&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6pULHV GH SRWrQFLDV
x
x
As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de
funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.
Um exemplo típico é a série,
x
x
O cálculo do valor de sucessivas VRPDVSDUFLDLV é simples de programar
e permite obter VXFHVVLYDVDSUR[LPDo}HV da H[SRQHQFLDO de qualquer
número real.
Chama-se VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP F
∈ ¸ a uma série da forma,
onde DQ é uma sucessão de números reais.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Quando F
é uma VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDQDRULJHP e tem a forma,
x
Consideremos a série de funções definidas em ¸,
x
Trata-se de uma VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDQDRULJHP.
x
Para [
x
Então, quando /
x
Vejamos para que valores de [ a série é FRQYHUJHQWH.
a VpULHQXODé convergente.
Para [ os termos não se anulam e podemos aplicar o FULWpULRGH
G¶$OHPEHUW,
quando /
e quando /
_[_< a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH
_[_> a série é GLYHUJHQWH
_[_= nada podemos concluir.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Analisemos os dois casos para os quais _[_= , da série,
x
Para [
±temos a série,
que, por FRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH com a série harmónica
básica, facilmente provamos ser GLYHUJHQWH.
x
x
Para [
temos a série,
que é uma VpULHDOWHUQDGD.
Estudando a respectiva VpULHGRVPyGXORV,
verificamos que é GLYHUJHQWH, donde nada podemos concluir.
x
Resta tentar aplicar o FULWpULRGH/HLEQL].
x
Para todo o Q ∈ ´ temos XPDVXFHVVmRGHQ~PHURVUHDLVSRVLWLYRV,
x
Será PRQyWRQD GHFUHVFHQWH e de OLPLWH]HUR?
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Efectivamente,
e é evidente que,
x
Pelo critério de Leibniz concluímos que a VpULHDOWHUQDGD é FRQYHUJHQWH.
x
Portanto, no caso de [ , a série dada é convergente e como
verificámos que a respectiva série dos módulos é divergente, ela é
VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH
x
E finalmente podemos estabelecer que a VpULHGHSRWrQFLDV,
é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH se [  ] ±[
é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH se [ = é GLYHUJHQWH se [  ] ±]
x
Chama-seLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD de uma série de potências ao LQWHULRU do
seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD.
x
Para o exemplo anterior, como o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é ] ±], o
LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD é ] ±[.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Analisemos finalmente a conhecida VpULHGHSRWrQFLDV,
a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
x
Para [
x
Para [ (termos não nulos) podemos aplicar o FULWpULRGHG¶$OHPEHUW,
e concluir que a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH também para [ .
x
x
Portanto a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para todo o [ ∈ ¸, sendo o
seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD todo o conjunto ¸.
De modo análogo, analise a série,
x
Verifique que neste caso o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é apenas o conjunto
singular {}.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
3URSULHGDGHV GDV VpULHV GH SRWrQFLDV
x
± _[_
± _[_
x
_[_
_[_
Recordemos a conclusão obtida do estudo da VpULHGHSRWrQFLDV,
é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH se [  ] ±[
é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH se [ = é GLYHUJHQWH se [  ] ±]
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Vejamos como a SURSULHGDGH anterior nos pode ajudar.
x
Para [
x
Então esta SURSULHGDGH garante-nos que a série dada é DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH em todo o intervalo ]±[
x
Para [
x
Então esta SURSULHGDGH garante-nos que a série dada é GLYHUJHQWH em todo
o intervalo ] ±ˆ ±[ ª ] ˆ [
x
E como sabemos o que acontece nos próprios SRQWRV [ e [ ±,
podemos concluir que o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD desta série é ] ±].
, vimos que é FRQYHUJHQWH a série alternada,
±vimos que é GLYHUJHQWH a série,
Esta SURSULHGDGH é facilmente JHQHUDOL]iYHO a toda a VpULHGHSRWrQFLDV
FHQWUDGDHPF  Basta efectuar uma PXGDQoDGHYDULiYHO, de modo a transformar [ em
[± FQ.
