PARABÉNS!!!
VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR!
CEEJA “MAX DADÁ GALLIZZI”
PRAIA GRANDE - SP
MATEMÁTICA
12
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer
que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos
esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas
redescobertas da "arte matemática" que elaboramos o
conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas.
A matemática possui uma linguagem simbólica que
corresponde à linguagem que utilizamos usualmente para nos
comunicar.
Existem situações em nosso cotidiano que, para
calcularmos ou obtermos um valor, se torna menos complicado
usando equações para chegarmos a um resultado.
As equações que estudaremos nessa U.E. são chamadas
Equações de 1o grau, Inequações de 1o grau e Valor numérico
de uma equação.
Leia com atenção, resolva todos os exercícios que achar
necessário. Procure-nos assim que surgirem as primeiras
dificuldades, nós estaremos na orientação sempre para ajudálo.
Resolva os exercícios em um caderno seu. Estes
exercícios servirão de base para o Ensino Médio e você
poderá revisá-los.
Lembre: as apostilas são para uso de todos os alunos,
devolva-nos e em bom estado.
01
LINGUAGEM MATEMÁTICA
A linguagem matemática é usada na "tradução" de situações do
nosso dia-a-dia para números que nos ajudem a solucionar
problemas.
Exemplo: Pensei em um número, multipliquei-o por dois,
somei 15 e obtive 43. Em que número pensei?
A sentença matemática que traduz esse problema é:
2x + 15 = 43
Assim encontraremos rapidamente a resposta para esse
problema.
2x = 43 - 15
2x = 28
x = 28 : 2
x= 14
A resposta para o problema é: Pensei no número 14.
Outros exemplos:
a) O dobro de um número , é o mesmo que 2x ou 2t
b) A Terça parte de um número, é o mesmo que x:3 ou
w
3
c) O quádruplo de um número é igual a 24, é o mesmo que
escrever 4n = 24.
d) O triplo de um número mais 4 unidades é igual a 19, é o
mesmo que 3x + 4 = 19.
Ainda podemos sugerir outros exemplos como na tabela da
página seguinte.
02
03
Exercício 01:
Escreva as seguintes frases em linguagem matemática:
a) o dobro de um número.
b) O Triplo de um número.
c) Um número menos sete.
d) Metade de um número, mais um.
SITUAÇÕES QUE SE TRANSFORMAM EM
EQUAÇÕES DO 1O GRAU
Você viu que para responder à perguntas da linguagem
corrente tivemos que calcular o valor de x da linguagem
matemática.
A importância do estudo das equações está no fato de que elas
facilitam a resolução de certos problemas. Vejamos:
Exercício 02:
Como você escreveria em linguagem matemática as frases
seguintes?
a) A soma de um número com 4 é igual a doze.
b) O dobro de um número mais 3 é igual a quinze
c) O triplo de um número menos 2 é igual a 28.
d) A diferença entre um número e sua metade é igual a três.
e) A diferença entre o triplo de um número e sua metade é
igual a 25.
f) A metade de um número mais sua Terça parte é igual a 15.
Exemplo 01:
Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto pesa um deles, se o
maior tem 6 kg a mais que o menor?
Exercício 03:
Considere um quadrado cujo perímetro é 20 cm.
a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para
representar esse fato.
b) Dê as medidas das dimensões desse quadrado.
Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidas
usando a álgebra. Nesse caso, temos:
Exercício 04:
Pacote menor = x
Complete a frase:
Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do
preço. Se o preço é x, pagamos ………………
Pacote maior = x + 6
Onde x representa o peso do pacote menor.
Então, teremos a seguinte equação:
04
05
x + ( x + 6 ) = 22
Efetuando as devidas equações:
A operação INVERSA da adição é a subtração: + 6 virou – 6.
x + (x + 6 ) = 22
(eliminar os parênteses)
A operação INVERSA da multiplicação é a divisão: x
virou
: 2
x + x + 6 = 22
(somar os termos semelhantes)
2
2x + 6 = 22
Vejamos outro exemplo, que faz uso do conceito de operação
inversa, para resolver a equação:
2x = 22 - 6
Exemplo 02:
2x = 16
Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual
ao número somado com 6, descubra qual é esse número.
2x 
16
2
Um número: x
Quádruplo do número: 4x
x=8
desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote
maior é de 8 + 6 = 14 kg.
