Prof Jean
CURSO-CPCE
CURSO PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS EM
ELETROTÉCNICA – CPCE
ELETRICIDADE
AULA 7
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS:
•
•
•
•
•
•
•
•
Divisor de tensão
Divisor de corrente
Leis de Kirchhoff
Corrente de malha
Tensões nodais
Teorema de Thevénin e Norton
Superposição
Máxima transferência de potência
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23 de maio de 2007
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7 - TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS
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7.1 – Divisor de tensão
O divisor de tensão é aplicado em circuitos de uma malha onde os elementos passivos estão em série.
Ele é usado para calcular a QUEDA DE TENSÃO sobre um dos elementos em série a partir do valor
da tensão aplicada sobre todos os elementos em série e dos seus valores em ohm.
ou
VR1 =
V
.R1
R1 + R2 + R3
VR 2 =
V
.R2
R1 + R2 + R3
VR 3 =
V
.R3
R1 + R2 + R3
Exemplo: Calcule a queda de tensão no resistor de 3Ω do circuito abaixo.
Solução: V3Ω =
42
42
.3 = .3 = 3 .3 = 9 V
1 + 3 + 10
14
7.2 – Divisor de corrente
O divisor de corrente é aplicado em circuitos de duas malhas onde os elementos passivos estão em
paralelo. Ele é usado para calcular a CORRENTE em um dos elementos em paralelo a partir do valor
da corrente total que alimenta os elementos em paralelo e dos seus valores em ohm.
I R1 =
R2
.I
R1 + R2
I R2 =
R1
.I
R1 + R2
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Exemplo: Calcule a corrente que flui pelo resistor de 2Ω e de 5
Solução:
I10Ω =
5
5
.15 = .15 = 5 A
10 + 5
15
I 5Ω =
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10
10
.15 = .15 = 10 A
10 + 5
15
7.3 – Leis de Kirchhoff
7.3.1 – Lei de Kirchhoff para tensão (LKT)
Essa lei é também conhecida como a lei das malhas e afirma que a soma das tensões (observando os
sinais das tensões) em uma malha fechada é NULA.
Obs.:
• O sentido das quedas de tensões é contrário a o da corrente nos elementos passivos.
• A malha é qualquer caminho fechado de um circuito independentemente do caminho conter ou
não fonte de tensão ou de corrente.
• A LKT pode ser aplicada tanto para CORRENTE CONTÍNUA como para CORRENTE
ALTERNADA em circuitos que contém R, L e/ou C.
Aplicando a LKT: V1 – VR1 – V2 –VR2 + V3 – VR3 = 0
A partir da equação da LKT acima, pode-se calcular o valor de uma das seis tensões se cinco delas
foram conhecidas.
Exemplo: Calcule a tensão V no circuito da figura abaixo.
Solução:
LKT: 15 – (1 . 1) – V – (1 . 2) + 8 – (1 . 5) = 0
15 – 1 – V – 2 + 8 – 5 = 0
- V = - 15 + 1 + 2 – 8 + 5
- V = - 15
V = 15 V
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Obs.: Ao escrever a equação da LKT, a primeira tensão será tida como a de referência para as demais.
Aquelas tensões que forem contrarias a ela serão tidas como negativas (-) e as que estiverem no
mesmo sentido que ela serão positivas (+). No exemplo acima, a primeira tensão da LKT foi 15V com
o sentido de baixo para cima ou sentido horário. Não há critérios para a escolha da primeira tensão,
qualquer uma delas poderia ser a primeira tensão da equação da LKT.
7.3.2 – Lei de Kirchhoff para corrente (LKC)
Essa lei é também conhecida como a lei dos nós e afirma que a soma das correntes que entram em um
nó é igual à soma das correntes que saem desse nó.
Aplicando a LKC no nó A: I1 = I2 + I3 + I4
Aplicando a LKC no nó B: I3 + I4 = I5
Aplicando a LKC no nó C: I2 + I5 = I1
Exemplo: Calcule a corrente IR5
Solução:
LKC no nó B: I3 + 3 = I5, para determinar I5, tem que calcular I3 primeiro.