Q
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
1XPDDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF  9HULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV
L 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ ∈ ¸ \ {F} HQWmRFRQYHUJHDEVROXWDPHQWH
HP WRGRRSRQWRGH]
F ± _[ ± F_F_[ ± F_[
F ± _[ ± F_
F
F_[ ± F_
LL 6HDVpULHGLYHUJHHP[ ∈ ¸ \ {F} HQWmRGLYHUJH
HP WRGRRSRQWRGH] ±ˆ,
F ± _[ ± F_[ ª ] F _[ ± F_ ˆ [
F ± _[ ± F_
x
x
F
F_[ ± F_
De modo análogo, todas as propriedades das séries de potências centradas na
origem podem ser JHQHUDOL]iYHLV a séries de potências centradas em F .
A proposição seguinte descreve a propriedade mais importante das séries de
potências. Efectivamente, VyWUrVFDVRV podem acontecer: a série converge
absolutamente para todos os reais, ou só na origem, ou num intervalo centrado.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
±5
5
±5
5
[ 5
[ ± 5
x
O comportamento nos próprios SRQWRV
analisado para cada caso.
x
Naturalmente, ao número 5 chama-se UDLRGHFRQYHUJrQFLD da série de
potências.
x
e
tem de ser
Assim, a questão fundamental do estudo de uma série de potências é a
GHWHUPLQDomRGRVHXUDLRGHFRQYHUJrQFLD: , +ˆ, ou um número real.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
E JHQHUDOL]DQGR para toda a série de potências centrada em F  ...
x
1XPD DVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF  9HULILFDVHXPD HXPDVy GDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV
L DVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHDSHQDVHP[ FHGLYHUJHVH[F
LL DVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHSDUDWRGRR[ ∈ ¸
LLL H[LVWHXP5 !WDOTXHDVpULHFRQYHUJHDEVROXWDPHQWHSDUD
WRGRR[
∈ ] c ± R, F 5[
F ±5
H GLYHUJHSDUDWRGRR[
F5
∈] ±ˆ, F ± 5 [ ª ] F 5 ˆ [
F ±5
x
F
F
F5
Nada é dito sobre o comportamento da série nos SUySULRV SRQWRV
e
[ F± 5 .
GLYHUJHQWH
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH
F ±5
F
[ F5
GLYHUJHQWH
F5
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
'HWHUPLQDomR GR UDLR GH FRQYHUJrQFLD
x
Para uma dada VpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP F (F
ouF )
calculemos o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD.
Fa série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHe tem soma D.
x
Para [
x
Nestas condições, podemos aplicar o FULWpULRGHG¶$OHPEHUW e calcular,
x
Chamemos,
x
Então, para _[±F_,
x
E agora, apenas WUrVFDVRV podem ocorrer, de acordo com os três possíveis
valores de / : QXOR, LQILQLWR ou ILQLWRQmRQXOR.
x
Para [ Fe assumindo que os DQ não se anulam, teremos para todo o Q∈´ ,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No caso de /
x
temos,
então, pelo FULWpULRGHG¶$OHPEHUW e a série de potências converge
absolutamente, desde que[ F.
Mas já vimos que também converge absolutamente para [
x
x
Portanto, quando /
x
5
, a série de potências é DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH para todo o[ ∈ ¸ e o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD é +ˆ.
+ˆ
No caso de /
x
F.
ˆ
temos,
então, pelo FULWpULRGHG¶$OHPEHUW e a série de potências diverge, desde
que[ F.
Mas já vimos que converge absolutamente para [
x
Portanto, quando /
x
5 F.
ˆ, o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de
potências é apenas {F} e o seu UDLRGHFRQYHUJrQFLD é nulo.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
No caso de /
x

e
/ ˆ
temos,
então, pelo FULWpULRGHG¶$OHPEHUW e a série de potências converge
absolutamente, para todo o[ F, quando,
e diverge, para todo o[ F, quando,
e já vimos que converge absolutamente para [
x
F.
