SISTEMA DE NUMERAÇÃO E
OPERAÇÕES NUMÉRICAS
Oficina de Matemática
Fundamental I
André Luís Corte Brochi
Professor das Faculdades COC
Conteúdo
• Sistemas de numeração – história da
Matemática.
• Agrupamentos e trocas na base 10 – princípio
de valor posicional.
• Operações elementares.
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Objetivos
• Apresentar elementos teóricos sobre sistema
decimal e as quatro operações elementares.
• Sugerir atividades a serem desenvolvidas em
sala de aula.
• Discutir as dificuldades encontradas.
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Construção × memorização
• A criança procura atender às exigências do
professor. Se o grau de exigência está “acima”
da capacidade de raciocínio/abstração, ele vai
procurar memorizar alguns procedimentos que
lhe permitem chegar aos resultados esperados
pelo professor.
• “Treinar” não resolve o problema.
• As crianças devem estar preparadas para
enfrentar situações novas.
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Oferecer oportunidades
• O professor deve criar, oferecer
oportunidades para que os alunos procurem
suas soluções (resoluções, respostas).
Aula proveitosa, prazerosa,
motivadora.
• Não deve expor suas certezas simplesmente.
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Construção de conceitos
• Os alunos podem desenvolver habilidades de
comunicação, formulação de hipóteses, senso
crítico, raciocínio lógico.
• Regras de dedução são construídas aos
poucos através da interação com o meio,
respeitando os conhecimentos já construídos
pelo aluno.
• O aluno deve ser estimulado a:
9 realizar experiências;
9 estabelecer relações;
9 construir e testar hipóteses.
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Construindo conceitos
O uso dos blocos lógicos
• Prof. Zoltan Paul Dienes (apud Toledo, 1997)
realizou diversas pesquisas sobre a utilização
de blocos lógicos no ensino da matemática;
afirma que devemos sempre iniciar a
construção de um novo conceito a partir da
utilização de material de apoio.
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Construindo conceitos
O processo de abstração (que leva à
construção de conceitos matemáticos) ocorre
em 6 etapas diferentes:
1. Jogo livre
2. Jogos com regras
3. Jogos isomorfos entre si
4. Representação
5. Descoberta de propriedades
6. Generalização
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Etapa 1: Jogos livres
• Percepção de atributos de cada classe.
• Montagem de figuras sem a interferência do
professor.
Exemplo:
Montagem de “carrinhos” com o material.
Não há mais “rodinhas”
↓
não é possível montar mais “carrinhos”
(aceitação das regras impostas pelo jogo)
9
Etapa 2: Jogos com regras
• Sugerir jogos diferentes, mas com a mesma
estrutura.
Exemplos:
1)Um aluno escolhe uma peça (bloco). Os
demais devem escolher peças “bem parecidas”
com aquela. Ganha quem escolher a peça com
mais atributos coincidentes.
10
Etapa 2: Jogos com regras
2) Montar um “trenzinho” em que cada “vagão”
(bloco) deve ter somente um atributo diferente
do anterior.
(variação: nenhum atributo coincidente)
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Etapa 3: Jogos isomorfos entre si
• Jogos que têm estruturas comuns, mas com
aspectos externos diferentes.
Exemplo:
“Trenzinho” de blocos lógicos e “Sequência” de
alunos considerando atributos como:
- menino ou menina
- usa tênis ou sandália
- usa boné ou não
• Verificar, pelos comentários, se os alunos
notaram as semelhanças entre os jogos.
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Etapa 4: Representação
• Após relacionar os jogos, espera-se que o
aluno esteja apto para começar a representar
aquilo que percebeu.
Exemplo:
O professor escolhe uma peça dos blocos e
pede para os alunos descreverem seus
atributos. Comparando a peça escolhida com
outra semelhante, levar o aluno a concluir se
sua descrição é adequada ou não.
“Se as duas peças são redondas, então
elas são iguais?”
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Etapa 5: Descoberta de propriedades
• A partir da construção de um conceito, o aluno
descobre propriedades e estabelece relações
⇒ aprofundamento do conhecimento.
Fonte: Toledo & Toledo, 1997
• Ele consegue, por exemplo, classificar os
blocos (peças do material).
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Etapa 6: Generalização
• Utilização do conceito desenvolvido em uma
nova situação.
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Classificação e conceito de número
• Sendo capaz de identificar as semelhanças
entre os elementos dos conjuntos, o aluno está
pronto para descobrir semelhanças entre os
próprios conjuntos, no que se refere à
quantidade de elementos.
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Classificação e conceito de número
• Hierarquia de classes – seriação
1
2
3
• Crianças de 6 e 7 anos ainda estão em
processo de construção do sistema numérico
com operações “+1”
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O sistema decimal
Um pouco de história . . .
• Vídeo: Os gênios do Oriente – Primeira parte
TV Escola – Ministério da Educação
Disponível em:
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=
com_zoo&view=item&item_id=256
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O sistema decimal
• Em latim: calculus significa pedrinha.
• O sistema decimal permite a realização de
cálculos sem o uso de material concreto
(contadores).
• Levou MUITO TEMPO para ser criado.
• Alunos com dificuldade em “fazer contas”
geralmente são aqueles que não
compreenderam totalmente o sistema de
numeração decimal.
