Estimação de Espessuras e Propriedades de Materiais em Pavimentos
Usando o Problema Inverso
M.Sc. Radael de Souza Parolin, Dr. Pedro Augusto Pereira Borges, Dr. Luciano
Pivoto Specht
UNIJUÍ - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
Mestrado em Modelagem Matemática
E-mail: [email protected]
Resumo: Para obter informações sobre a estrutura de pavimentos, atualmente, são realizadas
prospecções significativamente destrutivas e intervenientes no tráfego, para coleta de material
e posterior análise em laboratório. Propõe-se neste trabalho uma técnica menos destrutiva do
que as técnicas atuais, para identificação de espessuras e materiais das camadas de
pavimentos. A técnica consiste: na instalação de uma sonda térmica no pavimento, com
sensores de temperatura e fontes de calor, para a obtenção da distribuição de temperatura em
função do tempo e do espaço, em diferentes profundidades; na resolução do problema de
transferência de calor em duas dimensões; e na estimação das espessuras e propriedades
térmicas dos materiais de cada camada através do Problema Inverso. O Problema Direto foi
modelado pela equação de condução do calor e resolvido com Diferenças Finitas Centrais,
usando o método explícito de avanços temporais. A técnica proposta mostrou-se eficiente para
a estimação das espessuras e da condutividade térmica. A identificação dos materiais, através
do reconhecimento das propriedades térmicas, mostrou-se mais eficiente com o uso dos valores
da condutividade, ao invés da difusividade térmica. O Algoritmo Genético e o Algoritmo
Memético fornecem soluções aproximadas, mas com vantagem no custo computacional para o
Algoritmo Memético.
1. Introdução
A manutenção e a restauração de rodovias são realizadas após procedimentos
destrutivos como prospecções, para verificação das reais condições do pavimento. As
prospecções são uma necessidade quando não se dispõem de informações a respeito da
estrutura, da construção e da degradação dos pavimentos ao longo dos anos. Estes
procedimentos são onerosos, além de envolver equipamento e pessoas especializadas,
interferem no tráfego e necessitam de análises laboratoriais, com elevado custo econômico.
A espessura das camadas e a identificação dos materiais existentes são informações
essenciais, e em alguns casos suficientes para a tomada de decisões. Para a identificação das
espessuras das camadas dos pavimentos, existe uma técnica não destrutiva, que utiliza o
georadar (FONTUL et al., 2007; NIELSEN et al., 2008). Porém, seu uso é restrito devido ao
custo econômico do equipamento e da complexidade de análise dos dados. De acordo com estes
aspectos, é importante o estudo de novas técnicas de análise estrutural, com uma avaliação
específica, de menor custo, invasão e interferência no tráfego, do que as técnicas existentes.
O presente trabalho tem por objetivo desenvolver uma técnica para estimar as
espessuras e propriedades dos materiais constituintes de pavimentos já construídos de rodovias.
A técnica necessita da instalação de uma sonda térmica em uma perfuração vertical, facilmente
consertável, para obtenção da distribuição de temperatura ao longo do tempo. Os dados medidos
de temperatura são utilizados no Problema Inverso para estimar os parâmetros térmicos e as
espessuras de cada camada. O problema direto de transferência de calor no pavimento é
modelado utilizando a Equação de Condução do Calor, com condições de contorno de primeira
espécie e resolvido pelo Método de Diferenças Finitas Centrais, com o esquema explícito de
avanços temporais. O Problema Inverso utiliza os Algoritmos Genético e Memético para
minimizar a diferença entre as distribuições de temperaturas medidas e calculadas.
564
2. Materiais e Métodos
Foram realizados experimentos de monitoramento da temperatura em dois tipos de
pavimentos: um rígido e outro flexível. Os dados obtidos foram utilizados para a estimação de
parâmetros térmicos (condutividade e difusividade térmica) e espessuras das camadas dos
pavimentos, através de algoritmos de problema inverso sobre o problema de transferência de
calor nos pavimentos.
2.1 Materiais, Equipamentos e Experimentos
Os pavimentos experimentais, mostrados na Figura 1, foram construídos como
pavimentos experimentais no Laboratório de Engenharia Civil da UNIJUÍ e são compostos
pelas seguintes camadas granulares:
Subleito: composto de solo argiloso natural (típico da região de Ijuí).
