do raio de
uma
circunferência
Determinação do centro O e do
raio R de uma circunferência
Mediatriz
B
N
Mediatriz
M
O
A
R = OA = OB = OC
C
Equação de uma circunferência de
centro (xc,yc) e raio R
y
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
R
yC
O
C
xC
x
Circunferência dada por 3 pontos
y
y2
r
y3
yC
C
y1
O
x1 x2
xC
x3
x
Como obter o xc e yc do centro da circunferência
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2
(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2
Igualar:
D  (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2
k  (x12 - x22 + y12 - y22) / 2
yc = [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2)
xc = [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2)
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2
q  (x32 - x22 + y32 - y22) / 2
yc = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)
Igualar:
xc = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)
[k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)
xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D
[k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)
yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D
Obter o centro e o raio da
circunferência
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2
(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2
Sejam:
k = (x12 - x22 + y12 - y22) / 2
q = (x32 - x22 + y32 - y22) / 2
D = (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)
xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D
yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D
R2 = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2
Meridiano Local,
Latitude local
e
Declinação da estrela
através de 3 observações
Meridiano, Latitude e Declinação
no HS
r
h2
PS
Mira
hp
h1
ap S
h3
a3
a2
Leste
a1
Oeste
Meridiano, Declinação e
Latitude
Do céu
Escala
para o papel C (cm)
G --> C
ai --> xi
Do papel
para o céu
G (graus)
C --> G
xp --> ap
r’
P
G --> C
hi --> yi
C --> G
yp --> hp
y2
y3
yp
y1
x1
j = - hp
C --> G
r’ --> r
x2
xp
x3
d = - (90 - r)
Restrições à determinação da Latitude e
da Declinação através de 3 medidas
A estrela não
pode estar muito
afastada do pólo
P
O local não pode
estar muito
afastado do
equador
Astronomia a
serviço da polícia
Ângulo entre
o equador e
PS
o horizonte
Z
90- j
90- j
E
Nascer
j
j
N
j
90- j
90- j
S
90- j
W
Ocaso
Ângulo entre o
equador e o plano
do horizonte: 90o - j
Leste
Norte
Leste
Sul
Norte
Sul
Oeste
Oeste
Observador no Hemisfério Sul
Observador no Hemisfério Norte
Nascer do Sol
N
Horizonte
L
Visto por um observador
no Hemisfério Sul
S
N
Horizonte
L
Visto por um observador
no Hemisfério Norte
S
Leste
Norte
Leste
Sul
Norte
Sul
Oeste
Oeste
Observador no Hemisfério Sul
Observador no Hemisfério Norte
Ocaso do Sol
S
Horizonte
W
Visto por um observador
no Hemisfério Sul
N
S
Horizonte
W
Visto por um observador
no Hemisfério Norte
N
Seqüestradores distraídos
900- j
Mapa do crime!
Local do seqüestro
Cativeiro dentro
desse círculo
j
Tempo sideral
Tempo sideral
Z
PN
M
Tempo sideral é o
ângulo horário do
ponto g
TS
Horizonte
W
S
g
TS = Hg
Determinação da
Ascensão Reta
Ascensão reta com passagem
meridiana
Z
PN
M
a
Horizonte
g
W
d
TS = Hg
TS = a + H
Na passagem
meridiana
H
S
superior:
H = 0.
Logo:
a = TSPMS
Fim