Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 UMA METAHEURÍSTICA GRASP APLICADA AO PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DOS SD Abstract This paper presents a GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) algorithm applied to resolution of expansion planning of electric power distribution systems (EPDS). The planning problem on Expansion of Electrical Energy Systems Distribution presented in this work aims to the construction/ reconductoring of circuits and construction/ reinforcement of substations in optimised form evaluating the construction costs of circuits and/or substations and of system operation in a preestablished planning horizon. The proposed model is a problem of mixed integer nonlinear programming (MINLP), which is solved by employing the metaheuristic GRASP combined with a Constructive Heuristic Algorithm (CHA) and a VNS (Variable Neighborhood Search). Results of two distribution systems are demonstrated in order to analyze the algorithm development. Keywords Planning of the expansion, Metaheuristic, systems of distribution of electrical energy Resumo Este trabalho apresenta um algoritmo GRASP (Greedy Randomized Adaptive Pesquisa Processo) aplicada a resolução de planejamento da expansão dos sistemas de distribuição de energia elétrica (PESD). O problema apresentado neste trabalho tem como objetivo a construção / recondutoramento de circuitos e construção / reforço de subestações em forma otimizada avaliando os custos de construção de circuitos e / ou subestações e de operação do sistema em uma pré-estabelecido horizonte de planejamento. O modelo proposto é um problema de programação não-linear inteira mista (MINLP), que é resolvido através da utilização metaheurística GRASP combinada com um algoritmo heurístico construtivo (AHC) e um VNS (Variable Neighborhood Search). Os resultados de dois sistemas de distribuição são demonstradas a fim de analisar o algoritmo desenvolvido Palavras chave Planejamento da expansão, Metaheuristica, sistemas de distribuição de energia elétrica. ´ 1 Limite máximo de potência aparente em uma subestação construída/repotenciada no nó i (kVA) Mínima magnitude da tensão; Máxima magnitude da tensão; Demanda de potência ativa no nó i (kW); Demanda de potência reativa no nó i (kVAr); Resistência do condutor de tipo a (Ω/km); Resistência do ramo ij (Ω); Reatância do condutor de tipo a (Ω/km); Reatância do ramo ij (Ω); Impedância do condutor de tipo a (Ω/km); Impedância do ramo ij (Ω); Variáveis: Quadrado da magnitude do fluxo de , corrente do circuito ij associada com o condutor tipo a; Quadrado da magnitude do fluxo de corrente do circuito ij; Quadrado da magnitude da tensão no nó i; Quadrado da potência aparente provida pela subestação do nó i; Fluxo de potência ativa do circuito ij , associado com o condutor do tipo a; Fluxo de potência reativa do circuito ij , associado com o condutor do tipo a; Direção para frente do fluxo da potência , ativa do circuito ij associado com o condutor do tipo a. Direção para trás de fluxo da potência , ativa do circuito ij associado com o condutor do tipo a. Notação Conjuntos: Conjunto de tipo de condutores; Ω Conjunto de nós; Ω Conjunto de ramos; Ω Conjunto de subestações; Ω Constantes: Número de horas em um ano (8760 h) Número de anos do período de planejamento Taxa de recuperação de capital de construção circuito Taxa de recuperação de capital da subestação construção / reforço; Fator de perda de circuitos Fator de perda de subestações Taxa de juros do custo real das perdas de energia; Taxa de juros de custo de operação das subestações; Limite inferior para a variável ; Custo fixo da subestação no nó i (US$/ (kW)2 /h); Custos de construção de circuitos usando o , tipo de condutor a (US$/kWh); Custo da energia (US$); Máxima magnitude de fluxo de corrente do condutor tipo a (A); Comprimento do circuito ij (km); Limite máximo de potência aparente em uma subestação existente no nó i (kVA); 1 3620 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 , heurísticas. Um algoritmo heurístico construtivo com uma fase de melhoria local é utilizado em (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010). Neste trabalho, em primeiro lugar, todas as variáveis de decisão binarias são relaxadas, tornando-se um problema de programação não linear (PNL). O problema de PNL é resolvido a cada iteração e sua solução é utilizada para calcular o índice de sensibilidade, para ser utilizado no AHC. Por último, uma heurística de melhoria local, é utilizada para melhorar a solução encontrada pelo AHC. Entre as técnicas de metaheurísticas utilizadas encontram-se os trabalhos com algoritmos genéticos (Ramirez-Rosado & Bernal-Augustín, 1998) - (Duan & Yixin, 2003). Em (Ramirez-Rosado & BernalAugustín, 1998), um algoritmo genético é utilizado no planejamento de sistemas comparativamente maiores. Em (Diaz-Dorado, Cidras, & Miguez, 2002), um planejamento estático de rede urbana é resolvido mediante um algoritmo genético, onde operadores baseados em cruzamento e mutação são utilizados para minimizar a geração de soluções fatíveis e uma estratégia elitista assegura a sobrevivência das melhores soluções. Um AG específico do problema chamado AG do caminho mais curto foi proposto em (Duan & Yixin, 2003), onde os cromossomos são gerados de forma aleatória e as buscas globais e locais realizadas com os operadores genéticos e o algoritmo de rota mais curta, respectivamente. Em (Gómez, et al., 2004) é empregado um algoritmo de Busca de Colônia de formigas. Em (Parada, Ferland, Arias, & Daniels, 2004) os autores utilizam a técnica de recozido simulado. Em (Ranjan, Vekatesh, & Das, 2002) emprega-se um sistema especialista baseado em redes neurais que troca o problema original de planejamento do sistema de distribuição por um problema de planejamento de grafo dirigido. Em (Ganguly, Sahoo, & Das, 2011) propõe-se um algoritmo de enxame de partículas. Porem existem poucos antecedentes de uso de metaheurísticas diferentes às populacionais aplicadas ao PESD. Neste trabalho um algoritmo híbrido GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) com VNS (Variable Neighborhood Search) é proposto para resolver o problema de PESD com o objetivo de observar o rendimento da técnica escolhida. Fluxo potência ativa do circuito ij Fluxo potência reativa do circuito ij Potência ativa provida pelo nó i (kW); Potência reativa provida pelo nó i (kW); Variável usada no calculo da magnitude da queda da tensão no nó i; Variável binaria associada com a direção para frente do circuito ij; Variável binaria associada com a direção de decida do circuito ij; Variável binaria para a construção/ repotenciação da subestação no nó i; Variável binaria para construção/ recondutoramento do circuito ij usando o condutor do tipo a. 2 Introdução A resolução do problema de planejamento da expansão do sistema de distribuição (PESD) tem como objetivo determinar o melhor plano de expansão do sistema que minimize os investimentos e os custos de operação, atendendo as restrições de operação, tais como, os limites da magnitude da tensão, limites da magnitude de fluxo de potência nos circuitos, limites de fornecimento da potência das subestações, e a operação radial do sistema, para um horizonte de planejamento no qual a demanda é conhecida (Wills, 2004) - (Temraz & Quintana, 1993). O modelo matemático do PESD que representa de maneira mais fiel a característica de um sistema de distribuição real é um Problema de Programação Não Linear Inteiro