Reforço do subleito: base granular composta de „rachão‟, com profundidade de 30cm,
responsável pela drenagem da água caso haja infiltração. A camada de rachão constitui formas
graúdas não uniformes, imperfeitamente encaixadas quando a camada é compactada, facilitando
assim a passagem da água.
Base: com espessuras de 30cm no pavimento rígido e 40cm no pavimento flexível, é
composta de BGS (Brita Graduada Simples) de diversos tamanhos, que quando compactada não
apresenta vazios, ficando assim responsável pela resistência e distribuição dos esforços
causados pelo tráfego.
Os revestimentos são de dois tipos: Concreto de Cimento Portland (Pavimento Rígido)
com 25cm de espessura executado à base de cimento Portland e água; e Betuminoso (Pavimento
Flexível) com espessura de 15cm de asfalto pré-misturado a frio, executado com emulsão (água,
betume e emulsificante). Foi usada uma camada selante (banho de emulsão asfáltica sobre o
revestimento) com a finalidade de selar o pavimento, impermeabilizando-o.
A temperatura foi monitorada através de uma sonda térmica composta de 9 sensores de
temperatura (termopares) e 2 fontes de calor, localizados em diferentes profundidades (Tabela
1). A instalação de fontes térmicas tem como objetivo gerar gradientes térmicos, necessários
para a estimação dos parâmetros e espessuras nas camadas mais profundas.
Foram abertos dois orifícios de 0,012 m de diâmetro em cada pavimento, com
profundidade de 0,64 m e 0,56 m no pavimento rígido e no flexível, respectivamente. As duas
fontes de calor utilizadas (resistores de 2,2 Ω) foram alimentadas com tensão de 2 V.
Figura 1: Esquema dos pavimentos (o primeiro nº indica o sensor
e o segundo a profundidade em cm)
565
Pavimento Rígido
Sensor/Fonte
z (m)
S1
0
S2
0,08
S3
0,16
S4
0,24
S5
0,32
S6
0,4
S7/F1
0,48
S8
0,56
S9/F2
0,64
Pavimento Flexível
Sensor/Fonte
z (m)
S1
S2
0
S3
0,08
S4
0,16
S5
0,24
S6
0,32
S7/F1
0,4
S8
0,48
S9/F2
0,56
Tabela 1: Posição dos sensores de temperatura e fontes de calor (S = sensor e F = fonte)
As medidas com as sondas foram realizadas entre as 8:30 e 17:30h dos dias 09 e
10/12/2010, fornecendo dados de temperatura para as posições de cada sensor, no período
considerado.
2.2 Calibração das Medidas de Temperatura
Os termopares foram calibrados utilizando um termômetro padrão (certificado de
calibração número 007218/001), colocados em equilíbrio térmico estacionário em água, em
cinco temperaturas distintas. Com estes dados, foram obtidas retas de calibração para cada
sensor, com desvio padrão assumido como o erro de calibração (c).
Os procedimentos de instalação da sonda nos pavimentos, ajustes dos equipamentos e
medição foram repetidos 5 vezes em temperatura ambiente constante, para analisar o erro de
repetição. O desvio padrão destas medidas, para cada sensor, foi admitido como o erro de
repetição (r).
A incerteza de medida foi calculada pela Eq. (1) e apresentou valor mínimo de ± 0,31
o
C para o sensor S7 e máximo de ± 0,69 oC para o sensor S3, consideradas admissíveis para
medidas de estimação de parâmetros, de acordo com os objetivos deste trabalho.
I   c2   r2
(1)
onde I é a incerteza de medição (oC),
c é a incerteza dos erros de calibração (oC) e
r é a incerteza dos erros de repetição (oC).
