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FLEXÃO SIMPLES.
Introdução:
(Boanerges, 1980-S.D.)
Como a força cortante não altera as tensões
normais estamos aqui examinando as flexões
pura normal e simples normal.
Observando a seção transversal em estudo,
temos quatro casos possíveis com as
respectivas tensões normais:
Y
lado
tracionado
X
 = M.y/Ix
X
 = - M.y/Ix
C.G.
T.P.M.
Y
C.G.
lado
tracionado
T.P.M.
Y
T.P.M.
C.G.
lado
tracionado
X
 = M.x/Iy
Y
lado
tracionado
T.P.M.
C.G.
X
 = - M.x/Iy
Pela análise dimensional dessas definições, teremos como unidades para TENSÃO:
Pa (Pascal), N/m2, kgf/cm2, etc.
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Nas expressões anteriores o momento fletor M, está em módulo e o Traço do Plano do
Momento Fletor (T.P.M.), com o “lado tracionado”, são obtidos do diagrama de
momentos fletores.
As tensões normais se distribuem na seção formando um plano (Navier) que contém o eixo
central de inércia em torno do qual gira a seção transversal em estudo:
Seção Vista de Frente:
Seção vista de lado:
Y lado
tracionado
C.G.
X

região
tracionada
M
eixo da barra Z
região
comprimida
T.P.M.
Considerações:
(Beer and Johnston, 1995) (Boanerges, 1980)
 Observamos que uma região da seção é tracionada e a outra é comprimida, sendo estas
duas partes limitadas pelo eixo baricêntrico de inércia em torno do qual gira a seção, e nos
pontos deste eixo central a tensão normal é nula.
 Linha Neutra é a reta do plano da seção transversal em que a tensão normal é nula; na
flexão simples normal a linha neutra coincide com o eixo baricêntrico de inércia em torno
do qual gira a seção transversal em exame
 Observamos também que, a tensão normal atinge seu valor máximo (positivo) e valor
mínimo (negativo), nos pontos da seção mais distantes em relação à linha neutra, ou ao
eixo baricêntrico de inércia perpendicular ao T.P.M.
 Estas duas tensões são chamadas de Tensões Extremas, e são fundamentais ao
dimensionamento da seção em estudo. Sendo a Tensão máxima (Tração) e Tensão
mínima (Compressão).
Nomenclatura:
Nomenclatura utilizada no Curso:
Baricentro ou centro de gravidade = G.(C.G.)
Eixos baricêntricos = XG e YG.
Momentos Fletores = M
Pontos do baricentro = xg e yg.
Área da Seção Plana = A
Momento de Inércia = I
Tensão de Compressão = C
Tensão de Tração = T
Tensão = 
Módulo de Resistência = W
Momento Estático = MSX
e MSY
Força = F
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Módulo de Resistência:
(Boanerges, 1980-S.D.)
YG
T.P.M.
1
Já constatamos que as tensões extremas agem nos pontos
da seção mais afastados dos eixos de inércia;
podemos então definir uma nova característica da seção
y’
x”
transversal (figura plana), o Módulo de Resistência.
x’
XG
G
Módulo de Resistência: (W)
4
y”
W = I/d
Cálculo dos Pontos Extremos:
2
Ponto 1:
Ponto 2:
Ponto 3:
Ponto 4:
3
Wx’ = IXG/y’
Wx” = IXG/y”
Wy’ = IYG/x’
Wy” = IYG/x”
Para obtermos as Tensões Extremas do quociente M/W depende do
cálculo do eixo central de inércia
Logo, os pontos para a figura acima serão:
Wx’ = (B.H3/36)/(2.H/3) = 3.B.H3/72.H = B.H2/24
Wx’= B.H2/24
Wx” =(B.H3/36)/(H/3) = 3.B.H3/36.H = B.H2/12
Wx”= B.H2/12
Wy’ = (H.B3/36)/(2.B/3) = 3.H.B3/72.B = H.B2/24
Wy’= H.B2/24
Wy” = (H.B3/36)/(B/3) = 3.H.B3/36.B = H.B2/12
Wy”= H.B2/12
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Considerações:
(Beer and Johnston, 1995) (Boanerges, 1980-S.D.)
