Capítulo 4
Radiação de Cargas em Movimento
4.1 Potenciais e Campos de uma carga pontual em
movimento
A solução geral
φ ( x, t ) =
1
4πε 0
ρ
∫ x − x′ d
3
x′
(4.1)
faz parecer como se esta expressão fosse fornecer diretamente o resultado de uma carga
pontual, da mesma maneira como fornece para a solução estática. Para uma carga pontual
estacionária ρ = qδ ( x − r ) onde r é a posição da carga, φ = q ( 4πε 0 x − r ) . Por brevidade
escreveremos R ≡ x − r . Poderíamos pensar que o potencial para uma carga em movimento
é φ ( x, t ) = ( q 4πε 0 ) 1 R mas isto está incorreto. Não tomamos cuidado com as derivadas
e etc. das
Figura 4.1: Coordenadas vetoriais da carga e do ponto do campo.
quantidades retardadas. Vamos com cuidado! A densidade de carga é
ρ ( x, t ) = qδ ( x − r ( t ) ) onde agora é permitido que r varie com o tempo, assim queremos
que
φ ( x, t ) =
q
4πε 0
∫
δ ( x′ − r ( t′ ) )
x − x′
d 3 x′
,
t′ = t −
1
=
δ ( x′ − r ( t′ ) ) d 3 x′
4πε 0 δ x − r ( t ′ )
q
x − x′
c
(4.2)
onde fazemos uso do fato de que a função delta é diferente de zero, somente onde o seu
argumento é zero, assim toda a contribuição para a integral vem de x′ = r ( t ′ ) , que é onde a
partícula está no tempo retardado, isto é
83
⎛
x − x′ ⎞
r⎜t −
⎟
c ⎠
⎝
(4.3)
[Isto requer uma notação auto referencial, a qual é a razão para que escrevamos r ].
Temos agora que calcular a integral ∫ δ ( x′ − r ( t ′ ) )d 3 x′ . Esta integral não é unitária porque
x′ aparece dentro de r ( t ′ ) como também em x′ . A função delta é definida tal que
∫ δ ( y )d
3
y =1
(4.4)
mas agora seu argumento é y = x′ − r ( t ′ ) . Precisamos relacionar d 3 y com d 3 x′ para a
integral que queremos. Considere o gradiente de um componente:
∇′yi = ∇′ ( xi′ − ri ( t ′ ) ) = ∇′ xi′ − ri
= ∇′ ( xi′ − ri ) +
= ∇′xi′ +
x − x′ ∂
( xi′ − ri )
c x − x′ ∂t
(4.5)
1 x − x′
∂r
− i
c x − x′
∂t
[desde que ri é uma função de t mas não diretamente de x′ .] Escolha os eixos de tal forma
que x′ = ( x1′, x2′ , x3′ ) , com a componente 1 na direção de R = x − x′ . Então o segundo termo
é presente somente para a componente x1 e não está presente para as outras duas (porque
eles são ⊥ a x − x′ ). Também ( ∇′xi′ ) = δ ij [isto é, δ ij = 1 para i = j ]. Assim
1 ∂r
∂y1
= 1+ − i
∂x1′
∂t
c
∂y2
=1
∂x2′
;
∂y3
=1
∂x3′
(4.6)
Conseqüentemente
⎛ 1 ∂ri ⎞
d 3 y = dy1 dy2 dy3 = ⎜ 1 −
⎟ dx1′dx2′ dx3′
⎝ c ∂t ⎠
1 R ∂r 3
d x′
= 1−
⋅
c R ∂t
84
(4.7)
Vamos escrever
κ ≡ 1−
1 R ∂r
1ˆ
⋅ = 1− R
⋅v
c R ∂t
c
(4.8)
Então
3
∫ δ ( y ) d x′ = ∫ δ ( y )
d3y
κ
=
1
κ
(4.9)
e finalmente
φ ( x, t ) =
q
4πε 0
1
κR
(4.10)
Exatamente pelo mesmo processo, podemos obter o valor correto para cada componente de
A e no total
A ( x, t ) =
µ0 q v
4π κ R
(4.11)
Figura 4.3: Integral da densidade de carga sobre uma carga em movimento, de formato quadrado, no tempo retardado.
( v = ∂r ∂t ) ,
j = qvδ . Essas expressões são chamadas de potenciais de “Liénard-Wiechert”
para cargas pontuais em movimento. Sendo o fator de correção κ tão importante e a
literatura científica coberta de documentos que o entendam de forma errada, obteremos o
resultado graficamente. A integral retardada ∫ ρ d 3 x′ pode ser encarada como composta
de contribuições originárias de uma superfície esférica S que se extende para dentro, em
direção ao ponto (campo) de observação x, à velocidade da luz, chegando no tempo t. A
carga que integramos é o valor de ρ quando a superfície S passa com grande velocidade.
Se estivermos lidando com uma densidade de cargas localizada, tal como ilustrada, a
superfície pode ser aproximada como planar na carga. Se a região de cargas está se
movendo com velocidade v em direção a x, então sua influência ou contribuição para a
integral é aumentada porque até que a superfície S se extenda de frente para trás, a carga se
move. Por conseguinte, o volume da contribuição (em x′ ) é maior pela relação L′ L do
85
(volume adicional+volume de carga) (volume de carga) . De quanto é este valor? Quando S
alcança a “frente” da carga? No momento em que S alcança a frente,
Figura 4.3: instantâneos de como a superfície de integração S cruza a parte de trás e da frente da carga.
L′ = c ∆t = v ∆ t + L
(4.12)
Então
∆t = ( c − v ) L
L′ =
e
c
1
L=
L
v
c−v
1−
c
(4.13)
Assim
L′
1
1
=
=
L 1− v κ
c
(4.14)
como antes. Note que a velocidade transversal não faz nada, e que aproximações implícitas
em tomar S como planar se torna exata para uma carga pontual, com extensão espacial
→ 0 . A quantidade κ também pode ser vista de modo a relacionar os intervalos de tempo,
dt , com os seus correspondentes intervalos de tempo retardados dt ′ ,
t′ = t −
R′
c
ou
t = t′ +
R′
c
(4.15)
Então
dt
1 dR′
= 1+
dt ′
c dt ′
(4.16)
Porém
1
dR′ d
d
x − x′ = {( x − x′ ) ⋅ ( x − x′ )} 2
=
dt′ dt ′
dt ′
− v ⋅ ( x − x′ )
vR′
=
=−
R′
R′
86
(4.17)
Assim
dt
v ⋅ R′
= 1−
=κ
dt ′
cR′
(4.18)
No sentido exato da palavra, é o valor de κ no tempo retardado, quando a superfície S
passa a partícula, que aqui se requer, se v está mudando.
