Numeração Decimal, Binária e Hexadecimal
Texto introdutório destinado a programadores iniciantes
Márcio A. Siena
Engenharia de Sistemas e Software
Maio de 2015
Sumário
Introdução ............................................................................................................................................ 3
Sobre o autor .................................................................................................................................... 3
1
Conceitos iniciais ........................................................................................................................... 4
1.1
Adição .................................................................................................................................... 4
1.2
Multiplicação ......................................................................................................................... 4
1.3
Potenciação ........................................................................................................................... 4
1.3.1 Exercícios de fixação ......................................................................................................... 5
1.3.2 Respostas .......................................................................................................................... 6
1.4
Número, numeral e algarismo ............................................................................................... 6
1.4.1 Número ............................................................................................................................. 6
1.4.2 Numeral ............................................................................................................................ 6
1.4.3 Algarismo .......................................................................................................................... 7
2
Sistema de numeração decimal..................................................................................................... 8
2.1.1 Exercícios de fixação ......................................................................................................... 9
2.1.2 Respostas .......................................................................................................................... 9
3
Sistema de numeração binário ...................................................................................................... 9
3.1.1 Exercícios de fixação ....................................................................................................... 10
3.1.2 Respostas ........................................................................................................................ 10
4
Sistema de numeração hexadecimal ........................................................................................... 10
4.1.1 Exercícios de fixação ....................................................................................................... 12
4.1.2 Respostas ........................................................................................................................ 12
5
6
Mudança de base ........................................................................................................................ 12
5.1
Mudança de base com a calculadora do Microsoft Windows............................................. 12
5.2
Mudança de base manual ................................................................................................... 14
Referências bibliográficas ............................................................................................................ 16
Numeração Decimal, Binária e Hexadecimal
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Introdução
Este texto objetiva dar ao estudante uma introdução suave, de caráter elementar, aos sistemas de
numeração utilizados em diversas áreas de ciência e de tecnologia, em especial, na programação dos
modernos computadores digitais.
Procuramos, primeiramente, transmitir conceitos fundamentais a respeito de números, para,
somente então, iniciar o ensino de bases de numeração. Cada tópico, quando oportuno, é seguido por
exercícios de fixação, cujas respostas encontram-se logo após os mesmos.
E, embora a matemática seja bastante simples, procuramos, também aqui, reduzir o jargão técnico
ao mínimo necessário. Caso você, estudante, deseje aprofundar seus conhecimentos, por gentileza, veja as
Referências bibliográficas.
Sobre o autor
Márcio Aparecido Siena é consultor em desenvolvimento de software. Atua nesse ramo desde o início
da década de 1980, tendo realizado trabalhos nos mais diversos setores, como indústria, comércio, setor
público, militar etc., e com os públicos mais variados: estudantes, empresários, profissionais de tecnologia
de informação e de desenvolvimento de software, profissionais do conhecimento (white collars),
profissionais operacionais (blue collars) etc.
Atua, também, na consultoria, desenvolvimento e aplicação de treinamentos especializados e
personalizados, principalmente para o público corporativo (empresas, órgãos públicos, instituições
educacionais, entre outros). Esses treinamentos incluem, mas não se limitam a:






sistemas operacionais Microsoft Windows (Server, Client e Mobile), Linux, FreeBSD, PalmOS,
OS/390, OS/400 e diversas variantes do Unix;
plataformas de desenvolvimento de software, em especial Lua, Java, Microsoft.NET, PHP e
Python;
softwares para usuários finais (business intelligence, principalmente);
bases de dados (produtos e metodologias);
gestão de projetos;
gestão de conhecimento em tecnologia.
Pode ser contatado por meio de seu web site, www.masiena.com.br, ou por meio de um dos
endereços eletrônicos: [email protected] ou [email protected].
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1 Conceitos iniciais
Abordaremos, primeiramente, alguns conceitos elementares que são indispensáveis ao
entendimento das diversas bases de numeração que estudaremos mais adiante. É imperativo que o
estudante entenda esses conceitos antes de prosseguir.
Alguns deles o aluno já domina, com certeza. Porém, foram aqui inseridos para que você tenha a
oportunidade de recordar os nomes que lhes são dados em matemática.
1.1 Adição
A adição é a operação aritmética mais fundamental, é a reunião de quantidades.
3 + 19 = 22
5,4 + 2,8 = 8,2
Figura 1 - Adição
Em uma adição, como a primeira da Figura 1, temos:



