ISEL
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
MECÂNICA DE MATERIAIS I
SEMESTRE Mar.06 a Jul.06
1.º Teste Repetição
(03-07-06)
P Problema 1
Considere a estrutura representada na Fig.1.
Calcule:
a)- A área da secção das barras AC, BC e BD para
que a tensão não ultrapasse 100 MPa.
b)- A tensão normal e tensão tangencial numa secção
oblíqua, na barra AC, que faz com o eixo vertical
da barra o ângulo de 60º.
30cm
200
45cm
200
B
A
C
30cm
200
P Problema 2
90cm
200
D
Fig.2
Uma barra ABC, considerada rígida, foi fixada no apoio A
através de um cavilhão e apoiada no cilindro de cobre
BD, com 22 mm de diâmetro, E= 105 GPa e α =
0,0000188/ºc ( fig.2).
Um parafuso com 30 mm de diâmetro e E= 200 GPa,
passa através de um furo na barra em C e está fixo por
uma porca simplesmente ajustada. Eleva-se a temperaura
do cilindro de cobre de 30 ºc mantendo o parafuso a sua
temperatura constante.
Calcule: as tensões no:
a)- Cilindro de cobre;
b)- Parafuso;
c)- Cavilhão que tem 15 mm de diâmetro.
P Problema 3
A variação no diâmetro do parafuso de aço com passo de rosca
1,45mm, representado na Fig.3, é medida cuidadosamente
enquanto o parafuso está a ser apertado através de uma porca.
Se a variação medida no seu diâmetro for de −13 μm e sabendo
que E = 200 GPa e ν= 0,3, calcule:
a)- O esforço interno no parafuso;
b)-O número de voltas que foram dadas à porca
y
3
B
D
B´
250
A
Casimiro Pinto
P Problema 4
2
D´
x
300
C Fig.4
Uma placa rectangular é deformada conforme indicado pela forma tracejada
mostrada na fig.4. Considerando que na configuração deformada as linhas
horizontais da placa permanecem horizontais e não variaram o seu
comprimento, determine:
a)- A deformação específica da recta AB;
b)- A deformação específica de corte, ou distorção, da placa relativamente
aos eixos x e y.
T1RVmat1-06
RESOLUÇÃO
P Problema 1
2 kN
1º Cálculo dos esforços nas barras aplicando o método
de Ritter
a) - Cálculo do FAC
∑M
to
B
F=0
5 kN
−
+
-2×1,1 + 5×6 - FAC×2,2 = 0 2,2×FAC = 27,8
FAC = 12,63 kN (Tracção)
a.1) - Cálculo do FBD
∑M
to
C
F=0
+
−
2×1,1 + 5×7,5 + FBD×2,2 = 0 2,2×FBD =- 39,7
FBD = - 18,04 kN (Compressão)
A
B
FBD
FAC
C
a.2) - Cálculo do FBC
Vamos projectar as forças segundo um eixo horizontal
+
-
FBC
D
(b)
∑( F)X = 0
5 - FBC.cos α = 0
5 - FBC .
mas cos α =
AB
, BC= 2,2 2 + 1,52
BC
2,2
5 7,09
= 0 FBC =
7,09
2,2
BC= 7,09 logo cos α=
2,2
7,09
FBC = 6,05 kN (Tracção)
2º Cálculo das secções das barras
Barra AC
FAC = 12,63 kN
σadm =100 MPa
F
σ=
A
σadm
F
= AC
AAC
12,63 × 10 3
100.10 =
AAC
6
AAC = 0,0001263 m2 AAC = 126,3 mm2
Barra BD
FBD = - 18,04 kN
σadm =100 MPa
F
σ=
A
Casimiro Pinto
σadm
F
= BD
ABD
18,04.10 3
100.10 =
ABD
6
ABD = 0,0001804 m2 AAC = 180,4 mm2
T1RVmat1-06
Barra BC
FBC = 6,05 kN
6,05 × 10 3
100×10 =
ABC =0,0000605 m2 ABC =60,5 mm2
ABC
F
σadm = BC
ABC
F
σadm =
A
6
b)- Cálculo da tensão normal e tensão tangencial numa secção oblíqua, na barra AC, que faz com o
eixo vertical da barra o ângulo de 60º.