Portanto, quando / é ILQLWRHQmRQXOR, a série de potências é
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos do intervalo,
e GLYHUJHQWH para todo o,
5 /.
x
Então, o UDLRGHFRQYHUJrQFLD é
x
Para determinar completamente o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série, será
ainda necessário analisar o seu comportamento nos GRLVSRQWRV,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Juntando os WUrVFDVRV, e assumindo as convenções habituais, ˆ
ˆ, podemos estabelecer uma fórmula para o cálculo do UDLRGH
e
FRQYHUJrQFLDGHXPDVpULHGHSRWrQFLDV,
GHVGHTXH os DQ não se anulem e o OLPLWHH[LVWD, mesmo que infinito.
x
x
Note que, todo este estudo pode igualmente ser feito com base no FULWpULRGH
&DXFK\.
Desse estudo, e assumindo as mesmas convenções, resulta outra fórmula para
o cálculo do UDLRGHFRQYHUJrQFLDGHXPDVpULHGHSRWrQFLDV,
GHVGHTXH os DQ não se anulem e o OLPLWHH[LVWD, mesmo que infinito.
x
x
Deste modo, para analisar uma dada série de potências, podemos seguir o
processo de aplicação de XPGRVGRLVFULWpULRV, ou utilizar directamente XPD
GDVGXDVIyUPXODV.
Os GRLVSRQWRV extremos do intervalo têm de ser analisados separadamente.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para cada uma das seguintes séries de potências, determine o GRPtQLRGH
FRQYHUJrQFLD, indicando os SRQWRV onde a convergência é simples ou absoluta.
x
x
Para todo o Q ∈ ´,
x
Então podemos calcular,
x
Portanto, 5 , o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de é apenas {}
onde FRQYHUJHDEVROXWDPHQWH.
x
Para todo o Q ∈ ´,
x
Então podemos calcular o limite,
x
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Portanto, 5 ˆ, o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD da série de é todo o ¸,
sendo DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos.
x
Para todo o Q ∈ ´,
x
Então podemos calcular,
x
Então, 5
x
Resta estudar o seu comportamento nos SRQWRV ±
x
, e a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para,
e
.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Para [
± , temos a VpULHQXPpULFD,
x
que é uma VpULHDOWHUQDGD pois, para todo o Q ∈ ´,
x
Analisemos a VXFHVVmR,
x
que é GHFUHVFHQWH, pois,
x
e WHQGHSDUD]HUR,
x
Então, pelo FULWpULRGH/HLEQL], a série alternada é FRQYHUJHQWH.
x
Por outro lado, a respectiva VpULHGRVPyGXORV,
x
é GLYHUJHQWH pois, por FRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH,
x
tem a mesma natureza da VpULHKDUPyQLFD,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
por isso, a VpULHDOWHUQDGD é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH,
x
Para [
x
que acabámos de ver que é GLYHUJHQWH.
x
Portanto, a VpULHGHSRWrQFLDV dada tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD
x
x
e então, a VpULHGHSRWrQFLDV dada é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no
SRQWR [ ± .
, temos a VpULHQXPpULFD,
e então, a VpULHGHSRWrQFLDV dada é GLYHUJHQWH no SRQWR [
o intervalo [
± , [ sendo
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHem ]
mas VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no SRQWR [
± .
.
± , [,
x
x
Para todo o Q ∈ ´,
x
Então podemos calcular,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Então, 5
, e a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH para,
x
e GLYHUJHQWH para,
x
Resta estudar o seu comportamento nos SRQWRV ±
x
Para [
x
que é GLYHUJHQWH, por ser o produto da VpULHKDUPyQLFDEiVLFD por ±
x
Para [
x
que é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH, por ser uma VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGD
com S .
x
Portanto, a VpULHGHSRWrQFLDV dada tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD
e
.
± , temos a VpULHQXPpULFD,
.
, temos a VpULHQXPpULFD,
o intervalo ]
± , ] sendo
] ± , [ e
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWHno intervalo
VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH no SRQWR [
.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
E que fazer quando o YDORUGRFHQWUR não aparece explicitamente na fórmula?
