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PAINEL II
ONZES FORA
Rogério César dos Santos – UnB / FUP
Há algumas décadas a prova "dos noves fora"
era usada para conferir contas como a de adição e
de multiplicação. O artigo A prova dos noves, publicado na RPM 14, de autoria de Flávio Wagner
Rodrigues, traz a explicação do funcionamento
dessa prova e também explica a razão de se escolher o nove: é fácil calcular o resto da divisão de
um número por 9, bastando para isso somar seus
algarismos. Neste artigo, mostraremos que seria
igualmente prático usar a prova "dos onzes fora".
Relembrando a prova dos noves fora
Para o leitor que não se lembra, a prova "dos
noves fora" funciona assim: gostaríamos de conferir o resultado da adição 897 + 567 = 1474.
Somamos os algarismos dos números envolvidos e calculamos os restos da divisão por nove:
8 + 9 + 7 = 24; 2 + 4 = 6. Noves fora, 6. Resto r = 6.
5 + 6 + 7 = 18; 1 + 8 = 9. Noves fora, 0. Resto s = 0.
Agora, obtemos o resto da divisão de r + s por
nove: r + s = 6 + 0 = 6. Noves fora, 6. Resto u = 6.
Finalmente, 1 + 4 + 7 + 4 = 16; 1 + 6 = 7. Noves fora, 7. Resto t = 7. Como o resto u = 6 é
diferente do resto t = 7, a adição está errada.
Para se verificar a multiplicação, o método é o
mesmo, mas substituindo a soma dos restos r e s,
pelo produto r.s.
Lembrando o artigo mencionado, da RPM 14,
observamos que, se uma conta estiver certa, a prova dos noves sempre irá confirmar a exatidão da
resposta. Mas podemos ter falhas em contas erradas, ou seja, a prova dos noves pode não detectar
um erro: isso pode ocorrer se e somente se o resultado obtido e o resultado correto diferem por
um múltiplo de 9. De fato, se a resposta dada para
a soma 90 + 90 fosse 9900, a prova dos noves
não apontaria o erro.
Observamos que, no lugar do nove, poderíamos usar outro natural positivo qualquer, m.
Para entendermos por que, primeiro relembramos que todo número p é congruente, módulo
m, ao resto r da sua divisão por m, já que p = mq
+ r. Também é verdade que, se p1 ≡ r (modm) e
p2 ≡ s(modm) então p1 + p2 ≡ (r + s)(modm) (no
caso da adição) e p1 . p2 ≡ (r .s)(modm) , (no caso
da multiplicação). Em outras palavras, suponha
que desejamos conferir a adição p1 + p2 = X ou a
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