as parcelas 3 e 19, que representam os números que queremos somar;
o sinal de adição, +;
o resultado da adição, 22, chamado de soma ou de total.
1.2 Multiplicação
Uma multiplicação é uma adição com parcelas iguais. Veja:
5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
12,1 x 3 = 12,1 + 12,1 + 12,1 = 36,3
Figura 2 - Multiplicação
Na Figura 2, multiplicar 5 por 4 significa somar o número 5 quatro vezes. Multiplicar 12,1 por três
significa somar o número 12,1 três vezes. Na multiplicação, temos:



os fatores, como o 5 e o 4, que representam os números sendo multiplicados;
o sinal de multiplicação, x. Também é comum adotar-se como sinal de multiplicação o ponto
(.) e, especialmente em programação de computadores, o asterisco (*);
o resultado da multiplicação, chamado de produto. Na Figura 2, os produtos são 20 e 36,3.
1.3 Potenciação
Uma potenciação é uma multiplicação com fatores iguais. Veja:
25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
Figura 3 - Potenciação
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Na Figura 3, estamos elevando 2 à quinta potência, o que significa multiplicar cinco fatores 2. No
mesmo exemplo, estamos elevando 3 à quarta potência, o que significa fazer uma multiplicação com quatro
fatores 3. Na potenciação, temos:



a base, como o 2 no exemplo, que representa o fator que queremos multiplicar por si mesmo;
o expoente, como o 5 no exemplo, que representa o número de vezes que queremos
multiplicar a base;
o resultado da potenciação, chamado de potência. Na Figura 3, o número 32 é o resultado
da primeira potenciação.
Algumas informações importantes a respeito da potenciação:






quando elevamos um número a zero, como em 30, o resultado é sempre 1. Isso acontece
porque é o resultado da divisão de duas potências com a mesma base e com o mesmo
expoente, ou seja, um número dividido por si mesmo. Veja o exemplo: 34 ÷ 34 = 1. Usando a
regra de divisão de potências, temos: 34 ÷ 34 = 34-4 = 30 = 1;
quando elevamos um número a 1, como em 31, o resultado é sempre o próprio número (a
base). Nesse exemplo, seria o próprio 3;
quando elevamos um número a dois, como em 32, dizemos que estamos elevando esse
número ao quadrado;
quando elevamos um número a três, como em 73, dizemos que estamos elevando esse
número ao cubo;
quando elevamos um número a quatro, cinco, seis etc., como em 24, 25 e 26, dizemos que
estamos elevando esse número à quarta potência, à quinta potência, à sexta potência, e
assim por diante;
o número 1, elevado a qualquer número, é igual a 1: 10 = 11 = 12 = ... = 1
1.3.1 Exercícios de fixação
1. Seguindo o exemplo, escreva em forma de potência:
a) 5 . 5 . 5 =
53 _________
b) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = __________
c) 7 . 7 = __________________
d) 8 . 8 . 8 . 8 = _____________
2. Seguindo o exemplo, escreva em forma de produto:
a) 53 = 5 . 5 . 5 ___
b) 25 = ______________
c) 82 = ______________
d) 196 = _____________
3. Seguindo o exemplo, calcule o valor das potências:
a) 53 = 5 . 5 . 5 = 125
b) 24 = _________________
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c) 36 = _________________
d) 70 = _________________
e) 1453 = _______________
f) 124 = ________________
g) 10485761 = _____________
h) 10485760 = _____________
i) 01000000000 = ______________
1.3.2 Respostas
1. b) 25 c) 72 d) 84
2. b) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 c) 8 . 8 d) 19 . 19 . 19 . 19 . 19 . 19
3. b) 16 c) 729 d) 1 e) 1 f) 20736 g) 1048576 h) 1
i) 0
1.4 Número, numeral e algarismo
Estes três conceitos, número, numeral e algarismo, são o fundamento para que possamos entender
os sistemas de numeração explicados mais adiante. Comecemos pelo conceito de número.
1.4.1 Número
Número é a ideia, a noção de quantidade que nos vem à cabeça quando contamos, quando
comparamos ou quando ordenamos algo. Um exemplo anedótico:
Se fossem colocados à sua frente dois montes de cédulas de dinheiro, todas de mesmo valor, e lhe
fosse dito, “Escolha um, e apenas um. O dinheiro do monte escolhido será seu”, o que você faria?
Normalmente, você procuraria comparar o tamanho dos montes – visualmente, pelo volume, ou pegando e
contando as cédulas, ou comparando suas alturas e diâmetros – e escolheria o que lhe parecesse maior. Veja
que, nesse simples exemplo, vimos diversas ocorrências da ideia de quantidade.
1.4.2 Numeral
No entanto, quase sempre temos que expressar, de maneira oral ou escrita, essas ideias de
quantidade, ou números, com os quais lidamos em nosso dia a dia, seja para transmiti-las aos outros, seja
para o nosso próprio uso. O que usamos para expressar o número, ou a ideia de quantidade, é o numeral.
Na anedota acima, se após você escolher seu monte de dinheiro, lhe fosse pedido que escrevesse quanto
dinheiro nele havia, como você faria? Alguns exemplos:



