Funções reais, de variável real
Definição (zeros de uma função)
Zeros de uma função são os números que colocados no lugar da variável determinam
o número zero.
Definição (função raiz)
Raiz quadrada de um número x é um número y cujo quadrado é x.
O quadrado de qualquer número real, não nulo,
p é um número positivo. Portanto, no
conjunto dos números reais, para que exista
u(x), é necessário que se verifique
u(x) ∈ R+
.
0
Definição (função crescente)
Uma função real f diz-se crescente se a variação das imagens é idêntica à variação
dos objetos, respetivamente. Formalmente: f é crescente se é verdadeira a
proposição:
∀x1 , x2 ∈ Dom(f ), x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Definição (função decrescente)
Uma função real f diz-se decrescente se a variação das imagens é inversa da variação
dos objetos, respetivamente. Formalmente: f é decrescente se é verdadeira a
proposição:
∀x1 , x2 ∈ Dom(f ), x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ).
Definição (igualdade de duas funções)
Duas funções reais f e g , de variável real, dizem-se iguais, escrevendo-se f = g , se
têm igual domı́nio e se, para cada x do domı́nio, f (x) = g (x).
Definição (função extensão de uma outra)
Seja f uma função real, de variável real, cujo domı́nio não coincide com R; e B um
subconjunto de R tal que Dom(f ) ∩ B = Ø. A função real
f (x), x ∈ Dom(f );
g : (Dom(f ) ∪ B) → R,
g (x) =
h(x), x ∈ B.
designa-se por extensão de f ao conjunto Dom(f ) ∪ B.
Neste contexto, a função f toma a designação de restrição de g ao conjunto Dom(f ).
Definição (função injetiva)
Uma função diz-se injetiva se quaisquer dois objetos diferentes têm imagens
diferentes. (Ou seja: de duas imagens iguais infere-se, necessariamente, que os
objetos devem ser iguais).
Definição (Paridade de funções)
Uma função f diz-se par [ı́mpar] se, para cada x ∈ Dom(f ), −x ∈ Dom(f ) e
f (−x) = f (x) [f (−x) = −f (x)].
Definição (soma, produto e quociente de duas funções)
Sejam f , g funções reais, de variável real.
A função f + g tem expressão designatória f (x) + g (x) e domı́nio Dom(f ) ∩ Dom(g ).
A função fg tem expressão designatória f (x)g (x) e domı́nio Dom(f ) ∩ Dom(g ).
A função gf tem expressão designatória gf (x)
(x) e domı́nio
(Dom(f ) ∩ Dom(g )) \ {zeros de g }.
Definição (função composta)
Sejam f , g duas funções reais, de variável real. A função cuja expressão designatória
é a imagem, por f , das imagens de g designa-se por composta de f com g .
Denota-se por f ◦ g . Pode ler-se: f após g .
Do exposto, decorre que Dom(f ◦ g ) é um subconjunto de Dom(g ). É constituı́do
por todos os elementos de Dom(g ) cuja imagem pertence ao conjunto Dom(f ).
Em termos formais, a frase que traduz a asserção precedente é
Dom(f ◦ g ) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g ) ∧ g (x) ∈ Dom(f )} .
Esta é “a frase” de abertura da resposta a uma questão do tipo: “identifique o
domı́nio da função composta...”.
Definição (função inversa)
Função inversa de uma função f é a função g cuja composta com f é a função
identidade no domı́nio de f .
A asserção “g é a inversa da função f ” traduz-se, em termos formais, pela
igualdade
(g ◦ f )(x) = x.
A inversa de uma função f , quando existe, denota-se por f −1 .
Expressão designatória da inversa? Se a questão é colocada perante o
conhecimento de f (x), significa que conhecemos a máquina de gerar as imagens, em
função dos objetos x. Assim, pretende-se conhecer a máquina de gerar o objeto x,
em função da imagem f (x). Para tal, considerando que y é a imagem de x, devemos
procurar explicitar x em função de y a partir da relação y = f (x). Sendo possı́vel,
obter-se-á x = f −1 (y ).
Para cada y , a imagem recı́proca é univocamente determinada só se não existirem
dois objetos x1 e x2 tais que f (x1 ) = y = f (x2 ). Assim, a existência de função
inversa de uma função fica condicionada à injetividade desta.
Assumindo a existência da função inversa de uma função f , os objetos de tal função
são as imagens de f . Portanto, o domı́nio da função inversa é o contradomı́nio de f .
(O contradomı́nio da função inversa é, naturalmente, o domı́nio da função inicial).
Num referencial Oxy , conhecido o gráfico de uma função invertı́vel, o gráfico da sua
função inversa é a reflexão daquele na reta y = x. Isto decorre do facto: se (x, y ) é
um ponto do gráfico de f , então (y , x) será um ponto do gráfico da sua inversa
(objetos e imagens “trocam de papéis”).
Definição (Assı́ntotas)
No plano do gráfico de uma função f , uma reta diz-se assı́ntota do gráfico (ou, da
função) de f se lhe é tangente, quando x ou f (x) tende para infinito.
Há três tipos de assı́ntotas, a saber: (i) paralelas ao eixo da variável independente;
(ii) paralelas ao eixo da variável dependente; (iii) e com declive diferente de zero em
relação a cada uma dos eixos referidos (ditas: oblı́quas).
Assı́ntotas
(i) Ocorrem se a função tende para um número real, quando a variável independente
tende para infinito. A reta y = k é assı́ntota do gráfico de y = f (x) se
lim f (x) = k
ou
x→+∞
lim f (x) = k.
x→−∞
(ii) Ocorrem se a função tende para infinito (+∞, ou −∞) quando a variável
independente tende para um certo número real.
(iii) Este tipo de assı́ntota ocorre quando o gráfico da função tende a “fundir-se”
com uma reta da forma y = mx + b, m 6= 0, quando a variável x tende para infinito
(+∞ ou −∞). Formalmente, o significado disto traduz-se por
f (x) ≈ mx + b,
se x → +∞ ou x → −∞.
Consequentemente,
f (x)
b
≈m+ ,
x
x
se x → +∞ ou x → −∞.
E, portanto,
lim
x→+∞
f (x)
=m
x
ou
lim
x→−∞
f (x)
= m.
x
Proposição
Seja f uma função real, de variável real, cujo domı́nio contém um dos intervalos
] − ∞, α[, ]β, +∞[, onde α, β são números reais.
Se
f (x)
f (x)
=m∈R
ou
lim
= m ∈ R,
lim
x→−∞ x
x→+∞ x
então a reta de equação y = mx + b é assı́ntota de f .
f (x)
= m, m ∈ R \ {0}, a reta fica conhecida depois de
Assumindo que
lim
x→+∞(−∞) x
conhecermos a constante b. Ora, da relação f (x) ≈ mx + b infere-se que
f (x) − mx ≈ b. Portanto,
lim
x→+∞(−∞)
[f (x) − mx] = b.