Análise de Redes de Energia
Eléctrica
Trânsito de Energia
Optimizado
Rede com 2 Barramentos
G1
~
~
1
G2
2
SC1
SC2
Ft  a1  b1 PG1  c1 PG21   a2  b2 PG 2  c2 PG22 
FP1  PG1  Pc1  V1 G11  V1 V2 G12 cos1   2   B12 sin 1   2   0
2
FP 2  PG 2  Pc 2  V2 G22  V2 V1 G21 cos 2  1   B21 sin  2  1   0
2
PG1  PG1max  0
PG 2  PG 2 max  0
PG1min  PG1  0
PG 2 min  PG 2  0
Rede com 2 Barramentos (cont.)
G1
~
1
~
G2
2
SC1
SC2
L  Ft  1 FP1  2 FP 2  11 PG1  PG1max   12 PG 2  PG 2 max    21 PG1min  PG1    22 PG 2 min  PG 2 
L  a1  b1 PG1  c1 PG21   a2  b2 PG 2  c2 PG22  
- 1 PG1  Pc1  V1 G11  V1 V2 G12 cos1   2   B12 sin 1   2  2
- 2 PG 2  Pc 2  V2 G22  V2 V1 G21 cos 2  1   B21 sin  2  1  
2
 11 PG1  PG1max   12 PG 2  PG 2 max    21 PG1min  PG1    22 PG 2 min  PG 2 
Rede com 2 Barramentos (cont.)
L
 b  2c P        0
P
1
1
G1
1
11
21
G1
L
 b  2c P        0
P
2
2
G2
2
12
22
G2
L
  P  P  V G  V V G cos     B sin   

2
G1
C1
1
11
1
2
12
1
2
12
1
2
  0
1
L
  P  P  V G  V V G cos     B sin   

2
G2
C2
2
22
2
1
21
2
1
21
2
1
  0
2
L
  V V G sin      B cos  

1
2
1
2
12
1
2
12
1
2
   V V G sin      B cos     0
2
2
1
21
2
1
21
2
1
Rede com 2 Barramentos (cont.)
Condições de Kuhn - Tucker
L
 PG1  PG1max  0 11  PG1  PG1max   0
11
 0
11
L
 PG 2  PG 2 max  0 12  PG 2  PG 2 max   0
12
 0
L
 PG1min  PG1  0  21  PG1min  PG1   0
 21
 0
L
 PG 2 min  PG 2  0  22  PG 2 min  PG 2   0
 22
12
21
 0
22
Rede com 2 Barramentos (cont.)
Equações a Resolver
f1  b1  2c1 PG1  1  11   21  0
f 2  b2  2c2 PG 2  2  12   22  0
h1   PG1  PC 1  V1 G11  V1 V2 G12 cos1   2   B12 sin 1   2   0
2
h2   PG 2  PC 2  V2 G22  V2 V2 G21 cos 2  1   B21 sin  2  1   0
2
g1  1 V1 V2 G12 sin 1   2   B12 cos1   2   2 V2 V1 G21 sin  2  1   B21 cos 2  1   0
ls1  PG1  PG1max  0
ls 2  PG 2  PG 2 max  0
li1  PG1min  PG1  0
li 2  PG 2 min  PG 2  0
Rede com 2 Barramentos (cont.)
Condições Iniciais
P 
P 
 
 
 
 
x   
 
 
 
 
 
 
 
Método de Newton
0
G1
0
G2
0
1
0
2
0
0
2
0
11
0
12
0
21
0
22
 f 
f x     x  0
 x 
 f 
x     f x 
 x 
0
1
0
Rede com 2 Barramentos (cont.)
 f
 P

