Introdução
• Dois tipos de circuitos simples:
Circuitos Elétricos
– RC: Resistor e capacitor
– RL: Resistor e indutor
Circuitos de Primeira Ordem – Parte 1
Alessandro L. Koerich
Engenharia de Computação
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR)
• A análise destes circuitos é feita aplicando a Lei
de Kirchhoff
– Circuitos resistivos: equações algébricas
– Circuitos RC e RL: equações diferencias de 1a ordem
Introdução
• Existem duas maneiras de excitar circuitos RC e RL:
Circuito RC sem Fonte
•
A fonte CC é abruptamente desconectada. A energia armazenada
no capacitor é liberada para os resistores.
•
Assumimos que a tensão sobre o capacitor é v(t). Como ele está
inicialmente carregado, em t=0 temos:
0 = 0
•
Sendo que a energia armazena será:
1
0 =
2
1. Circuitos sem fontes: Pela condição inicial dos elementos
armazenadores de energia
•
A energia armazena nos capacitores e indutores provoca a
circulação de uma corrente e esta energia é gradualmente
dissipada nos resistores
2. Circuitos com fontes independentes
0
Circuito RC sem Fonte
• Aplicando a LCK no nó superior temos:
então:
Circuito RC sem Fonte
• Rearranjando e integrando ambos os lados da equação,
temos:
onde ln A é a constante de integração, então:
ou
• Fazendo a potência de e:
• Esta é uma equação diferencial de 1a ordem, pois
somente a primeira derivada de v está envolvida.
• Mas, da condição inicial v(0) = A = V0, então:
0
Circuito RC sem Fonte
Circuito RC sem Fonte
0
•
A resposta de tensão do circuito RC é uma exponencial decrescente
a partir da tensão inicial.
• Em t=0 temos a condição inicial correta
• Com o aumento de t, a tensão decresce para 0.
• A velocidade com que a tensão decresce é expressa em
termos da constante de tempo τ.
A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para a
resposta decair por um fator 1/e ou 36,8% de seu valor inicial
• Isso implica que em t = τ, temos:
0
•
É a resposta natural do circuito, pois depende da energia inicial
armazenada e das características físicas do circuito.
ou
0
0
Circuito RC sem Fonte
•
Circuito RC sem Fonte
Em termos da constante de tempo podemos escrever:
=
0
•
Podemos calcular a razão v(t) / V0 para vários valores de t:
•
Consideramos que o capacitor está completamente descarregado
(ou carregado) após 5 constantes de tempo:
5
Circuito RC sem Fonte
•
A corrente no resistor em função de v(t) será:
=
•
( )
=
•
Considere a conexão em série de um resistor e um indutor.
•
Objetivo:
0
A potência dissipada no resistor é:
=
Circuito RL sem Fonte
– Determinar a resposta do circuito: a
corrente i(t) através do indutor
=
•
•
A energia absorvida pelo resistor é:
=
1
2
(1 −
Em t = 0 assuminos que o indutor tem um corrente inicial I0, ou:
0 =
)
e a energia armazenada no indutor:
0 =
1
2
0
Circuito RL sem Fonte
•
•
Aplicando a LCK no laço temos:
• Mas
e
Circuito RL sem Fonte
A constante de tempo para o circuito RL é:
onde a unidade de τ é segundos.
, então:
ou
•
Rearranjando os termos e integrando:
( )
0
/
0
•
•
Esta expressão mostra que a resposta natural de um circuito RL é
uma exponencial decrescente do valor corrente inicial.
Circuito RL sem Fonte
•
A tensão sobre o resistor em função de i(t) será:
=
•
0
A potência dissipada no resistor é:
=
•
=
=
A energia absorvida pelo resistor é:
=
1
2
(1 −
)
Podemos então reescrever a equação da corrente como:
=
0
/