4.2 Potencial de uma Carga Pontual em Movimento
Uniforme
Um caso especial importante é quando v = r = const. . Da solução retardada, Lorentz
derivou a sua transformação que é a base de relatividade especial. Tome os eixos de tal
forma que v = vxˆ . Precisamos calcular o potencial em x = ( x, y, z ) e suporemos que a
partícula está na origem no tempo de interesse, ( t = 0 ). A parte delicada é apenas calcular o
tempo retardado t ′ e posição x′ . Pela definição
c 2 ( −t ′ ) = R′2 = ( x − vt′ ) + y 2 + z 2
2
2
(4.19)
Substituindo ( −t ′ ) v = − x′
()
Figura 4.4: Coordenadas de uma carga em movimento uniforme em x t
c2 2
2
x ′ = ( x − x ′) + y 2 + z 2
2
v
(4.20)
Agrupando os termos
⎛ c2
⎞
x′ ⎜ 2 − 1⎟ + 2 xx′ − ( x 2 y 2 + z 2 ) = 0
⎝v
⎠
2
solução
87
(4.21)
2
⎛ c2
⎞
⎞
2
2
2
2 ⎛c
′
1
x
x
x
x
y
z
−
=
−
±
+
+
+
(
)
⎜ 2
⎟
⎜ 2 − 1⎟
⎝v
⎠
⎝v
⎠
(4.22)
(onde o sinal − deve ser tomado). E
⎛ c2 ⎞
x + x 2 + ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⎜ 2 − 1⎟
c
c
⎝v
⎠
R′ = − x′ =
2
c
v
v
−1
v2
(4.23)
também precisamos dovalor retardado de κ isto é, 1 − ( R′ / R′) ⋅ ( v / c ) .
v x − x′
c R′
κ′ = 1− ⋅
(4.24)
e
κ ′R′ = R′ −
⎛ v2 ⎞
v
v
v
v
( x − x′) = R′ − ⎜⎛ x + R′ ⎟⎞ = ⎜ 1 − 2 ⎟ R′ − x
c
c⎝
c ⎠ ⎝ c ⎠
c
(4.25)
Substituindo para R′ obtemos
κ ′R′ =
2
⎫⎪
⎞
v ⎧⎪
2
2
2
2 ⎛c
⎨ x + x + ( x + y + z ) ⎜ 2 − 1⎟ − x ⎬
c⎪
⎝v
⎠
⎩
⎭⎪
2
⎞
v 2
2
2
2 ⎛c
=
x + ( x + y + z ) ⎜ 2 − 1⎟
c
⎝v
⎠
=
(4.26)
x2
v2
2
2
+
+
−
1
y
z
v2
c2
1− 2
c
Este é o valor para o tempo t = 0 . Em qualquer outro tempo t, a partícula está na posição
x = vt em vez da origem, x = 0 . Nossa fórmula foi desenvolvida para a partícula na
origem. Assim para usá-la, devemos mover a origem para x = vt , o que significa
simplesmente que devemos substituir x nesta fórmula por x − vt . Então finalmente,
substituindo o resultado geral para κ ′R′ na fórmula de Liénard-Wiechert temos
φ ( x, t ) =
q
4πε 0
1
q
=
κR
4πε 0
1
1−
2
v
c2
88
2
⎛ x − vt ⎞
+ y2 + z2
⎜
2
2 ⎟
⎝ 1− v / c ⎠
(4.27)
Veja como temos os primórdios da relatividade. Temos para o potencial eletromagnético, a
dependência sobre as coordenadas espaciais que só pode ser consistente com a fórmula em
um sistema de referência no qual a partícula está em repouso:
φ=
q
1
(4.28)
( x12 + y12 + z12 )
4πε 0
se as coordenadas se transformam como
x1 =
x − vt
y1 = y
,
v2
1− 2
c
z1 = z
,
.
(4.29)
Esta é a (parte espacial da) transformação de Lorentz, incorporando a contração de
Fitzgerald na direção de movimento. Agora precisamos também reconhecer que há um
potencial vetor
A=
µ0 q v
µq
= 0
4π κ R
4π
v
1−
2
v
c2
2
⎛ x − vt ⎞
2
2
⎜
⎟ +y +z
2
2
⎝ 1− v / c ⎠
(4.30)
Assim o campo elétrico tem ambas as contribuições:
E = −∇φ −
∂A
∂t
⋅
(4.31)
Para estimar esses valores, denote por R′′ a quantidade no denominador de φ A:
⎛
⎜
x − vt
R′′ ≡ ⎜
⎜
v2
⎜ 1− 2
c
⎝
2
⎞
⎟
⎟ + y2 + z2
⎟
⎟
⎠
.
(4.32)
[Note que este não é R′ , o raio retardado]. Suas derivadas são
∂R′′ x − vt 1
=
v 2 R′′
∂x
1− 2
c
;
∂R′′ y
=
∂y R′′
;
Conseqüentemente
89
∂R′′ z
=
∂z R′′
;
∂R′′ −v ( x − vt )
=
∂t ⎛ v 2 ⎞
⎜1 − 2 ⎟ R′′
⎝ c ⎠
(4.33)
∇
1
−1
1 ⎛ x − vt
⎞
= 2 ∇R′′ = − 3 ⎜
, y, z ⎟
2
2
R′′ R′′
R′′ ⎝ 1 − v / c
⎠
(4.34)
dando
−∇φ =
1 ⎛ x − vt
⎞
, y, z ⎟
3 ⎜
2
2
⎠
v R′′ ⎝ 1 − v / c
1− 2
c
q
1
4πε 0
2
(4.35)
e
2
2
⎞
∂A
1
1 ⎛ ( −v / c ) ( x − vt )
q
⎜
⎟
−
=
,0,0
⎟
∂t 4πε 0 1 − v 2 / c 2 R′′3 ⎜ (1 − v 2 / c 2 )
⎝
⎠
(4.36)
assim
E = −∇φ − A =
q
4πε 0
1
1
x − vt , y , z )
3 (
1 − v 2 / c 2 R′′
(4.37)
Este é um resultado notável. Mostra que apesar do fato que as contribuições para E surgem
da posição retardada da partícula, a direção de E é de fato radial e aponta para fora da
posição instantânea (isto é, da posição não retardada). O campo E em t = 0 está ao longo
do raio vetor ( x, y, z ) . O campo elétrico apesar disso não é o mesmo como para uma carga
estacionária. O campo não é
Linhas de campo elétrico de uma carga em movimento uniforme apontando para fora da posição instantânea (não retardada) mas a
intensidade do campo não é simétrica.
90
esfericamente simétrico, desde que ele é proporcional a
1
v2
1− 2
c
⎛⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝
⎝
⎞
⎞
⎟ + y2 + z2 ⎟
⎟
(1 − v 2 / c2 ) ⎟⎠
⎟
⎠
2
3
(4.38)
2
x − vt
o que o faz mais forte na direção perpendicular e mais fraco na direção paralela. O campo
magnético pode ser obtido de B = ∇ × A reconhecendo ∇ × ( fv ) = − v × ∇f , se v é
constante. Conseqüentemente, usando A = vφ c 2 ,
B=−
v
v ⎛
∂A ⎞ 1
× ∇φ = 2 × ⎜ E +
⎟ = v×E
2
c
c ⎝
∂t ⎠ c 2
(4.39)
[A última expressão utiliza o fato que (A e) ∂A ∂t são paralelos a v assim v × ∂A ∂t = 0 ].
Esta expressão para o campo magnético também pode ser reescrita, notando que E está na
direção de R , R′ × R = ( t − t ′ ) v × R e t − t ′ = R′ / c; assim v × E = ( R′c / R′ ) × E . Resumindo:
E=
x − vt
q
4πε 0
v2
1− 2
c
⎛⎛
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎝
⎝
⎞
⎞
⎟ + y2 + z2 ⎟
⎟
(1 − v 2 / c2 ) ⎟⎠
⎟
⎠
2
3
(4.40)
2
x − vt
e
B=
1
1
v×E =
R′ × E .
