2010
Resolução - IME
OBJETIVAS
Solução por:
Turma 14 ITA em colaboração com Rumoaoita
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 1
___________________________________________________________________
Opção A
Solução:
A1 + A 2 = A Semi−Circulo − A ∆
2
 5  3.4 25π
= π  −
=
−6
2
4
2
A área pedida é S = S1 + S2 , mas:
2
3
S1 = π.   − A1
2
2
S2 = π. ( 2 ) − A 2
De modo que:
25π  25π
9


S = π.  + 4  − ( A1 + A 2 ) =
−
− 6 = 6
4
4

 4

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RUMOAOITA
Questão 2
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Elevando a equação ao quadrado:
sen² ( Arc cot g (1 + x ) ) = cos² ( Arctg ( x ) )
144
42444
3
14243
θ
1
1
⇒
=
csc ²θ sec ²ϕ
1
1
⇒
=
1 + ctg²θ 1 + tg²ϕ
1
1
⇒
=
1 + ( x + 1) ² 1 + x²
⇒ x² = ( x + 1) ²
⇒x=−
1
2
ϕ
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RUMOAOITA
Questão 3
___________________________________________________________________
Opção A
Solução:
`
Do enunciado e da figura acima:
( eq. I)

( eq. II)

( eq. III)
Igualando-se II e III:
3
.x = 3.y
3
x.y = S
h = tg ( 30º ) .x
h = tg ( 60º ) .y
⇒
x = 3.y
(Eq. IV )
Substituindo IV em I:
x.y = 3.y.y = S
⇒
y=
S
3
Logo, o volume da pirâmide é:
1
1
S 1
V = .S.h = .S. 3.
= .S. S
3
3
3 3
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RUMOAOITA
Questão 4
___________________________________________________________________
Opção E
Solução:
∆=
x1 x1
x1 x 2
x1 ... x1
x 2 ... x 2
...
...
... ... ...
x1 x 2
x 3 ... x n
= x1.
1 1
x1 x 2
1 ... 1
x 2 ... x 2
...
...
... ... ...
x1 x 2
x 3 ... xn
Utilizando a regra de Chió
∆ = x1.
x 2 − x1 x 2 − x1 ... ... x 2 − x1
x 2 − x1 x 3 − x1 ... ... x 3 − x1
...
...
... ...
...
x 2 − x1 x 3 − x1 ... ... x n − x1
É sabido que: xi − x1 = ( i − 1) .r
r
∆ = x1.
r
...
r 2.r ...
... ... ...
r
2.r ...
r
2.r
...
(n − 1) .r
1
= x1.r n−1.
1 ...
1
1 2 ...
... ... ...
2
...
1 2 ... ( n − 1)
14442444
3
Mn −1
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RUMOAOITA
Por Chió em Mn-1 :
1
Mn−1 =
1 ...
1
1 2 ...
... ... ...
2
...
= Mn−2
1 2 ... ( n − 2 )
144424443
n−2 x n−2
Da recorrência:
Mn−1 = Mn−2 = ... = M2 =
Logo:
∆ = x1.r n−1
1 1
1 2
=1
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RUMOAOITA
Questão 5
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
Temos, portanto que:
a1 =
y +1
x
,
a2 =
y −1
x
Da relação dada:
2
a12 + a2 2 = 2
2
 y +1   y −1 
⇒ 
 +
 =2
 x   x 
2
2
⇒ ( y + 1 ) + ( y − 1 ) = 2.x²
⇒ x² − y² = 1
Que é uma hipérbole de centro (0,0) e diretriz: x = ±
2
2
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RUMOAOITA
Questão 6
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Segue, a partir do enunciado o seguinte raciocínio:
( 5.y )
logx 5
= ( 7.y )
logx 7
⇒ logx 5. (logx ( 5.y ) ) = logx 7. ( logx ( 7.y ) )
⇒ logx 5. (logx 5 + logx y ) = logx 7. (logx 7 + logx y )
2
2
⇒ ( logx 5 ) + ( logx 5.logx y ) = ( logx 7 ) + (logx 7.logx y )
2
2
⇒ ( logx 5 ) − ( logx 7 ) = logx y. ( logx 7 − logx 5 )
⇒ ( logx 5 − logx 7 ) . ( logx 5 + logx 7 ) = logx y. ( logx 7 − logx 5 )
⇒ logx 5 + logx 7 = − logx y
⇒ logx 35 = logx
⇒ y=
1
35
1
y
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RUMOAOITA
Questão 7
___________________________________________________________________
Solução:
Opção B
Podemos transformar o problema em um mais simples:
Suponha que, das pessoas consideradas, as que têm R$ 1,00 representam
um traçado do tipo S (para cima), e as que têm R$ 2,00 representam um
traçado do tipo D (para baixo). Neste problema análogo, o objetivo é, com
quatro passos S e com quatro passos D atingir o ponto (8,0) (sem passar
para baixo do eixo x).
O ponto de chegada é (8,0) porque há 8 pessoas e porque há 4 pessoas com
R$ 1,00 e 4 pessoas com R$ 2,00 (o pipoqueiro sempre terminará sem troco!)
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RUMOAOITA
Total de Casos:
S + D = 8