 f
 P

 f x   h

  P
 f x  
h x    h

  P
h x  

  g
 g x    P
l x   

  l
l x   P

 
l x    l
l x    P

 
 l
 P

 l
 P

1
G1
2
G1
0
1
1
0
G1
2
0
2
1
0
G1
2
0
1
1
0
G1
0
s1
s1
s2
G1
0
i1
s2
0
i2
G1
i1
G1
i2
G1
f
P
f f f
  
f
P
f f f
  
1
G2
2
G2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
f

1
f

11
2
11
f

1
f

12
2
12
f

1
f

21
2
21
h
P
h h h h
   
h

h

h
P
h h h h
   
h

h

1
G2
2
G2
g
P
1
G2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
2
2
11
g g g g
   
1
1
1
1
1
2
2
11
l l l
  
l
P
l l l
  
l
P
l l l
  
l
P
l l l
  
G2
s2
G2
i1
G2
i2
G2
11
2
l
P
s1
1
s1
s1
s1
1
2
2
s2
s2
s2
1
2
2
i1
i1
i1
1
2
2
i2
i2
i2
1
2
2
l

s1
11
l

s2
l

11
i1
l

11
i2
11
1
12
2
12
g

1
12
l

s1
12
l

s2
l

12
i1
l

12
i2
12
1
21
22
1
G1
22
2
22
1
2
22
11
s1
s1
12
21
l

s2
21
i1
l

2
2
1
21
l

22
1
21
l

1
G2
2
g

f 
 

f 
 

h  P
  P

h  
  
 
g  

  
 
l  

  
 
l  

  

l 
 

l 
 
21
i2
21
22
21
s2
22
i1
22
i2
22
22






0







Rede com 2 Barramentos (cont.)
Elementos não nulos do Jacobiano
f1
f1
f1
f1
 2c1
 1
1
 1
PG1
1
11
 21
f 2
 2c2
PG 2
f 2
 1
1
f 2
f 2
1
 1
12
 22
h1
 1
PG1
h1
 V1 V2 G12 sin 1   2   B12 cos1   2 
 2
h2
 1
PG 2
h2
  V2 V1 G21 sin  2  1   B21 cos 2  1 
 2
Rede com 2 Barramentos (cont.)
Elementos não nulos do Jacobiano (cont.)
g1
 V1 V2 G12 sin 1   2   B12 cos1   2 
1
g1
  V2 V1 G21 sin  2  1   B21 cos 2  1 
2
g1
 1 V1 V2 G12 cos1   2   B12 sin 1   2   2 V2 V1 G21 cos 2  1   B21 sin  2  1 
 2
ls1
1
PG1
ls 2
1
PG 2
li1
 1
PG1
li 2
 1
PG 2
Rede com 2 Barramentos Exemplo
G1
~
G2
~
1
2
SC1
SC2
F  1500  20 P  0,05P
1
G1
2
G1
P MW 
G1
F  1500  20SbaseP  0,05Sbase P P  pu 
2
1
G1
G1
100  P  500
G1
F  1500  20 P  0,05P
2
G2
2
2
G2
G1
P MW 
G2
F  1500  20SbaseP  0,05Sbase P P  pu 
2
1
G2
100  P  400
G2
P  600MW
P  200MW
R  0,025 pu
X  0,15 pu
C1
L
C2
L
2
G2
G2
Rede com 2 Barramentos –
Exemplo (cont.)
G1
~
~
1
G2
2
SC1
SC2
P
P




x  







0
G1
0
G2
0
1
0
2
0
0
2
0
11
0
12
0
21
0
22
 4 
 4 
  
 60
  
 60
  0 
  
 0 
 0 
  
 0 
 0 
  
 f x  0

  
 f x  0 
 h x    

 2 
h x   2

  
f x    g x   0 
l x   0 

  
l x  0 

 0 
l x    
l x  0 


0
1
0
2
0
1
0
2
0
0
1
0
s1
0
s2
0
i1
0
i2
Rede com 2 Barramentos –
Exemplo (cont.)
0 -1 0
0
 1000