2
c
cR′
(4.41)
Um modo útil de pensar no resultado, de que o campo elétrico ainda é radial, mas com uma
distribuição que não é esfericamente simétrica, é pensar sobre o que acontece às linhas de
campo quando vistas no sistema de referência de laboratório [componentes ( x, y, z ) ],
comparado com o sistema de referência no qual a partícula está em repouso [componentes
( x1 , y1, z1 ) ]. Isso mostra que o campo elétrico que calculamos é exatamente o que teríamos
obtido assumindo que a distribuição esfericamente simétrica das linhas de campo no
referencial de repouso, está simplesmente comprimida juntamente com o resto do espaço,
na direção x, pela transformação de coordenadas da equação 4.29. Esta contração é
ilustrada na figura 4.6.
91
Figura 4.6: Contração do espaço que fornece a distribuição das linhas de campo elétrico de uma carga em movimento.
Para uma compressão puramente geométrica em uma dimensão como esta, os ângulos entre
a direção de R e v (para os dois casos) estão relacionados por
tan χ1 = y1 / x1 = y / (γ x ) = (1/ γ ) tan χ
onde γ = 1/
(1 − v
2
,
(4.42)
/ c 2 ) . Conseqüentemente
1
cos χ1 =
1 + tan χ1
2
=
1
1 + (1/ γ ) tan 2 χ
2
.
(4.43)
Agora o elemento de ângulo sólido que corresponde a um incremento de ângulo d χ é
d Ω = 2π sin χ d χ e
⎛
γ
sin χ1d χ1 = − d ( cos χ1 ) = − d ⎜
⎜ γ 2 + tan 2 χ
⎝
=
γ
(γ 2 cos2 χ + sin 2 χ )
3
sin χ d χ
⎞ γ tan χ sec2 χ
dχ
⎟=
3
⎟
2
2
2
⎠ (γ + tan χ )
.
2
Assim a relação entre os ângulos sólidos correspondentes é
92
(4.44)
d Ω1 =
=
=
γ
(γ
2
cos χ + sin χ )
2
2
3
dΩ
2
γ R3
(γ 2 x 2 + y 2 + z 2 )
γ R3
R′′3
dΩ
3
(4.45)
2
,
onde R = x 2 + y 2 + z 2 . Por essa razão se as linhas de campo estão comprimidas neste modo
puramente geométrico, o número de linhas de campo por unidade de ângulo sólido, que é
proporcional à intensidade de campo elétrico no referencial de laboratório é igual ao valor
do referencial de repouso vezes o fator d Ω1 d Ω = γ R3 R′′3 . Deste modo a compressão
geométrica conduziria a um campo elétrico:
R γ R3
E=
4πε 0 R 3 R′′3
q
.
(4.46)
Isto é precisamente o que calculamos diretamente das equações dos campos. Em outras
palavras, podemos considerar o campo elétrico não simétrico da equação 4.40 como
oriundo de uma compressão do espaço que corresponde à transformação de Lorentz
(equação 4.29).
Não estamos invocando aqui a transformação de Lorentz, baseado em uma compreensão da
relatividade especial. Na realidade o oposto é a situação histórica. A transformação de
Lorentz fez parte da base anterior para a descoberta da relatividade. Veja o Jackson 1998
págs. 514-518 para uma discussão do eletromagnetismo como fundamento histórico da
relatividade. As equações de Maxwell já são completamente relativísticas. Elas não
precisam ser corrigidas para os efeitos relativísticos, do mesmo modo, por exemplo, que as
leis de Newton necessitam. Claro que o ponto é mais forte que isso: As equações de
Maxwell só podem ser consistentes quando a relatividade especial se aplica (isto é, para
transformações de Lorentz, não de Galileu). Não temos tempo para cobrir a relatividade,
mas também não temos que fazer questão disto, pois as equações eletromagnéticas já são
relativísticas.
4.3 Campos de uma Carga com Movimento Geral
Os potenciais de Liénard-Wiechert dão a solução geral do potencial. Deles podemos obter
os campos gerais E e B de uma partícula que se move com uma velocidade arbitrária: não
apenas para v uniforme. Desde que ambos, potenciais e campos, só dependem dos valores
no tempo retardado, nosso cálculo será quase igual ao do movimento uniforme com a
exceção que devemos usar o valor de v no tempo retardado e temos que considerar
possíveis derivadas temporais de v. Nossas derivações de φ e A são exatamente as mesmas
como de antes, exceto que a origem das coordenadas está no ponto x′ + v′t ′ ao longo do
93
caminho projetado da partícula se fosse continuar além do tempo retardado com velocidade
constante v′ . [Estamos pondo aqui a linha em v para lembrar que é o valor retardado que
requeremos.]
φ ( x, t ) =
A ( x, t ) =
q
1
4πε 0
⎛ v′2 ⎞
( x − v′t ) + ( y + z ) ⎜ 1 − 2 ⎟
c ⎠
⎝
2
v′
q
4πε 0c
(4.47)
2
2
(4.48)
⎛ v′2 ⎞
( x − v′t ) + ( y 2 + z 2 ) ⎜ 1 − 2 ⎟
c ⎠
⎝
Agora precisamos obter os campos através de diferenciação. Temos exatamente os mesmos
termos como antes mais um termo extra que surge da derivada temporal de v. Poderíamos
fazer isto diretamente levando em conta todas as contribuições. Ao invés disto, façamos
uma estimativa vetorial, começando com as formas de Liénard-Wiechert:
φ=
q
1
κR
4πε 0
E = −∇φ −
A=
;
∂A
q
=
∂t 4πε 0
q
4πε 0c
2
v
κR
1
1 ∂ v ⎫
⎧
− 2
⎨ −∇
⎬
κ R c ∂t κ R ⎭
⎩
.
(4.49)
(4.50)
Novamente, deve ser tomado um cuidado extremo com as diferenciais. Para qualquer
função f ( x, t ) ,
⎛
x − x′ ⎞
∇ f = ∇ f ⎜ x, t −
⎟
c ⎠
⎝
= ∇f −
∂f 1
∇ x − x′
∂t c
(4.51)
(4.52)
Esta não é a mesma situação como tínhamos antes. Lá tínhamos ∇′ , isto é, o gradiente com
respeito a posição retardada, x′ , mantendo fixos x e t. Estamos falando aqui sobre gradiente
w.r.t. x mantendo t fixo. Aplicando a equação acima à função x − x′ que é, no sentido
exato, x − r ou R . Temos
∇ x−r = ∇ x−r −
1
∂
x−r ∇ x−r
c
∂t
94
(4.53)
Isto é
⎛ R′ v ⎞
⎜1 − ′ ⋅ ⎟ ∇ x − r = ∇ x − r
⎝ R c⎠
(4.54)
Deste modo
∇ R =
1
κ
∇R =
R
κR
(4.55)
Voltando então à identidade geral:
∇ f = ∇f −
= ∇f −
∂f 1 R
∂t c κ R
R ∂f
cκ R ∂t
(4.56)
.
(4.57)
Da mesma maneira
x−r
∂
∂ ⎛
f = f ⎜ x, t −
∂t
∂t ⎜⎝
c
=
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.58)
∂f ⎛ 1 ∂
⎞
x−r ⎟
⎜1 −
∂t ⎝ c ∂t
⎠
(4.59)
Substituindo R = x − r para f temos
∂
1 ∂R
R =
∂t
κ ∂t
(4.60)
E, desde que
1 ∂R
= κ −1
c ∂t
,
(4.61)
temos geralmente
∂
1 ∂f
f =
∂t
κ ∂t
95
.