um mil e setecentos reais;
R$ 1.700,00;
MDCC.
No primeiro caso, escrevemos o valor por extenso. No segundo caso, usamos algarismos indoarábicos conhecidos (0, 1, 2 etc.). No terceiro caso, usamos algarismos romanos. Em todos eles, lançamos a
mão de símbolos que representam a ideia de quantidade que queremos transmitir. Portanto, numeral é a
representação, escrita ou falada, de um número.
Do acima exposto, podemos concluir que não existem números decimais, existem numerais
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decimais; não existem números romanos, existem numerais romanos; não existem números binários,
existem numerais binários (como veremos) etc.
1.4.3 Algarismo
Algarismo é o sinal gráfico que usamos para formar os numerais escritos. No exemplo acima, usamos
1.700,00 (algarismos indo-arábicos) e MDCC (algarismos romanos). Poderíamos ter usado algarismos do Egito
antigo (há pelo menos quatro sistemas diferentes conhecidos), ou mesmo “tracinhos verticais”. Nesse caso,
desenharíamos 1700 tracinhos verticais:
Figura 4 – “tracinhos” usados como numerais
Atualmente, os sistemas de numeração mais utilizados servem-se dos algarismos indo-arábicos, a
saber:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura 5 – Algarismos indo-arábicos
Um segundo exemplo, tirado do filme “Predator”, de 1987 (exibido no Brasil com o título
“Predador”):
Nessa trama havia uma raça de criaturas extraterrestres cujo passatempo era caçar. Uma dessas
criaturas veio praticar caça em uma floresta da América Central e acabou se defrontando com uma equipe
militar americana de elite.
A criatura possuía armas bem avançadas, mas o interessante aqui é que portava uma minibomba,
nuclear, que era ativada caso a criatura se encontrasse em situação de captura ou de quase morte. O objetivo
era não deixar vestígio de sua existência. Havia um timer, com contagem regressiva, ativado pela criatura
para armar a bomba.
A Figura 6 mostra esse timer, e os algarismos alienígenas que aparecem em seu painel de controle.
Podemos observar que existem sinais (em vermelho) para nós desconhecidos:
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Figura 6 – Timer da minibomba atômica1 do Predador
Independentemente de os conhecermos ou não, esses sinais representam uma quantidade de tempo
a ser decorrido entre a ativação do timer e a explosão da bomba. A despeito do sistema de numeração
utilizado (decimal, romano ou, nesse caso, “Predadorês”), a quantidade de tempo é a mesma, apenas a sua
representação, ou seja, os numerais usados, mudam.
2 Sistema de numeração decimal
O sistema de numeração decimal que utilizamos tem esse nome porque utiliza como base de
contagem o número 10, ou grupos de 10. Utiliza os algarismos indo-arábicos vistos anteriormente. Para
entendê-lo, veja o exemplo do numeral 124.088. O que cada um desses algarismos significa?
Veja a seguinte ilustração, onde o numeral é decomposto em partes, e essas são multiplicadas por
potências de 10:
é o resultado
(a) Potência de 10 
105=100.000isso acontece
104=10.000porque
103=1.000
102=100da divisão
101=10 de
100=1
(b) Algarismo do numeral (valor absoluto) 
1
4 base e com
0
8
8
duas
potências2com a mesma
o mesmo
(axb) Valor relativo 
100.000
4.000 a regra0de divisão
80 de
8
expoente: 7320.000
÷ 73 = 1. Usando
100.000 + 20.000 + 4.000 + 0 + 80 + 8 = 124.088
potências, temos: 73 ÷ 73 = 73-3 = 70 = 1
Figura 7 – representação do decimal 124.088
Na linha (a) da figura, notamos as potências de 10. Da direita para a esquerda, a primeira potência
de 10 é 100 (que vale 1), a segunda é 101 (que vale 10), a terceira é 102 (que vale 100), e assim sucessivamente.
Como temos 6 algarismos decimais, elevamos a base 10 aos expoentes 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Cada potência de 10 é multiplicada pelo algarismo correspondente em nosso número (b). O resultado
da multiplicação é mostrado na linha (axb). Se somarmos os produtos de cada multiplicação, chegamos ao
nosso numeral original, 124.088.
Perceba o seguinte:


