Lógica das Proposições
Transcrição - Podcast 1
Professor Carlos Mainardes
Olá eu sou Carlos Mainardes do blog Matemática em Concursos, e esse material que
estou disponibilizando trata de um assunto muito importante na vida de um
concurseiro, que é a Lógica das Proposições.
Lógica das Proposições é um assunto presente em todas as provas de concurso em
que a RLM (Raciocínio Lógico Matemático) faz parte da avaliação. Você meu amigo,
minha amiga concurseira não pode de jeito nenhum dar as costas, desistir ou ainda,
se sentir intimidado(a) por causa da dificuldade desta disciplina; porque nesse
conhecimento estão embutidos pontos muito importantes para a sua aprovação,
pense assim, eu vou me preparar, eu vou resolver essas questões e vou ganhar
pontos preciosos dos meus concorrentes!
Então, Raciocínio Lógico Matemático certamente é um fantasma para muitos
concurseiros, mas, tenho certeza que dedicação e confiança são pilares fundamentais
para vencer essa batalha e te levar ao tão almejado sonho de ser um ex-concurseiro,
ou seja, ingressar na carreira pública.
E, se você me permite, terei um imenso prazer em ajudá-lo ou ajudá-la nessa
jornada.
Esse podcast que preparei trata de conceitos, exemplos e aplicações sobre Lógica das
Proposições, use e abuse, escute no carro indo ao trabalho, na academia, antes de
dormir... para que tudo que será falado aqui fique bem guardado em sua mente e que
você tenha tranqüilidade em usar na hora que mais precisar.
Bom, vamos então ao conteúdo:
O que é uma proposição?
Quando numa frase declarativa podemos atribuir um julgamento de verdadeiro ou falso, sendo
estas as únicas expressões possíveis, dizemos que tal frase se trata de uma proposição.
Exemplo: Carlos é paranaense.
Para essa afirmação podemos imputar o valor lógico de falso ou verdadeiro, portanto,
“Carlos é paranaense”, corresponde a uma proposição.
Outros exemplos de proposição:
1. Dois é o único número par que é primo.
2. Porto Alegre é a capital do Rio Grande do Sul.
3. Nenhum número par termina em cinco ou zero.
Em todas as frases podemos julgar como verdadeira ou falsa.
Quando uma frase não é uma proposição?
Quando não se pode atribuir a elas, um julgamento de verdadeiro ou falso.
Exemplos:
1. Vamos pescar hoje? Essa é uma frase interrogativa, faz uma pergunta.
2. Menino não mexa aí. Essa frase é imperativa, pois exprime uma ordem.
3. Maravilhoso essa sobremesa! Essa frase representa uma expectativa.
4. Sua idade multiplicada por R$5,00 é o seu prêmio. Essa é uma sentença aberta, pois depende
da idade de quem a lê.
Quando juntamos duas ou mais proposições (ou seja, conectamos), fazemos isso através de
conectivos lógicos.
Exemplo:
São proposições simples:
1. Cecília é professora na faculdade.
2. Cecília é médica.
Numa Proposição composta que é formada conectando as duas proposições, isso vai ficar assim:
Eu vou usar todos os conectivos, para vocês verem como fica cada proposição composta. E depois
nós vamos discutir cada um deles.
1. Usando Conectivo de Conjunção (e)
Cecília é professora na faculdade e médica.
2. Conectivo de Disjunção (ou)
Cecília é professora na faculdade ou é médica.
3. Conectivo de Disjunção Exclusiva (ou ... ou, mas não ambos)
Ou Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica.
4. Conectivo Condicional (se ... então)
Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica.
5. Conectivo Bicondicional (se e somente se)
Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica.
Agora que exemplifiquei cada um, vamos fazer uma análise dessas proposições
compostas com o objetivo de entender quando elas devem ser falsas ou verdadeiras.