(4.62)
É certo que temos agora as ferramentas para estimar E:
E=
q
4πε 0
⎛ 1 ⎞ R ∂⎛ 1 ⎞ 1 ∂⎛ v ⎞
−∇ ⎜
⎟+
⎜
⎟− 2
⎜
⎟
⎝ κ R ⎠ cκ R ∂t ⎝ κ R ⎠ c κ ∂t ⎝ κ R ⎠
(4.63)
Com tudo dentro do operador de retardamento, é seguro proceder com a álgebra como se x′
fosse fixo. Em particular,
κR = R −
∇ (κ R ) =
R⋅v
c
R v
−
R c
∂
∂R 1 ∂R
R ∂v
⋅v− ⋅
(κ R ) = −
∂t
∂t c ∂t
c ∂t
= R+
v2 1
− R⋅v
c c
(4.64)
(4.65)
(4.66)
onde o ponto denota ∂ ∂t . Os termos em E são portanto
1
1 ⎛R v⎞
⎛ 1 ⎞
−∇ ⎜
⎟ = 2 2 ∇ (κ R ) = 2 2 ⎜ − ⎟
κ R ⎝R c⎠
⎝κR ⎠ κ R
(4.67)
⎛
⎞
1 R ∂⎛ 1 ⎞
1
1
v2 1
∂
R
R
κ
R
R
=
=
−
+
− R ⋅ v⎟
( )
⎜
⎟
⎜
3 3
3 3
∂t
cκ R ∂t ⎝ κ R ⎠ cκ R
cκ R ⎝
c c
⎠
(4.68)
−
⎞
1 ∂⎛ v ⎞
1 ⎛
v2 1
1
R
=
−
+
− R⋅v⎟v − 2 2 v
⎜
⎟
2
3 2 ⎜
c κ ∂t ⎝ κ R ⎠
cκ R ⎝
c c
cκ R
⎠
(4.69)
ˆ = R R , obtemos
Agrupando os termos, e denotando, R
E=
q
4πε 0
1 ⎛ ˆ v ⎞ ⎛ v2 ⎞
1 ⎧ v ⎛ ˆ v ⎞ ⎛ ˆ v ⎞⎫
R − ⎟ ⎜ 1 − 2 ⎟ − 3 ⎨κ − ⎜ R
− ⎟ ⎜ R ⋅ ⎟⎬
3 2 ⎜
c ⎠ ⎝ c ⎠ cκ R ⎩ c ⎝
c ⎠⎝
c ⎠⎭
κ R ⎝
(4.70)
ou alternativamente, usando as identidades vetoriais dos produtos triplos,
E=
q
4πε 0
1 ⎛ ˆ v ⎞ ⎛ v2 ⎞
1 ˆ ⎡⎛ ˆ v ⎞ v ⎤
R − ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ + 3 R
× ⎢⎜ R − ⎟ × ⎥
3 2 ⎜
κ R ⎝
c ⎠ ⎝ c ⎠ cκ R
c ⎠ c⎦
⎣⎝
96
(4.71)
O campo magnético é B = ∇ × A que é dado por
B=
=
⎧
v ⎫
⎨∇ ×
⎬
4πε 0c ⎩
κR ⎭
q
2
∂⎛ v ⎞
⎛ v ⎞ R
∇×⎜
× ⎜
⎟−
⎟
⎝ κ R ⎠ cκ R ∂t ⎝ κ R ⎠
q
4πε 0c 2
,
(4.72)
por uma identidade diretamente análoga àquela que mostramos para gradiente. Também
⎛ v ⎞
⎛ 1 ⎞
∇×⎜
⎟ = −v × ∇ ⎜
⎟
⎝κR ⎠
⎝κR ⎠
1
⎛ ˆ v⎞
= 2 2 v×⎜ R
− ⎟
c⎠
κ R
⎝
=
1
⎛ 1 ⎞
ˆ ×⎛R
ˆ v⎞
ˆ
cR
⎜ − ⎟ = −cR × ∇ ⎜ ⎟
2
c⎠
κ R
⎝
⎝ κr ⎠
2
(4.73)
.
Conseqüentemente
B=
q
4πε 0c
2
ˆ ×∇⎛ 1 ⎞ − R
ˆ× 1 ∂⎛ v ⎞ =1 R
ˆ ×E
−cR
⎜
⎟
⎜
⎟
cκ ∂t ⎝ κ R ⎠ c
⎝κR ⎠
(4.74)
por comparação com a nossa expressão (4.63) para E.
Resumindo nossos resultados, os campos devidos a uma carga pontual q que se move com
velocidade variável v, tal que o raio vetor que vai da carga para um ponto do campo é R,
ˆ ⋅ v / c , como:
pode ser expresso usando κ ≡ 1 − R
E=
B=
q
4πε 0
1 ⎛ ˆ v ⎞ ⎛ v2 ⎞
1 ˆ ⎡⎛ ˆ v ⎞ v ⎤
× ⎢⎜ R − ⎟ × ⎥
R − ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ + 3 R
3 2 ⎜
κ R ⎝
c ⎠ ⎝ c ⎠ cκ R
c ⎠ c⎦
⎣⎝
1 ˆ
R ×E
c
(4.75)
(4.76)
Há várias formas diferentes destas expressões, úteis para ilustrar aspectos diferentes dos
campos de uma carga pontual em movimento. Veja o Jackson e Feynman para a discussão
de alguns destes.
97
4.4 Radiação de Cargas em Movimento
4.4.1 Campo Próximo e Termos de Radiação
A forma que obtivemos para E foi exibida de modo a ter dois termos separados. O primeiro
desses termos não contém v enquanto que o segundo é proporcional a v . Por esta razão o
primeiro termo é exatamente aquele que é obtido para o movimento uniforme v = 0
(embora isto não seja óbvio quando comparando com nossa fórmula mais recente, expressa
em coordenadas). Também, tudo o que está dentro dos parênteses é adimensional
Rˆ , v c exceto 1 κ 3 R 2 e v cκ 3 Rc . Estes fatores decidem o comportamento de seus
(
)
respectivos termos para pontos do campo a grandes distâncias, R. O termo “estático” (v
constante) é ∝ 1 R 2 mas o termo v é ∝ 1 R . Por conseguinte, o vetor de Poynting é
E× H =
1
µ0
E×B =
(
)
1
ˆ ×E ∝ 1
E× R
R4
µ 0c
ou
1
R2
(4.77)
respectivamente. Se perguntarmos pelo fluxo de potência eletromagnética total, através de
uma superfície esférica distante das cargas, obteremos como escala de valores a área
superficial da esfera 4π R 2 vezes E × H . Deste modo o fluxo de potência é ∝ 1 R 2 para o
termo v constante, e ∝ 1 para o termo v . Vemos então, que o termo v constante, dá origem
a um fluxo de potência pequeno que tende a zero longe da carga, mas o termo v dá origem
a um fluxo de potência finito mesmo no infinito. Esta distinção exige que consideremos
estes dois termos como termo de “campo próximo”.
