RESOLUÇÃO E FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS: CAMINHOS PARA O
DESENVOLVIMENTO DA CRIATIVIDADE EM MATEMÁTICA 1
Cleyton Hércules Gontijo – UCB
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho tem por finalidade apresentar uma breve revisão
da literatura sobre criatividade em matemática destacando a
resolução de problemas (problem solving) e a formulação de
problemas (problem posing), como metodologias que possibilitam o
desenvolvimento do potencial criativo em matemática.
Palavras-chave:
resolução
de
problemas,
formulação
de
problemas,
criatividade em Matemática.
INTRODUÇÃO
Na
literatura
internacional
encontramos
publicações
que
tratam
do
desenvolvimento e da avaliação da criatividade em Matemática. Estes estudos
têm privilegiado a resolução de problemas (problem solving) e a formulação de
problemas (problem posing) como estratégias didático-metodológicas que
possibilitam o desenvolvimento da criatividade matemática e ao mesmo tempo,
possibilitam avaliar esta criatividade.
No Brasil, infelizmente, encontramos poucos trabalhos que buscaram investigar
a criatividade em Matemática. Nesta área, destacam-se os trabalhos realizados
por Dante (1980, 1988) relacionados à criatividade e à resolução de problemas
em matemática. Cabe ressaltar que vários estudos têm sido conduzidos com o
objetivo de discutir a metodologia da resolução de problemas como estratégia
1
Este artigo é uma pequena síntese da revisão de literatura realizada pelo autor para a sua
tese que está sendo elaborada no Instituo de Psicologia da Universidade de Brasília, intitulada
“Relação entre criatividade, motivação e criatividade em matemática de alunos de ensino
médio”.
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para organizar o trabalho pedagógico com a Matemática (Brito, 2006; Lopes e
Brenelli, 2001; Onuchic, 1999; Onuchic & Allevato, 2004; Taxa-Amaro, 2006).
Todavia, estes estudos não têm enfocado aspectos relacionados ao processo
criativo.
Devido à pouca produção acadêmica nesta área, um dos desafios da pesquisa
em criatividade em matemática é a constituição de um consenso sobre o que é
criatividade em matemática, por isso destacamos que não há uma definição
precisa para esta, de modo que muitas definições são encontradas. Ressaltase que as conceituações encontradas não são conflituosas entre si, mas que
destacam diferentes aspectos relacionados à criatividade.
Considerando esta diversidade de definições, este artigo tem por objetivo
apresentar algumas destas definições, e a partir delas, apresentar um conceito
para criatividade em matemática que articule aspectos significativos de cada
uma delas. Como forma de operacionalizar o conceito de criatividade em
matemática, apresenta-se também algumas metodologias que têm sido
apresentadas na literatura internacional como estratégias que potencializam o
desenvolvimento deste tipo de criatividade, que são a resolução de problemas
e a formulação de problemas.
Para a composição deste trabalho foram consultados diversos periódicos na
área da educação matemática que tinham artigos publicados referentes a
estudos teóricos e/ou empíricos sobre criatividade em matemática. Dentre os
trabalhos encontrados, destacam-se os de Haylock (1985, 1986, 1987a,
1987b), cujo foco é o desenvolvimento e avaliação da criatividade em
matemática, relacionado especialmente à resolução de problemas. Destacamse ainda, os trabalhos de Silver (1985, 1994), de Silver et al (1996), de Silver e
Cai (1996) e de English (1997a, 1997b), que dedicaram suas pesquisas na
análise das produções de elaboração de problemas por parte dos estudantes.
Ressalta-se que, em face da escassez de produções nesta área, todos os
trabalhos encontrados foram utilizados para subsidiar esta formulação.
Todavia, foram privilegiados os aspectos teóricos em relação aos estudos
empíricos para subsidiar uma reflexão inicial sobre este tema.
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Criatividade em Matemática
A criatividade em matemática, segundo Krutetskii (apud Haylock, 1987),
compreende a capacidade de formular problemas não complicados, encontrar
caminhos e meios para resolver estes problemas; inventar fórmulas e
teoremas, realizar de forma independente deduções de fórmulas e encontrar
métodos originais para resolver problemas não tradicionais.