Como por exemplo na série de potências,
x
Podemos começar por tentar PDQLSXODUDOJHEULFDPHQWH a fórmula.
x
Neste caso, notamos que
e transformamos a série dada numa série de potências centrada em ,
x
x
Verifique que o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD é o intervalo [] onde é
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH em todos os pontos.
Noutras situações, poderá ser necessário fazer uma PXGDQoDGHYDULiYHO,
x
Como por exemplo, [±
potências centrada na origem.
], convertendo a série dada numa série de
x
Verifique que, para esta série, o domínio de convergência é o intervalo de ],
x
Regressando à variável [, naturalmente recuperamos o intervalo [].
[± ] onde é absolutamente convergente em todos os pontos.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Em qualquer dos casos, podemos sempre DSOLFDUGLUHFWDPHQWHXPGRV
FULWpULRV, &DXFK\ ou G¶$OHPEHUW, à série dada.
x
x
x
x
x
Começamos por identificar o ponto, [
E para todo o [
 e todo o Q
, para o qual a VpULHVHDQXOD.
∈´
podemos calcular, por exemplo,
Assim, para o FULWpULRGHG¶$OHPEHUWtemos /
_[±_, sendo a série
absolutamente convergente para os valores de [ tais que _[±_< .
Combinando com facto de que a série (nula) é absolutamente convergente
em [ , confirme o resultado já conhecido.
Mostre que a série,
é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH apenas em ]
± [ .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&RQYHUJrQFLD XQLIRUPH GH VpULHV GH SRWrQFLDV
x
Para que possamos GHULYDUHLQWHJUDU séries de potências WHUPRDWHUPR é
vital conhecer os LQWHUYDORVe o WLSR de FRQYHUJrQFLD.
x
6HMD
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR
HVHMD, R VHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
(QWmRDVpULHFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWH
HP TXDOTXHULQWHUYDORIHFKDGRHOLPLWDGRGH,
x
Sendo [DE] um LQWHUYDORIHFKDGRHOLPLWDGR de,,
tomando U
PD[{ _D__E_} temos,
± U
U
[ DE] ¯ [± UU] ¯ ,
x
x
x
Provemos que a convergência é XQLIRUPH em [±
Para todo o [
UU].
∈ [± UU] e todo o n ∈ ´0 temos |[Q| ≤ UQ e,
Por outro lado, como a série é absolutamente convergente no seu intervalo
de convergência, então é FRQYHUJHQWHDVpULHGRVPyGXORV,
Ou seja, a VpULHGRVPyGXORV é PDMRUDGD por uma VpULHQXPpULFD
FRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Então, pelo FULWpULRGH:HLHUVWUDVV, a série de potências é XQLIRUPHPHQWH
FRQYHUJHQWH em [± UU].
DE] ¯ [± UU], a VpULHGHSRWrQFLDVé portanto
XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em [ DE].
E como [
x
Generalizando,
x
4XDOTXHUVpULHGHSRWrQFLDV
FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXORFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWH
HP TXDOTXHULQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
x
Por exemplo a série anterior,
como vimos, tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo []
e sendo o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
][, é portanto XQLIRUPHPHQWH
FRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR contido em ][.
x
Por exemplo a série,
se tem como GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD o intervalo ]
LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD o intervalo ]
± , ] e como
± , [, é então XQLIRUPHPHQWH
FRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR contido em ]
± , [.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
Note-se que, a propriedade anterior não relaciona directamente a FRQYHUJrQFLD
XQLIRUPH com o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD.
A propriedade seguinte, garante-nos que uma série de potências de raio de
convergência não nulo é XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em todo o seu GRPtQLR
GHFRQYHUJrQFLD.