S − D = 0
⇒S=D=4
⇒ Total = P84,4 =
8!
= 70
4!.4!
Casos Não permitidos:
Descartamos os casos que passam pela reta y = -1. Ora, para contar estes
caminhos, basta ver de quantos modos se pode ir de (0, -2) a (8,0) . São
estes os caminhos que passarão por y = -1.
S + D = 8

S − D = 2
⇒S=5, D=3
⇒ Não Permitidos = P85,3 =
8!
= 56
5!.3!
Logo, a probabilidade pedida será:
P=
Total − Não Permitidos 70 − 56
=
= 0,2 = 20%
Total
70
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Questão 8
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
2π 
Seja w = c is 
:
 7 
Sabemos que:
w7 − 1 = 0
(
)
⇒ ( w − 1) . 1 + w + w² + w³ + w 4 + w 5 + w 6 = 0
w ≠1
⇒ 1 + w + w² + w³ + w 4 + w 5 + w 6 = 0
(
)
⇒ w + w² + w³ + w 3 w + w 2 + w 3 + 1 = 0
1
 6.π 
1 + cis 

 7 
 3.π 
cis  −

1
 7 
=−
=−
 3.π 
 3.π 
 3.π 
2.cos 
2.cos 
 .cis 


 7 
 7 
 7 
1 i  3.π 
= − + .tg 
2 2  7 
⇒ w + w² + w³ = −
1
=−
w³ + 1
Portanto:
1
 2.π 
 4.π 
 6.π 
cos 
 + cos 
 + cos 
 = Re ( w + w² + w³ ) = −
2
 7 
 7 
 7 
E, logo:
 2.π 
 4.π 
 6.π  1
cos 
 + cos 
 + cos 
+ =0
 7 
 7 
 7  2
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RUMOAOITA
Questão 9
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
Pela desigualdade das médias quadrática e aritmética:
MA ≤ MQ
⇒
x+y
2
≤
⇒ x+y ≤
x² + y²
2
2. x² + y²
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Questão 10
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
I. VERDADEIRA Se B está contido em C, então todo elemento de B é
elemento também de C. Se o conjunto A é um elemento de B, então será
elemento de C também.
II. FALSA Se A está contido em C, então todo elemento de A é também
elemento de B. O contrário, no entanto, não é garantido.
III. FALSA Contra-exemplo:
Tome:
A = {0 ,1, 2} , B = {0 ,1, 2,3}, C = {0, − 3 ,{0 ,1, 2,3}}
Atendem as condições de hipótese pois:
x ∈ B, ∀x ∈ A
⇒ A ⊆B
{0 ,1, 2,3} ∈ C
⇒ B∈C
2∈ A , 2∉C
⇒ A ⊆C
Mas
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RUMOAOITA
Questão 11
___________________________________________________________________
Opção E
Solução:
P(x) = a0 + a1.x + ... + an .x
n
Temos:
 1
 1
P(x).P   ≡ P(x) + P  
x
x
a
a 
1