Para essa análise, vamos partir do princípio que:
Cecília é professora na faculdade – VERDADEIRA
Cecília é médica – VERDADEIRA
Então vamos lá começando pelo conectivo de conjunção (e)
O único modo da proposição composta ser verdadeira, é somente quando as
proposições simples, forem ambas VERDADEIRAS.
Então veja:
1. Cecília é professora na faculdade e é médica. VERDADE
2. Cecília é professora na faculdade e não é médica. FALSO
3. Cecília não é professora na faculdade e é médica. FALSO
4. Cecília não é professora na faculdade e não é médica. FALSO
Uso do conectivo de disjunção (ou)
Aqui já é o oposto... O único modo da proposição composta ser falsa, é somente
quando as proposições simples, forem ambas FALSAS.
Então veja:
1. Cecília é professora na faculdade ou é médica. VERDADE
2. Cecília é professora na faculdade ou não é médica. VERDADE
3. Cecília não é professora na faculdade ou é médica. VERDADE
4. Cecília não é professora na faculdade ou não é médica. FALSO
Uso do Conectivo de Disjunção Exclusiva (ou ... ou, mas não ambos)
Então veja:
1. Ou Cecília é professora na faculdade ou é médica. FALSO (Veja bem a disjunção
aqui é exclusiva, não há como ter as duas verdades, nesse quesito, uma vez eu vi um
exemplo muito bom no livro do Henrique Rocha em que ele usa a proposição
composta “Ou eu vou ou você vai” logo, como é uma disjunção exclusiva é impossível
que eu vá e você também vá...
2. Ou Cecília é professora na faculdade ou não é. VERDADE
3. Ou Cecília não é professora na faculdade ou é médica. VERDADE
4. Cecília não é professora na faculdade ou é dentista. FALSO (veja esse último caso,
FALSO, porque ela não é isso, nem aquilo, mas uma das duas coisas necessariamente
ela tem de ser...)
Uso do Conectivo Condicional (se ... então)
1. Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. VERDADE
Esse conectivo condicional nos remete a um aspecto muito importante de análise: Na
frase, temos que:
Cecília ser médica é condição necessária para que Cecília seja professora na
Faculdade, mas, Cecília dar aulas na faculdade é apenas condição suficiente para
Cecília ser médica.
2. Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília não é médica. FALSO
Como ser médica é condição necessária para Cecília dar aula na faculdade, essa
proposição só pode ser falsa, pois a lógica correta é que Cecília não sendo médica não
poderá dar aula na faculdade.
3. Se Cecília não é professora na faculdade, então Cecília é médica. VERDADE
Esse é o caso mais complicado, mas veja por essa ótica, Cecília ser médica é condição
necessária para que ela seja professora na faculdade, mas isso não significa que ela
tenha de ser professora na faculdade, então Cecília ser médica e no entanto, não ser
professora na faculdade é correto.
Veja por um outro exemplo:
Joãozinho diz: “Se passei de ano, então passei em Física” então veja; passar em
Física é condição necessária para Joãozinho passar de ano e passar de ano é apenas
condição suficiente para Joãozinho passar em Física. Por exemplo, Joãozinho pode não
ter passado de ano e, no entanto, passou em Física, mas, caso ele não tenha passado
em Física, é certo que ele não passou de ano... Então é por esse motivo que Cecília
ser médica, mas não ser professora da faculdade, é uma VERDADE.
4. Se Cecília não é professora na faculdade, então Cecília não é médica. VERDADE
Nesse item repito... como ser médica é condição necessária para Cecília dar aula na
faculdade, essa proposição é VERDADEIRA, pois a lógica correta é que Cecília não
sendo médica não poderá dar aula na faculdade e isso é o que dia a frase!