LKC no nó A: 10 = 3 + I3 + 5 => I3 = 10 -3 -5 = 2 A, logo,
Nó B: 2 + 3 = I5, I5 = 5A
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7.4 – Correntes de malhas
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Esse método permite calcular as correntes reais do circuito a partir das de malhas reduzindo assim, o
número de equações necessárias para o cálculo dessas correntes(reais).
Ele consiste em escolher algumas malhas através das quais irão fluir as CORRENTES DE MALHAS.
O sentido dessas correntes é arbitrário, mas geralmente se adota o sentido horário. O método aqui
abordado é usado em conjunto com as leis de Kirchhoff.
A corrente de malha I1 só flui através dos elementos V1, R1 e R3, enquanto a corrente de malha I2 flui
por R3 , R2 e V2.
Exemplo: Calcule as correntes reais IR1, IR2 e IR3
Solução:
Aplicando a técnica das correntes de malha nas duas malhas temos:
MALHA 1:
Escrevendo a Lei de Kirchhoff para a Tensão
V1 – R1.I1 – R3.(I1 – I2) = 0
58 – 4.I1 – 3.(I1 – I2) = 0
58 - 4.I1 - 3.I1 + 3.I2 = 0
- 7I1 + 3.I2 = -58
Multiplicando os dois lados da equação por -1 temos:
7I1 - 3.I2 = 58
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MALHA 2:
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Escrevendo a LKT
V2 + R2.I2 + R3.(I2 – I1) = 0
10 + 2. I2 + 3. (I2 – I1) = 0
10 + 2.I2 + 3.I2 – 3I1 = 0
10 + 5.I2 -3.I1 = 0
-3.I1 + 5.I2 = - 10
Multiplicando os dois lados da equação por -1 temos:
3.I1 - 5.I2 = 10
Agora, juntando as duas equações:
(1) 7I1 - 3.I2 = 58
(2) 3.I1 - 5.I2 = 10
Vamos procurar eliminar uma das duas variáveis. Para isso, podemos multiplicar a equação (1) por 5,
a (2) por 3 e depois subtrair a equação (2) da (1). Assim, iremos eliminar a corrente I2
(1) 5x(7I1 - 3.I2 = 58)
(2) 3x(3.I1 - 5.I2 = 10)
(1) 35I1 - 15.I2 = 290
(2) 9.I1 - 15.I2 = 30
------------------------------------(1) – (2) = 26.I1
= 260 => I1 = 10A
Substituindo o valor de I1 encontrado na equação (1), temos:
7.10 – 3.I2 = 58
70 - 3.I2 = 58
- 3.I2 = 58 – 70
- 3.I2 = -12
I2 = 4 A
Cálculo das correntes reais:
IR1 = I1 = 10 A
IR2 = I2 = 4 A
IR3 = I1 – I2 = 10 – 4 = 6 A
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7.5 – Análise das tensões nodais
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Nesse método, é possível determinar os valores de tensão em algum nó ou fonte de tensão e
correntes no circuito se foram conhecidos os valores dos elementos passivos do circuito e de algumas
tensões.
Os nós B e T são nós principais (são nós que têm três ou mais conexões). O nó T é o nó de referência,
pois é aterrado.
VA é a tensão entre o nó A e a referência T
VB é a tensão entre o nó B e o T
VC é a tensão entre o nó C e o T
A tensão entre os nós A e B, (VA-VB) é a queda de tensão sobre o resistor R1, VA-VB = VR1
A tensão entre os nós C e B, (VC-VB) é a queda de tensão sobre o resistor R2, VC-VB = VR2
A tensão entre os nós B e T, (VB-VT = VB, pois VT = 0 V) é a queda de tensão sobre o resistor R3 ,
VB = VR3
Sendo assim,
I R1 =
VR1 V A − VB
=
R1
R1
I R2 =
VR 2 VC − VB
=
R2
R2
I R3 =
VR 3 VB
=
R3 R3
Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente.
Agora, pode-se escrever a Lei de Kirchhoff para corrente (LKC), em função das tensões e resistências,
em qualquer nó desejado.