⇒ a0 + a1.x + ... + an .xn .  a0 + 1 + ... + nn  ≡ 2.a0 + a1.  x +  + ... + an . xn + x −n
x
x
x




a
a




⇒ a0  a0 + ... + nn  + a1.x.  a0 + ... + nn  + .... + an . a0 .xn + ... + an
x 
x 


(
)
(
(
)
1

≡ 2.a0 + a1.  x +  + ... + an . x n + x −n
x

(
Da identidade, igualando os coeficientes:
an ≠0

a
.a
=
a
⇒ a0 = 1
n
0
n

an ≠0

⇒ a1 = 0
an .a1 + an−1.a0 = an−1

an ≠ 0

⇒ a2 = 0
an .a2 + an−1.a1 + an−2 .a0 = an−2
...

an2 + an−12 + ... + a0 2 = 2.a0 ⇒
an 2 + 1 = 2


)
⇒ an = ±1
Logo: P ( x ) = ± xn + 1
3
Como P(3) = 28 e 3 + 1 = 28, temos: P ( x ) = x³ + 1, e, portanto P(4) = 65.
)
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Questão 12
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Sabe-se que:
3.a8 = 5.a13 ⇒
3. ( a1 + 7.r ) = 5. ( a1 + 12.r )
⇒ 39.r + 2.a1 = 0
⇒ r=−
2.a1
39
Logo:
Sn = ( a1 + an ) .
n
n
= ( 2.a1 + (n − 1) .r ) .
2
2
2.a1