E∝
1
v
R2
(4.78)
e como termo de “radiação”:
E∝
1
v
R
⋅
(4.79)
Uma partícula carregada irradia somente se está acelerada.
4.4.2 Radiação em um Ângulo Sólido Específico
Tendo identificado há pouco o termo 1 R como o termo de radiação, eliminaremos o outro
termo, termo de campo próximo, de consideração. Imagine, então, uma esfera de raio R
envolvendo a posição retardada da partícula. O vetor de Poynting do termo de radiação é
98
(
)
(
)
ˆ × E / µ = ( E 2 / cµ ) R
ˆ − E⋅ R
ˆ E/ µ
E × B / µ0 = E × R
0
0
0
=
1
cµ0
(4.80)
ˆ
E2 R
,
onde a última forma reconhece que o termo de radiação tem E perpendicular a R̂ . A
energia radiada cruza assim a esfera, normal à sua superfície com uma intensidade local
(energia/unidade de área/unidade de tempo) E 2 cµ0 , com E dado pelo segundo termo da
equação 4.71. Muito freqüentemente estamos interessados na potência irradiada por
unidade de ângulo sólido, Ω s , subtendido pela área no ponto de radiação. Pela definição de
ângulo sólido, uma área pequena da esfera, A, subtende um ângulo sólido A R 2 . Por
conseguinte a potência por unidade de ângulo sólido é R 2 E 2 cµ0 . O termo extra R 2
cancela o R 2 que ocorre em E 2 , deixando uma expressão independente do raio, R, da
esfera. Por convenção podemos escrever a potência por unidade de ângulo sólido usando a
notação
dP
R2E 2
q2 1
1 ˆ ⎧⎛ ˆ v ⎞ v ⎫
R × ⎨⎜ R − ⎟ × ⎬
=
=
4πε 0 4π c κ 3
d Ωs
cµ0
c ⎠ c⎭
⎩⎝
2
(4.81)
4.4.3 Radiação de Partículas Não relativísticas: Aproximação de Dipolo
Simplificações algébricas consideráveis acontecem quando v c << 1 e assim podemos
ˆ − v/c R
ˆ , e κ = 1 . Então
aproximar R
(
)
2
2
dP
q2 1 ˆ ⎛ ˆ v ⎞
q2 1 ⎛ v ⎞
2
=
R ×⎜R× ⎟ =
⎜ ⎟ sin α
d Ω s 4πε 0 4π c
c
4
4
c
c
πε
π
⎝
⎠
⎝ ⎠
0
(4.82)
onde α é o ângulo entre R̂ , a direção do ângulo sólido (propagação), e v , a aceleração. A
integração da potência total radiada sobre toda a superfície da esfera (todos os ângulos
sólidos) pode ser feita prontamente. Tomando a direção de v como sendo a direção polar, a
integral é tal que
d Ω s = 2π sin α dα
(4.83)
Assim, notando que
π
1
8π
⎡
⎤
3
∫ sin α 2π sin α dα = 2π ∫ (1 − cos α ) sin α dα = 2π ⎢⎣− cos α + 3 cos α ⎥⎦ 0 = 3 , (4.84)
2
2
99
temos
2
dP
q2 2 ⎛ v ⎞
P=∫
d Ωs =
⎜ ⎟ .
d Ωs
4πε 0 3c ⎝ v ⎠
(4.85)
Esta expressão para a radiação total de uma carga acelerada não relativística é conhecida
como a fórmula de Larmor. As expressões não relativísticas para P e dP dΩ s fazem
freqüentemente alusão à “aproximação de dipolo” porque eles são exatamente o que se
obtém para a radiação de uma distribuição estacionária de dipolo elétrico oscilante, quando
o momento de dipolo elétrico p, é tal que
p = qv
.
(4.86)
Assim este padrão de radiação e intensidade é o que também se obtém de antenas de dipolo
que são muito menores que o comprimento de onda de radiação.
4.5 Radiação de Partículas Relativísticas
A expressão geral para radiação de uma partícula acelerada, sem invocar aproximações que
requerem v << c , é dada pela equação (4.81). Porém uma distinção importante deve ser
tirada das discussões de energia por unidade de tempo, entre expressões baseadas no tempo
do ponto do campo, t, tal como na equação (4.81), e expressões que se referem ao tempo na
partícula, tempo retardado t ′ . Se quisermos saber quanto de energia uma partícula está
radiando por unidade de tempo na partícula, que é o que queremos se, por exemplo,
quisermos calcular o quão rápido a partícula está perdendo energia, ou se realmente
quisermos calcular a energia total radiada por unidade de volume, somando a energia
radiada por todas as partículas naquele volume, então temos que multiplicar as expressões
para energia por tempo no ponto do campo, pela relação dt dt ′ = κ . Esta conversão baixa a
potência de κ no denominador por uma unidade. Trabalharemos daqui em diante com tais
expressões de energia por unidade de tempo na partícula e indicaremos isto por uma linha
sobre a potência: P′ . Mesmo assim, ainda temos um fator κ 5 no denominador de
ˆ ⋅ v c = 1 − β cos θ , quando
dP′ d Ω s . Este fator é o efeito mais importante. Desde κ = 1 − R
estivermos lidando com partículas que se movem próximas da velocidade da luz, κ se
torna extremamente pequeno quando θ 0 , que é para radiação, na direção ao longo da
velocidade da partícula. Como resultado, a radiação é acentuada na direção dianteira, um
efeito que às vezes é chamado de efeito de “farol” relativístico.
4.5.1 Aceleração Paralela a v
O caso algébrico mais simples é quando v e v são paralelos. A radiação é então
100
simetricamente rotacional nesta direção, tendo o fator κ como sua única alteração, através
da fórmula de dipolo:
dP′
q2 v 2
sin 2 θ
=
d Ω s 4πε 0 4π c 3 (1 − β cos θ )5
(4.87)
Figura 4.7: Gráfico polar da intensidade de radiação em função da direção, com aceleração paralela à velocidade, para valores diferentes
de β = v c . A velocidade está na direção x.
A radiação na direção precisamente frontal θ = 0 é zero devido ao termo sin 2 θ . A
radiação máxima está na direção θ m 1 ( 2γ ) quando β ∼ 1 . Aqui γ é o fator relativístico
(1 − v
2
c2
)
− 12
. Além disso a intensidade nesta direção se torna extremamente grande
conforme β se aproxima da unidade.
4.5.2 Aceleração Perpendicular a v
Figura 4.8: Definição dos ângulos para radiação quando v é perpendicular a v.
Um caso ainda mais importante é quando v e v são perpendiculares. Pode-se então obter
⎡ sin 2 θ cos2 φ (1 − β 2 ) ⎤
1
dP′
q2 v 2
=
⎢1 −
⎥
2
d Ω s 4πε 0 4π c 3 (1 − β cos θ )3 ⎢
−
1
β
cos
θ
(
)
⎥⎦
⎣
101
(4.88)
onde θ é o ângulo de R̂ com respeito a v e φ é o ângulo polar de R̂ sobre v medido com
respeito a v como zero.
Esta distribuição é igualmente altamente pontiaguda na direção dianteira para β ∼ 1 , tendo,
uma extensão típica de meio ângulo de aproximadamente 1 γ .
Figura 4.9: Gráficos polares da intensidade de radiação como função da direção, com aceleração perpendicular a v, para o caso onde R̂
encontra-se no plano de v e v × v .
