Universidade Federal de Minas Gerais
Escola de Engenharia
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Disciplina: Conversão da Energia
Lista de Exercícios 1 (Fonte: Fitzgerald, 6ª. Edição)
1.1) Um circuito magnético é mostrado abaixo. As dimensões do núcleo são:
Ac = 1,8x10-3 m2
lc = 0,6 m
g = 2,3x10-3 m
N = 83 espiras
Considere que o núcleo tem permeabilidade infinita.
a) Desenhe o circuito magnético para o problema.
b) Calcule a relutância do núcleo e do entreferro.
c) Para uma corrente de 1,5 A calcule o fluxo no núcleo e o fluxo concatenado.
d) Calcule a indutância do dispositivo.
1.2) Repita o problema 1.1 para uma permeabilidade relativa do núcleo igual a 2500.
1.3) Para o mesmo dispositivo do problema 1.1 calcule:
a) O número de espiras necessárias para obter-se uma indutância de 12mH.
b) A corrente no indutor que cria uma densidade de fluxo de 1,0 T.
1.4) Repita o problema 1.3 para uma permeabilidade relativa do núcleo igual a 1300.
1.15) Considere o circuito magnético abaixo:
Esta estrutura é tipicamente construída em duas metades. A bobina de N espiras é
montada em uma forma cilíndrica e pode ser facilmente inserida na perna central quando
o núcleo é montado. Uma vez que o entreferro fica no interior do núcleo, e se o núcleo
não trabalha excessivamente saturado, o fluxo de dispersão é relativamente pequeno.
Considere que a permeabilidade relativa do núcleo é de 2500 e N = 200 espiras. As
dimensões físicas são:
R1 = 1,5cm; R2 = 4cm; l = 2,5cm; h = 0,75cm; g = 0,5 mm
a) Calcule o valor de R3 tal que a densidade de fluxo na parede externa do núcleo
seja igual à densidade de fluxo na perna central.
b) Considerando que a densidade de fluxo no núcleo permanece constante,
escreva uma expressão para a indutância deste dispositivo e calcule seu valor
para as dimensões dadas.
c) O núcleo deve operar a um valor máximo de densidade de fluxo igual a 0,8T à
frequência de 60Hz. Ache o valor correspondente da tensão eficaz induzida na
bobina, sua corrente eficaz e o valor máximo da energia armazenada.
d) Repita o ítem (c) para a frequência de 50Hz.
1.21) Seja o indutor da figura abaixo:
Dimensões: a = h = w = 1,5 cm
b = 2 cm
g = 0,2 cm
O fator de ocupação (ou seja, a fração da área total do enrolamento efetivamente ocupada
por condutor) é fw=0,55. A resistividade do cobre é 1,73x10-8 Ωm. Quando o indutor é
operado com tensão constante (CC) de 35V, a densidade de fluxo no entreferro medida é
de 1,4T. Ache a potência dissipada na bobina, a corrente na bobina, o número de espiras,
a resistência da bobina, sua indutância, sua constante de tempo, e a bitola do condutor
(padrão).
1.22) Seja o dispositivo abaixo cujo material magnético pode ser considerado ideal.
a) Considerando a corrente na bobina 1 igual a I1 e a corrente na bobina 2 igual a
zero, calcule a densidade de fluxo em cada entreferro, o fluxo concatenado na
bobina 1, e o fluxo concatenado na bobina 2.
b) Repita a parte (a), assumindo a corrente na bobina 1 igual a zero e a corrente
na bobina 2 igual a I2.
c) Repita a parte (a), assumindo a corrente na bobina 1 igual a I1 e a corrente na
bobina 2 igual a I2.
d) Ache as indutâncias próprias das bobinas 1 e 2 e a indutância mútua entre
elas.
1.30) Seja o dispositivo do problema 1.1. Este dispositivo é construído utilizando aço
magnético M-5 cujas propriedades são mostradas abaixo.
Curva de magnetização
Potência de excitação em VA por kg em 60Hz
Perdas no núcleo por kg em 60 Hz
Considere que o núcleo está operando com densidade de fluxo senoidal, 60Hz, 1,1T
(rms). Despreze a resistência do enrolamento e a indutância de dispersão. Calcule a
tensão no enrolamento, corrente eficaz, e perdas no núcleo. A densidade do aço grão
orientado M-5 é de 7,65 g/cm3.
2.3) Um transformador deve ser usado para transformar a impedância de um resistor de
8Ω para uma impedância de 75Ω. Calcule a razão de espiras do transformador ideal.
2.35) Os valores de placa de um transformador monofásico são 7,97kV:460V, 75kVA,
reatância série de 12%.
a) Calcule a reatância série em ohm referida aos terminais de alta e baixa tensão.
b) Se três destes transformadores são conectados como um transformador
trifásico Y-Y, calcule a tensão e a potência nominal, a impedância em pu, e a
reatância em série em ohm, referida aos lados de alta e de baixa tensão.
c) Repita a parte (b) se o tranformador trifásico é conectado em Y no lado de alta
e em ∆ no lado de baixa tensão.
