Unidade 9 – Geometria Espacial
Poliedros
Volume de sólidos
geométricos
Princípio de Cavalieri
Poliedros
A palavra “poliedro”
tem sua origem no
idioma grego (poly
significa, muitos, e
hedra, faces).
Poliedro é a reunião de
certa quantidade de
polígonos, satisfazendo
a seguinte condição:
Poliedros
Cada lado desses polígonos é também lado
de apenas um outro polígono.
Poliedros
Cada um dos polígonos que compõem um poliedro
é chamado de face.
Cada lado comum a duas faces é chamado de
aresta do poliedro.
Cada vértice da face, vértice do poliedro.
A denominação dos poliedros se faz por meio do
seu número de faces.
Assim, um poliedro com quatro faces é chamado
tetraedro; com cinco, pentaedro; com seis,
hexaedro; e assim sucessivamente.
Poliedros
Os exemplos a seguir não são considerados
um único poliedro:
Poliedros – para você fazer p. 3
Escreva o número de faces, arestas e
vértices de cada um dos poliedros:
F=9
A = 16
V=9
F=8
A = 12
V=6
Classificação dos poliedros
Observe estes dois poliedro:
Todo segmento que liga
dois pontos internos está
sempre contido no sólido é
denominado convexo.
Quando os segmentos que
ligam dois pontos internos
não estão inteiramente
contidos no interior do
poliedro, é denominado
côncavo.
Relação de Euler (1707 – 1783)
Nascido em Basel, na Suiça;
Introduziu, por exemplo, os símbolos:
e (base do sistema de logaritmos naturais);
i (unidade imaginária que corresponde à raiz
quadrada de -1);
f(x) para uma função;
Em geometria, seu trabalho mais conhecido é a
relação entre o número de vértices, faces e arestas
de um poliedro.
Relação de Euler (1707 – 1783)
10
12
20
7
7
12
10
7
15
8
6
12
Relação de Euler (1707 – 1783)
Observe que o número de vértice adicionado
ao número de faces é igual ao número de
arestas acrescido de duas unidades.
Essa relação se mantém constante em todos
os poliedros convexos e é conhecida como
relação de Euler.
V+F=A+2
Para você fazer p. 4
1.
Qual é o número de arestas de um
octadecaedro (poliedro com 18 faces)
convexo que tem 8 vértices?
V + F = A+ 2
8 + 18 = A + 2
26 = A + 2
A = 24
Para você fazer p. 4
2. Em poliedro convexo, o número de faces é igual a três
quartos do número de vértices, e o número de vértices é dois
terços do número de arestas. Calcule o número de faces desse
poliedro.
V + F = A+ 2
3
2
Sabemos que F = .V e V = . A
4
3
3
3 2
A
Assim; F = .V → F = . . A → F =
4
4 3
2
A
2
.A + = A + 2
3
2
4 A + 3 A 6( A + 2)
=
6
6
7 A = 6 A + 12 → A = 12
A
12
Por tan to : F = → F = → F = 6
2
2
Outra relação
Se considerarmos cada um
dos polígonos
separadamente, temos um
total de quatro triângulos e
cinco quadrados.
Logo, o total de lados desses
polígonos é igual a 4.3 + 5.4 =
32
Como cada aresta do poliedro
é, simultaneamente, lado dois
polígonos, o número de
arestas do poliedro é a
metade do número de lados,
ou seja, 32/2 = 16
Conceito
Em um poliedro convexo, se N é o número
de lados dos polígonos que compõem as
faces, considerados separadamente, e A é o
número de arestas do poliedro, então:
N = 2A
Para você fazer p. 4
Um poliedro convexo é formado por 4 faces
triangulares e cinco quadrangulares. Calcule
o número de arestas e vértices desse
poliedro.
Sendo F3 e F4 os números de faces triangulares e quandrangulares,
temos que :
N = 2A
3F3 + 4F4 = 2A
3.4 + 4.5 = 2A
A = 16
V +F=A+2
V + (4 + 5) = 16 + 2
V + 9 = 18
V=9
Soma das medidas dos ângulos
internos das faces de um poliedro
Se Sif é a soma das medidas dos ângulos
internos das faces de um poliedro convexo,
então:
Sn = 360º . (V – 2)
Em que V é o número de vértices.
Soma das medidas dos ângulos
internos das faces de um poliedro
A figura é formada por oito
faces triangulares.
Como a soma das medidas
dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º,
então a soma das medidas
de todos os ângulos da face
é igual a 8 . 180º = 1440º
Sn = 360º . (V – 2)
Sn = 360º . (6 – 2)
Sn = 360º . 4
Sn = 1440º
Resolução de Atividades
Página 5 e 6
Poliedro regular
Um polígono regular é aquele que apresenta
todos os lados e ângulos internos
congruentes (mesma medida).
Poliedro regular
Para que um poliedro seja regular, é
necessário que todas as faces sejam
polígonos regulares e que, em cada vértice,
concorra o mesmo número de arestas.
Foi por volta de 300 a.C. que um dos mais
intrigantes segredos do mundo das formas
foi desvendado.
O mundo físico admite cinco e apenas cinco
poliedros convexos regulares. São eles:
Poliedro regular
Poliedro regular
Poliedro regular
Poliedro regular
Apenas para ilustrar, existem, ainda, outros
quatro poliedros regulares, mas não
convexos.
São chamados de Kepler -Poinsot
Poliedro regular: Kepler -Poinsot
História
Resolução de Atividades
Página 9
Volume de sólidos geométricos
Um poliedro formado por seis faces
retangulares é chamado paralelepípedo
retângulo.
Para calcular um paralelepípedo retangular,
basta multiplicar suas arestas principais.
Comprimento x largura x altura
Princípio de Cavalieri
Dois sólidos S1 e S2 com mesma altura h,
apoiados num mesmo plano α, terão o
mesmo volume quando todo plano β,
paralelo ao plano a, determinar em S1 e S2
figuras com áreas iguais.