Outra forma de compreender a criatividade em Matemática foi apresentada por
Aiken (apud Haylock, 1987), para quem a esta criatividade deve ser
compreendida sob a perspectiva do processo de produção matemática e sob a
perspectiva do produto elaborado. O primeiro aspecto refere-se ao processo
cognitivo envolvido no fazer matemática, concentrando-se nas qualidades do
pensamento que o qualificam como criativo. Isto pode estar relacionado com a
facilidade e a liberdade para mudar de uma operação mental para outra, ou
ainda, pela habilidade de analisar um problema sob diferentes caminhos,
observando
características
específicas
e
identificando
semelhanças
e
diferenças entre os elementos envolvidos. Pode-se ainda compreender este
primeiro aspecto como uma combinação entre idéias matemáticas, técnicas ou
abordagens utilizadas de formas não usuais.
O segundo aspecto concentra-se especificamente no produto, isto é, naquilo
que é possível observar. Assim, pode-se considerar a habilidade de criar um
produto original ou não usual, tais como métodos possíveis de serem aplicados
(e apropriados) para a solução de problemas matemáticos. Refere-se também
à capacidade de elaborar numerosas, diferentes e apropriadas questões
quando são apresentadas situações matemáticas por escrito, graficamente ou
na forma de uma seqüência de ações.
Criatividade matemática refere-se ainda, segundo Makiewicz (2004), à
atividade de construção, modernização e complementação do sistema de
conhecimento por meio da percepção de regularidades, sensibilidade a
problemas, formulação de hipóteses e elaboração de justificativas para
proposições. Este tipo de criatividade envolve várias formas de atividade
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humana, que podem ser desenvolvidas por meio das seguintes habilidades:
senso de proporção e simetria, habilidade para usar símbolos, visão espacial,
compreensão e uso de perspectivas, capacidade de análise, síntese e
pensamento abstrato.
Percebe-se que não existe um conceito preciso para criatividade em
Matemática, apesar da presença de aspectos comuns nas definições
apresentadas. Dessa forma, tomando algumas características presentes nas
definições citadas e outras relativas à criatividade, consideraremos a
criatividade em Matemática como a capacidade de apresentar inúmeras
possibilidades de solução apropriadas para uma situação-problema, de modo
que estas focalizem aspectos distintos do problema e/ou formas diferenciadas
de solucioná-lo, especialmente formas incomuns (originalidade), tanto em
situações que requeiram a resolução e elaboração de problemas como em
situações que solicitem a classificação ou organização de objetos e/ou
elementos matemáticos em função de suas propriedades e atributos, seja
textualmente, numericamente, graficamente ou na forma de uma seqüência de
ações.
Muitos autores apontam um trabalho do matemático Henri Poincaré como
sendo o pioneiro na área de criatividade matemática (Sriraman, 2004; Muir,
1988). Este trabalho foi um extensivo questionário publicado em 1902 no
periódico francês L’Enseigement Mathematique, cujo objetivo era conhecer
como os matemáticos da época percebiam o processo de criação em
matemática e quais os fatores que contribuíam neste processo.
Porém, o primeiro modelo que descreve o processo criativo em matemática foi
proposto por Hadamard (1945). Este modelo foi inspirado nos estágios
descritos por Wallas, em 1926, que compreende: preparação-incubaçãoiluminação-verificação. Hadamard preocupou-se em descrever estes estágios
relacionando-os ao trabalho criativo em Matemática. O primeiro estágio,
preparação, refere-se a um trabalho intensivo que visa compreender
profundamente o problema proposto.
O segundo, incubação, refere-se ao
período em que o problema é colocado “de lado” e que a mente passa a se
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ocupar de outro problema. No terceiro estágio, a solução do problema aparece
subitamente durante a execução de outras atividades não relativas à
matemática. É o período da iluminação. O quarto e último estágio consiste na
avaliação, depuração e julgamento de possíveis aplicações a partir dos
resultados encontrados. Este último estágio compreende ainda a comunicação
escrita ou verbal dos resultados. Surgiram várias críticas em relação a esta
seqüência de fases, mas esta concepção continua a ser base de compreensão
para o processo de resolução criativa (Morais, 2001).