2 7HRUHPDGH$EHO
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Generalizando,
x
6HMD
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHPF ≠ FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5 > (QWmRYHULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ 5F
HQWmRHODFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWHQRLQWHUYDOR[ F 5F] H WHPVH
LL 6HDVpULHFRQYHUJHHP[ ±5F
HQWmRHODFRQYHUJHXQLIRUPHPHQWHQRLQWHUYDOR[ ± 5FF] H WHPVH
x
Por exemplo a série,
é então XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD
[].
x
e por exemplo a série,
é XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH no GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD ]
± , ]
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
'HULYDomR H SULPLWLYDomR GH VpULHV GH SRWrQFLDV
x
x
Generalizando,
x
6HMD
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[
FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5 > F
(QWmRDVpULHGDVGHULYDGDV
H DVpULHGDVSULPLWLYDV
WrPWDPEpPUDLRGHFRQYHUJrQFLD5
x
x
Como consequência, tanto a VpULHGDVGHULYDGDV como a VpULHGDVSULPLWLYDV,
FRQYHUJHPXQLIRUPHPHQWH em qualquer VXELQWHUYDOR fechado e limitado do
seu LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD que é ] í5F5F[.
E com base neste facto, a proposição seguinte garante-nos que efectivamente
podemos GHULYDUHLQWHJUDUVpULHVGHSRWrQFLDVWHUPRDWHUPR.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
6HMD
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[
F
(QWmRYHULILFDPVHDVFRQGLo}HVVHJXLQWHV L DVpULHGHSRWrQFLDVGHILQHXPDIXQomRFRQWtQXDHPWRGRR
LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
LL DVpULHGHSRWrQFLDVSRGHLQWHJUDUVHWHUPRDWHUPRHPWRGRR
LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
LLL DVpULHGHSRWrQFLDVSRGHGHULYDUVHWHUPRDWHUPRHPWRGRR
LQWHUYDORIHFKDGRFRQWLGRQRVHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
x
&RQMXJDQGR o primeiro destes resultados com o 7HRUHPDGH$EHO, pode
provar-se que a FRQWLQXLGDGH se verifica em todo o GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD.
x
6HMD
HVHMDI[D VXDVRPD
(QWmR
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[
FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR
F
D DVRPDGDVpULHGHSRWrQFLDVpXPDIXQomRFRQWtQXDQRGRPtQLR
GH FRQYHUJrQFLDGDVpULHFRQVLGHUDGD
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo a IXQomRVRPD da série,
x
e por exemplo a IXQomRVRPD da série,
x
6HMD
6HMD, R VHXLQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD
p FRQWtQXD em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD [].
p FRQWtQXD em todo o seu GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLD ]
± , ]
XPDVpULHGHSRWrQFLDVFHQWUDGDHP[
FRPUDLRGHFRQYHUJrQFLDQmRQXOR
F
H VHMDI[D VXDVRPD
(QWmR
E DIXQomRVRPDGDVpULHpGLIHUHQFLiYHOHP,
H SDUDWRGRR[∈
x
,
WHPRV
Por DSOLFDo}HVVXFHVVLYDV do mesmo resultado, temos também para todo
R [ ∈ , e todo N ∈ ´ ,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
F DIXQomR)[GHILQLGDSRU
p DSULPLWLYDGHI[HP, WDOTXH)F
G DIXQomRI[pLQWHJUiYHOHPWRGRRLQWHUYDOR[DE] FRQWLGRQR
VHX GRPtQLRGHFRQYHUJrQFLDHWHPVH
x
donde podemos calcular,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Recordemos a série de funções,
x
A série é apenas SRQWXDOPHQWHFRQYHUJHQWH no intervalo ] ±[, mas é
XQLIRUPHPHQWHFRQYHUJHQWH em qualquer LQWHUYDORIHFKDGR de ] ±[.
x
sendo uma série geométrica, a sua IXQomRVRPD é dada por,
x
e sendo ] ±[ o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD então, pela SURSULHGDGH
x
Por outro lado, a função
x
Então, pela SURSULHGDGHGRVLQWHJUDLV, temos para todo o [
x
ou seja,
GDVGHULYDGDV, temos para todo o [
∈ ] ±[,
é a SULPLWLYD de I[ que se anula em [
.