 n
=  2.a1 −
. ( n − 1)  .
39

 2
 40 − n 
= a1. 
 .n
 39 
a
= 1 . ( 40.n − n² )
39
Como a1 > 0, teremos um ponto de máximo para n = 20 (vértice da parábola
acima).
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RUMOAOITA
Questão 13
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
O problema claramente faz uma distinção dos passageiros apenas por sexo.
Se a questão tratasse todo o passageiro independente do sexo, o problema
equivaleria a determinar o número de soluções não-negativas da equação:
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 10
Como há uma distinção entre passageiros mulheres e homens, devemos
determinar o número de soluções não-negativas de:
m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6 = 6
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = 4
Este resultado é conhecido, e a resposta, respectivamente:
11!
= 462
6!.5!
9!
= 126
CR64 = C95 =
4!.5!
5
CR66 = C11
=
Pelo principio multiplicativo, o número total de possibilidades de desembarque
será:
Total = 462 . 12 = 58212
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RUMOAOITA
Questão 14
___________________________________________________________________
Solução:
Da linha 5: 4.a = 8 ⇒ a = 2
Da linha 3: a + 5.b = 7 ⇒ b = 1
Da linha 2: 2.b + 3.d = 11 ⇒ d = 3
Opção B
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RUMOAOITA
Questão 15
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
Note que:
f ( − x ) = a.sen ( − x ) + b.3 − x + 4 = −a.senx − b.3 x + 4
∴ f ( − x ) = −f ( x ) + 8
Além disso, temos que:
f ( log10 (log10 3 ) ) = f ( − log10 ( log3 10 ) )
Logo:
f ( log10 ( log10 3 ) ) = −f ( log10 ( log3 10 ) ) + 8 = −5 + 8 = 3
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RUMOAOITA
Questão 16
Cilindro oco
A figura acima apresenta duas massas
m1 = 5 kg e m2 = 20 kg presas por um fio
que passa por uma roldana. As massas
são abandonadas a partir do repouso,
ambas a uma altura h do solo, no exato
instante em que um cilindro oco de
massa m = 5 kg atinge m1 com
velocidade v = 36 m/s, ficando ambas
coladas. Determine a altura h, em
metros, para que m1 chegue ao solo com
velocidade nula
v0
m
m1
m2
h
A) 5,4
B) 2,7
C) 3,6
Dado:
• Aceleração da gravidade: g
2
= 10 m/s
D) 10,8
E) 1,8
Observação:
A roldana e o fio são ideais
___________________________________________________________________
Solução:
Opção A
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RUMOAOITA
Conservação do momento linear entre os instantes A e B:
m.V0 = ( m0 + m1 + m2 ) .V1
⇒
V1 =
5.36
=6
30
Conservação de energia entre os instantes B e C:
(m0 + m1 + m2 ) .V12 = m .g.h − m + m .g.h
( 0 1)
2
2
Logo:
⇒
h=
(m0 + m1 + m2 ) .V12 = 5,4 m
2.g. ( m2 − m0 + m1 )
m
s
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RUMOAOITA
Questão 17
Tubo
Cilindro
A figura acima apresenta um cilindro que executa um movimento simultâneo de translação e
rotação com velocidades constantes no interior de um tubo longo. O cilindro está sempre coaxial
ao tubo. A folga e o atrito entre o tubo e o cilindro são desprezíveis. Ao se deslocar no interior do
tubo, o cilindro executa uma rotação completa em torno do seu eixo a cada 600 mm de
comprimento do tubo. Sabendo que a velocidade de translação do cilindro é 6 m/s, a velocidade
de rotação do cilindro em rpm é:
A) 6
B) 10
C) 360
D) 600
E) 3600
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Da informação a respeito do movimento de translação:
∆L 0,6
V=
=
=6
⇒ ∆t = 0,1 s
∆t
∆t
Do movimento de rotação:
ω=
1 rotação
= 10
0,1 s
rotações
s
= 600
rotações
min
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RUMOAOITA
Questão 18
Um observador e uma fonte sonora de frequência constante movem-se, respectivamente,
segundo as equações temporais projetadas nos eixos X e Y:
Observador
Fonte
•
Xo(t) = cos(t)