0 1000 0 - 1
0

f 
  -1
0 0 0
- 6
x 

0
1
0
0
6



0
0 - 6 6 12973
0,2671

4,2671
  0,2671
3,7329 




 267,1480
1
x  
x   62,67

 57,33 
 267,1480



0,2671
0,2671




Rede com 2 Barramentos –
Exemplo (cont.)
Ao fim de 4 iterações
PG1  431,61 MW
PG 2  376,16 MW
  63,16 € / MWh   57,62 € / MWh
  15,40º
1
2
2
P12  168,39 MW P21  176,15 MW
Pperdas  7,77 MW
Rede com 2 Barramentos Exemplo
G1
~
~
1
G2
2
SC1
F1  1500  20 PG1  0,05PG21 PG1 MW 
SC2
F1  1500  20SbasePG1  0,05Sbase2 PG21 PG1  pu 
100  PG1  500
F2  1500  20 PG 2  0,05PG22
PG 2 MW 
F1  1500  20SbasePG 2  0,05Sbase2 PG22 PG 2  pu 
100  PG 2  400
PC 1  200MW
PC 2  600MW
RL  0,025 pu
X L  0,15 pu
Rede com 2 Barramentos –
Exemplo (cont.)
Ao fim de 4 iterações
PG1  411,15 MW
PG 2  400,00 MW
  61,11 € / MWh   68,32 € / MWh
  18,48º
  8,32 € / MWh
1
2
2
12
P12  211,15 MW P21  200,00 MW
Pperdas  11,15 MW
Rede com n Barramentos
Equações a Resolver
L
 bi  2ci PGi  1  1i   2 i  0
fi 
PGi
i  1....n
L
  PGi  PCi  j Vi V j Gij cos i   j   Bij sin  i   j   0
hi 
i
i  1....n
L
 i jiVi V j Gij sin  i   j   Bij cos i   j   ji j V j Vi G ji sin  j   i   B ji cos j   i   0
gi 
 i
i  2...n
L
 PGi  PGi max  0
lsi 
1i
i  1...n
L
 PGi min  PGi  0
lii 
 2 i
i  1...n
Rede com n Barramentos (cont.)
 f

  PG
 h
 f  x 



  PG
 h x  
 g
 g x   


  PG
ls  x  



 ls
li  x  
  PG

  li
 P
 G
f f f f 

    1   2 
h h h h 
 PG 
    1   2  




 g  g  g  g  
 
    1   2  

 1 
ls l s ls ls  



2
    1   2  

 l i  li  l i  l i 
    1   2 
Rede com n Barramentos (cont.)
f
 PG
f
 1
2c1 0............0 
 0 2c 0......0 
2








0............... 2c n 
1 0............0
0 1 0........0 








0...............1
- 1 0............0
 0 - 1 0........0 

f 


 



 0...............- 1
 1 0............ 0 
 0 - 1 0........0 

f 


 2 



 0............... - 1
Rede com n Barramentos (cont.)
h 
 h
..........
...
 
 


1
0
..........
..
0

h

h




..........
...
 0 - 1 0........0 
 
 



h
h 




P 









 0...............- 1
h 
 h
..........
...
 
 




h
   V V G sin      B cos   

1
1
2
n
2
2
2
n
n
n
2
n
G
i
j i
i
j
ij
i
i
ij
i
i
i
h
 V V G sin      B cos  

i
i
j
j
ij
i
i
ij
i
i

Rede com n Barramentos (cont.)
g 
 g
..........
...
 
 


 g ............. g 
g 
 
 

 


 g
g 

............. 
 
 
g
   V V G sin      B cos  

2
2
1
n
3
3
1
n
n
n
1
n
i
j i
i
j
ij
i
i
ij
i
i
i
g
 V V G sin      B cos  

i
j
j
i
ji
j
i
ji
j
i


Rede com n Barramentos (cont.)
g 
 g
..........
...
 
 


 g ............. g 
g 
 
 

 


 g
g 

............. 
 
 
g
   V V G cos     B sin   

2
2
2
n
3
3
2
n
n
n
2
n
i
i j i
i
j
ij
i
j
ij
i
j
   V

j i
j
j
V G cos     B sin   
i
ji
j
i
i
g
  G cos     B sin   

i
i
j
ij
i
j
ij
i
j
   G
j
ji
cos     B sin   
j
i
ji
j
i

ji
j
i

Rede com n Barramentos (cont.)
1 0............0
0 1 0........0 


l


P 



0...............1
s
G
 1 0............ 0 
 0 - 1 0........0 


l


P 



 0............... - 1
i
G