Misto (PNLIM) (Bernal-Agustin, 1998). A função objetivo é não diferençável, não convexa, altamente não linear e apresenta o fenômeno da explosão combinatória quando o tamanho do sistema a ser otimizado aumenta. Porem, numerosas estratégias de solução têm sido relatadas na literatura especializada e que podem ser divididos em duas categorias: métodos de programação matemática e métodos heurísticos, incluindo sistemas especialistas e algoritmos evolucionários na última categoria. Dentro das técnicas heurísticas, (Ponnavaikko, Rao, & Venkata, 1987) e ( Bhowmik, Goswami, & Bhattacherjee, 2000) usam modelos quadráticos para o tratamento do PESD. Em (Ponnavaikko, Rao, & Venkata, 1987) propõe-se um algoritmo heurístico construtivo (AHC) que aproxima as perdas de potência ativa através de uma função quadrática, o algoritmo relaxa a integralidade das variáveis de decisão e resolve o problema quadrático resultante para determinar as variáveis que podem ser arredondadas. Em ( Bhowmik, Goswami, & Bhattacherjee, 2000) uma técnica iterativa de duas fases é proposta, na primeira fase é determinado o tamanho ótimo das subestações, na segunda fase é fornecida a configuração da rede, a integralidade das variáveis é relaxada com o objetivo de resolver o problema quadrático, com esta solução são impostas restrições de integralidade empregando técnicas 3 Modelo matemático No modelo são usadas as equações propostas em (Cespedes, 1990) e (Baran & Wu, 1989), as quais são frequentemente utilizadas no método de varredura para o fluxo de carga de sistemas de distribuição radiais. Além das contribuições no modelamento para sistemas radiais feitas no trabalho apresentado em (Rider, Franco, & Borges , 2014) para outro tipo de problemas próprios dos sistemas de distribuição. 2 3621 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 min calculadas usando (6)–(8). Os limites da magnitude da tensão são estabelecidos por (9). As restrições (10) e (11) representam os limites da magnitude dos fluxos de corrente do circuito ij relacionado com cada tipo de condutor e o seu estado de operação respetivamente. A restrição (12) permite a seleção de um e somente um tipo de condutor para o circuito ij se este é construído. A inequação (13) limita o número de direções de fluxos de potência ativa a somente um para o circuito ij. A equação (14) junto com as restrições (2) e (3) são usadas para garantir a operação radial do sistema como é mostrado em (Lavorato, Franco, Rider, & Romero, 2012). A restrição (15) estabelece que cada nó do sistema tem que estar conectado e alimentado pelo menos por um circuito. A equação (16) limita o valor da queda de tensão para o estado de operação do sistema do circuito ij. A equação (17) calcula o fluxo de potência ativa do circuito ij com condutor tipo a somando os fluxos de potência ativa nas direções para frente e para trás. As restrições (18)–(22) permitem estabelecer limites para os fluxos de potência ativa e reativa nos circuitos ij com base no estado de operação e do tipo de condutor a. As inequações (23) e (24) são os limites de operação das subestações. As restrições (25) até (28) representam a natureza binária das variáveis de decisão. ( , ) + ∈Ω + + , , (1) ∈Ω ∈Ω ( , ) , Sujeito a − , ∈Ω ∈Ω ∈Ω + = ∈Ω ∈Ω ∈Ω + + = (2) ∈Ω (3) , ∈Ω − , ∀ − , + , ∈Ω , = [2 ∀ , + , ]+ ∈Ω (4) , ∈Ω + = + = , ∀ ∈Ω ∀ ∈Ω (5) ∀ ∈Ω (6) ∀ ∈Ω (7) ∀ ∈Ω (8) ∀ ∈Ω (9) (10) (11) (12) ∈Ω = , ∈Ω = , ∈Ω ≤ 0≤ 0≤ ≤ , ≤ , ∀ ∈Ω, ∈Ω , ≤ , ∀ ∈Ω, ∈Ω = + , ∀ ∈Ω 4 O GRASP é uma metaheurística de duas fases (Feo & Resende, 1995). Na primeira fase, são construídas soluções utilizando um processo guloso aleatório e na segunda fase, as soluções obtidas da primeira fase são melhoradas por algum método enumerativo ou de busca local. A seguir, apresenta-se