4.5.3 Potência Total Radiada
A expressão geral (4.81) pode ser integrada sobre os ângulos sólidos através de métodos
elementares mas tediosos para obter
2
2
q 2 2 6 ⎡⎛ v ⎞ ⎛ v v ⎞ ⎤
P′ =
γ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ × ⎟ ⎥
4πε 0 3c ⎢⎣⎝ c ⎠ ⎝ c c ⎠ ⎦⎥
2
2
q 2 2 4 ⎡⎛ v ⎞ ⎛ v v ⎞ ⎤
=
γ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⋅ ⎟ ⎥ ,
4πε 0 3c ⎢⎣⎝ c ⎠ ⎝ c c ⎠ ⎥⎦
(4.89)
das quais, a primeira forma foi obtida por Liénard (1898). Estas duas formas alternadas são
convenientes para obter a potência quando v for paralelo a v:
P′ =
q2 2 v 2 6
γ
4πε 0 3c c 2
(4.90)
P′ =
q2 2 v 2 4
γ .
4πε 0 3c c 2
(4.91)
e v é perpendicular a v:
Estas expressões fornecem informações quantitativas importantes sobre a taxa da perda de
energia por uma carga que sofre aceleração. A primeira coisa que podemos ver é que uma
102
carga nunca pode ser acelerada até atingir a velocidade c, porque γ → ∞ em β → 1 e
assim quantidades infinitas de radiação seriam emitidas. Esta observação é bastante
independente da teoria da relatividade de Einstein que mostra que a massa se torna infinita
conforme β → 1 . Assim em 1898 quando Liénard obteve a sua expressão, ele já poderia ter
deduzido que uma carga não poderia ser acelerada até v = c . Em segundo lugar, vamos
comparar a taxa da perda de energia radiativa pelo ganho de energia por uma força
eletrostática aceleradora.
Escreva o campo como sendo equivalente ao campo a uma distância r de uma carga Zq , de
forma que a aceleração é
v=
Zq 2 1
4πε 0 r 2 m0γ
,
(4.92)
Figura 4.10: Comparando a perda de energia radiativa com o ganho de energia através de uma força durante a aceleração, devido a uma
carga próxima.
respondendo pelo aumento de massa relativística. Supondo v paralelo a v, a taxa da perda
radiativa é
P′ =
q2 2 Z 2q4 1 γ 4
4πε 0 3c 3 ( 4πε 0 ) 2 r 4 m02
,
(4.93)
Isto igualará a taxa de ganho de energia devido a aceleração, isto é,
Zq 2 v
4πε 0 r 2
Quando
3β ( m0c 2 )
⎛ Zq 2 ⎞
⎜
⎟ =Z
2γ 4
⎝ 4πε 0 r ⎠
2
2
,
(4.94)
,
(4.95)
ou
1
⎛ 3Z β ⎞ 2
Zq 2
= ⎜ 4 ⎟ m0c 2
4πε 0r ⎝ γ ⎠
Aqui, o lado esquerdo é a energia potencial da carga e o lado direito é um fator de raiz
quadrada vezes a massa de repouso da carga (expressa como energia). Para partículas
moderadamente relativísticas, quando podemos tomar o fator da raiz quadrada como sendo
103
de ordem unitária, vemos então que a radiação começaria a ter um efeito importante,
relativo a aceleração paralela, somente quando um elétron (por exemplo) está em um poço
de potencial a uma profundidade ∼ m0c 2 = 511 keV . Lembrando que a energia de ligação
de um átomo de hidrogênio é somente de 13,6 eV, isto só poderia acontecer na mais exótica
das situações (por exemplo nas camadas internas de elementos pesados). Claro que essas
situações teriam realmente de ser tratadas através da mecânica quântica. Além disso, estes
campos elétricos imensamente fortes ( ∼ 1020 V/m) nunca foram atingidos, nem mesmo com
os aceleradores atuais. Assim a radiação causada por uma aceleração paralela a v, como em
um linac, nunca é uma consideração séria.
Porém, se v é perpendicular a v , o ganho de energia de ordem mais baixa pela aceleração é
zero. Comparado com isto, a radiação pode ser bem importante. No campo de força
atômico
P′ =
q 2 2 Z 2q 4 1 γ 2
4πε 0 3c3 ( 4πε 0 )2 r 4 m02
(4.96)
,
e a energia cinética clássica em uma órbita circular de raio r é
ε =1
Zq 2
2 4πε 0 r
.
(4.97)
Figura 4.11: Radiação de uma partícula se movendo em uma órbita circular surge de sua aceleração perpendicular.
Conseqüentemente a energia orbital é radiada com um tempo característico constante
ε
τ~
2
1 Zq 2 ⎡ q 2 2c ⎛ Zq 2 ⎞ 1 γ 2 ⎤
⎢
⎥
=
⎜
⎟
P′ 2 4πε 0 r ⎢ 4πε 0 3 ⎝ 4πε 0 r ⎠ r 2 m02c 4 ⎥
⎣
⎦
(m c )
2 2
=
0
2γ
2
( m0c
3r ⎛ Zq ⎞
Z⎜
⎟ =
2c ⎝ 4πε 0 r ⎠
I2
2
−2
)
2 2
Z
−1
(4.98)
r
,
c
onde I a energia de ligação da partícula nesta órbita circular. Para a órbita circular do átomo
de hidrogênio “clássico”, I = 13,6 eV , Z = 1 , e r = a0 = 5, 29 × 10−11 m (o rádio de Bohr)
temos τ = 1,5 ×10−9 s . Assim a taxa da perda de energia por um elétron em uma órbita de
104
Bohr “clássica” é tal que o elétron iria espiralar para dentro do núcleo em alguns nano
segundos. É claro que este era um dos problemas fundamentais com a eletrodinâmica
clássica, que os físicos enfrentaram no início do século XX, que incitaram a eventual
descoberta da mecânica quântica. Como um assunto imediatamente prático, podemos
perguntar também o quão rápido uma partícula radia energia devido ao fato de estar
acelerada por um campo magnético, em uma órbita circular de um ciclotron, por exemplo.
Neste caso, a aceleração é v = v 2 d onde d é o raio da órbita. A potência radiada é então,
conforme a equação (4.91),
P′ =
q2 2 v 4 4
q 2 2c β 4γ 4
γ =
4πε 0 3c c 2 r 2
4πε 0 3 r 2
Para uma partícula relativística
( )
(β
.
(4.99)
1) a potência então aumenta proporcionalmente à
quarta potência da energia γ 4 , e a perda de energia por órbita, para elétrons que se
movem com raio de curvatura r, pode ser escrita numericamente da forma
δε / MeV = 8,8 ×10−2
(ε / GeV )
4
( r / metros )
.
