MATEMÁTICA POR TODA PARTE
A Magia da Matemática
Ilydio Pereira de Sá
1
Reflexões
Teóricas
Matemática
Por Toda
Parte
A Magia da
Matemática
2
"Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência
e do raciocínio, é a Matemática um dos caminhos
mais seguros por onde podemos levar o homem a
sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito.“
(MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)
3
Não podemos esquecer a importância do aspecto
lúdico, associado ao exercício intelectual,
característico da matemática.
Infelizmente,
parece que tal aspecto tem sido desprezado.
Por que não introduzir no currículo uma
matemática construtiva, lúdica, desafiadora,
interessante, nova e útil para o mundo moderno?
(UBIRATAN D’AMBROSIO)
4
A MATEMÁTICA: OS MEDOS
CHATA !
EXTERMINADORA !!!
A
atitude
do
professor,
as
metodologias usadas e o seu próprio
modo de “encarar” a matemática são
fundamentais no combate ou no
reforço desse “demônio”.
6
Por que aprender Matemática?
Algumas perguntas que nossos alunos fazem ...
− Professor, para que serve toda essa Matemática que
estamos estudando?
− Todas esses números e fórmulas não são para mim...
não tenho cabeça para isso!
Qual o verdadeiro papel da Matemática na
formação dos alunos/cidadãos?
Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo
isso você vai precisar para o que vai
aprender mais tarde” ...
... o que nem sempre é verdadeiro,
todos sabemos.
A única razão é de natureza histórica – há tempo
se ensina isso. MESMICE!!!!
E o professor infere: "se me ensinaram é porque
era importante, portanto...ensino o que me
ensinaram".
(D’AMBROSIO, 1999)
Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom,
um dos mais importantes matemáticos do século
passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês,
que diz:
"Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu
tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois
de três anos ele se achava perfeitamente preparado
mas, que frustração, não encontrou oportunidades de
praticar sua habilidade."
"Como resultado ele resolveu ensinar como matar
dragões." (René Thom)
Matemática por toda parte
11
I) Sentido Matemático nos animais
Pesquisas realizadas em diversos países nos
levam a acreditar que a capacidade numérica
dos animais e muito mais sofisticada do que se
pensava antigamente.
Parece que todas as criaturas nascem com um
cérebro com predisposição para a matemática.
12
ALEMANHA:
UNIVERSIDADE
DE
ULM.
COMPROVAÇÃO
DA CAPACIDADE
DE
“ALGUM”
TIPO
DE
CONTAGEM
EM
FORMIGAS.
13
Para refletir...
Porque é que o primeiro pássaro a sair
do ovo tem tendência a empurrar para
fora do ninho os outros ovos?
Porque será que uma cobra não
“gasta” seu bote a toa, ou seja, só dá
o bote quando sabe que pode
alcançar a presa?
Sobre esse tema, vejamos um pequeno trecho
de um vídeo da BBC sobre a História da
Matemática.
II) A Matemática na Natureza
e nas Artes
15
RAZÃO DE OURO E SEQUÊNCIA DE
FIBONACCI
 Durante
muito tempo os artistas
devem se ter perguntado qual era
a
mais perfeita e harmoniosa
maneira de se dividir um objeto em
duas partes.
 Na
antiguidade clássica, o grego Platão:
divisão de um segmento de uma forma
harmônica e agradável à vista. Ele a
chamou de “A Seção”.
 Cerca
de 300 anos antes de Cristo, outro
grego, Euclides, encontrou geometricamente
a forma de se fazer essa divisão harmônica e
agradável à vista. Ele a chamou de “Seção
Áurea”.
 Euclides
escreveu em seus “Elementos”:
“Para que um segmento seja dividido em
seção áurea, a razão entre o segmento e a
parte maior deve ser igual à razão entre a
parte maior e a parte menor.”
AB AC

AC CB
O número de ouro é representado
pela letra grega  (Fi), em
homenagem a Fídias (Phideas),
famoso escultor grego, por ter usado
a proporção de ouro em muitos dos
seus trabalhos.
20
ONDE ENCONTRAMOS A
RAZÃO DE OURO?
O Homem Vitruviano - Leonardo Da Vinci
Um exemplo
altura
163

 1,6891  
22
dist. umbigo aos pés 96,5
RETÂNGULO DE OURO
a
b
Retângulo de ouro
23
a
b
a
 
b
1,618...
24
 Essa
forma de particionarmos um
segmento constituiu-se na base para a
arte e a arquitetura grega.
O Partenón, templo dos Deuses Gregos
Onde podemos encontrar o
número de ouro?
Na vida cotidiana:
Cartões de crédito, documentos em
geral.
Algumas modernas telas de TVs de
LCD.
A RAZÃO DE OURO NA ARTE
Mona Lisa
Leonardo Da Vinci
Seção Áurea
Mondrian
Na natureza

A espiral maravilhosa – Existe, por exemplo, na concha do
caracol Nautilus. Fica formada a partir de arcos de
circunferência concordantes, construídos a partir de
sucessivos retângulos de ouro.
Na natureza:
A seqüência de Fibonacci e o número de ouro
Leonardo de Pisa – O Fibonacci (filho de Bonaccio)
Fibonacci (filho de Bonaccio) foi um dos matemáticos mais importantes da
idade média. Fibonacci nasceu por volta de 1170 em Pisa, uma das
primeiras cidades comerciais italianas e que manteve um comércio
florescente com o mundo árabe. Desde cedo, Fibonacci foi iniciado nos
negócios e nos cálculos, o que despertou o seu interesse pela matemática.
Em 1202, Fibonacci escreveu a sua obra mais célebre, "Liber Abaci", que
foi também um meio através do qual a numeração hindu-árabe foi
introduzida na Europa Ocidental.
30
O nome de Fibonacci tornou-se conhecido devido a um
problema que existia no seu livro "Liber Abaci", que é o
problema dos coelhos. A solução deste problema é uma
sequência numérica famosa e que, curiosamente, se
relaciona ao número de ouro e a diversos fenômenos da
natureza.
"Quantos pares ou casais de coelhos serão produzidos
em um ano, começando-se com um só par, se em cada
mês cada par gera um novo par, que se torna produtivo a
partir do segundo mês?“
31
Mês
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Casais
adultos
1
1
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
Casais
jovens
0
0
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
Total de
casais
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
32
Verifique a curiosa “lei de formação” gerada na solução
desse problema. Na sequência de Fibonacci, cada número,
a partir do terceiro, é obtido pela soma dos dois números
anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...
33
Novamente...na Natureza
Observe-se mais algumas proezas da natureza. Muitas
plantas apresentam 5 pétalas. O ananás possui 8 diagonais
num sentido e 13 no outro. Normalmente as margaridas e os
girassóis têm 21, 34, 55 ou 89 pétalas. Verifique, 5, 8, 13, ...,
34, 55, 89, ... são todos números da seqüência de Fibonacci.
Descobriu-se, não há muito tempo, que estes números são
importantes e muito freqüentes na natureza. O seu
aparecimento não é um acaso, mas o resultado de um
processo físico de crescimento das plantas e dos frutos.
34
Vejamos um recorte de vídeo (TV ESCOLA)
onde alguns dos fatos que mostramos serão
ilustrados.
35
Temos muita matemática na natureza e não
só relacionada ao número de ouro ou à
sequência de Fibonacci.
Por exemplo: Você já viu uma colméia de
abelhas? Sabe o porque do formato de um
prisma regular hexagonal?
36
A MAGIA DA MATEMÁTICA
(O lado lúdico da Matemática)
37
O que é “Motivar”?
Motivar é criar e revelar pretextos que facilitem o ensino e
a aprendizagem. A incentivação relaciona-se com o
interesse e a atração.
William James, em “Talkes to teachers, divide os assuntos
que devem ser ensinados em dois grupos:
1. Os que possuem em si um alto potencial de interesse;
2. Os que não possuem esse potencial.
Afirma esse autor que os alunos só assimilarão os
assuntos do 2º grupo se estes foram, inteligentemente
associados aos do 1º grupo.
O importante é instigar o aprender da
matemática não como um ato mecânico
de “decorar e aplicar fórmulas”, mas
compreender que “a matemática” está
na vida, muito antes de ser apreendida
ou apresentada no espaço escolarizado.
 “É natural que nossos alunos sintam mais
prazer quando estão envolvidos em atividades
desafiadoras e que permitam a descoberta. É o
que chamamos de heurística. Para isso
precisam de estímulo, de motivação, de
provocação.”
40
Atividade 1: O adivinho indiscreto
Agora vou descobrir as idades de
alguns de vocês. Basta dizer sim
ou não, conforme a sua idade
esteja ou não nas telas que irão
surgir em seguida.
Clicar aqui
Qual a justificativa matemática desse jogo?
Justificativa
Esta atividade envolve uma interessante propriedade dos
números naturais e do Sistema Binário de numeração.
“Todo número natural pode ser escrito como uma soma de
potências de 2”
Vejamos, por exemplo, o número 23. Ele pode ser
transformado na soma (1 + 2 + 4 + 16 = 23).
Observe que todas as parcelas dessa soma são potências de
base 2.
Vejamos nas cartelas o que está ocorrendo.
Assim sendo, o número 23 só irá aparecer (SIM) nas
cartelas iniciadas pelas potências de 2 que estão na sua
decomposição (1, 2, 4, 16). Nós só temos que somar
esses valores. Verifique na tabela !
2) Usando materiais manipulativos
44
Para uma reflexão final...
Os macacos e as bananas!
45
Um grupo de cientistas e pesquisadores
colocou cinco macacos numa jaula. No
meio da jaula, uma escada e no alto da
escada um cacho de bananas.
Quando um macaco subia a escada para
pegar as bananas, um jato de água fria
era jogado nos macacos que estavam no
chão.
46
Depois de um certo tempo, quando um
macaco subia a escada para pegar as
bananas, os outros que estavam no chão
o pegavam e o enchiam de pancada.
Passado algum tempo, nenhum macaco
subia mais a escada, apesar da tentação
das bananas. O jato de água fria tornouse desnecessário.
47
Então os pesquisadores substituíram um
dos macacos por um novo. A primeira coisa
que ele fez foi subir a escada, dela sendo
retirado pelos outros que o surraram.
Depois de algumas surras, o novo
integrante do grupo não subia mais a
escada.
48
Um segundo substituto foi colocado na
jaula e o mesmo ocorreu com este, tendo o
primeiro
substituto
participado
com
entusiasmo na surra ao novato.
Um terceiro foi trocado e o mesmo ocorreu.
Um quarto e afinal o último dos cinco
integrantes iniciais foi substituído.
49
Os pesquisadores tinham, então, cinco
macacos na jaula que, mesmo nunca
tendo tomado o banho frio, continuavam
batendo naquele que tentasse pegar as
bananas.
Se fosse possível perguntar a algum deles
porque eles batiam em quem tentasse
subir a escada, com certeza, dentre as
respostas, a mais frequente seria:
50
"NÃO SEI, MAS AS COISAS
POR AQUI SEMPRE
FORAM ASSIM."
51
Talvez essa fábula tenha muito a ver com a
Educação, com a Matemática e com as
experiências
que
alguns
de
nós
vivenciamos
ao
longo
de
nossa
escolarização...
Mas será que tudo tem de ser mesmo do
jeito que sempre foi?
A MAGIA DA MATEMÁTICA – Ilydio Pereira
de Sá. Ed. Ciência Moderna. 3ª Edição.
53
«O grande livro do Universo está
escrito em linguagem matemática.» ,
Galileu Galilei (1564-1642)
54