2.3 Modelo Matemático da Transferência do Calor (Problema Direto)
A variação de temperatura, nas condições consideradas nos experimentos, ocorre devido
às variações térmicas na superfície e nas fontes de calor. O fluxo de calor na superfície é
variável em relação ao tempo, e pode ser considerado uniforme para uma pequena área, o que
permitiria a utilização de um modelo unidimensional para a transferência de calor no interior do
pavimento. O calor gerado pelas fontes difunde-se em todas as direções. Admitindo um sistema
de referência em coordenadas cilíndricas, com o eixo central coincidente com a sonda, os
gradientes na direção angular são praticamente nulos para materiais homogêneos. Com base
nessas considerações, foi escolhido um modelo bidimensional em coordenadas cilíndricas para
representar a transferência de calor no interior dos pavimentos. A Equação Diferencial de
Condução do Calor com fontes (ÖZISIK, 1993) é dada pela Eq. 2 e é entendida neste trabalho
como o modelo matemático do Problema Direto.
566
1 T  2T 1   T  1


  r 
 g
 i t z 2 r r  r  ki
para 0 < r < R e 0 < z < H
(2)
Onde T é temperatura (ºC),
z é a profundidade (m),
r é o raio (m),
t é o tempo (s),
αi é a difusividade térmica da camada i (m²/s),
g é a fonte de calor (w/m³) e
ki é a condutividade térmica na fonte de calor da camada i (J/msºC),
As condições de contorno são dadas pelas Eqs. 3 a 6. As Eqs. 3 e 4 são as condições de
fronteira na superfície e na base, respectivamente. A Eq. 6 é a condição inicial. Todas estas
condições foram obtidas experimentalmente. A Eq. 5 é uma condição de fronteira na superfície
lateral do cilindro de raio R, foi considerada constante em relação ao tempo e igual a
temperatura inicial do pavimento em r = 0, com R suficientemente grande, de modo a não
alterar esta condição, durante o período de tempo de transferência de calor.
T (r ,0, t )  TS (t )
onde 0  t  tf
(3)
T (r , H , t )  TH
T ( R, z, t )  TR ( z, t )
T (r , z ,0)  T0 (r , z )
onde 0  t  tf e H a profundidade máxima
(4)
onde 0  t  tf e R o raio máximo
(5)
onde 0  r  R e 0  z  H
(6)
Onde T é temperatura (ºC),
T0 é a condição inicial (ºC),
TS é a temperatura na superfície (ºC),
TH é a temperatura no final da terceira camada (ºC)
TR é a temperatura em r = R do pavimento (ºC)
H é a altura do cilindro (m)
R é o raio do cilindro (m) e
tf é o tempo final.
2.4 Algoritmos Para a Estimação de Parâmetros (Problema Inverso)
O problema inverso proposto neste trabalho consiste na estimação de sete parâmetros, o
que o torna altamente complexo devido à gama de soluções possíveis. Foram usados dois
métodos: o Algoritmo Genético (HOLLAND (1975), GOLDBERG (1989) e LEANDRO et al.
(2008)) e o Algoritmo Memético (MOSCATO (1989), BRITTO (2007) e LEANDRO et al.
(2008)).
Os problemas direto e inverso foram implementados em programas computacionais
próprios em linguagem MatLab e executados em um computador com processador AMD
Turion 64, 2.0 GHz com 512 MB de RAM.
567
3. Resultados e Discussões
Os algoritmos de problemas inversos foram aplicados nos dados experimentais dos
pavimentos rígidos e flexíveis, com o objetivo de verificar a eficiência do modelo proposto, na
estimação das incógnitas.
Foram realizadas três aplicações de Algoritmos Genéticos e Meméticos, já que estes
métodos são estatísticos e produzem soluções diferentes a cada execução. A Tabela 2 apresenta
estas aplicações para os dados do pavimento rígido, com o respectivo coeficiente de correlação
e o tempo de execução computacional. As espessuras z1, z2 e z3 experimentais foram obtidas
diretamente das medidas de projeto do pavimento, enquanto que as difusividades e
condutividades térmicas são dados da literatura ABNT (1972 apud HELLMANN, 2008; 2004
apud TRAMONTINI, 2007).
Parâmetros
ALGORITMO GENÉTICO
Exp.
o
ALGORITMO MEMÉTICO
1 PI
2º PI
3º PI
Média
1º PI
2º PI
3º PI
Média
z1
0,25
0,261
0,235
0,226
0,240
0,2205
0,286
0,232
0,246
z2
0,30
0,287
0,283
0,333
0,301
0,3282
0,305
0,348
0,327
0,11
0,091
0,121
0,08
0,097
0,913
0,048
0,059
0,066
α1 (10 )
7,29 a 7,95
9,629
9,116
9,593
9,446
8,342
9,324
9,224
8,963
α2 (10-7)
5,38 a 8,75
9,675
8,815
8,909
9,133
7,316
7,4
7,851
7,522
α3 (10 )
-
6,226
9,387
9,212
8,275
4,406
5,051
7,499
5,652
k2
0,7
0,734
0,678
0,725
0,712
0,668
0,746
0,729
0,714
k3
-
0,438
0,436
0,447
0,44
0,453
0,446
0,453
0,451
2
-
0,962
0,960
0,963
0,962
0,949
0,96
0,960
0,956
-
1h17‟46s
1h12‟4s
53‟23s
1h7‟44s
17‟53s
15‟59s
16‟38s
16‟50s
z3
-7
-7
R
Tempo
Tabela 2: Estimação de parâmetros para o Pavimento Rígido
Percebe-se a alta eficiência da técnica na determinação das espessuras das camadas para
o pavimento rígido, apesar de existir uma pequena variação a cada aplicação do algoritmo. Na
estimação das propriedades dos materiais tem-se uma estimação fora do intervalo considerado
para as difusividades térmicas, além de razoável variação na estimação a cada aplicação. Devese observar, que as difusividades reais do pavimento são desconhecidas e os dados apresentados
como experimentais, são de fato da literatura. Os resultados estimados para a condutividade
térmica são mais próximos dos experimentais e esta poderia ser uma variável mais precisa na
identificação do material através da estimação das propriedades.
O Algoritmo Genético e o Memético são bem eficientes na estimação das espessuras e
das condutividades térmicas, havendo maior discrepância para a espessura da terceira camada.
A vantagem do Algoritmo Memético, em relação ao Genético, é um custo computacional menor
com as condições escolhidas na aplicação realizada.
Os algoritmos de problemas inversos foram aplicados nos dados experimentais do
pavimento flexível de forma semelhante à aplicação no pavimento rígido. Os resultados estão
relacionados na Tabela 3.
568
Parâmetros
ALGORITMO GENÉTICO
Exp.
o
ALGORITMO MEMÉTICO
1 PI
2º PI
3º PI
Média
1º PI
2º PI
3º PI
Média
z1
0,15
0,150
0,14
0,147
0,146
0,1514
0,1423
0,1339
0,1425
z2
0,40
0,396
0,386
0,372
0,385
0,3928
0,3981
0,3803
0,3904
0,01
0,012
0,033
0,039
0,028
0,0158
0,0196
0,0458
0,0271
α1 (10 )
2,92 a 5,43
9,411
8,974
7,88
8,755
8,019
7,239
7,7
7,653
α2 (10-7)
5,38 a 8,75
8,921
8,109
9,459
8,83
7,313
9,475
3,228
6,672
α3 (10 )
-
6,433
5,6
6,66
6,231
6,716
5,144
6,656
6,172
k2
0,7
0,924
0,824
0,809
0,852
0,838
0,713
0,778
0,776
k3
-
0,312
0,314
0,32
0,315
0,314
0,287
0,315
0,305
2
-
0,9731
0,9704
0,9673
0,9703
0,9678
0,9437
0,9536
0,955
-
45‟ 14s
42‟ 24s
52‟ 26s
46‟ 41s
13‟ 20s
14‟ 10s
14‟ 38s
14‟ 3s
z3
-7
-7
R
Tempo
Tabela 3: Estimação de parâmetros para o Pavimento Flexível
Os resultados das Tabelas 2 e 3 são muito semelhantes, em termos de eficiência do
problema inverso, com relação à estimação do valor das incógnitas, com pequena perda de
precisão na estimação da condutividade térmica da 2ª camada pelo Algoritmo Genético,
comparativamente ao desempenho da execução com os dados do pavimento rígido. Mesmo
assim, pode-se concluir que os algoritmos são eficientes e podem ser usados para a função
proposta, para os dois tipos de conjuntos de dados.
Figura 2: Distribuição de temperatura experimental e calculada com a média dos dados
estimados com o Algoritmo Genético para o Pavimento Rígido
Na Figura 2 é mostrada a distribuição de temperatura experimental e calculada para a
média dos dados estimados com o Algoritmo Genético. A simulação descreve razoavelmente o
comportamento dos dados experimentais, apesar de existirem diferenças de aproximadamente
4ºC em algumas curvas, como por exemplo, às 17:00 e às 17:30 em 0,08m e 0,16m de
profundidade. Tal diferença é maior do que a maior incerteza das medidas de temperatura (±
0,69 oC). Uma análise mais detalhada na estrutura do experimento indica que pode existir um
erro nas medidas de temperatura independente da calibração e da repetição. Os sensores medem
a temperatura do conjunto ar+sonda térmica+pavimento, e não apenas do pavimento. Possíveis
efeitos de convecção natural no orifício, devido ao aquecimento do ar pelas fontes nas camadas
mais profundas e conseqüente ascensão deste, podem ter aumentado em cerca de 5 oC a
temperatura nas camadas superiores.
569
4. Conclusões
A técnica proposta mostrou-se eficiente para a estimação das espessuras e da
condutividade térmica. A identificação dos materiais, através do reconhecimento das
propriedades térmicas, mostrou-se mais eficiente com o uso dos valores da condutividade, ao
invés da difusividade térmica.
Os Algoritmos Genético e Memético foram eficientes na estimação dos parâmetros e
mostraram pouca diferença entre os valores dos parâmetros estimados. Considerando as
definições das exigências de aplicação para cada método, o Algoritmo Memético teve menor
custo computacional. Mesmo assim, a aplicação do Algoritmo Genético tem custo
computacional viável para a proposta de resolução do problema.
Considerando a identificação das espessuras e das propriedades térmicas dos materiais,
a técnica proposta neste trabalho traz uma nova perspectiva em avaliação estrutural. Essa
técnica não necessita de muitos equipamentos, grande espaço de atuação (interferência no
tráfego) e também dispensa experiência para uma análise complexa dos dados obtidos, pois é de
fácil uso. A pequena interferência no pavimento pode ser revertida facilmente para preencher os
furos e não necessita de uma análise laboratorial posterior dos materiais do pavimento
analisado.
5. Referências Bibliográficas
BRITTO, A. S. “Identificação de Sistemas Utilizando Algoritmos Meméticos para Estimação de
Parâmetros”, Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul – UNIJUÍ. Ijuí, 2007.
FONTUL, S.; ANTUNES, M.L.; FORTUNATO, E.; OLIVEIRA, M. Practical application of
GPR in transport infrastructure survey. In: Advanced Characterization of Pavement and Soil
Engineering Materials, Londres, 2007.
GOLDBERG, D. E. “Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning”.
Boston: Addison Wesley Longman, USA, 1989.
HELLMANN, L. “Determinação de Propriedades Térmicas de Materiais de Pavimentação”.
Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul –
UNIJUÍ. Ijuí, 2008.
HOLLAND, J. H. “Adaptation in Natural and Artificial System”. Ann Arbor, 2. ed. The
University of Michigan Press, USA, 1975.
LEANDRO, G. V.; BORGES, A. P. B.; SALVADORI, F.; CAMPOS, M.; RECH, C.;
CAMARGO, R. F. Optimal Mathematical Modelo of Hall-Effect Sensor. Anais do International
Conference on Engineering Optimazation, Rio de Janeiro, 2008.
MOSCATO, P. “On Evolution, Search, Optimization, Genetic Algorithms and Martial Arts:
Towards Memetic Algorithms”. Caltech Concurrent Computation Program, C3P Report 826,
Pasadena CA.,1989.
NIELSEN, N; HAUSER, B.; PREBER, T.; SEBAALY, P.; JOHNSTON, D.; HUFT, D.;
BANG, S. Full Depth Reclamation On Existing Asphalt Pavements. Anais do 4º Eurasphalt &
Eurobitume Congress, Dinamarca, 2008.
ÖZISIK, M. N. “Heat Conduction”. John Wiley & Sons. New York, 1993.
ÖZISIK, M. N.; ORLANDE, H. R. B. “Inverse Heat Transfer: Fundamentals and Applications”.
Taylor Francis. New York, 2000.
TRAMONTINI, R. “Modelagem Matemática da Transferência de Calor em Pavimentos Rígidos
e Flexíveis”. Dissertação de Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul – UNIJUÍ. Ijuí, 2007.
570