Uso do Conectivo Bicondicional (se e somente se)
1. Cecília é professora na faculdade se e somente se for médica. VERDADE
Nesse caso vemos que Cecília ser professora na faculdade é condição suficiente e
necessária para que ela seja médica, e também, Cecília ser médica é condição
suficiente e necessária para que Cecília seja professora na faculdade. Temos aqui uma
relação de reciprocidade onde, para a proposição composta ser VERDADE, ambas as
proposições simples deverão se verdade, ou, ambas as proposições simples deverão
ser falsas. (sobre as duas serem falsas analiso daqui a pouco)
2. Cecília é professora na faculdade se e somente se não for médica. FALSO
Aqui não pode ser uma coisa ou outra, pois não haverá reciprocidade...
3. Cecília não é professora na faculdade se e somente se for médica. FALSO
È o mesmo caso do item anterior, ser uma coisa ou outra, não haverá reciprocidade...
4. Cecília não é professora na faculdade se e somente se não for médica. VERDADE
Bom, agora que fizemos a discussão do valor lógico das proposições compostas
(quando é VERDADEIRO e quando é FALSO essas proposições), vamos ver como fica a
negação para cada um dos casos vistos anteriormente:
Primeiro: Conectivo (e)
Seja a proposição como já vimos:
Cecília é professora na faculdade e Cecília é médica.
Lembre-se que a única possibilidade da frase acima ser verdade era se ambas fossem
verdadeiras, logo, a frase ficará negada caso uma das duas, no mínimo, seja falsa.
Então, a negação seria:
Cecília não é professora ou Cecília não é médica.
Vamos colocar um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Cecília é professora na faculdade e Cecília é médica. Formato (A ∧ B) a sua negação é
Cecília não é professora ou Cecília não é médica. Formato (~ A ∨ ~ B)
Repetindo então:
Segundo: Conectivo (ou)
Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica.
Lembre-se que a única possibilidade da frase acima ser falsa era se ambas fossem
falsas, pois, para ser verdade era suficiente que Cecília fosse uma coisa ou outra,
logo, a frase ficará negada quando as duas proposições simples forem negadas.
Então, a negação seria:
Cecília não é professora da faculdade e Cecília não é médica.
Colocando um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica. Formato (A ∨ B) a sua negação
é... Cecília não é professora na faculdade e Cecília não é médica. Formato (~ A ∧ ~ B)
Repetindo então:
Terceiro: Conectivo (se ... então)
Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica.
Lembre-se que a frase acima não era verdade somente no caso em que a condição
necessária era falsa então, a negação será satisfeita ao fazermos o seguinte:
Repetimos a primeira proposição, trocamos o conectivo por (e) e negamos a segunda
proposição. Veja,
Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica.
Colocando um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica. Formato (A → B) a sua
negação é Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica. Formato (A ∧ ~ B)
Repetindo então:
Quarto: Conectivo (se somente se)
Cecília é professora na faculdade, se somente se Cecília é médica.
Lembre-se que a frase acima é de reciprocidade ou seja, a primeira proposição é
condição necessária e também condição suficiente pra a segunda proposição, mas por
sua vez, a segunda proposição era também condição necessária e condição suficiente
para a primeira. Para ser verdade a proposição composta, então, ambas deveriam ser
falsas ou ambas verdadeiras. A negação nesse caso pode ser obtida de duas maneiras
distintas a seguir:
Primeiro modo:
Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica e se
Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade.
Vou repetir:
Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade então Cecília é médica e se
Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade.
Colocando um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Cecília é professora na faculdade, se e somente se Cecília é médica. Formato
(A ↔ B) e sua negação é Não é verdade que se Cecília é professora na faculdade
então Cecília é médica e se Cecília é médica então Cecília é professora na faculdade.
Formato ~(A → B ∧ B → A)
Repetindo então:
Segundo Modo:
Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou Cecília é médica e Cecília
não é professora na faculdade.
Vou repetir:
Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou Cecília é médica e Cecília
não é professora na faculdade.