∈ ] ±[,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Assim, no intervalo ] ±[, as três funções seguintes são UHSUHVHQWiYHLVSRU
VpULHVGHSRWrQFLDV,
x
x
A partir destas, por ou integrações, RXWUDVUHSUHVHQWDo}HVSRUVpULHVGH
SRWrQFLDV podem ser construídas.
Como por exemplo,
D
x
Podemos utilizar a série , VXEVWLWXLQGR [ por ±[,
x
Não esquecendo de ajustar o LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLD, que passará
a ser ] ±[.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
2X podemos verificar directamente que se trata da fórmula da VRPDGH
XPDVpULHJHRPpWULFD, com SULPHLURWHUPR e UD]mR U ±[.
Naturalmente, a série geométrica será convergente apenas para os
valores de | ±[ | < , donde calculamos o LQWHUYDORGH
FRQYHUJrQFLD ] ±[.
E
x
x
Uma possível solução consiste em notar que,
e então, ou multiplicando por a representação obtida em D, ou
notando que se trata de da VRPDGHXPDVpULHJHRPpWULFD, com
SULPHLURWHUPR e UD]mR U ±[, obtemos,
cujo LQWHUYDORGHFRQYHUJrQFLDé ] ±[.
x
Por outro lado, a função
é a SULPLWLYD de
x
que se DQXOD em [
.
Resta então LQWHJUDUFDGDWHUPR,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
E, pela SURSULHGDGHGRVLQWHJUDLV, temos para todo o LQWHUYDORGH
FRQYHUJrQFLD ] ±[,
F
x
Uma possível solução consiste em notar que,
x
Mas já sabemos de que,
x
Então, GHULYDQGRDWHUPR esta série e sendo ] ±[ o LQWHUYDORGH
FRQYHUJrQFLD
x
temos, pela SURSULHGDGHGDVGHULYDGDV para todo o [
∈ ] ±[,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
A partir da representação,
que é válida para todo o [ ∈ ] ±[,
procuremos agora uma UHSUHVHQWDomRHPVpULHGHSRWrQFLDV para,
com indicação doPDLRULQWHUYDORDEHUWRQRTXDOpYiOLGD.
x
Comecemos por calcular,
x
Então, por um lado sabemos que para todo o [ ∈ ] ±[,
x
e por outro lado verificamos que para todo o ± [ ∈ ] ±[,
ou seja, para todo o [ ∈ ] ±[.
x
Resta então VXEWUDLU,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Esta expressão pode ser VLPSOLILFDGD pois,
para Q par,
± ±
para Q ímpar, ±
Q
±Q
±± ±
± ou seja, DQXODPVH todos os termos para os quais Q é ímpar ( ou
x
Q par)
Deste modo obtemos a UHSUHVHQWDomRHPVpULHGHSRWrQFLDV,
que é YiOLGDSDUDRLQWHUYDOR ] ±[.
x
x
Pode também ocorrer o SUREOHPDLQYHUVR, isto é, dada uma representação em
série de potências FDOFXODUDIXQomRVRPD.
Por exemplo, a partir da representação
que é válida para todo o [ ∈ ] ±[.
calcular a IXQomRVRPD da série
indicando o PDLRULQWHUYDOR em que essa representação é válida.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6XFHVV}HVH6pULHVGH)XQo}HV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Partindo de,
e VXEVWLWXLQGR [ por [ obtemos,
ou seja,
x
E se a expressão inicial era válida para todo o [ ∈ ] ±[,
esta é válida para [ ∈ ] ±[, ou seja, para todo o [ ∈ ] ±[.
x
Para relacionar esta com a série pretendida
x
Assim, pela SURSULHGDGHGDVGHULYDGDV das séries de potências temos,
basta notar que [
¶ Q[Q .
Q
ou seja,
para todo o [ ∈ ] ±[.
x
E PXOWLSOLFDQGR ambos os membros por [, temos a VRPD pretendida,
que é YiOLGD para todo o [ ∈ ] ±[.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV