RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS E
CRIATIVIDADE
Metodologia de resolução de problemas como uma atividade
de investigação
Antonio Carlos Brolezzi
http://www.brolezzi.com.br/cogeae/
[email protected]
1991
1988 - 1991 Mestrado em Educação.
FEUSP, São Paulo, Brasil.
Título: A Arte de Contar: uma Introdução ao Estudo do Valor
Didático da História da Matemática.
Ano de obtenção: 1991.
Orientador: Nílson José Machado.
1997
1992 - 1996 Doutorado em Educação.
FEUSP, São Paulo, Brasil.
Título: A tensão entre o discreto e o contínuo na história da
matemática e no ensino de matemática
Ano de obtenção: 1997
Orientador: Nílson José Machado.
Alguns trabalhos de orientação concluídos
Dissertações de mestrado (USP)
1.João Fabio Porto. Diálogo e interatividade em videoaulas de
matemática.
2.Leda Maria Bastoni Talavera. A parábola e a catenária: história
e aplicações.
3. Susane Fernandes de Abreu Teixeira. Uma reflexão sobre a
ambiguidade dos jogos na educação matemática.
4. Constanza Kaliks Guendelman. O conceito de douta ignorância
de Nicolau de Cusa em uma perspectiva pedagógica.
Alguns trabalhos de orientação concluídos
Dissertações de mestrado (USP)
5. Ernani Nagy de Moraes. O professor de matemática e o
constante formar-se: refletindo sobre atividades dentro e fora
da escola.
6. Cristina Dalva Van Berghem Motta. História da matemática na
educação matemática: espelho ou pintura?
7.Walter Spinelli. Aprendizagem matemática em contextos
significativos: objetos virtuais e percursos temáticos.
8. Sonia Maria Pereira Vidigal. Formação da Personalidade Ética:
as contribuições de Kohlberg e van Hiele.
Alguns trabalhos de orientação concluídos
.
Teses de doutorado (USP)
1. Marcos Francisco Borges. Ciência e religião: reflexões sobre
os livros de história da matemática e a formação do professor.
2. Dulcyene Maria Ribeiro. A formação dos engenheiros
militares: Azevedo Fortes, matemática e ensino na Engenharia
Militar no século XVIII em Portugal e no Brasil.
3. Cristina Dalva Van Berghem Motta. Um retrato da apropriação
da teoria de Gerard Vergnaud sobre campos
semânticos/resolução de problemas por professores da Rede
de Ensino da Prefeitura de São Paulo
JEAN PIAGET (1896- 1980)
Princípios que fundamentam
sua teoria:
Construtivismo –
conhecimento resulta da
ação do sujeito sobre
objetos do conhecimento.
Interacionismo –
conhecimento resulta de
trocas realizadas pelo sujeito
com o meio ou com os
objetos de conhecimento
(idéias, sentimentos,
valores, crenças)
Estruturalismo – construção vai além dos
conteúdos da interação, constrói-se a
capacidade de pensar, de organizar, de
conhecer. Ou seja, as próprias estruturas
mentais, vão, durante o processo de
construção de conhecimentos, tornandose cada vez mais complexas.
Genético – associado à idéia de gênese, de
evolução. Entre uma estrutura (ponto de
partida) e uma estrutura mais complexa
(ponto de chegada) temos um processo
de construção. A construção de uma nova
estrutura se dá, necessariamente, pela
conservação e superação da estrutura
anterior.
• Desenvolvimento humano segue etapas sucessivas e universais.
• Sensório-motor: nascimento até 18/24 meses. Presença da
inteligência, mas não do pensamento.
• Inteligência – solução de um problema novo (coordenação de um
meio para atingir um fim),
• Pensamento – inteligência interiorizada, apoiada sobre o
simbolismo.
• Pré-Operatório: 2 anos até 7/8 anos.
• Função Simbólica – representar uma coisa por meio de outra
• Realiza no plano da representação o que foi construído
anteriormente.
• Operações Concretas: 7/8 anos até 12/15 anos
• Lógica dirigida a objetos manipuláveis. Capacidade de
conservar um objeto no decurso das transformações que são
reversíveis..
• Operações Formais: 12 anos
• Lógica do discurso. Raciocínio sobre enunciados verbais,
raciocinar sob o ponto de vista do outro. Raciocínio hipotéticodedutivo.
• A construção do conhecimento ocorre quando acontecem
ações físicas ou mentais sobre objetos que provocam o
desequilíbrio.
LEV S. VYGOTSKY (18961934)
Desenvolvimento do
indivíduo
resultado de um processo
sócio-histórico;
linguagem central neste
processo
aprendizagem enfatizada
Cerne da teoria - aquisição
de conhecimentos pela
interação do sujeito com
o meio.
Análise genética na
compreensão do
desenvolvimento dos
processos mentais.
• Capacidades Mentais:
desenvolvem-se a partir da
comunicação e interação com o
meio, através da aquisição de
experiências dos outros.
• Ser Social: o ser humano é
essencialmente um ser social.
• Desenvolvimento - pressupõe
a inserção do homem em um
ambiente histórico-cultural
• Linguagem: instrumento central
no desenvolvimento humano.
Através dela transmite-se o
legado cultural das gerações
anteriores.
Vygotsky
• Desenvolvimento
e
aprendizagem
estão
relacionados desde o nascimento da criança
– a aprendizagem resulta do desenvolvimento e este
não ocorre sem aprendizagem
• há uma potencialidade no homem que, a partir da
relação com o meio, é colocada em ação
• ZPD - Zona de Desenvolvimento Proximal
Vygotsky
“ZDP é a distância entre o nível de desenvolvimento
real que se costuma determinar através da solução
independente de problemas e o nível de
desenvolvimento potencial, determinado através da
solução de problemas sob a orientação de um adulto
ou em colaboração com companheiros mais
capazes”
Fazer
pedagógico
com
desenvolvimento potencial
vistas
à
área
de
INVESTIGAÇÕES
MATEMÁTICAS
NA SALA DE AULA
João Pedro da Ponte
Autores: João Pedro da Ponte, Joana
Brocardo, Hélia Oliveira
Este livro analisa como práticas de investigação matemática podem ter lugar na
sala de aula. Indicaresultados de pesquisas ilustrando as vantagens e
dificuldades de se trabalhar com tal perspectiva em Educação
Matemática. Discute aspectos como a geração de conjecturas, reflexão e
formalização do conhecimento, ao analisar os papéis de alunos e professores
em sala de aula, quando lidam com problemas em áreas como geometria,
estatística e aritmética.
A resolução de problemas, desafios e
enigmas da matemática pode ser um meio
de desenvolver a criatividade dos alunos e
trabalhar com a matemática de forma
mais divertida e estimulante.
Diversões matemáticas são problemas
matemáticos, desafios, enigmas,
adivinhas, charadas, quebra-cabeças
etc, que tradicionalmente tem sido
utilizadas para distração.
Criatividade é um processo que torna
alguém sensível aos problemas ou
lacunas nos conhecimentos e o leva a
identificar dificuldades, procurar
soluções, formular hipóteses, testá-las
e retestá-las, modificando-as se
necessário e a comunicar os
resultados.
Diversões matemáticas podem ajudar a
tornar as pessoas sensiveis e
observadoras – podem desenvolver a
criatividade.
Diversões matemáticas sempre existiram
– desde que o homem começou a se
interessar pela matemática.
Júlio César de Melo e
Sousa (1895 —1974),
mais conhecido pelo
heterônimo de Malba
Tahan, foi um divulgador
das diversões
matemáticas no Brasil e
no mundo.
Júlio César de Melo e
Sousa (1895 —1974),
mais conhecido pelo
heterônimo de Malba
Tahan, foi um divulgador
das diversões
matemáticas no Brasil e
no mundo.
Júlio César de Melo e
Sousa (1895 —1974),
mais conhecido pelo
heterônimo de Malba
Tahan, foi um divulgador
das diversões
matemáticas no Brasil e
no mundo.
No ensino, elas estavam bastante
presentes no século passado, até os
anos 70.
Vejamos um problema proposto por
Malba Tahan.
1. Um coronel encontrou dez soldados vadiando e
deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda,
que deveria ser cumprida imediatamente ou
iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com
quatro soldados em cada!" Para surpresa do
coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a
ordem. Como eles fizeram?
1. Um coronel encontrou dez soldados vadiando e
deu-lhes uma ordem, aparentemente absurda,
que deveria ser cumprida imediatamente ou
iriam todos presos: "Formar cinco fileiras com
quatro soldados em cada!" Para surpresa do
coronel, os dez soldados conseguiram cumprir a
ordem. Como eles fizeram?
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Eis aí 20 soldados felizes, em cinco fileiras com quatro
soldados cada uma.
Trata-se de outro problema, mas é um problema
parecido com o anterior, embora bem mais fácil.
Isso parece algo trivial, mas não é.
É uma importante estratégia de resolução de problemas:
encontrar um problema parecido com o problema
dado, mas mais fácil de fazer.
Modificar o problema.
A gente precisa perder o medo de modificar o problema,
para desenvolver outras estratégias de resolução de
problemas.
Mas, seja como for, ai temos uma solução para o
problema dos 20 soldados. O que ela nos ensina?
Parece fundamental ter percebido que, no caso do
problema considerado, com apenas 10 soldados, é
necessário que cada soldado esteja presente em duas
fileiras simultaneamente.
Acho que uma boa estratégia é tentar resolver o
problema concretamente, em forma de teatro.
Vamos fazer?
Dez voluntários, vamos tentar para ver o que acontece.
A tradição de diversões matemáticas vem
do início do século XX. Vamos ver um
exemplo.
Trata-se de um desafio que
apareceu no jornal britânico
The Weekly Dispatch em
1903, e que foi publicada pelo
seu autor no livro
Amusements in Mathematics.
Seguem-se trechos do texto
do autor Dudeney.
A figura abaixo mostra seis homens e seis mulheres.
Números ímpares são mulheres, números pares são
homens. Essas doze pessoas formam seis casais que se
misturaram em um passeio. Estamos interessados
particularmente no homem de número 10 ao fundo.
Quem será a mulher dele?
Esta ilustração está reduzida em relação ao que apareceu
originalmente em The Weekly Dispatch em 24 de maio de
1903, mas espera-se que tenha detalhes suficientes para
permitir ao leitor divertir-se ao examiná-la.
Mostrei a figura a alguns amigos, e eles expressaram
diversas opiniões a respeito. Um dele disse, “Eu não
casaria com uma garota como a Número 7." Outro disse,
“Tenho certeza que uma garota simpática como a Número
3 não iria se casar com um cara desse tipo!” Outro disse:
“Deve ser a Número 1, pois ela foi o mais distante
possível do bruto!” Foi sugerido, também, que era mulher
Número 11, porque “ele parece estar olhando para ela;"
mas um cínico respondeu, “Por esta mesma razão, se ele
está mesmo olhando para ela, eu diria que ela não é a
mulher dele!"
Agora deixo a questão nas mãos dos meus leitores. Quem
é realmente a mulher do número 10?
Não há adivinhação neste enigma. É apenas uma questão
de eliminação. Se podemos encontrar os outros pares,
então a senhora restante é a esposa do 10. Vou mostrar
como isso pode ser feito. 8 está carregando um guardasol de mulher, na mesma mão em que segura sua
bengala. Mas todas as senhoras estão com guarda-sois,
exceto a 3. Portanto, a 3 é seguramente a mulher do 8.
Agora o 12 está segurando uma bicicleta, e se trata de
uma bicicleta feminina. A única senhora com roupa de
ciclismo é a 5; portanto, a 5 é a esposa do 12.
Em seguida, o homem 6 tem um cachorro, e a mulher 11
parece estar segurando uma corrente de cachorro. Então
podemos casar 6 com 11. Agora vemos que o 2 está
pagando o jornal ao menino. Mas não pagamos o jornal
antes de recebê-lo, e o homem não está recebendo
jornal. Mas a senhora 9 está lendo um jornal. Logo, a
inferrência é óbvia – que ela mandou o menino cobrar do
marido. Portanto casamos o 2 com o 9. Assim, já
definimos todas as mulheres exceto 1 e 7, e todos os
homens exceto 4 e 10. Olhando para 4, vemos que ele
está carregando um casaco sobre seu braço, e os botões
estão do lado esquerdo, não do lado direito, como um
casaco masculino. O casaco com certeza não pertence a
1, pois ela parece já estar usando um casaco, enquanto 7
está vestida muito levemente. Portanto casamos 7 com o
homem 4. Agora resta apenas a 1, que deve ser
necessariamente a mulher de 10. Esta é a resposta
correta.
Henry Ernest
Dudeney (1857-1930),
matemático e escritor inglês e
que se especializou em
diversões matemáticas.
Você pode fazer o download da obra de
domínio público de Dudeney Amusements in
Mathematics disponível no Projeto Guteberg:
http://www.gutenberg.org/ebooks/16713
Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua
solução em 1902 para o Enigma de Haberdasher (cortar
um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma
de um quadrado) (haberdasher – loja de armarinhos)
Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua
solução em 1902 para o Enigma de Haberdasher (cortar
um triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma
de um quadrado) (haberdasher – loja de armarinhos)
Uma das criações mais famosas de Dudeney foi sua
solunção para o Enigma de Haberdasher (cortar um
triângulo equilátero e rearranjar as partes em forma de
um quadrado)