3.1) Seja o dispositivo da figura abaixo:
O rotor é não-magnético e é colocado em um campo magnético uniforme de magnitude
B0. A primeira espira conduz a corrente I1 e a segunda, a corrente I2. Considerando que o
rotor tem 0,3m de profundidade, R=0,13m e B0=0,85T, ache o torque tangencial (na
direção θ) como uma função da posição do rotor α, para:
a) I1=0 e I2=5 A.
b) I1=5 A e I2=0.
c) I1=8 e I2=8 A.
3.2) As correntes nos enrolamentos do problema 3.1 são controladas como uma função da
posição do rotor α, tal que: I1=8 sin α A e I2=8 cos α A. Escreva a expressão para o
conjugado no rotor como uma função da sua posição angular.
3.9) Um circuito RL é conectado a uma bateria, como mostrado abaixo:
A chave S está inicialmente fechada e é aberta no instante de tempo t=0.
a) Ache a corrente no indutor para t 0. (Dica: Quando a chave está fechada, o
diodo está reversamente polarizado e quando a chave abre, este diodo está
diretamente polarizado).
b) Quais são os valores inicial e final da energia armazenada no indutor? Qual é
a energia armazenada no indutor em função do tempo?
c) Qual é a potência dissipada no resistor em função do tempo? Qual é a energia
total dissipada no resistor?
d) Qual é a importância da utilização do diodo neste circuito?
3.11) A indutância do enrolamento de uma fase de um motor trifásico de pólos salientes
é:
L(θ m ) = L0 + L2 cos(2θ m )
onde θ m é a posição angular do rotor.
a) Quantos pólos existem no rotor deste motor?
b) Assumindo que as correntes nos outros enrolamentos são zero e que esta fase
é excitada por uma corrente constante I0, determine o conjugado T(θm) sobre
este rotor.
3.14) O dispositivo mostrado abaixo possui N espiras e é utilizado para içar uma peça de
aço de massa M.
A rugosidade das superfícies do aço é tal que quando as peças estão em contato existe um
entreferro mínimo de 0,18mm em cada perna. A área da seção reta deste eletroíma é de
32 cm2 e a resistência do enrolamento é 2,8Ω. Calcule a tensão mínima que deve ser
usada no enrolamento para levantar uma massa de 95kg.
3.18) Um solenóide longo e fino, de raio r0 e altura h é mostrado abaixo:
O campo magnético dentro do solenóide está na direção axial, é essencialmente uniforme
e igual a H=Ni/h. O campo magnético no exterior do solenóide pode ser considerado
desprezível. Calcule a pressão radial em N/m2 sobre as paredes do solenóide para uma
corrente constante i = I0.
4.1) O rotor de um gerador síncrono de seis pólos gira à velocidade mecânica de
1200rpm.
a) Qual é a velocidade mecânica em rad/s?
b) Qual é a frequência da tensão gerada em Hz e em rad/s?
c) Qual velocidade em rpm é necessária para gerar uma tensão à frequência de
50Hz?
4.2) A tensão gerada em uma fase de um gerador síncrono trifásico à vazio é:
v(t ) = V0 cos ωt
Escreva as expressões para as tensões nas outras duas fases.
4.3) Um motor trifásico é usado para acionar uma bomba de água. É observado com o
auxílio de uma lâmpada estroboscópica que a velocidade do motor cai de 898rpm para a
condição sem carga para 830rpm quando a bomba está bombeando água.
a) Esta máquina é síncrona ou de indução?
b) Qual é a frequência das correntes de alimentação do motor?
c) Quantos pólos tem este rotor?
4.5) Uma máquina trifásica conectada em Y está operando inicialmente sob condições
balanceadas quando uma das fases é desconectada. Considerando que não existe conexão
de neutro, calcule as amplitudes relativas das Fmm de sequência positiva e negativa
depois da falta.
4.6) Qual é o efeito sobre o campo magnético girante em uma máquina trifásica
equilibrada se a alimentação de duas das fases for trocada uma pela outra?
4.9) Uma máquina síncrona de seis pólos tem um rotor com 138 espiras em série e fator
de enrolamento igual a 0,935. O comprimento do rotor é de 1,97m, seu raio é de 58cm e o
entreferro é 3,15cm.
a) Qual é a velocidade nominal em rpm?
b) Qual é a corrente de rotor necessária para obter-se um valor máximo da
fundamental da densidade de fluxo no entreferro de 1,23T.
c) Calcule o fluxo por pólo.
4.10) Considere que uma das fases da máquina do problema 4.9 consiste em um
enrolamento de passo pleno, 11 espiras por par de pólos, com as espiras conectadas em
série para formar o enrolamento da fase. Se a máquina opera à velocidade nominal nas
condições do problema 4.9, calcule o valor eficaz da tensão gerada por fase.
4.14) Uma máquina trifásica de dois pólos é excitada por correntes senoidais balanceadas
em 60Hz. Muito embora a distribuição dos enrolamentos busca a minimização dos
harmônicos, o terceiro e quinto harmônicos ainda estão presentes. Assim a Fmm da fase a
vale:
Fmma = i a [ A1 cos θ a + A3 cos 3θ a + A5 cos 5θ a ]
a) Obtenha as expressões da Fmm para as demais fases.
b) Calcule a Fmm total.
c) Qual é a velocidade angular e a direção de giro de cada componente harmônica?