Xf(t) = sen(t) + cos(t)
Yo(t) = –cos(t)
Yf(t) = –2 cos(t)
Observação:
A velocidade de propagação da onda é muito maior que as velocidades do observador e da
fonte.
Com relação ao instante t (0 ≤ t < π), o observador perceberá uma frequência:
A) constante
B) variável e mais aguda em t = 0
C) variável e mais aguda em t = ¼ π
D) variável e mais aguda em t = ½ π
E) variável e mais aguda em t = ¾ π
___________________________________________________________________
Opção A
Solução:
Como Vs >> Vf, podemos usar uma mudança de referencial. Tomando como
referência a fonte, temos:
Xo,f = Xo ( t ) − Xf ( t ) = sent
Yo,f = Yo ( t ) − Yf ( t ) = cos t
Ou seja, o observador realizará uma circunferência em torno da fonte. Dessa
forma, temos que na direção FO, que liga a fonte ao observador, não há
velocidade relativa.
Logo f = f0 = constante.
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 19
O valor da resistência equivalente entre os terminais A e B do circuito mostrado na figura acima
é:
A) R/2
B) 6R/11
C) 6R/13
D) 16R/29
F) 15R/31
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
A ponte de Wheatstone assinalada na figura a seguir nos permite redesenhar
o circuito da seguinte forma:
D
E
C
C
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Como o esquema é simétrico temos que RAC = RCB. A resistência total será:
Calculando RAC:
Finalmente:
R AC =
8.R
13
Voltando no sistema total:
1
1
1
=
+
R AB 2.R AC R
⇒
1
13
1
=
+
RAB 16.R R
⇒ R AB =
16.R
29
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 20
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
Da equação dos pontos conjugados:
1 1 1
= +
f p p'
(Eq. I)
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RUMOAOITA
Da geometria da questão:
p + p' = L
(Eq. II)
De II em I:
1 1
1
= +
f p L−p
⇒ p=
L ± L. (L − 4.f )
2
Da discussão do discriminante no resultado acima, temos que:
L = 4.f gera apenas 1 imagem
L > 4.f gera 2 imagens
L < 4.f não gera imagem.
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RUMOAOITA
Questão 21
___________________________________________________________________
Opção A
Solução:
Para o equilíbrio, a soma dos torques deve ser nula:
216.AC.cos15º = 175.CB.sen75º +F.CB.cos75º
Substituindo os dados, chega-se a:
F = 242,5 N
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RUMOAOITA
Questão 22
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Temos que:
F=
G.M.m
(D + r )
2
⇒a=
G.M
(D + r )
2
Como a distância diminui com o tempo, a aceleração aumentará com o
tempo.
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 23
___________________________________________________________________
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Opção B (Observação)
Solução:
Determinando o valor da tensão:
A expressão do campo magnético no interior de cada solenóide nos dá:
µ .N.i
4.10−3 .0,04 40
Bsolenoide = 0
= 4.10−3 ⇒ i =
=
L
4.π.10−7.10
π
Aplicando a lei de Ohm:
V = R.i = 2.
40 80
=
V
π
π
Sentido da Corrente Induzida
Pela lei de Lenz, a corrrente tem sentido horário.
OBS: O desenho do enunciado abre espaço para a confusão de qual é o
verdadeiro sentido da corrente.
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RUMOAOITA
Questão 24
n1
θ1
n2
θ2 θ2
θ3
n3
θ3
n N-1
θN-1
nN
θN-1
θN
Considere um meio estratificado em N camadas com índices de refração n1, n2, n3, ..., nN,
como mostrado na figura acima, onde estão destacados os raios traçados por uma onda
luminosa que os atravessa, assim como seus respectivos ângulos com as normais a cada
interface.
Se ni+1= ni /2 para i=1,2,3,...N-1 e senθN=1024senθ1 , então N é igual a:
Observação:
•
A escala da figura não está associada aos dados.
A) 5
B) 6
C) 9
D)
10
E) 11
___________________________________________________________________
Opção E
Solução:
Pela Lei de Snell temos
n1.senθ1 = n2 .senθ2