Exemplo: Resolve a questão do exemplo do item 7.4 usando a analise das tensões nodais
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Solução:
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a) Determinação da tensão VB
Aplicando a LKC no nó B: IR1 + IR2 = IR3
IR3 = IR1 + IR2
VB
V −V
V − VB
= A B + C
, onde VA= 58V, VC = 10 V
R3
R1
R2
VB
58 − V B
10 − V B
=
+
3
4
2
Multiplicando cada termo por 12, tem-se:
12 x
(58 − V B )
(10 − V B )
VB
+ 12 x
= 12 x
3
4
2
4.VB = 3.(58 − VB ) + 6.(10 − VB )
4VB = 174 – 3VB + 60 – 6VB
13VB = 234
VB = 18 V
b) Determinação das quedas de tensão
VR1 = VA – VB = 58 – 18 = 40 V
VR2 = VC – VB = 10 – 18 = - 8 V
VR3 = VB = 18 V
c) Determinação das correntes
I R1 =
VR1 40
=
= 10 A
R1
4
I R2 =
VR 2 − 8
=
= − 4A
R2
2
I R3 =
VR 3 18
= = 6A
R3
3
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Obs.: O sinal negativo da corrente IR2 é devido ao fato do sentido adotado para esta corrente (sentido
para a esquerda) não é o correto (o certo seria o sentido para a direita).
7.6 – Teorema de Thévenin
Ele permite reduzir um circuito de várias malhas (circ. Complexo, fig1), visto entre dois pontos
quaisquer (a e b, por exemplo), em um circuito de apenas uma malha, fig2. Se quisermos determinar a
corrente I no resistor de 6 Ω da fig. 1, seu cálculo será mais fácil se usarmos o circuito equivalente de
Thévenin. Para determinar o circuito equivalente de Thévenin, basta calcular a tensão de Thévenin
(VTh) e a resistência de Thévenin (RTh).
=>
Fig.1: Circuito de várias malhas
Fig. 2: Circuito equivalente de Thévenin
(circuito de uma malha)
7.6.1 – Regras para determinar VTh e RTh
As regras serão apresentadas resolvendo o exemplo a seguir.
Exemplo1: Calcule a corrente I no circuito abaixo.
Fig. 3
•
Determinação de VTh
Olhando para o circuito, observa-se que os pontos a e b devem estar sobre o resistor de 10 Ω
Fig. 4
9
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1ª regra: O elemento, passivo ou ativo, entre a e b (se houver) deve ser retirado.
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Fig. 5
2ª regra: Nesta nova configuração, calcular a tensão entre a e b, e ela será a VTh (Vab = VTh)
Fig. 6
Solução: A tensão entre a e b é a queda de tensão sobre o resistor de 40Ω (V40), a qual pode ser
calculada aplicando a técnica do divisor de tensão, pois os dois resistores estão em série.
VTh = Vab = V40 =
54
.40 = 43,2 V
10 + 40
VTh = 43,2 V
•
Determinação de RTh
1ª regra: O elemento, passivo ou ativo, entre a e b (se houver) deve ser retirada.
Fig. 7
2ª Regra: Todas as fontes independentes de tensão e de corrente devem ser desativadas
Para desativar a fonte de tensão: Coloque uma chave fechada no seu lugar.
Para desativar a fonte de corrente: Coloque uma chave aberta no seu lugar.
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Fig. 8
3ª Regra: Calcule a Req vista por uma fonte de tensão colocada entre a e b (Rab), Rab = RTh
Os dois resistores estão em paralelo.
Rab = RTh =
10x 40
=8Ω
10 + 40
RTh = 8 Ω
Circuito equivalente de Thévenin encontrado:
Fig. 9
I=
VTh
43,2
=
= 2,4 A
RTh + 10 8 + 10
7.7 – Teorema de Norton
Ele permite reduzir um circuito de várias malhas (circ. Complexo, fig1), visto entre dois pontos
quaisquer a e b, por exemplo, em um circuito de duas malhas, fig10. Onde, IN é a corrente de Norton e
RN a resistência de Norton. A corrente entre os pontos a e b poderá ser calculada aplicando a técnica
de divisor de corrente.