Podemos ter uma idéia da altura h da seção transversal, necessária para resistir ao
momento fletor, através do braço de alavanca d do binário obtido com as forças resultantes
das tensões normais de mesmo sinal que agem na seção em exame.
Seção:
Vista lateral:
Y
região tracionada
de área A
h
L.N.
X
F
h
d
M
eixo Z
C.G.
F
O equilíbrio exige:
T.P.M.
M = F.d
As tensões normais de tração, que agem na
região tracionada (de área A) da seção Então:
transversal, provocam a força:
d = IX/MSX
F = A.da
A geometria da seção é melhor para resistir
ao momento fletor quanto mais próximo for d
Perpendicularmente ao plano da seção
de h; como d é a distância entre os
transversal, como;
baricentros das regiões tracionada e
comprimida da seção, para aproximarmos d
 = M.y/IX
de h precisamos colocar mais área distante
vem;
do eixo central. Uma boa seção para resistir
ao momento fletor é:
F = M.y.da/IX = (M/IX)Ay.da
F = M.MSX/IX
Pois M e IX são constantes da seção.
MSX é o momento estático da área A da
região
tracionada
(ou
da
região
comprimida) em relação ao eixo central
perpendicular ao TPM.
h
d
T.P.M.
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Exercícios Propostos: (Para estudo).
Calcular para a viga reta:
8 kN
4 kN.m
2 kN/m
D
A
B
3.00 m
C
2.00 m
2.00 m
 As reações de apoio.
 Os diagramas de esforços internos solicitantes (V, M).
Calcular para as seções planas abaixo:
 O baricentro posicionando os eixos nas figuras
 As tensões à flexão nos pontos marcados.
EP1: R = 3 x 10-2 m
EP2:
YG
30 cm
YG
XG
8 cm
C.G.
XG
T.P.M.
22 cm
C.G.
T.P.M.
20 cm
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Sistemas de Unidades:
Prefixos e seus símbolos:
da = Deca = 101
h = Hecto = 102
k = Quilo = 103
M = Mega = 106
G = Giga = 109
T = Tera = 1012
d = Deci = 10-1
c = Centi = 10-2
m = Mili = 10-3
 = Micro = 10-6
n = Nano = 10-9
p = Pico = 10-12
Unidades de Comprimento:
m
1
10-6
10-3
10-2
10-1
103
1m
1 m
1 mm
1 cm
1 dm
1 km
m
106
1
103
104
105
109
mm
103
10-1
1
10
102
106
cm
102
10-4
10-1
1
10
105
dm
10
10-5
10-2
10-1
1
104
km
10-3
10-9
10-6
10-5
10-4
1
Unidades de Área:
1 m2
1 m2
1 mm2
1 cm2
1 dm2
1 km2
m2
1
10-12
10-6
10-4
10-2
106
m2
1012
1
106
108
1010
1018
mm2
106
10-6
1
102
104
1012
cm2
104
10-8
10-2
1
102
1010
dm2
102
10-10
10-4
10-2
1
108
km2
10-6
10-18
10-12
10-10
10-8
1
Unidades de Força:
1N
1 kN
1 MN
1 kp
N**
1
103
106
9,81
kN
-3
10
1
103
9,81 x 10-3
* 1 kp = 1 kgf
MN
-6
10
10-3
1
9,81 x 10-6
kp*
0,102
0,102 x 103
0,102 x 106
1
** 1 N = 1 kgf.m/s2
Unidades de Tensão:
1 Pa = 1 N/m2
1 MPa
1 Kp/cm2 = 1 atm
1 N/mm2
Pa
1
106
98100
106
MPa
10-6
1
9,81 x 10-2
1
Kp/cm2
1,02 x 10-5
10,2
1
10,2
N/mm2
10-6
1
9,81 x 10-2
1
6/ 6