A equação e a operação inversa
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6
Resolução:
4x + 9 = x + 6
4x – x = + 6 – 9 passar + 9 para o segundo membro (fica – 9)
e x para o primeiro membro (fica – x).
No exemplo acima, dizemos que o 6 passa para o outro lado e
muda de sinal.
3 X  3
2x = 22 – 6
Da mesma forma, costumamos dizer que o 2 que está
multiplicando um terno no primeiro membro, passa para o
segundo membro dividindo.
X 
3
3
Portanto, o número procurado é - 1.
É importante observar que nessa regra de “passar para o outro
lado”, está embutido um conceito matemático chamado
operação inversa.
06
07
X  1
Exemplo 03
A verificação da solução
Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o
preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$
64,00?
Equacionando o problema:
Preço da cadeira: x
A verificação da solução é importante quanto a própria
resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de
descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e
corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor
encontrado na incógnita. Veja:
4 x + 9 = x + 6 (substituindo x por - 1)
4 ( - 1 ) + 9 = ( - 1) + 6
-4+9=-1+6
5=5
Preço da estante: 3x
Equação correspondente: x + 3x = 64
logo, x = - 1 é o valor que torna a equação 4x – 9 = x – 6
verdadeira.
Resolução:
x  3 x  64
4 x  64
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
64
4
x  16
x
Analisando as condições de vida da população brasileira,
certamente encontraremos um verdadeiro desequilíbrio, tanto
na área social como na área econômica. Esse desequilíbrio
pode ser percebido em situações como:
 Moradia: a cada dia, a população de rua vem aumentando
nas grandes cidades.
 Alimentação: 42,79% da população vive em situação de
indigência.
 Salário: enquanto o salário de uns é baixíssimo, o salário
de outros é excessivamente alto.
Verificação da raiz:
16 + 3 . 16 = 64
16 + 48 = 64
64 = 64
a estante custa R$ 48,00.
08
09
Também podemos perceber esse desequilíbrio nas áreas de
saúde, educação, saneamento básico etc.
Observe o gráfico abaixo. Ele representa o desequilíbrio na
área da alimentação:
Se usamos a imagem de uma balança para “pesar” essas
desigualdades, ela estará permanentemente desequilibrada…
Mas, até quando?
Tudo isso tem a ver com as inequações do 1º grau, que
representam uma desigualdade matemática.
Exemplo:
O número de pessoas que entram no 1º grau é maior do que o
número de pessoas que terminam o 1º grau. Esse fato é
comprovado em diversas pesquisas realizadas.
Se representarmos por x o número de pessoas que entram no
1º grau e por y o número de pessoas que terminam o 1º grau,
poderemos escrever essa fase em linguagem matemática,
assim:
x >y
onde o símbolo > indica maior que.
10
11
A balança pode ser usada para mostrar esse desequilíbrio ou
essa desigualdade na educação.
x+y>5
-y + x < 3
2x ≥ -y
E estas são inequações do 1º grau com duas incógnitas.
Exercício 05
Encontre o valor de x:
A INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
a)
b)
c)
d)
e)
x+2=5
x + 6 = 10
x +8 = 3
x-6=4
x - 10 = 2
f)
g)
h)
i)
j)
2x=10
3x=27
7x=42
15x=45
12x=60
f)
g)
h)
i)
j)
6x - 4 = 12 - 2x
3x + 5 = x + 15
2(x-1) = x + 1
3(x+2) = 2(x+5)
5(x-1) = 3(x+3)
Exercício 06:
Encontre o valor de x:
Assim como a equação do 1º grau, a inequação também é uma
frase matemática, só que, em vez do sinal de = (igual), tem um
desses sinais:
 (maior ou igual )
 (menor ou igual )
> (maior)
<
(menor)
2x + 1 > 4x – 5
y–1 < 0
2x ≥ x + 1
y + 4 ≤ 5 –2y
a)
b)
c)
d)
e)
7x + 4 = 67
6x - 3 = 33
9x + 1 = 100
2x - 3 = 5
3x - 2 = 4
Exercício 07:
Resolva as equações:
a) 4x + 8 = 3x – 5
b) 3 a – 4 = a + 1
c) 9y – 11 = - 2
d) 5x – 1 = 8x + 5
Essas frases matemáticas são exemplos de inequações do 1º
grau com uma incógnita.
12
13
Exercício 08:
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à
seguinte ordem:
a) potenciação
b) divisão e multiplicação
c) adição e subtração
Exercício 09:
Qual é o número que somado com 6 é igual a -13?