Colocando um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Cecília é professora na faculdade, se e somente se Cecília é médica. Formato
(A ↔ B) e sua negação é: Cecília é professora na faculdade e Cecília não é médica ou
Cecília é médica e Cecília não é professora na faculdade. Formato (A ∧ ~B ∨ B ∧ ~A)
Repetindo então:
Quinto: Conectivo (ou ... ou)
Ou Cecília é professora na faculdade, ou Cecília é médica.
Lembramos aqui que se as duas afirmações forem verdadeiras não é possível a
proposição composta de exclusividade (ou ... ou) ser verdadeira quando ambas são
verdadeiras ou ambas falsas lembre-se daquele exemplo... ou eu vou ou você vai, é
impossível ambos irem ou nenhum deixar de ir. A negação ocorrerá justamente se as
ações forem recíprocas. Veja,
Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica.
Colocando um formato nisso:
A: Cecília é professora na faculdade, B: Cecília é Médica
Ou Cecília é professora na faculdade, ou Cecília é médica. Formato (A ∨ B) a sua
negação é: Cecília é professora na faculdade se e somente se Cecília é médica.
Formato (A → B)
Repetindo então:
E finalmente, para concluir esse podcast, gostaria de discutir 3 equivalências de
proposição compostas. Quando dizemos que 2 proposições compostas são
equivalentes,ou têm equivalência, queremos dizer que elas representam o mesmo
resultado lógico em todas as suas formas.
Vamos aos exemplos:
Exemplo 1: Equivalência para (se A então B)
Sendo essa uma condicional em que a primeira proposição é condição suficiente para
a segunda proposição, mas a segunda é condição necessária para a primeira, seria
então equivalente declarar que: Se não B então não A.
Seja a proposição: Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica o
equivalente para isso poderia ser: Se Cecília não é médica, então Cecília não é
professora na faculdade.
Ressaltamos aqui o que já foi dito anteriormente, Cecília ser médica é condição
necessária para que Cecília seja professora na faculdade então é natural concluir que
dizer que... se Cecília não é médica então Cecília não é professora na faculdade. As
frases são equivalentes.
Essa equivalência então tem o seguinte formato:
Exemplo 2: Segundo modo envolvendo a equivalência para (se A então B)
Sendo essa uma condicional em que a primeira proposição é condição suficiente para
a segunda proposição, mas a segunda é condição necessária para a primeira, seria
então equivalente declarar que: não A ou B.
Seja a proposição: Se Cecília é professora na faculdade, então Cecília é médica o
equivalente para isso poderia ser: Cecília não é professora na faculdade ou Cecília é
médica.
Ressaltamos aqui o que já foi dito anteriormente, Cecília ser médica é condição
necessária para que Cecília seja professora na faculdade, então o conectivo (ou)
ligando as proposições, Cecília é médica ou Cecília não é professora na faculdade só
poderia ser falso em um único caso; quando Cecília fosse professora na faculdade e
não fosse médica, que é o mesmo caso que torna falsa a proposição se Cecília é
professora na faculdade então Cecília é médica. Não se esqueça da forte ideia
presente aqui: Cecília ser médica é condição necessária para Cecília ser professora na
faculdade...
Essa equivalência então tem o seguinte formato:
Exemplo 3: Equivalência para (A ou B)
Sendo esse um conectivo disjuntivo, vimos que no uso do (ou) a proposição falsa
aparece quando as duas proposições simples são falsas.
Seja a proposição: Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica o equivalente
para isso poderia ser: Se Cecília não é professora na faculdade então Cecília é médica.
Observe que a condicional proposta acima só será falsa quando Cecília não for médica
e não for professora na faculdade (Lembra, estou falando do caso em que a segunda
proposição é condição necessária para a primeira), isso seria exatamente a proposição
que torna falso, Cecília é professora da faculdade ou Cecília é médica, então a
conclusão é que Cecília é professora na faculdade ou Cecília é médica é equivalente a
Se Cecília não é professora na faculdade então Cecília é médica.
Essa equivalência então tem o seguinte formato:
Bons Estudos!