σ=100 Mpa
A
a
σn =σ.cosα
1
τn = σ.sen2α
2
30º
A
σn = 75 MPa
τn = 43,3 MPa
1
τn = 100.sen60
2
b
C
30cm
200
σn =100.cos302
60º
2
σ=100 Mpa
45cm
200
B
C
P Problema 2
30cm
200
Uma barra ABC, considerada rígida, foi fixada no
apoio A através de um cavilhão e apoiada no
cilindro de cobre BD, com 22 mm de diâmetro,
E= 105 GPa e α = 0,0000188/ºc ( fig.2).
Um parafuso com 30 mm de diâmetro e E= 200
GPa, passa através de um furo na barra em C e
está fixo por uma porca simplesmente ajustada.
Eleva-se a temperaura do cilindro de cobre de 30
ºc mantendo o parafuso a sua temperatura
constante.
Calcule: as tensão no:
a)- Cilindro de cobre;
b)- Parafuso;
c)- Cavilhão que tem 15 mm de diâmetro.
90cm
200
D
Fig.2
a) – Condições da estática (Condições de equilíbrio)
∑M
∑ (F)
∑ (F )
y
30cm
VA
A HA
F =0
to
C
45cm
B
C
x
=0 ↑+
Y
+
RB
−
↓−
−
=0 → ←
X
RC . 75 − RB . 30 = 0 ⇒ RC = 0,4 RB (1)
V A + RB − R C = 0
HA = 0
Sistema hiperestático
B
RC
+
B
B
b) - Condições de deformação
Casimiro Pinto
T1RVmat1-06
b.1 - Devido à temperatura no cilindro BD
δBD = LBD. α . ΔT
δBD = 300 . 0,0000188 . 30
δBD = 0,1692 mm
δBD = 0,0001692 m
C´
A´´≡ A´ ≡
A
B´
C´´
B´´
δaço
C
B
B´B´´- deformação δcobre no cobre devido ao esforço RB
Se o parafuso não tivesse a porca a
barra ABC iria para a posição Á B´
C´, mas como possui a porca que
não deixa efectuar a deformação,
ela ficará pela posição A´´B´´C´´,
isto é, o cobre não dilata tudo e por
isso será como sofresse um
encurtamento e o parafuso um
alongamento.
BB´- deformação no cobre devido à temperatura e tem o
valor de 0,0001692m
CC´´- deformação δaço no parafuso devido ao esforço RC
Deformação no aço
Aaço=
π .d 2
δ aço =
4
=
π . 30 2
4
= 706 ,5 mm 2
Aaço=0,0007065 m2
Fa .La
RC .0,9
=
δaço=6,3694.10-9RC
E a . Aa 200.10 9.0,0007065
Deformação no cobre
Acobre=
π .d 2
δ cobre =
4
=
π .22 2
4
= 379,94mm 2 Acobre=0,00037994 m2
FC .LC
RB .0,3
=
9
EC . AC 105.10 .0,00037994
δcobre=7,5199.10-9RB
B
Da figura tiramos
BB´− B´B´´ CC´´
=
AB
AC
0,0001692 − δ cobre δ aço
=
0,3
0,75
δaço= 2,5(0,0001692 − δ cobre )
δaço=
0,75
(0,0001692 − δ cobre )
0,3
6,3694.10-9RC = 2,5(0,0001692 − 7,5199.10 - 9RB)
Mas de tendo em conta (1) que RC = 0,4 RB
temos
B
6,3694.10-9. 0,4 RB = 2,5(0,0001692 − 7,5199.10 RB)
-9
B
2,54776. 10-9 . RB = 0,000423 - 18,79975.10-9 RB
21,34751. 10-9 . RB = 0,000423
RB = 19814,9 N
B
B
B
Casimiro Pinto
T1RVmat1-06
RB = 19,8149 kN
B
como RC = 0,4 RB
Teremos RC = 0,4 . 19,8149
Calcule: as tensão no:
a)- Cilindro de cobre.
b)- Parafuso
c)- Cavilhão que tem 10 mm de diâmetro
RC = 7,92596 kN
a)- Tensão no Cilindro de cobre
RB
19814,9
=
ACIL
379,94
σcil =
σcil =
52,15 MPa
b)- Tensão no parafuso
σparaf =
RC
APARAF
=
7925,96
706,5
σparaf =
11,22 MPa
c)- Tensão no Cavilhão
Cálculo da Reacção
substituindo nas equações temos
VA + 19,8149 −7,92596 = 0
HA = 0
RA= V A2 + H A2
τcav =
VA + 19,8149 −7,92596 = 0
HA = 0
RA= ( −11,88894) 2 + 0
RA
11888,94
=
ACav.