cada algarismo tem seu valor absoluto. 1 vale 1, 2 vale 2 etc. Esse valor é o da linha (b) na
Figura 7;
cada algarismo tem seu valor relativo dentro do numeral, que é o produto de seu valor
absoluto multiplicado pela potência de 10 correspondente, exibido na linha (axb);
1
Fonte (20/5/2015): https://forums.robertsspaceindustries.com/discussion/197192/headshotting-woundedsoldiers-execution-style-is-this-a-mechanic-we-want-in-the-game/p17
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

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deslocar um algarismo para a esquerda significa multiplicar seu valor relativo por 10. Veja o
exemplo do primeiro e do segundo algarismos 8, da direita para a esquerda;
inversamente, deslocar um algarismo para a direita significa dividir seu valor relativo por 10.
Um outro exemplo, agora com o numeral 12.789:
(a) Potência de 10 
104=10.000
103=1.000
(b) Algarismo do numeral (valor absoluto) 
1
2
(axb) Valor relativo 
10.000
2.000
10.000 + 2.000 + 700 + 80 + 9 = 12.789
Figura 8 – representação do decimal 12.789
102=100
7
700
101=10
8
80
100=1
9
9
2.1.1 Exercícios de fixação
1. Seguindo o exemplo, escreva em forma de potência de 10:
a) 1027 =
1x103 + 0x102 + 2x101 + 2x100 = 1000+0+20+7
b) 29 = ______________
c) 7 = _______________
d) 12.504 = __________
2.1.2 Respostas
1. b) 2x101 + 9x100 = 20+9
c) 7x100 = 7
d) 1x104 + 2x103 + 5x102 + 0x101 + 4x100 = 10.000+2.000+500+0+4
3 Sistema de numeração binário
O sistema de numeração binário usa como base de contagem o número 2. Seu funcionamento é
idêntico ao do sistema decimal, exceto que:


utiliza apenas os algarismos 0 e 1;
os valores absolutos são multiplicados por potências de 2, e não por potências de 10.
Veja a seguinte ilustração, onde o numeral binário 101101 é decomposto em partes. Esse numeral
representa que número, em base 10?
(a) Potência de 2 
(b) Algarismo do numeral (valor absoluto) 
(axb) Valor relativo 
25=32
24=16
1
0
32
0
32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
Figura 9 – representação do binário 101101
23=8
1
8
22=4
1
4
21=2
0
0
20=1
1
1
Na linha (a) da figura ficam as potências de 2. Da direita para a esquerda, temos 20 (1), 21 (2), 22 (4),
e assim por diante. Como temos seis algarismos binários, elevamos a base 2 aos expoentes 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Temos que:


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cada algarismo tem seu valor absoluto. 0 vale 0 e 1 vale 1 (linha (b));
cada algarismo tem seu valor relativo dentro do numeral, que é o produto de seu valor
absoluto multiplicado pela potência de 2 correspondente (linha (axb));
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

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deslocar um algarismo para a esquerda significa multiplicar seu valor relativo por 2;
inversamente, deslocar um algarismo para a direita significa dividir seu valor relativo por 2.
IMPORTANTE: O numeral 101101 (base 2) corresponde ao mesmo número, ou seja, tem o mesmo
valor, que o numeral 45 (base 10). Estamos aplicando, aqui, os conhecimentos adquiridos no tópico “1.4
Número, numeral e algarismo”.
3.1.1 Exercícios de fixação
1. Seguindo o exemplo, escreva em forma de potência de 2, dando, em seguida, o numeral decimal
correspondente:
a) 1101 =
1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 8+4+0+1 = 13
b) 10 = _______________________________________
c) 1 = ________________________________________
d) 0 = ________________________________________
e) 11001001 = _________________________________
f) 1000000000000000 = _________________________
3.1.2 Respostas
2. b) 1x21 + 0x20 = 2+0 = 2
c) 1x20 = 1
d) 0x20 = 0
e) 1x27 + 1x26 + 1x23 + 1x20 = 128+64+8+1 = 201 (ignoramos as multiplicações por zero)
f) 1x215 = 32.768 (ignoramos as multiplicações por zero)
4 Sistema de numeração hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal usa como base de contagem o número 16. Seu funcionamento
é idêntico ao do sistema decimal. Aqui, surge uma questão que costuma desorientar o estudante. Portanto,
vamos, antes de mais nada, resolvê-la: quais os algarismos que usamos? Veja:



no sistema decimal, usamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O algarismo de maior
valor absoluto, 9, corresponde à base de numeração, menos 1, ou seja, 10-1=9 (veja a nota 2
no fim da página);
no sistema binário, usamos os algarismos de 0 e 1. O algarismo de maior valor absoluto, 1,
corresponde à base de numeração, menos 1, ou seja, 2-1=1;
da mesma forma, no sistema hexadecimal, o algarismo de maior valor absoluto seria 15, pois
16-1=15. Assim, nossos algarismos hexadecimais seriam 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 11, 12,
13, 14 e 15.
No entanto, trabalhar com algarismos cujo desenho envolve mais de um sinal, como o 14, que tem
os sinais “1” e “4”, seria complicado. Se você observar como os algarismos indo-arábicos de 0 a 9 são
desenhados, perceberá que são simples combinações de retas e curvas. Isso aconteceu naturalmente em seu
desenvolvimento, permitindo uma escrita rápida com sinais descomplicados e claros. Imagine se, ao invés de
2
A matemática do por que isso acontece, para nós, é irrelevante. No entanto, veja as referências bibliográficas,
caso deseje se aprofundar no assunto.
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traços simples, cada algarismo fosse, por exemplo, o desenho de um animal conhecido:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 10 – Algarismos indo-arábicos, em um universo alternativo...
Imagine escrever o numeral 18.995 usando essa notação. Tente, o veja o quanto demora. Então, para
facilitar a escrita e o entendimento de numerais em base 16, convencionou-se que os algarismos de 10 a 15
seriam representados pelas primeiras letras do alfabeto latino. Assim, usamos a seguinte relação:
Algarismo Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Algarismo hexadecimal
correspondente
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Figura 11 – Algarismos decimais e correspondentes hexadecimais
No sistema hexadecimal:


utilizamos os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F;
os valores absolutos são multiplicados por potências de 16, e não por potências de 10.
Veja a seguinte ilustração, onde o numeral hexadecimal 102AC4 é decomposto em partes. Esse
numeral representa que número, em base 10?
(a) Potência de 2 
165=1.048.576
164=65.536
163=4.096
(b) Algarismo do numeral (valor absoluto) 
1
0
2
(axb) Valor relativo 
1.048.576
0
8.192
1.048.576 + 0 + 8.192 + 2.560 + 192 + 4 = 1.059.524
Figura 12 – representação do hexadecimal 102AC4
162=256
A
2.560
161=16
C
192
160=1
4
4
Na linha (a) da figura, ficam as potências de 16. Da direita para a esquerda, temos 160 (1), 161 (16),
16 (256), e assim por diante. Como temos seis algarismos hexadecimais, elevamos a base 16 aos expoentes
0, 1, 2, 3, 4 e 5.
2
Temos que:



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cada algarismo tem seu valor absoluto. 0 vale 0, 1 vale 1 etc. (linha (b));
cada algarismo tem seu valor relativo dentro do numeral, que é o produto de seu valor
absoluto multiplicado pela potência de 16 correspondente (linha (axb));
deslocar um algarismo para a esquerda significa multiplicar seu valor relativo por 16;
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
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inversamente, deslocar um algarismo para a direita significa dividir seu valor relativo por 16.
IMPORTANTE: Novamente, o numeral 102AC4 (base 16) corresponde ao mesmo número, ou seja,
tem o mesmo valor, que o numeral 1.059.524 (base 10).
4.1.1 Exercícios de fixação
1. Seguindo o exemplo, escreva em forma de potência de 2, dando, em seguida, o numeral decimal
correspondente:
a) 1101 =
1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 8+4+0+1 = 13
b) 10 = _______________________________________
c) 1 = ________________________________________
d) 0 = ________________________________________
e) 11001001 = _________________________________
f) 1000000000000000 = _________________________
4.1.2 Respostas
3. b) 1x21 + 0x20 = 2+0 = 2
c) 1x20 = 1
d) 0x20 = 0
e) 1x27 + 1x26 + 1x23 + 1x20 = 128+64+8+1 = 201 (ignoramos as multiplicações por zero)
f) 1x215 = 32.768 (ignoramos as multiplicações por zero)
5 Mudança de base
Em aplicações de programação de computadores, de eletrônica e outras, é comum trabalharmos
com bases diferentes da decimal. Trabalhamos, principalmente, com as bases 2, 8 e 16. Assim, precisamos
ser capazes de converter numerais de uma base para outra.
O primeiro tipo de conversão, de outras bases, como a 2 e a 16, para decimal, você já aprendeu nos
tópicos anteriores. Basta multiplicar os valores absolutos dos algarismos pelas potências de 2 ou de 16 e
somar os produtos resultantes. O resultado é o numeral decimal correspondente.
O segundo tipo de conversão, de decimal para outras bases, veremos agora. Apresentaremos duas
maneiras, uma usando a calculadora do Microsoft Windows, e outra, fazendo a conversão manualmente. A
primeira, usando a calculadora do Microsoft Windows, é uma maneira de você conferir as conversões que
você aprenderá a fazer manualmente.
5.1 Mudança de base com a calculadora do Microsoft Windows
A calculadora é bem simples. Siga os seguintes passos:
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Numeração Decimal, Binária e Hexadecimal
1. Execute a
calculadora.
2. Use o modo
programador.
Use a combinação de teclas Windows+R para
abrir o diálogo “Executar”:
Digite CALC.EXE e clique “OK”.
Opcionalmente, se sua versão do Microsoft
Windows tem o botão Iniciar, vá em “Todos os
Programas”, “Acessórios”. Lá está o atalho
para a calculadora.
Na calculadora, vá ao menu “Exibir” e escolha
“Programador”.
3. Digite o
numeral na
base 10.
Selecione a base 10 e digite seu numeral. Por
exemplo, 12504.
4. Selecione a
base desejada.
Selecione a base desejada (Hex para
hexadecimal, Bin para binário). O valor
convertido será exibido no visor.
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5. Fique atento
para o
funcionamento
da calculadora.
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Repare que, conforme mudamos a base
selecionada, apenas os algarismos válidos para
aquela base ficam disponíveis.
5.2 Mudança de base manual
A mudança de base manual é bastante simples. Usamos o método das divisões sucessivas:
1. fazemos a divisão inteira do numeral decimal pela base desejada;
2. se o quociente da divisão for maior ou igual à base, repetimos a operação, dividindo esse
quociente pela base;
3. repetimos o passo acima enquanto o quociente encontrado na última divisão for maior ou
igual à base;
4. quando a divisão não for mais possível, pegamos o último quociente e os restos das divisões
anteriores, em ordem inversa. Esse é o numeral desejado.