(4.100)
Isto corresponde a uma limitação principal para a conservação dos anéis de elétrons e
aceleradores com energia acima de alguns GeV. Jackson (pág. 668) cita o sincrotron de
elétrons de Cornell com r = 100 metros, que têm uma perda de 8, 8 MeV por volta a
10 GeV . O acelerador Bates de conservação de anéis do MIT é projetado para energias
acima de 1 GeV . Com um raio de curvatura de 9,1 m a perda é de 9,8 keV por volta que é
compensada por um estágio de aceleração dentro do anel
4.6 Espalhamento de Radiação Eletromagnética
4.6.1 Espalhamento Thomson
Vimos que uma carga não relativística acelerada, radia de acordo com (equação 4.82),
2
dP
q2 1 ⎛ v ⎞
2
=
⎜ ⎟ sin α
d Ω s 4πε 0 4π c ⎝ c ⎠
(4.101)
onde α é o ângulo entre a direção de radiação e a direção da aceleração, v . Se a aceleração
surge de um campo elétrico Ei , então,
v=
q
Ei
m
105
,
(4.102)
Então o potência radiada por unidade de ângulo sólido de um único elétron pode ser escrita:
2
2
⎞
⎛
⎞
dP
e2 1 ⎛ e
e2
2
=
=
E
sin
ce0 Ei2 sin 2 α
α
⎜
⎜
i⎟
2 ⎟
d Ω s 4πε 0 4π c ⎝ me c ⎠
4
m
c
πε
0 e
⎝
⎠
.
(4.103)
A combinação dos parâmetros que surgem na última forma desta equação,
⎛
⎞
e2
re ≡ ⎜
2 ⎟
⎝ 4πε 0me c ⎠
(4.104)
tem dimensões de comprimento, e é chamada de raio clássico do elétron.
Um campo elétrico fixo não dá origem a uma radiação que é particularmente interessante,
mas se estiver oscilando, ele dará origem a uma radiação que está na freqüência
correspondente ao campo.
Figura 4.12: Ilustração esquemática do processo de espalhamento Thomson.
O caso mais elementar que poderíamos considerar é quando o campo elétrico varia de
forma senoidal com freqüência angular ω . Esta é exatamente a situação que surge quando
uma partícula carregada, tal como um elétron, experimenta um campo elétrico oscilante de
uma onda eletromagnética incidente de freqüência ω . Nesta situação, falamos de
“espalhamento” da onda incidente pelo elétron.
Este processo de aceleração de um elétron livre por uma onda incidente e re-radiação da
onda em outras direções, é conhecido como espalhamento de Thomson.
Agora a potência instantânea da onda incidente por unidade de área é determinada pelo
vetor de Poynting cujo módulo é
si = E × B / µ0 =
106
1
cµ 0
Ei2 = cε 0 Ei2 ,
(4.105)
e estimamos o seu valor no tempo retardado t ′ (isto é, no tempo necessário para originar a
radiação no ponto do campo em um tempo posterior t). Então a potência espalhada por
unidade de ângulo sólido de um único elétron pode ser escrita:
dP
= re2 si sin 2 α .
d Ωs
(4.106)
A seção de choque diferencial de espalhamento (energia) é a razão entre dP dΩ s pela
densidade de potência incidente si . Podemos verificar rapidamente que esta definição está
em acordo com a definição padrão de seção de choque: que deve ser tal que o número de
colisões por unidade de comprimento seja igual ao produto da seção de choque pela
densidade dos alvos. Neste caso os “projéteis” são representados pela energia incidente da
onda. Podemos considerar que os projéteis possuem uma densidade de fluxo proporcional
ao fluxo da densidade de potência da onda, si . Uma visão alternativa desta seção de choque
é considerá-la como a área pela qual o fluxo incidente da densidade de potência teria que
fluir para dar origem à potência espalhada. A seção de choque é
dσ
= re2 sin 2 α
d Ωs
,
(4.107)
onde α é o ângulo entre a direção de espalhamento e o campo elétrico (isto é a direção de
polarização) da onda incidente.
Integrada sobre todos os ângulos de espalhamento, esta expressão fornece a seção de
choque total do espalhamento de Thomson
σ=
8π 2
re
3
.
(4.108)
Se o elétron for estacionário, à parte da oscilação que a onda concede a ele, então a
radiação espalhada terá exatamente a mesma freqüência (nesta aproximação clássica) da
onda incidente. Porém se o elétron estiver se movendo antes da sua perturbação, pela onda
incidente, haverá então um deslocamento Doppler da freqüência espalhada, porque o
elétron em movimento experimentará a onda incidente a uma freqüência diferente, e porque
sua radiação será deslocada Doppler no observador. Estes dois efeitos fornecem a
freqüência espalhada ωs que é relacionada à freqüência incidente ωi por
ωs = ωi + ( k s − k i ) ⋅ v 0 = ωi
1 − kˆ i ⋅ v 0 / c
1 − kˆ s ⋅ v 0 / c
,
(4.109)
onde k i e k s são respectivamente os vetores de onda da onda incidente e da onda
espalhada, cujas magnitudes são ki = ωi c e k s = ωs c , e os acentos circunflexos indicam
vetores unitários. O numerador e o denominador da forma fracionária para ωs , representam
107
os dois deslocamentos Doppler já referidos. Esta relação um para um entre a freqüência
espalhada e a componente da velocidade do elétron, ao longo da direção k s − k i , é
extremamente útil no diagnóstico de aplicações de plasma. A distribuição das velocidades
dos elétrons é revelada diretamente pelo espectro de luz do espalhamento Thomson.
4.6.2 Espalhamento Compton
Uma aproximação implícita, em nosso tratamento do espalhamento Thomson, é que toda a
onda incidente sobre o elétron o faz oscilar, e que por outro lado, a este movimento
oscilatório, é somado um movimento anterior não perturbado. Em outras palavras, depois
do espalhamento ter ocorrido, o elétron ou permanece estacionário ou em movimento à
mesma velocidade que ele tinha antes. [Nesta seção por questão de simplicidade,
consideraremos daqui em diante, o elétron como sendo estacionário antes do
espalhamento.] Mas isto realmente não pode estar correto, até mesmo num quadro clássico,
porque sabemos que os campos eletromagnéticos transportam momento. Assim se a onda é
espalhada, mudando seu momento, então o momento do elétron também deve mudar para
conservar o momento total.
O efeito clássico pode ser calculado facilmente. Pela simetria da distribuição angular de
espalhamento sin 2 α , a radiação espalhada tem em média um momento nulo. Então o
momento dado ao elétron é apenas o da radiação incidente. Vimos na seção 3.2.3 que a
densidade de momento dos campos eletromagnéticos é igual a 1 c 2 vezes a densidade do
fluxo de energia. A força exercida pela radiação incidente sobre o elétron é igual à seção de
choque total vezes a densidade do fluxo de momento, que é c vezes a densidade de
momento. Assim esta força é
me v0 = σ si / c =
8π 2
1
re ε 0 Ei2
3
c
.
(4.110)
Neste quadro clássico há uma pressão de radiação, aplicada sobre uma área igual à seção de
choque de Thomson do elétron, que continuamente o empurra na direção da radiação
incidente.
A mecânica quântica nos ensina, porém, que a radiação eletromagnética não é lisa e
infinitamente divisível. Ao invés disto toma a forma de fótons cuja energia é ω quando a
freqüência angular da radiação é ω . Se o tamanho do fóton, o quantum de energia, é muito
menor que as outras escalas de energia do problema, então o limite clássico discutido
acima, se aplica. Se a energia do fóton é grande, não. De fato, a pergunta crucial aqui é o
momento do fóton mas isto pode ser relacionado com a energia e comparado com a energia
de repouso do elétron m0c 2 = 511 keV como veremos. O quadro quântico, então, é que
(
)
cada fóton individual pode, no encontro de um elétron livre, saltar fora num evento de
espalhamento. Quando assim faz, o momento do fóton é mudado, e o momento do elétron
também muda para satisfazer a conservação. Como uma conseqüência, para fótons
energéticos (momento grande), até mesmo um elétron inicialmente estacionário recua num
evento de espalhamento com momento significativo. Este recuo conduz a um deslocamento
para baixo na energia (e conseqüentemente na freqüência) do fóton espalhado que
108
dependerá da direção na qual se espalha.