Diferentemente de Hadamard, Ervynck (1991) descreve a criatividade
matemática em três estágios. O primeiro estágio (estágio 0) refere-se a um
estágio técnico preliminar, que consiste na aplicação técnica ou prática de
regras e fundamentos matemáticos sem que o indivíduo tenha uma
fundamentação teórica consistente. O segundo estágio (estágio 1) é o
momento de atividades algorítmicas, que consiste na aplicação explicita de
técnicas matemáticas por meio do uso de algoritmos repetidamente. O terceiro
estágio (estágio 2) refere-se à atividade criativa, considerado pelo autor como o
momento em que a verdadeira criatividade matemática ocorre e que consiste
na tomada de decisões sem o uso de algoritmos.
Mesmo considerando que diferentes concepções têm sido apresentadas
acerca do que é criatividade em matemática, os diversos autores têm
concordado que as estratégias mais eficazes para favorecer o seu
desenvolvimento referem-se ao emprego da resolução e da formulação de
problemas.
Resolução de Problemas
A adoção da resolução de problemas como estratégia de organização do
trabalho pedagógico com a matemática possibilita o desenvolvimento de
capacidades como: observação, estabelecimento de relações, comunicação,
argumentação e validação de processos, além de estimular formas de
raciocínio como intuição, indução, dedução e estimativa. Estas capacidades
são requeridas nas situações práticas do cotidiano dos estudantes, nas quais
os problemas requerem um conjunto de competências para solucioná-las. Essa
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opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha
significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e
trabalham para desenvolver estratégias de resolução.
O conceito de resolução de problemas na matemática remonta aos antigos
egípcios, chineses e gregos e é globalmente semelhante à resolução de
problemas na generalidade. Para Mason (1992), a resolução de problemas é
uma tentativa de resolver e reformular questões não estruturadas para as quais
nenhuma técnica específica ocorre. Lester (1980), a define como um conjunto
de ações levadas a cabo para desempenhar uma tarefa e Mayer (1985) a
considera como uma descoberta de um caminho que leva de uma situação a
outra e envolve uma série de operações mentais. Para Polya (1984), a
resolução de problemas é uma arte prática que todos podem aprender, é a arte
de fazer Matemática: “significa ter a capacidade para resolver problemas não
apenas rotineiros, mas problemas que requerem algum grau de originalidade e
criatividade”. Assim, a primeira e mais importante tarefa do ensino da
Matemática escolar é dar ênfase ao trabalho matemático na resolução de
problemas” (Polya, 1981, p. IX).
Os problemas, para que possam motivar o aluno e despertar sua criatividade,
não podem se caracterizar como aplicação direta de algum algoritmo ou
fórmula, mas devem envolver invenção e/ou criação de alguma estratégia
particular de resolução, pois, essa competência [matemática] não se
desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e
técnicas matemáticos, pois, neste caso, o que está em ação é uma simples
transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e
desenvolve passos análogos aos daquela situação, o que não garante que seja
capaz de utilizar seus conhecimentos em situações diferentes ou mais
complexas (Brasil, 1998).
A literatura sobre resolução de problemas nos sugere que o uso desta
metodologia possibilita o desenvolvimento de capacidades como: observação,
estabelecimento de relações, comunicação, argumentação e validação de
processos, além de estimular formas de raciocínio como intuição, indução,
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dedução e estimativa. Estas capacidades são requeridas nas situações
práticas do cotidiano dos estudantes, nas quais os problemas requerem um
conjunto de competências para solucioná-las. Segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática (Brasil, 1998), a opção por organizar o
trabalho pedagógico a partir da resolução de problemas “traz implícita a
convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os
alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver
estratégias de resolução” (p. 40).
Assim, acreditamos que, um problema, ainda que simples, poderá despertar o
interesse pela atividade matemática se proporcionar ao aluno o gosto pela
descoberta da resolução, estimulando, assim, a curiosidade, a criatividade e o
aprimoramento do raciocínio, ampliando o conhecimento matemático.