Fig. 10: Circuito equivalente de Norton do circ. da fig.1
Obs.: Existe uma relação entre o teorema de Thévenin e a de Norton. Conhecendo um, conhece o
outro.
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7.8- Relação entre Thévenin e Norton.
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Fig. 11: Modelo de Thévenin
Fig. 12: Modelo de Norton
Obs: A corrente de Norton (IN) é também conhecida como CORRENTE DE CURTO-CIRCUITO
(Icc ou Isc), pois pode ser determinada colocando os terminais a e b em curto e a corrente de curto entre
a e b, nessa condição de curto, será a de Norton (IN).
Resolvendo o circuito da fig. 4 pelo teorema de Norton:
Exemplo 2: Calcule a corrente sobre o resistor de 10 Ω no circuito abaixo.
Fig. 13
Solução:
Usando os valor de RTh e de VTh obtidos anteriormente (no item 4.6.1), temos:
RN = RTh = 8 Ω
IN = VTh/RTh = 43,2/8 = 5,4 A, ou se quisermos obter IN através do calculo da corrente de curtocircuito, temos:
Fig. 14
ICC = IN = 54/10 = 5,4 A
12
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Fig. 15
RN
8
Aplicando o divisor de corrente: I = R + 10 .I N = 8 + 10 .5,4 = 2,4 A
N
7.9 – Teorema de superposição:
Ele é usado para calcular tensão ou corrente sobre um dado elemento quando o circuito tem duas ou
mais fontes ativas. Neste caso, o problema é resolvido calculando a contribuição de cada fonte, por
vez, (as demais fontes devem ser desativadas e podem ser desativada da seguinte forma: Fonte de
tensão: chave fechada; Fonte de corrente: chave aberta.)
A corrente ou a tensão procurada será a soma (a soma deve ser feita observando as polaridades das
tensões e o sentido das correntes) das contribuições de cada uma das fontes.
Tensão:
V1
V2
V1
V2
=> Soma = V1 - V2
=> Soma = V1 + V2
Corrente:
I1
I2
I1
I2
=> Soma = I1 - I2
=> Soma = I1 + I2
Exemplo 3: Calcule a corrente I3 no resistor R3 aplicando o teorema de superposição.
Fig. 16
13
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Solução:
•
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Contribuição da fonte de tensão V = 10 V:
Fig. 17
V
10
Como a fonte de tensão enxerga R1 em série com R3 , logo I V = R + R = 4 = 2,5 A
1
3
•
Contribuição da fonte de corrente de 1A:
Fig. 18
Para calcular ICb pode-se aplicar a técnica do divisor de corrente, pois R1 e R3 estão em paralelo.
I Cb =
•
R1
2
.1 =
.1 = 0,5 A
R1 + R3
2+2
Determinação da corrente I3 a partir da contribuição de cada fonte:
Fig. 19
I3 = ICb – ICa = 0,5 – 2,5 = - 2 A
O sinal negativo na corrente I3 indica que o sentido real do fluxo de corrente pelo resistor R3 é
contrário ao indicado (sobe, em vez de descer, pois Ica é maior que Icb).
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7.10 – Transferência máxima de potência:
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Uma fonte real (que tem uma resistência interna Rint diferente de zero) só fornecerá a potência máxima
a uma carga resistiva R conectada a ela através dos terminais a e b, se R = Rint.
Em um dado circuito, a fonte ou as fontes só fornecerão a máxima potência à carga R, se R = RTh do
circ. equivalente de Thévenin do circuito em questão.
Exemplo 4: Calcule o valor do resistor R do circuito a seguir para que a fonte transfere a máxima
potência possível à carga R e calcule o valor dessa potência.
Solução:
Com auxílio do exemplo 1, sabemos que o circuito equivalente de Thévenin do circ. acima entre os
pontos a e b produz uma tensão VTh = 43,2 V e RTh = 8 Ω
Para que a fonte de tensão forneça a potência máxima ao resistor R, R deve ser igual a RTh, ou seja R =
8Ω. Neste caso, a potência em questão será obtida da seguinte forma:
I=
VTh
43,2
=
= 2,7 A ⇒ Pmáx = R.I 2 = 8.(2,7) 2 = 58,32 W
RTh + R 8 + 8
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