n2 .senθ2 = n3 .senθ3

...

nn−1.senθn−1 = nn .senθn
⇒ n1.senθ1 = nn .senθn
Além disso, do enunciado:
n1.senθ1 = nn .1024.senθ1
⇒
nN =
n1
n
= 1
2n−1 1024
⇒
n = 11 camadas
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 25
fonte pontual
r
A figura acima apresenta uma fonte sonora pontual que emite uma onda harmônica esférica
em um meio não dispersivo. Sabendo que a média temporal da intensidade da onda é
diretamente proporcional ao quadrado da sua amplitude, pode-se afirmar que a amplitude, a
uma distância r da fonte, é proporcional a:
A) 1 / r 1/2
B) 1 / r
C) 1 / r 3/2
D) 1 / r 2
E) 1 / r 3
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
I.S = cons tan te ⇒ I ∝
1
1
⇒ I∝
S
R²
Mas:
I ∝ A²
⇒A∝ I
⇒A∝
1
R
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Questão 26
Teto
Teto
P2
P2
30°
P1
5m
h
P1
x
Cortiça
Centro
Centro
Uma fina placa metálica P1, apoiada em um tablete de cortiça no fundo de um frasco
cilíndrico, dista 5 metros de uma placa idêntica P2, fixa no teto, conforme a figura acima. As
duas placas formam um capacitor carregado com Q coulombs.
Enche-se o referido frasco com um líquido de índice de refração n = 2,5, até que a
superfície de
P1 atinja a altura de h metros. Em seguida, lança-se sobre o centro da
superfície um raio de luz monocromática, sob um ângulo de 300 com a vertical.
Sabendo que a energia armazenada no capacitor fica reduzida a 0,6 do valor inicial, que o
raio refratado atinge um ponto situado a x metros do centro do fundo do frasco e
desprezando o efeito de borda do capacitor, podemos dizer que o valor aproximado de x é:
Observação:
•
As espessuras da cortiça e da placa são desprezíveis em relação à altura h.
A) 0,1
B) 0,2 C)
0,3
D) 0,4
E) 0,5
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Como a carga inicial e final são iguais:
Q²
Ef 2.Cf Ci
=
=
=
Q²
Ei
Cf
2.Ci
Como Ef = 0,6.Ei:
5 − h = 0,6.5
ε0 .A
di
d 5 −h
= f =
ε0 .A di
5
df
⇒ h=2 m
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Pela lei de Snell:
n.sen ( 30º ) = n1.senθ1
⇒ senθ1 =
1
1
=
2.2,5 5
Finalmente:
1
=
5
x
x² + h²
⇒ x=
1
6
≈ 0,4 m
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 27
θ
pedra
Uma pedra está presa a um fio e oscila da maneira mostrada na figura acima. Chamando T a
tração no fio e  o ângulo entre o fio e a vertical, considere as seguintes afirmativas:
I) O módulo da força resultante que atua na pedra é igual a T senθ.
II) O módulo da componente, na direção do movimento, da força resultante que atua na pedra
é máximo quando a pedra atinge a altura máxima.
III) A componente, na direção do fio, da força resultante que atua na pedra é nula no ponto em
que a pedra atinge a altura máxima.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):
A) I e II, apenas
B)
I e III, apenas C) II e III, apenas
D)
I, II e III
B) II, apenas
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
θ
pedra
I. FALSA A resultante na direção do fio
é igual a T – P.cosθ, e na direção do
movimento é P.senθ, que somadas
não são iguais a T.senθ.
II. VERDADEIRA A resultante na
direção do movimento é P.senθ eu é
máxima para senθ máximo, o que
ocorre na maior altura (θ máximo).
III. VERDADEIRO Na altura máxima a
velocidade é zero, e logo a aceleração
centrípeta (na direção do fio) é nula.
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 28
H
H
r
Reservatório superior
Bomba
s
Reservatório inferior
A figura acima representa o sistema de bombeamento de água de uma residência. As
alturas de sucção (Hs) e recalque (Hr) valem, respectivamente, 10 e 15 m. O sistema é
projetado para trabalhar com uma vazão de 54 m3/h. A bomba que efetua o recalque da
água é acionada por um motor elétrico, de corrente contínua, que é alimentado por uma
tensão de 200 V. A corrente de operação do motor, em ampères, para que o sistema opere
com a vazão projetada é, aproximadamente:
•
Observação:
as perdas internas do motor elétrico e da bomba são desprezíveis.
•
Dados:
as perdas devido ao acoplamento entre o motor e a bomba são de 30%;
•
aceleração da gravidade: g = 10 m/s2
•
massa específica da água: 1 kg/L
C) 13
B) 19
C) 27
D)
33
E) 39
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
Massa por hora:
m = d.V = 1000.54 = 54000 kg
A vazão é de 54000 kg/h
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Calculo da energia por hora:
E = m.g.h = m.g. (Hr + Hs ) = 135.105 J
1424
3
10 + 25
A potência necessária (ainda não considerando as perdas) é, portanto:
P=
E 13500000
=
= 3750 sJ
t
60.60
Considerando a perda de 30 %:
Pnecessaria =
3750
= 5375
0,7
J
s
Potência do Motor:
P = U.i = 5357 = 200.i
⇒ i ≅ 27 A
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 29
Um sistema composto por dois geradores denominados G1 e G2, cuja tensão de saída é VG, é
apresentado na figura acima. Este sistema alimenta uma carga que opera com uma tensão V
e demanda da rede uma corrente I. O valor de R2 em função de R1, de modo que o gerador
G2 atenda 40% da potência da carga, é:
A)
B)
C)
D)
E)
1/2 R1
R1
3/2 R1
2 R1
5/2 R1
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
V.I =
Vg ²
R1
+
Vg ²
R2
Do enunciado:

0,4.V.I =


0,6.V.I =


Vg ²
R2
Vg ²
R1
⇒
R2 0,6 3
=
=
R1 0,4 2
3
⇒ R2 = .R1
2
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 30
A água que alimenta um reservatório, inicialmente vazio, escoa por uma tubulação de 2 m de
comprimento e seção reta circular. Percebe-se que uma escala no reservatório registra um
volume de 36 L após 30 min de operação. Nota-se também que a temperatura na entrada da
tubulação é 25 °C e a temperatura na saída é 57 °C. A água é aquecida por um dispositivo
que fornece 16,8 kW para cada metro quadrado da superfície do tubo. Dessa forma, o
diâmetro da tubulação, em mm, e a velocidade da água no interior do tubo, em cm/s, valem,
respectivamente:
Dados:
•
π/4 = 0,8;
•
massa específica da água: 1 kg/L; e
•
calor específico da água: 4200 J/ kg°C.
A)
B)
C)
D)
E)
2,5 e 40
25 e 4
25 e 40
2,5 e 4
25 e 0,4
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
Da variação de Volume:
Q = vazão =
36 L
1
=
30 min 50
L
s
=
1 kg
50 s
Área lateral da tubulação: A = 2.π.R.L = 4.π.R
Da potencia fornecida:
Pfornecida = Q.c.∆θ
⇒ 16,8.10³.4.π.R =
1
.4200. ( 57 − 25 )
50
0,04
≈ 0,0127
π
⇒ D ≈ 25 mm
⇒R =
Da vazão:
10 −3.
1
= π.R².V
50
⇒V=
10 −3
= 0,04
50.π. ( 0,0127 ) ²
m
s
=4
cm
s
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 31
Um recipiente de paredes rígidas, contendo apenas ar, aberto para a atmosfera, é aquecido
de 27 ºC a 127 ºC. Calcule a percentagem mássica de ar que saiu do recipiente, quando
atingido o equilíbrio final.
A) 79%
B) 75%
C) 30%
D) 25%
E) 21%
___________________________________________________________________
Opção D
Solução:
Do enunciado:
T0 = 300 K

T = 400 K

 V0 = V
P0 = P = Patm

Da equação de Clapeyron:
P.V = n.R.T

P0 .V = n0 .R.T0
⇒
Substituindo os valores:
n 300
=
= 0,75
n0 400
P.V
n.T
=
P0 .V0 n0 .T0
∴
n T0
=
n0 T
⇒ n = 75%n0
A porcentagem que permaneceu no recipiente foi de 75 %, assim, a que saiu
foi de 25 %.
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 32
Sabendo que 18,0 g de um elemento X reagem exatamente com 7,75 g de oxigênio para formar
um composto de fórmula X2O5, a massa de um mol de X é:
A)
99,2 g
B) 92,9 g C) 74,3 g D) 46,5 g E) 18,6 g
___________________________________________________________________
Opção B
Solução:
Considerando que forma-se um mol do composto X2O5, temos a equação
estequiométrica da reação equilibrada abaixo:
5
2.X + .O2 → X2 .O5
2
Portanto, sendo MMx a massa molar de X, temos a regra de três:
5
reagem com
2.MMx g de X 
→
.32 g de O2
2
reagem com