• Valor POSICIONAL e POUCOS SÍMBOLOS.19
Agrupamentos e trocas
• O professor deve trabalhar atividades
diversificadas (desde os anos iniciais) com
agrupamentos e trocas e valor posicional.
• A representação formal do sistema de
numeração deve ocorrer no 3º ano.
• O ser humano sempre teve o hábito do
agrupamento: “Com o salário daquele jogador
daria para comprar umas dez casas iguais a
minha”
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Agrupamentos e trocas
Ideia chave: utilizar o valor posicional para
representar a ação de agrupar e trocar.
• Começar com trocas em bases diferentes: 2,
3, 4, . . .
• Utilização de jogos de isomorfismo.
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Fábrica de fósforos
• Material: sacos de papel, caixas de fósforos.
• Cada criança recebe uma quantidade de
fósforos e combina-se a base (critério de
agrupamento) com a qual irão trabalhar
(realizar a contagem/agrupamento). Por
exemplo, em cada saco são colocadas 4
caixas, e em cada caixa, 4 fósforos.
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Sozinho, rodinha, corrente
• Material: sacos de papel, caixas de fósforos.
• Cada criança recebe uma quantidade de
fósforos e combina-se a base (critério de
agrupamento) com a qual irão trabalhar
(realizar a contagem/agrupamento). Por
exemplo, em cada saco são colocadas 4
caixas, e em cada caixa, 4 fósforos.
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Interatividade
Procure criar um jogo em que o aluno possa
trabalhar agrupamentos e trocas em qualquer
base.
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Adição
• Iniciar utilizando situações práticas em que o
aluno efetue somas com números de 0 a 9
(fatos fundamentais da adição).
• Propriedades comutativa (7 a 8 anos),
associativa, existência do elemento neutro.
• Uso intuitivo da propriedade associativa:
Exemplo: 7 + 6 = 7 + (3 + 3)
• Isso leva a uma maior facilidade na realização
de cálculos.
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Adição
• O algoritmo da adição só deve ser
apresentado quando o professor tiver a certeza
de que os alunos dominam o processo de
agrupamentos e trocas.
• Iniciar com material de apoio (material
dourado, por exemplo) e
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Subtração
• Para a criança, não é um processo tão
simples quanto à adição.
• O raciocínio das crianças se concentra,
inicialmente, em aspectos positivos da ação,
percepção e cognição.
• Tem um aspecto afetivo de perda: “André
tinha 8 moedas e perdeu 3. Com quantas
ficou?”
• Envolve idéias bastante diferentes: tirar,
quanto falta, diferença.
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Algoritmo da subtração
• Processo de recurso à ordem superior
Exemplo:
36_
17
• Processo de compensação
28
O significado das operações
• Vídeo: Conversa de professor (Operações)
TV Escola – Ministério da Educação
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Multiplicação
• É uma “adição de parcelas iguais”, mas
também deve ser vista como uma ferramenta
para resolver problemas de contagem.
Exemplos:
1)Monte 5 grupos cada um com 4 alunos.
2)Número de quadrados em uma malha
quadriculada.
3)Quantidade de peças dos Blocos Lógicos, a
partir dos atributos.
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Multiplicação
• O zero deve ser tratado como um número
qualquer (como os demais).
DM UM
X
1
0
4 3
4 4
C
4
1
3
0
5
8
D 3 0 0 0 0 0 U
5
3
5
0
0
5
+
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Atividade: Análise combinatória
simples para fazer sanduíches
• Extraída do site da Revista Nova Escola.
•Disponível em:
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/prat
ica-pedagogica/analise-combinatoria-simplesfazer-sanduiches-500662.shtml
• Objetivo:
- Resolver problemas de multiplicação.
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Atividade: Análise combinatória
simples para fazer sanduíches
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Divisão
• É uma subtração reiterada de parcelas iguais.
• Está ligada a duas diferentes ideias:
1) repartir igualmente;
2) medir
Vídeo: Técnicas de cálculo da divisão
Programa: Conversa de professor
TV Escola – Ministério da Educação
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Interatividade
Criar problemas aplicados que envolvam
multiplicação e divisão, tendo como temas a
escola ou um sítio.
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Sugestões (links)
“Jogos em ação” – Oficina de Matemática
Disponível em:
http://internas.netname.com.br/arquivos/oficinas
_projetos/oficinas/Jogos_em_Acao.pdf
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Referências Bibliográficas
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Próletramento: programa de formação continuada de
professores dos anos/séries iniciais do Ensino
Fundamental. Brasília, 2007. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros curriculares nacionais : matemática /
Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília :
MEC/SEF, 1997.
BUSHAW, D.; BELL, M.; POLLAK, H.; THOMPSON,
M.; USISKIN, Z. Aplicações da matemática escolar.
São Paulo: Atual, 1997.
Referências Bibliográficas
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas. 9ª
ed. São Paulo: Ática, 1997.
MACHADO, N. J. Matemática e realidade: análise dos
pressupostos filosóficos que fundamentam o ensino
da matemática. 4a ed. São Paulo: 1997.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de Matemática:
como dois e dois: a construção da Matemática. São
Paulo: FTD, 1997.