Eis uma ilustração do processo. Vamos converter o numeral decimal 14.178 para a base 16:
14.178
16
2
886
886
16
6
55
55
16
7
3
Dividimos 14.178 por 16. Obtemos o quociente 886 e o resto 2.
Como 886 é maior que a base, 16, fazemos sua divisão por 16.
Obtemos o quociente 55 e o resto 6.
Como 55 é maior que a base, 16, fazemos sua divisão por 16.
Obtemos o quociente 3 e o resto 7.
O quociente 3 é menor que 16. Aqui, paramos as divisões.
Tomamos o último quociente, 3, e todos os restos, em ordem
inversa. Esse é o numeral hexadecimal correspondente a
14.178:
3762
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Um segundo exemplo. Vamos converter o numeral decimal 968.674 para a base 16:
968.674
16
2
60.542
60.542
16
14
3.783
3.783
16
7
236
236
16
12
14
Quociente: 60.542. Resto: 2.
O quociente ainda é divisível por 16.
Quociente: 3.783. Resto: 14.
O quociente ainda é divisível por 16.
Quociente: 236. Resto: 7.
O quociente ainda é divisível por 16.
Quociente: 14. Resto: 12.
O quociente não é divisível por 16.
O quociente 14 é menor que 16. Aqui, paramos as divisões.
Tomamos o último quociente, 14, e todos os restos, em ordem
inversa. Esse é o numeral hexadecimal correspondente a
14.178:
EC7E2
Um último exemplo. Vamos converter o numeral decimal 1.148 para a base 2:
1.148
2
0
574
574
2
0
287
287
2
1
143
143
2
1
71
71
2
1
35
35
2
1
17
17
2
1
8
8
2
0
4
4
2
0
2
2
2
0
1
Quociente: 574. Resto: 0.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 287. Resto: 0.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 143. Resto: 1.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 71. Resto: 1.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 35. Resto: 1.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 17. Resto: 1.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 8. Resto: 1.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 4. Resto: 0.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 2. Resto: 0.
O quociente ainda é divisível por 2.
Quociente: 1. Resto: 0.
O quociente não é divisível por 2.
O quociente 1 é menor que 2. Aqui, paramos as divisões.
Tomamos o último quociente, 1, e todos os restos, em ordem
inversa. Esse é o numeral binário correspondente a 1.148:
100 0111 1100
Como se vê, depois de adquirida alguma prática, o processo torna-se bastante natural.
Para numerais hexadecimais, é comum, em programação de computadores, o uso do prefixo “0x”
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para indicar a base 16. Por exemplo, os numerais hexadecimais encontrados nos exemplos acima ficariam
0x3762 e 0xEC7E2.
Para numerais binários, em geral indica-se a base 2 usando o subscrito “(2)” após o numeral. Por
exemplo, 10001111100(2). Uma outra notação, parecida com a hexadecimal, é a utilização do prefixo “0b”.
Nesse caso, nosso numeral ficaria 0b10001111100. Essa segunda notação, atualmente, é menos utilizada.
Para finalizar, é importante salientar que podemos converter um numeral decimal para qualquer
base desejada utilizando o processo descrito, desde que saibamos quais são os algarismos utilizados na base
de destino.
6 Referências bibliográficas
Citamos, aqui, algumas obras consultadas para a confecção deste texto, bem como outras que
podem ser de interesse para o estudante.
BONJORNO, Regina Azenha. Falando de matemática: 5ª. Série. São Paulo: IBEP, 1992.
Esse livro, em seu início, cobre satisfatoriamente o assunto de numerais, números e bases de
numeração.
MAXFIELD, Clive; BROWN, Alvin. The definitive guide to how computers do math. Hoboken, New Jersey:
Wiley, 2005.
Conteúdo extremamente instrutivo para programadores de todos os níveis.
JONES, Gareth A.; JONES, J. Mary. Elementary number theory. Hoboken, London: Springer-Verlag, 1998.
Livro excelente, de conteúdo técnico médio para avançado, a respeito da teoria dos números.
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