→ 7,75 g de O2
18 g de X
MMx =
18 . 80
= 92,9 g
2. 7,75
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 33
Marque a resposta certa, correspondente aos números de oxidação dos elementos
sublinhados em cada fórmula, na ordem em que estão apresentados.
AgO; NaO2; H2S2O8; Ni(CO)4; U3O8
A) +2; -1; +7; +2 e +8/3
B) +1; -1; +7; 0 e +16/3
C) +2; -1/2; +6; 0 e +16/3
D) +1; -1/2; +7; +2 e +16/3
E) +2; -1; +6; +2 e +8/3
___________________________________________________________________
Opção C
Solução:
Ag O
123 {
+2
Na O2
123 123
+1
→
Ag : + 2
−2
→
O: −
−1
1
2
( Trata − se
de um sup er − óxido )
H2S2O6 : trata-se de um ácido ditiônico onde cada S tem NOX + 6:
Ni ( CO ) 4
{
123
0
U3 O8
{
{
+16
→ Ni : 0
0
−16
→ U: +
16
3
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 34
_________________________________________________________________
Opção C
Solução:
As espécies de (I) a (IV) possuem as seguintes distribuições eletrônicas:
I) 1s² 2s² 2p6
II) 1s² 2s² 2p6 3s1
III) 1s² 2s² 2p6 3s2 3p6
IV) 1s² 2s² 2p6 3s1
6
Logo a camada de valência da espécie (III) é 3s² 3p
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 35
_________________________________________________________________
Solução:
Opção B
A ozonólise dos ciclanos formará ácido carboxílico:
As reações indicadas abaixo mostram os 5 tipos de aldeídos diferentes
possíveis:
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RUMOAOITA
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Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 36
_________________________________________________________________
Opção A
Solução:
Segue, da definição de entalpia que:
∆S =
Q −3.200
=
= −2 kJK
T
300
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 37
Em sistemas envolvendo reações paralelas, um importante parâmetro é a seletividade (se),
definida como a razão entre as taxas de geração dos produtos de interesse (I) e dos
secundários (S).
Considere o caso em que a taxa de produção de I é dada por KICrξ e a de S por KsCrγ, onde:
•
Cr é a concentração do reagente;
•
KI e KS são as velocidades específicas de reação para I e S, respectivamente;
•
ξ e γ são dois números inteiros e positivos.
Para uma temperatura constante, pode-se afirmar que a seletividade:
A) permanece constante independentemente de Cr.
B) permanece constante quaisquer que sejam os valores de ξ e γ
C) é maior no início da reação quando ξ = γ
D) é menor no fim da reação quando ξ < γ
E) é maior no início da reação quando ξ > γ
_________________________________________________________________
Opção E
Solução:
Note que, da definição:
K .Cξ
KI ξ−γ
Se = I rγ =
Cr = K .
Crξ−γ
123 1424
3
K S .Cr
KS
ter mo
{
var ia com o ca min ho
K
dependente
da reação
Caso ξ > γ, temos Se = K.Crα , α > 0, e, com o passar da reação Cr diminui,
assim como Crα . Logo Se era maior no inicio!
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 38
A taxa de emissão de dióxido de carbono em função do consumo médio de certo combustível,
em um carro de testes, é apresentada a seguir.
Para um consumo médio de 10 km/L, a massa total mensal de combustível consumida é 2175 kg.
Dentre as opções abaixo, pode-se afirmar que o combustível testado foi o:
A)
metano
B) propano
C) butano
D) heptano
E) octano
_________________________________________________________________
Opção C
Solução:
Para um consumo médio de 10 km/L a taxa de CO2 emitido é de 6600
kg/mês.
Sabe-se que a massa total de combustível consumido foi de 2175 kg.
Notemos que, para o butano:
13
C4H10 + O2 
→ 4.CO2 + 5.H2O
2
62175
78
m
1
1 mCO2
C4H10
nC H = nCO
⇒
=
4 10
2
4
58
4 44
⇒ mCO = 6600 kg
2
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 39
Observe as estruturas abaixo e analise as afirmativas feitas sobre elas.
1 – As estruturas (I) e (IV) representam isômeros constitucionais.
2 – As estruturas (I) e (III) representam um par de enantiômeros.
3 – Existem quatro estereoisômeros que têm a fórmula estrutural condensada (II).
4 – Os compostos (V) e (VII) apresentam pontos de fusão idênticos.
5 – As estruturas (VIII) e (IX) representam um par de diastereoisômeros.
6 – Todos os compostos (V) a (X) apresentam atividade óptica.
7 – As estruturas (VIII) e (X) são representações do mesmo composto.
Podemos concluir que são verdadeiras as afirmativas:
A)
1, 3 e 5
B) 2, 5 e 6
D)
3, 4 e 5
E) 3, 6 e 7
C) 1, 4 e 7
__________________________________________________________________
Solução:
Opção D
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
1 – FALSO Não são isômeros. (I) é um álcool, e (IV) é um éter.
2 – FALSO (I) e (III) são o mesmo composto
3 – VERDADEIRO
4 – VERDADEIRO Isômeros óticos possuem as mesmas propriedades
físicas.
5 – VERDADEIRO
OH
CO2H
H
OH
CH3
H
Enantiomero
De VIII
≠
CO2H
HO
H
H
H3C
OH
IX
Assim (VII) e (IX) são isômeros óticos que não são enantiomeros. São,
portanto diastereoisomeros.
6 – FALSO O isômero (VI) é isômero meso pois a molécula apresenta dois
carbonos quirais iguais (possui simetria) e, por isso, não apresenta atividade
ótica.
7 – FALSO São diásteroisomeros, pois são isômeros óticos mas não são
enantiômeros.
Resolução IME – Objetivas
Solução – Turma 14 ITA
RUMOAOITA
Questão 40
_________________________________________________________________
Solução:
Gás ideal:
Opção E
PV = n.R.T
O item (E) é, portanto, verdadeiro. Os gráficos (I) e (III) acima são os gráficos
fornecidos no enunciado.