a metodologia proposta, onde na fase de construção é utilizado uma modificação de um AHC e o VNS é empregado na segunda fase do GRASP na resolução do PESD. ∈Ω + ≤1 + = |Ω | − |Ω | (13) (14) ∈Ω ( + ∈Ω ) ≥1 (15) ∈Ω ∀ ∈Ω −Ω , >0 ∀ ∈Ω ∀ ∈Ω, ∈Ω ∀ ∈Ω, ∈Ω (16) (17) (18) 0≤ ≤ (19) 0≤ ≤ ∀ ∈Ω, ∈Ω (20) 0≤ ≤ ∀ ∈Ω, ∈Ω , (21) 0≤ ≤ ∀ , ∈ Ω ∈ Ω , (22) ≤ ∀ ∈Ω, ∈Ω , , (23) ≥ + ∀ ∈Ω ´ (24) ≤ + ∀ ∈Ω ∈ {0,1} ∀ ∈Ω (25) ∀ ∈Ω, ∈Ω (26) , ∈ {0,1} , ∈ {0,1} ∀ ∈Ω (27) A função objetivo (1) leva em conta os custos de investimento e de operação e se encontra baseada no trabalho realizado em (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010). As equações (2) e (3) representam o balanço de potência no nó i. A equação (4) representa o cálculo da queda de tensão no circuito ij. A equação (5) estabelece a relação entre os fluxos de potências ativa e reativa, o quadrado da magnitude da tensão e o quadrado da magnitude da corrente. As magnitudes do fluxo de corrente, potências ativa e reativa são , ≤ = 1− − − Metodologia de solução: GRASP Figura 1 Diagrama de blocos do GRASP 3 3622 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 4.1. Fase de construção. Inicio Para fornecer uma solução inicial de boa qualidade, é utilizado um processo guloso aleatório baseado no algoritmo apresentado por (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010) em que a cada iteração resolve um problema de Programação Cônico de Segunda Ordem PCSO, resultante do relaxamento das variáveis inteiras do problema de PNLIM que passam a ser consideradas como contínuas e restritas, e da conversão da equação (5) a uma restrição cônica, este último fato está baseado na equivalência existente entre o modelo de PNLIM e o modelo de Programação quadrático inteiro misto PQIM o qual é apresentado em (Rabih, 2013). Através dos resultados obtidos pela solução do problema de PCSO, são calculados os índices de sensibilidade que serão usados para adicionar os circuitos com o tipo de condutor e/ou as subestações no sistema. Os índices de sensibilidade estão baseados na potência aparente para o caso das subestações (ISS) e de potência ativa para o caso dos ramos (ISC), com o objetivo de determinar a lista restrita de candidatos em cada iteração da fase construtiva: = , ∈Ω ≠0 (28) = , ∈ Ω , ∈ Ω ≠ 0 (29) , , O problema PCSO usado para encontrar os índices de sensibilidade é obtido a partir de (1) - (27), considerando o número de novos circuitos e subestações como variáveis contínuas (mas limitada entre 0 e 1), relaxando a restrição (5) e acrescentando dois novos parâmetros (wmas e zmas) para os conjuntos de restrição (10), (12), (13), (20), (21), (22) acompanhando as variáveis de decisão e que controlam a sua escolha segundo o comportamento dos índices de sensibilidade a cada iteração. Os critérios de parada do AHC são: ∑ ∈Ω =0 (30) Conjuntamente com: ∑ ∈Ω ∑ ∈Ω (31) , = |Ω | − |Ω | Na figura 2 representa o diagrama de blocos da fase construtiva, a qual é realizada em dois níveis: o primeiro determina o comportamento das variáveis relacionadas com as subestações e o segundo nível determina o comportamento dos circuitos e condutores conjuntamente. 4.2. Redução do espaço de busca dos circuitos. Gerar semente, Determinar parâmetro alfa, relaxar PNLIM para um PCSO Resolver PCSO SIM A soma das variáveis wi é Igual a zero? NÃO Calcular indices de sensibilidade para as subestações Criar lista restrita de candidatos das subestações Eleger aleatoriamente um componente dentro da LRC A restrição de radialidade é satisfeita ? SIM FIM FASE CONSTRUÇÃO NÃO Calcular indice de sensibilidade para os circuitos Criar lista restrita de candidatos dos circuitos Eleger aleatoriamente um componente dentro da LRC Resolver PCSO Figura 2 Funcionamento do Algoritmo guloso- aleatório na fase construtiva. 