Departamento de Matemática - IME - USP
Álgebra I para Computação - MAT138
GABARITO DA PRIMEIRA PROVA
Questão 1 No desenvolvimento de 2x2 −
1 20
8
x
determine:
a) O termo central;
b) O coeficiente do termo em x20 e o termo simétrico desse.
Solução: Pelo teorema do binômio,
1
2x − 8
x
2
20
i
20 X
1
20
2 20−i
=
(2x )
.
i
x8
i=0
(a):
Observamos que o termo central se dá quando i = 10 na fórmula acima, portanto
10
10
10
20 · 19 · . . . · 11 2
2
1
20
2 20−10
Termo central =
(2x )
=
= 19 · 17 · 13 · 11 · 4
.
8
6
10
x
10!
x
x6
(b):
Sendo o expoente de x no somatório igual a 2(20 − i) − 8i, segue-se que queremos encontrar i tal que
2(20 − i) − 8i = 10,
cuja solução é i = 2. Daí, o coeficiente do termo em x20 é
20! 18
20
2 = 190 · 218 .
220−2 =
2
2!18!
Quanto ao termo simétrico, vemos que ele ocorre em i = 18:
18
18
1
1
20
2 2
2 2
Termo simétrico =
(2x )
= 190 · (2x )
,
8
18
x
x8
20
20
=
= 190.
onde usamos que
18
2
Questão 2 Mostre que para todo inteiro n ≥ 1 tem-se 8|32n + 7.
Solução: Provaremos por indução em n. Para n = 1 teremos que 32 + 7 = 16 que é divisível por 8.
Suponhamos que existe k ∈ N, k ≥ 1, tal que 8|(32k + 7). Tomando n = k + 1 teremos que
32(k+1) + 7 = 32 · 32k + 7 = 32k + 7 + 8 · 32k ,
como 8|8 · 32k e, por hipótese de indução, 8|(32k + 7), resulta que 8|(32(k+1) + 7). Assim, pela primeira
forma do princípio de indução, teremos que 32n + 7 para todo n ≥ 1.
Questão 3
a) Seja N um número natural. Prove que a divisão de N 2 por 4 nunca deixa resto 3.
b) Prove que nenhum inteiro da sequência 11, 111, 1111, . . . , é um quadrado perfeito.
1
Solução: a):
Sendo N um inteiro, teremos pelo algorítmo da divisão que N tem uma das seguintes formas:
4k, 4k + 1, 4k + 2 ou 4k + 3.
Disto,
N
N
N
N
= 4k ⇒ N 2 = 4 · (4k 2 ),
= 4k + 1 ⇒ N 2 = 4(4k 2 + 2k) + 1,
= 4k + 2 ⇒ N 2 = 4(4k 2 + 4k + 1),
= 4k + 3 ⇒ N 2 = 4(4k 2 + 6k + 2) + 1,
donde vemos que N 2 deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4.
b):
Sendo n ≥ 2 a quantidade de 10 s em 111 . . . 1 provaremos, por indução em n, que o número 111 . . . 1
é da forma 4k + 3, para então usarmos o ítem a). Se n = 2 então
11 = 4 · 2 + 3.
Suponhamos que para algum inteiro k ≥ 2,
111
. . . 1} = 4q + 3.
| {z
k 10 s
Para n = k + 1,
111
. . . 1} = |111 {z
. . . 10} +1 = 111
. . . 1} ·10 + 1 = (4q + 3) · 10 + 1 = 4 · (10 · q + 7) + 3.
| {z
| {z
k+1 10 s
k 10 s
k 10 s
Segue-se, pela primeira forma do princípio de indução, que 111
. . . 1} = 4q + 3 para todo inteiro n ≥ 2,
| {z
n 10 s
implicando pelo ítem a) que 111
. . . 1} não pode ser um quadrado perfeito se n ≥ 2.
| {z
n 10 s
Questão 4 Verdadeiro ou Falso? Se a afirmação for verdadeira, prove-a, caso contrário dê um
contra-exemplo.
a) O conjunto dos números inteiros ímpares é um ideal em Z.
b) Se a e b são inteiros não nulos tais que 7 = ar + bs para alguns r, s ∈ Z então 7 = mdc(a, b).
Solução:
a):
Lembramos que um conjunto J ⊂ Z é um ideal de Z se as seguintes duas condições forem satisfeitas:
(i) a, b ∈ J ⇒ a + b ∈ J,
(ii) α ∈ J, a ∈ Z ⇒ αa ∈ J.
Assim, vemos que o conjunto dos números ímpares não pode ser um ideal visto que a soma de dois
números ímpares é um número par, falhando a condição (i) da definição acima.
b):
Falso, pois tomando por exemplo a = 8, b = 1, r = 1, s = −1 teremos que 7 = 8 − 1 6= mdc(8, 1) = 1.
2
Questão 5 Sejam a e b inteiros relativamente primos. Seja c um inteiro não nulo.
a) Se d = mdc(ac, b) prove que mdc(a, d) = 1.
b) Prove que mdc(c, b) = d.
Solução:
a):
Se d = mdc(a, d) então d |a e d |d.
OBS: d |b, pois como d = mdc(ac, b) segue-se que d|b, donde
d |d ⇒ d = d · k, para algum k ∈ Z
d|b ⇒ b = d · q, para algum q ∈ Z
o
⇒ b = d · k · q ⇒ d |b.
Daí, d |a e d |b implicando que d | mdc(a, b), como mdc(a, b) = 1 teremos que d |1 resultando que
d = 1.
b):
˜ e d|d.
˜
Seja d˜ = mdc(c, b) e d = mdc(ac, b), mostraremos que d|d
Observamos que
˜ e d|b
˜ ⇒ d|ac
˜ e d|b
˜ ⇒ d|d.
˜
d˜ = mdc(c, b) ⇒ d|c
˜ temos que
Quanto à d|d,
d = mdc(ac, b) ⇒ d|ac e d|b,
como pelo ítem a) mdc(a, d) = 1, resulta que d|c. Mas,
˜
d|b e d|c ⇒ d| mdc(c, b) ⇒ d|d.
˜
Para ver que d = d,
d|d˜ ⇒ d˜ = d · k para algum k ∈ Z o
˜ ˜
˜
˜ ⇒ d = d˜ · q para algum q ∈ Z ⇒ d = d · k · q ⇒ k · q = 1 ⇒ k, q = ±1 ⇒ d = ±d,
d|d
˜
como d e d˜ são ambos positivos, segue-se que d = d.
3