π .15 2
4
RA=11,88894 kN
τcav =
VA
=−11,88894
kN
HA = 0
67,31 MPa
d)- Pressão específica de contacto nas chapas laterais do apoio A .
R A 11888,94
2
pe = 2 =
A
15.12
pe = 33,02 MPa
P Problema 3
A variação no diâmetro do parafuso de aço com
passo de rosca 1,45mm, representado na Fig.3, é
medida cuidadosamente enquanto o parafuso
está a ser apertado através de uma porca.
Se a variação medida no seu diâmetro for de
−13 μm e sabendo que E = 200 GPa e ν= 0,3,
calcule:
a)- O esforço interno no parafuso;
b)-O número de voltas que foram dadas à porca
a)- Cálculo do esforço interno no parafuso
1 - Cálculo da área da secção do parafuso
A=
π .d 2
4
A=
π .60 2
4
A = 2826 mm2
A = 0,002826 m2
2 – Pela lei e Hooke sabemos que as deformações específicas são dadas por:
Casimiro Pinto
T1RVmat1-06
εx = +
σx
E
εy = −
εz
= −
−
E
ν σ x σy
E
ν σx
E
Mas σx =
Como
−
νσy
δd
d
+
−
νσ z
−
E
εx =
E
Fx
Ax
σx =
E
E
νσ z
como
E
νσ y σz
+
σx
σy = σz = 0
⇒
εy = −
εz
=
−
ν σx
E
ν σx
E
E
Fx
(1)
0,002826
δd = −13 μm δd = − 0,000013 m
δd = d . εy
= εy
d = 60 mm =0,06 m
εy
= −
ν σx
δd = 0,06 . (−
ν σx
E
)
E
Fx
0,002826
Atendendo a (1) vem
-0,000013 = -0,06.
200 .10 9
0,3 . Fx
0,000013 = 0,06.
200 .10 9 . 0,002826
0,3
Fx = 408200 N
Fx = 408,2 kN
b)-Cálculo do número de voltas que foram dadas à porca
εx =
σx
E
δx = L . εX
σx =
408200
=144,44MPa
2826
E=200.109
δx = 1000 .
0,0007222
εx =
144,44.10 6
200.10 9
εx =0,0007222
δx = 0,7222mm
passo.n=0,7222
1,45.n=0,7222
n =0,5 volta
Casimiro Pinto
T1RVmat1-06
y
P Problema 5
Uma placa rectangular é deformada conforme
indicado pela forma tracejada mostrada na
figura. Considerando que na configuração
deformada as linhas horizontais da placa
permaneçam horizontais e não variem o seu
comprimento, determine:
a)- A deformação específica da recta AB;
b)- A deformação específica do corte da placa
relativamente aos eixos x e y.
a) A deformação específica da
recta AB;
A recta AB, coincidente com o
eixo y, passa para a posição
AB’ após a deformação. O
comprimento da recta AB´é:
AB´=
y
B
b)- A deformação específica do
corte.
Como é evidente, o ângulo BAC de
90° entre os lados da chapa, em
relação aos eixos x e y, muda
para α devido ao deslocamento de
B paraB’.
Como γxy = (π/2)−α, teremos:
tgγxy =
3
= 0,012096
250 − 2
D 2
B´
250
A
D´
x
300
C
Assim a deformação específica será:
ε=
2
AB´− AB 248,018 − 250
=
= −0,007928
250
AB
B´
x
A
AB´= 248,018 mm
B
3
250
(250 − 2)2 + 32
3
y
B
3
2
D´
γxy B´
250
α
A
x
300
C
Como γxy é muito pequeno
tgγxy =γxy=0,012096 rad
Casimiro Pinto
T1RVmat1-06