4.3. Fase de busca local. Na fase de busca local geralmente o GRASP busca melhorar a solução construída pela primeira fase. Neste trabalho a busca local é realizada aplicando a metaheurística VNS em uma de suas variantes, o VNDS (VNS com Decomposição) quem se adapta à natureza do PESD o qual pode ser divido em um problema mestre de seleção ótima das subestações e nos problemas escravos de reconfiguração e recondutoramento das linhas (Franco, 2012). O VNDS usará um conjunto de estruturas de vizinhança no nível mais superior para eleger uma combinação de subestações utilizando um RVNS como busca local e usando no nível mais inferior outra versão do algoritmo VNS, um VND, para melhorar a solução corrente usada para iniciar a busca, procurando boas combinações de circuitos e condutores conjuntamente (Fernandes, 2011). Com o objetivo de reduzir o espaço de busca dos circuitos a construir e recondutorar é empregada uma sub-rotina posterior à fase de construção onde são identificados e fixados os valores dos circuitos que só tem um caminho de alimentação, tendo como base o tipo de condutor fornecido pelo índice de sensibilidade na fase construtiva. 4 3623 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 em (Franco, 2012). Assim a fase de busca pode ser resumida da seguinte forma: Vizinhanças para subestações (Estruturas de primeiro nivel) Inicio Vizinhanças para circuitos e conductores (Estruturas de segundo nivel) Estabelecer estruturas de vizinhança para as subestações e para os circuitos Fazer solução inicial a fornecida na fase construtiva Figura 3 Estrutura da busca para o PESD O VNDS foi adaptado para que cada estrutura de vizinhança visitada gerasse uma configuração infactível de tal forma que a busca local possa explorar todas as rotas alternativas que trazem de volta a factibilidade do sistema e cuja função objetivo seja melhorada. A proposta feita neste trabalho é baseada no trabalho feito em (Fernandes, 2011) e tem as seguintes caraterísticas: Estrutura de vizinhança para seleção das subestações: A fase construtiva do GRASP garante a potência para o funcionamento do sistema de distribuição, porém, as estruturas de vizinhança de retirada de subestações construídas ou repotenciações realizadas mostraram-se mais interessantes do que o acréscimo destas como estruturas de vizinhança (Fernandes, 2011). Na primeira parte, utiliza-se o cenário inicial produzido pela fase construtiva do GRASP e através das estruturas de vizinhança para seleção de circuitos, procura-se melhorar a solução inicial. Partindo dela, exploram-se as estruturas de vizinhança para subestações que serão apresentadas a seguir: a) Retirar uma ou duas subestações construídas pela fase construtiva e reconectar as barras desconectadas às outras subestações. A busca local utilizará as estruturas de vizinhança dos circuitos para conectar os laços ou barras que ficarem desconectados b) Retirar uma ou duas repotenciações realizadas pela fase construtiva do GRASP. Para reconstruir a radialidade do sistema, todos os circuitos ligados à subestação são desconectados e é implementado um algoritmo de tipo guloso para reconectar as barras desconectadas às subestações, incluindo aquela sem repotenciação. Estrutura de vizinhança para seleção dos circuitos: a) Escolher aleatoriamente um ou dois circuitos que serão retirados do sistema, tornando-o desconexo. Fazer então uma busca local, onde diferentes circuitos alternativos são adicionados ao sistema de forma a tornar este sistema conexo. b) Escolher aleatoriamente um ou dois circuitos que serão adicionados ao sistema, criando-se assim um anel. Fazer então uma busca local na qual é retirado um circuito do anel para que o sistema seja novamente radial. Com