O ensino de matemática se torna mais interessante à medida que são
utilizados bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que
remetem a reprodução de fórmulas em situações que se distanciam do
contexto do aluno. Segundo os PCNs (Brasil, 1998), “a resolução de problemas
possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade
para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão
oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e
procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos
problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua
autoconfiança” (p. 40).
Na resolução de problemas, o tratamento de situações complexas e
diversificadas oferece ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo,
construir estratégias de resolução e argumentações, relacionar diferentes
conhecimentos e, enfim, perseverar na busca da solução. E, para isso, os
desafios devem ser reais e fazer sentido.
O modelo proposto por Polya (1986), para resolução de problemas, tem
inspirado muitos daqueles que buscam neste recurso um caminho para
conduzir o processo de aprendizagem em matemática. O modelo prevê quatro
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etapas para a resolução de um problema: (a) compreensão do problema, (b)
construção de uma estratégia de resolução, (c) execução da estratégia
escolhida e, (d) revisão da solução.
Durante o processo de resolução de problemas é necessário estimular o aluno
a ultrapassar os diversos obstáculos que vão surgindo no caminho para a
solução. Sternberg (1998) destaca três obstáculos mais freqüentes: a fixação
do sujeito numa estratégia ou método que foi aplicado em problemas
anteriores, mas que não se adequa ao novo problema a resolver; a fixidez
funcional que implica a incapacidade de reconhecer que algo (objeto ou
conceito) usado freqüentemente de um modo pode ser utilizado para uma
função ou significado diferente; a transferência negativa, a qual ocorre quando
o conhecimento anterior pode levar a uma maior dificuldade em adquirir e
armazenar novo conhecimento.
Formulação de Problemas
A formulação de problemas é um importante componente do currículo de
matemática e é considerada uma das partes principais da atividade
matemática, que é a capacidade de perceber e formular um problema (English,
1997).
A formulação de problemas é descrita por Silver (1994) como sendo a criação
de um problema novo ou como a reformulação de determinados problemas
apresentados para os estudantes. A formulação pode acontecer antes, durante
ou depois da solução de um problema. Os problemas formulados devem estar
fundamentados
em
situações
concretas
e
que
expressem
situações
matemáticas significativas.
English (1997) considera que a formulação de problemas envolve a geração de
novos problemas e questões para explorar uma dada situação, assim como
envolve a reformulação de um problema durante o seu processo de resolução.
Para o autor, esta estratégia fornece aos professores importantes insights
acerca de como os estudantes estão compreendendo os conceitos e os
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processos matemáticos, bem como suas percepções a respeito das atividades
desenvolvidas, suas atitudes em relação à matemática e sobre sua capacidade
criativa em matemática.
Para o desenvolvimento da habilidade de formular problemas, English (1997)
destaca três elementos básicos:
a) Compreensão do que seja um problema: este elemento refere-se à
habilidade de reconhecer a estrutura subjacente a um problema e detectar
estas estruturas em problemas correspondentes, isto é, perceber que
diferentes problemas apresentam estruturas semelhantes.
b) Percepção de diferentes problemas: este elemento refere-se aos aspectos
que despertam ou não a atenção dos estudantes em situações rotineiras ou
não.
Atividades nas quais os estudantes podem expressar suas
percepções em relação a diferentes problemas e compará-las com as
diversas opiniões de seus colegas podem se constituir em um poderoso
instrumento para a compreensão da matemática.
c) Perceber situações matemáticas sob diferentes perspectivas: interpretar
uma situação matemática em mais do que um caminho é particularmente
importante para o estudante desenvolver sua capacidade de criar
problemas ou de reformulá-los.
Considerações finais
Para estimular a criatividade devemos estar atentos às experiências que os
estudantes já vivenciaram, buscando identificar fatores que provocaram
estímulos positivos e negativos em relação à matemática e como estes agem
na construção de uma representação positiva da mesma. Devemos investigar o
currículo a fim de examinarmos se sua estruturação faz um apelo à criatividade
matemática e se sua forma de organização privilegia os processos criativos ou
os de memorização. Devemos ainda, investir na formação dos professores,
para que também possam estimular o desenvolvimento da criatividade em seus
alunos.
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