EXPRESSÃO ALGÉBRICA
IMPORTANTE:
Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por
números negativos.
Exemplo 01:
Observe os dois tipos de expressões matemáticas:
Calcular o valor numérico de 2x + 3a para x = 5 e a = – 4.
Expressões Numéricas
Expressões Algébricas
Solução:
a) 7 – 1 + 4
b) 2 . 5 – 3
c) 82 – 1 + 4
a) x + y – z
b) 2x – 4a + 1
c) 3x2 – 5x + 9
Vamos “trocar” x por 5 e a por – 4
 Expressões numéricas — possuem apenas números
 Expressões algébricas — possuem números e letras ou
apenas letras.
Veja:
2x + 3 a = 2 . 5 + 3 . (– 4)
= 10 + (– 12)
= 10 – 12
=–2
Exemplo 02:
Calcular o valor numérico de:
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
x² – 7x + y
para x = 5
e
Solução:
para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você
deve proceder do seguinte modo:
1º) Substituir as letras por números reais dados.
14
x² – 7x + y = 5² - 7 . 5 + (– 1)
= 25 – 35 – 1
= 25 – 36
= – 11
15
y = – 1.
Exercício 10
Exercício 17
O dobro de um número aumentado de 15 é igual a 49. Qual é
esse número?
Verifique se - 7 é raiz da equação:
2  x  4 
Exercício 11
A idade de um pai é o triplo da idade de seu filho. Calcule
essas idades sabendo que juntos têm 60 anos.
Exercício 18
Calcule o valor numérico das expressões:
Exercício 12
A soma de minha idade com 8 é igual a 50. Qual é a minha
idade?
x
 x 1
3
a)
b)
c)
d)
x–y 
3x + a 
2x + m 
m–2a
para
para
para
para
x=5
x=2
x=–1
x=3
e y=–4
e a=6
e m=–3
e a=–5
Exercício 13
Exercício 19
Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78
veículos. O número de carros é igual a 5 vezes o número de
motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento?
Determine os valores da expressão b² – 4 a c quando:
Exercício 14
a) a = 3
b) a = – 2
c) a = 1
Do tríplo de um número, subtraí sua Quinta parte, deu 112. Em
que número estou pensando?
Exercício 15
b=2
b=4
b = –5
c= 4
c = 10
c=6
Exercício 20
Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através
da equação:
Uma caneta custa a Terça parte do preço de uma lapiseira. As
duas juntas custam R$ 12,00. Qual é o preço de cada uma?
2x – 3 = 16
Exercício 16
Pensei em um número, somei 7, multipliquei por 3, subtraí o
dobro do número em que pensei. Deu 23, em que número
pensei?
17
16
Exercício 08: 30
GABARITO
Exercício 01: a) 2x b) 3x c) x-7 d)
Exercício 02: a) x+4=12
x
1
2
c) 3x-2=28
x
b) 2x +3=15 d) x   3
2
x x
e)   15
2 3
Exercício 03: a) 4x
b) 5 cm
Exercício 09: -19
Exercício 10: 17
Exercício 11: idade do pai - 45 anos
idade do filho - 15 anos
Exercício 12: 42 anos
Exercício 13: 65 carros e 13 motos
Exercício 14: 40
1
x
Exercício 04: x ou
ou 0.5 x
2
2
Exercício 15: R$ 3,20 a caneta e R$ 9,00 a lapiseira
Exercício 16 : 2
Exercício 05:
a) x = 3
b) x = 4
c) x = -5
d) x = 10
e) x = 12
f)
g)
h)
i)
j)
x=5
x=9
x=6
x=3
x=5
Exercício 06:
a) x = 9
b) x = 5
c) x = 11
d) x = 4
e) x = 2
f)
g)
h)
i)
j)
x=2
x=5
x=3
x=4
x=7
Exercício 07:
a) x = 7
b) a = 2.5
c) y = 1
d) x = 2
18
Exercício 17: é raiz da equação
Exercício 18:
a) 1
b) 12
c) -5
d) 13
Exercício 19:
a) 1
b) 96
c) 49
Exercício 20: Resposta pessoal
19
Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos
seguintes livros:
-
Telecurso 2000 1º Grau (Fundação Roberto Marinho)
-
Supletivo IBEP (Jorge – Valter)
-
Projeto Escola e Cidadania (Editora do Brasil)
-
Pensar e Descobrir (FTD)
-
Conceitos e História : Matemática (Scipioni)