o objetivo de reduzir o esforço computacional na avaliação de soluções infactíveis, são proibidas propostas de combinação das subestações cuja potência aparente seja menor a potência aparente demandada pelos nós de carga tal como se recomenda Realizar busca local na topologia da solução inicial Fazer Kse==1 SIM Kse > Kmax,se? FIM NÃO Escolher aleatoriamente uma solução Xse. Fazer busca local nas estruturas de vizinhança de seleção de circuitos para gerar solução corrente NÃO Fazer Kse = Kse +1 A solução corrente melhora a incumbente? SIM Atualizar incumbente. Fazer Kse==Kse Figura 4 Diagrama de blocos do VNS na fase de Busca local do GRASP. Baseados na proposta de (Fernandes, 2011) é usada uma lista de movimentos proibidos, que leve em conta as mudanças na topologia da solução corrente. Estes movimentos são proibidos de forma permanente para o caso das subestações e para os circuitos o atributo só é retirado quando existe uma troca na combinação da solução para as subestações. A diferença da estratégia usada em (Fernandes, 2011), onde o primeiro nível do VNS é abandonado sem importar se a solução corrente encontrada na estrutura de vizinhança é melhor que a incumbente, no presente trabalho se a solução corrente encontrada em uma estrutura de vizinhança de primeiro nível gera uma solução melhor que a incumbente, reinicia-se a busca nas estruturas de vizinhança de segundo nível sem mudar a estrutura de vizinhança de primeiro nível. Isto faz com que o primeiro nível somente seja abandonado do VNS quando não é alcançada uma melhora na incumbente, sendo necessário ir para outra estrutura de vizinhança de primeiro nível. 5 Testes A metaheurística proposta foi escrita em AMPL (uma linguagem de programação matemática) (Fourer, Gay, & Kernighan, 2003) e a solução dos 5 3624 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 PCSO foi obtida usando o solver CPLEX (CPLEX Division, ILOG Inc, 2008) utilizando um processador Intel(R) Core (TM) i3- 2328M [email protected] GHz. Dois sistemas teste foram utilizados para avaliar o desempenho da metaheurística desenvolvida para resolver o PESD, ambos testes formam resolvidos utilizando um alfa de 0.5 para a criação da lista restrita de candidatos. 5.1. Sistema de 23 nós Comparação dos Resultados obtidos para o sistema de 23 barras (U$) Custo Custo de Anual de Custo Total Soluções Circuitos Perdas Lavorato (Lavorato, Rider, Garcia, & 151.892 20.227 172.119 Romero, 2010) Fernandes (Fernandes, 2011) 151.892 19.946 172.119 GRASP O sistema de 23 nós pode ser encontrado na literatura em (Nahman & Peric, 2008) é um sistema de distribuição de 34.5 kV, com uma subestação que gera 10 MVA e tem 21 nós de carga. Os valores mínimo e máximo de tensão são de 0,97 pu e 1,03 pu, respectivamente. Os custos de perda de energia são 0,05 US/ KWh, o fator de perda e igual a 0,35, a taxa de juros é 0,1 e o período de planejamento é de 20 anos e existe dois tipos de condutores para a construção dos circuitos, o primeiro com capacidade de 230 A e o segundo com capacidade de 340 A. 5.2. Sistema de 54 nós 153.913 17.055 A melhor solução encontrada pela metaheurística foi de U$3.328.955 que é melhor que a solução apresentada em (Fernandes, 2011) (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010). O plano consiste em construir as duas subestações, todos os circuitos usando o tipo de condutor de menor capacidade e não são construídos os seguintes circuitos 8 -7, 18-17, 229, 8-25, 27-8, 28- 6, 10-31, 43-13, 33-39, 16-40, 4742. Tabela 2 Resultados antecessores na literatura especializada para o sistema de 54 nós. Resultados obtidos para o sistema de 54 barras (U$) Custo Custo Custo de Custo de Anual Soluções subestaçõ anual de Circuitos de es operação Perdas Lavorato (Lavorato, Rider, Garcia, 39.580 2.772 540.000 2.933.183 & Romero, 2010) Fernandes (Fernandes, 39.580 2.672 540.000 2.933.183 2011) 40.544 2.374 440.000 2.846.037 GRASP O sistema de distribuição de 54 nós tem uma tensão nominal de 13,5-kV e 50 nós de carga. O sistema possui duas subestações de 0,167 MVA que podem ser repotenciadas com 0,167 MVA e 0,133 MVA e existe a possibilidade de construir duas novas subestações de 0,222 MVA cada. São considerados dois tipos de condutores para realizar a construção e o recondutoramento, o primeiro deles tem uma capacidade de 90 A e o segundo tem uma capacidade de 110 A. As tensões mínima e máxima são de 0,95pu e 1,05pu. Os custos de perda de energia são 0,1 US/ KWh, o fator de perda é igual a 0,35, a taxa de juros é 0,1, o período de planejamento é de 20 anos e os custos de operação da subestação são 0,1US/VA h2. Comparação dos Resultados obtidos para o sistema de 54 barras (U$) Soluções 6 170.969 Resultados Custo Total Lavorato (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010) Fernandes (Fernandes, 2011) GRASP Para observar a qualidade da metaheurística desenvolvida, 100 testes foram realizados para cada um dos sistemas testes. A tabela 1 apresenta uma comparação entre o resultado encontrado pela metodologia proposta e os resultados encontrados na literatura, a melhor solução encontrada pela metodologia proposta para este sistema foi de U$170.969, esta solução é igual à apresentada em (Rabih, 2013) e é melhor que a apresentada em (Lavorato, Rider, Garcia, & Romero, 2010), cujo custo é de U$ 172.119. O plano proposto consiste em usar para todos os circuitos o primeiro tipo de condutor, exceto para o circuito 1-10 o qual é construído com o segundo tipo de condutor, que tem um menor valor de impedância por km o que produz uma redução nas perdidas que compensa a sua inversão e gera a melhor solução encontrada até o momento na literatura. Não são construídos os circuitos 3-8, 3-16, 4-6, 4-8, 4-9-, 5-14, 6-16, 11-22, 12-15, 13-15, 15-21, 16-22, 19-20. 7 3.515.535 3.515.435 3.328.955 Conclusões Neste trabalho foi proposta uma metaheurística híbrida que combina a metaheurística GRASP e uma metaheurística VNS para resolver o problema de PESD. A utilização do modelo de programação cônica de segunda ordem garanta a obtenção da solução ótima para o problema relaxado, contribuindo a brindar maior precisão na escolha dos elementos a inserir em um plano de expansão na hora de usar as sub-rotinas na fase de construção e de busca local. A metodologia proposta obteve melhores resultados para os testes realizados em relação aos trabalhos encontrados na literatura especializada. Os resultados encontrados mostram a capacidade da metodologia proposta de encontrar soluções de boa qualidade. Tabela 1 Resultados antecessores na literatura especializada para o sistema de 23 nós. 6 3625 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014 Ganguly, S., Sahoo, N., & Das, D. (Mar de 2011). Mono- and multi-objective planning of electrical distribution networks using particle swarm optimization. Appl. Soft Comput., 11(2), págs. 2391–2405. Gómez, J., Khodr, H., Oliveira, P., Ocque, L., Yusta, J., Villasana, R., & Urdaneta, A. (Mai de 2004). Ant colony system algorithm for the planning of primary distribution circuits. IEEE Trans. Power Syst, 19(2), 996–1004. Lavorato, M., Franco, J. F., Rider, M. J., & Romero, R. (Fev de 2012). Imposing radiality constraints in distribution system optimization problem. IEEE Trans. Power Syst, 27(1), págs. 172-180. Lavorato, M., Rider, M., Garcia, A. V., & Romero, R. (Ago de 2010). A construtive heuristic algorithm for distribution system planning. IEEE Trans. Power Syst., 25(3), págs. 17734-1742. 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