A cinemática do problema, conservação do momento e energia, é tudo o que se precisa
relacionar o deslocamento de energia ao ângulo de espalhamento. O espalhamento ocorre
no plano de espalhamento. Vamos supor que o fóton é espalhado por um ângulo θ e o
elétron recua em uma direção num ângulo φ para a direção inicial do fóton. Temos que
resolver o problema relativisticamente e iremos apelar à relação relativística geral que
relaciona energia e momento:
ε=
p 2c 2 + ( m0c 2 )
2
(4.111)
Denotamos o momento final do elétron por p, a energia do fóton por
espalhamento e por
acima ou
ε′
ε
depois. Então o momento do fóton é
ε
antes da colisão de
c (da relação de energia
Figura 4.13: Geometria do espalhamento Compton no plano de espalhamento.
de nosso conhecimento sobre a relação entre o fluxo de energia e momento dos campos
eletromagnéticos). Então escrevemos abaixo as duas componentes paralelas da conservação
do momento
ε = ε ′ cosθ + p cos φ
(4.112)
ε ′ sin θ + p sin φ
(4.113)
c
c
e perpendicular
0=
c
ao fóton incidente,e a conservação de energia:
ε + m c = ε ′+
2
0
p 2c 2 + ( m0c 2 )
2
.
(4.114)
Eliminamos φ separando os termos de φ nas equações 4.112 e 4.113 elevando ao
quadrado e somando para obter:
109
2
εε ′
⎛ ε ⎞ ⎛ε ′⎞
p = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 2 2 cos θ
⎜
⎟
c
⎝c⎠ ⎝ c ⎠
2
2
(4.115)
E então eliminamos o momento p elevando ao quadrado o termo da raiz quadrada da
equação 4.114 para obter
p 2c 2 = 2m0c 2
( ε − ε ′) + ( ε − ε ′)
2
(4.116)
e subtraindo de c 2 vezes a equação prévia para obter
(
)
0 = εε ′ 1− cos θ − m0c 2
(ε −ε ′)
.
(4.117)
Esta é a equação que relaciona a queda de energia do fóton com o seu ângulo de
espalhamento. É escrita freqüentemente sob a forma que governa o comprimento de onda
do fóton λ = 2π c ω = hc ε Z e usando 1 − cosθ = 2sin 2 θ 2 ,
λ′ − λ =
h
θ
2sin 2
m0c
2
,
(4.118)
que expressa o “Deslocamento de Compton” do comprimento de onda em termos do
“Comprimento de onda de Compton”, λc ≡ h m0c = 2, 426 × 10−12 m , do elétron. O
comprimento de onda do fóton é igual ao comprimento de onda Compton quando sua
energia for igual à massa de repouso do elétron, m0c 2 = 511 keV . Então o deslocamento de
Compton só é importante para raios-X muito energéticos e para raios γ .
A energia do fóton espalhado é
ε′=
m0c 2
1 − cos θ + m0c 2 / ε
(4.119)
E a perda de energia do fóton, e conseqüentemente ganho de energia cinética pelo elétron é
ε=
1 − cosθ
1 − cosθ + m0c 2 / ε
110
(4.120)
2
Figura 4.14: Variação angular da seção de choque para o espalhamento Compton. [ α ≡ ε me c ].
A seção de choque para este espalhamento deve reduzir a seção de choque Thomson para
uma energia de fóton baixa. Foi calculada primeiramente, usando a mecânica quântica
relativística (1928), por Klein e Nishina logo após a formulação de Dirac das equações
quânticas relativísticas para o elétron, predizendo o spin e os estados de energia negativos.
A concordância da seção de choque de Klein-Nishina com os experimentos práticos foi um
dos primeiros triunfos da teoria de Dirac. Para radiação não polarizada, a seção de choque
diferencial para o espalhamento de fótons (que é diferente da seção de choque de
espalhamento da energia em virtude da troca de energia do fóton) por unidade de ângulo
sólido é:
dσ
r2 ⎛ ε ′ ⎞
= e ⎜ ⎟
d Ω s 2 ⎜⎝ ε ⎟⎠
2
⎛ ε ε′
⎞
− sin 2 θ ⎟
⎜⎜ +
⎟
⎝ε′ ε
⎠
.
(4.121)
Nesta forma a redução da seção de choque Thomson para energia de fóton baixa, de forma
que ε ′ ε → 1 , pode ser verificada por integração da fórmula de Thomson sobre todas as
direções de polarização possíveis da radiação incidentes. Para energias altas de fótons,
ε > mec 2 os ângulos de espalhamento frontais ou baixos tendem a dominar a seção de
choque, porque o termo
(ε ′ ε )
2
fica pequeno para ângulos maiores; embora para esses
fótons que se espalham para trás θ ≈ 180 , eles perdem praticamente toda a sua energia
para os elétrons e retêm somente ε ′ → m e c 2 2 . A figura 4.14 mostra os gráficos polares
da seção de choque para energias diferentes.
O processo de espalhamento Compton é um mecanismo de atenuação dominante para
energias de fótons que vão de 1 a 4 MeV . Às vezes é útil distinguir entre a seção de
111
choque para o espalhamento de um fóton, dada acima, e da seção de choque para remoção
de energia de um feixe de fótons, que é igual ao produto da seção de choque de
espalhamento pela razão da perda de energia em relação à energia inicial do fóton. Este
último é chamado às vezes de seção de choque de “absorção” Compton, desde que
representa a taxa na qual a energia é transferida dos fótons para os elétrons espalhados de
Compton. Em qualquer caso, a atenuação de um fluxo de fótons de intensidade I é
governado pela equação diferencial:
dI
= −neσ I = − Zniσ I ,
d
(4.122)
onde σ é a seção de choque elétron, e o fato que os Z elétrons estão ligados a cada átomo é
ignorado desde que a energia do fóton é muito mais alta que a energia de ligação do elétron.
As soluções para esta equação são exponenciais ( ∝ exp ( −neσ l ) ) com comprimento de
decaimento inverso neσ , que é chamado de “coeficiente de atenuação”.
Figura 4.15: Coeficientes de fóton atenuação para o chumbo. [De Evans].
Como a relação entre a massa e carga da maioria dos núcleos é bem parecida, entre 2 e 2,8,
a maior atenuação surge da maior densidade de elétron, que corresponde à maior densidade
de massa. Por esta razão o chumbo, por exemplo, tem um dos maiores coeficientes de
atenuação. A figura 4.15 mostra o coeficiente de atenuação Compton total (integrada para o
ângulo) junto com a absorção fotoelétrica e os coeficientes de produção de pares. Estes
processos posteriores serão discutidos depois. A atenuação Compton, desde que é
simplesmente o produto neσ , pode ser estendida a qualquer outro material, multiplicando
pela relação das densidades de elétrons, que é dada (para os elementos) pela quantidade
ρ outro Z outro
Achumbo
ρchumbo Zchumbo Aoutro
112
,
(4.123)
onde ρ é densidade de massa, A é peso atômico, e Z é número atômico.
113