GOVERNO DO PARANÁ
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
CLAUDIA MONTEIRO GUILHERME DA SILVA
PROPOSTA DE TRABALHO
UEL - Londrina
2008
2
CLAUDIA MONTEIRO GUILHERME DA SILVA
UMA PROPOSTA DE TRABALHO COM A ESTRATÉGIA DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Proposta de trabalho apresentado ao
Programa
de
Desenvolvimento
Educacional.
Orientador: Prof. Dr. Olívio Augusto
Weber.
UEL - Londrina
2008
3
SUMÁRIO
Introdução......................................................................................4
Da Resolução de Problemas...............................................................5
Do Contrato Didático........................................................................6
Do Problema a ser utilizado...............................................................7
Dos Objetivos..................................................................................7
Do Conteúdo...................................................................................7
Da Avaliação...................................................................................7
Dos materiais utilizados....................................................................8
Do Desenvolvimento do Trabalho.......................................................8
Referências...................................................................................20
Bibliografia Indicada.......................................................................20
4
TÍTULO
UMA PROPOSTA DE TRABALHO UTILIZANDO COMO ESTRATÉGIA A
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Claudia Monteiro Guilherme da Silva1
Introdução
A Resolução de Problemas tem se apresentado como uma
estratégia bastante promissora proporcionando situações em que o aluno
lida com informações, analisa possíveis encaminhamentos, busca outras
informações, trabalha em equipe e desenvolve o chamado ‘espírito crítico’.
O problema apresentado será trabalhado com alunos de 8.ª
série do Ensino Fundamental de um Colégio Estadual do município de
Londrina, devendo ser desenvolvido em forma de oficina com duração de
12 horas-aula e terá por objetivo a abordagem de conteúdos matemáticos
por meio da Resolução de Problemas com o intuito de proporcionar
experiências diversificadas, baseadas em tarefas que envolvam os alunos
em processos relevantes da atividade matemática como a observação, a
identificação de questões, a formulação e teste de conjecturas, a
justificação, a argumentação; a reflexão; a avaliação, com momentos de
descoberta, de retrocessos e de avanços, da elaboração de conjecturas e
da procura das suas provas. Tarefas que ao oportunizar a comunicação e
uma maior formalização do raciocínio na argumentação dos alunos entre
si e com o professor, possibilitam também o desenvolvimento de atitudes
e valores como o gosto pela Matemática, a autonomia, a cooperação.
1
Secretaria de Estado da Educação do Paraná - Professora Especialista em Educação Matemática do Ensino
Fundamental e Médio – Professora Efetiva do Estado. E-mail: [email protected].
5
Da Resolução de Problemas
Um dos grandes desafios hoje é, não só ajudar o aluno a
resolver problemas nas aulas de matemática, mas ajudá-lo a pensar
matematicamente para que possa, também, utilizar a matemática no
enfrentamento
de
situações
do
seu
cotidiano.
Na
perspectiva
de
Schoenfeld (1996),
[...] o pensar matematicamente significa: (a) ver o mundo
de um ponto de vista matemático (tendo predileção por
matematizar: modelar, simbolizar, abstrair, e aplicar idéias
matemáticas a uma larga gama de situações), e (b) ter os
instrumentos para tirar proveito para matematizar com
sucesso. (p. 8)
De forma análoga, as Diretrizes Curriculares apontam que
se pretende “[...] a formação de um estudante crítico, capaz de agir com
autonomia nas suas relações sociais e, para isso, é preciso que ele se
aproprie também de conhecimentos matemáticos” (PARANÁ, 2006, p.24).
Com o objetivo de formar esse estudante crítico, também
por meio da matemática, a Resolução de Problemas tem se apresentado
como um caminho promissor, uma vez que não apresenta respostas
prontas nem inegáveis, mas considera o ponto de vista do estudante que,
a partir daí, resolve algum problema.
Segundo Diniz,
[...] o aprendizado da Matemática só está se realizando no
momento em que o aluno é capaz de transformar o que é
ensinado e de criar a partir do que ele sabe. Caso essa
autonomia para transformação e criação não exista, o que
se tem é um aluno adestrado, repetindo processos de
resolução criados por outros (apud NINA; CURY, 2004,
p.2).
Segundo Dante, “[...] a metodologia de resolução de
problemas deve constituir o eixo principal da Matemática escolar. A
capacidade de resolver problemas é desenvolvida ao longo dos anos,
como resultado de um ensino pleno de oportunidades variadas” (apud
NINA; CURY, 2004, p.2). Sendo assim,
6
[...] o acto de resolver problemas é a amálgama de vários
processos cognitivos diferentes orquestrados no sentido de
atingirem um certo objectivo que não poderia ser atingido, pelo
menos de modo evidente, simplesmente aplicando um
procedimento, um processo, uma rotina ou um algoritmo, já
conhecido, de uma única área disciplinar. A competência de
resolução de problemas pode ser descrita em termos das
capacidades
que
permitem
aos
estudantes
criarem
e
monitorizarem um certo número de processos no âmbito de uma
determinada gama de tarefas e de situações. (LISBOA, OCDE,
PISA 2003, p.14)
Portanto, o trabalho com a Resolução de Problemas, para
mim, configura-se como um desafio, mas ao mesmo tempo me encanta,
me seduz por ser diferente da forma como tenho conduzido minhas aulas,
e por procurar oportunizar ao aluno o desenvolvimento de seu espírito
crítico de modo que ele mesmo seja o agente transformador de sua
história.
Do Contrato Didático
O Contrato Didático, tomado aqui como um conjunto de
regras que pode ser estabelecido para reger as aulas durante um ano
inteiro ou somente durante uma ou algumas aulas de um determinado
conteúdo. No segundo caso, ele pode ser mais detalhado, pois pode e
deve conter regras mais pontuais. Por exemplo: numa aula de Resolução
de Problemas, uma das regras poderá ser: ‘a leitura dos problemas deverá
sempre ser feita pelos alunos’, ou ainda, ‘o trabalho deverá ser realizado
formando grupos de n alunos’. Pode-se também incluir no Contrato
Didático, regras comportamentais de respeito e disciplina.
Segundo Brousseau (1986, 1988), o Contrato Didático diz
respeito a “[...]um conjunto de comportamentos do professor esperados
pelo aluno e, também, a um conjunto de comportamentos do aluno
esperados pelo professor.” (apud MEDEIROS, K.M, 2001).
7
Do Problema a ser utilizado
O problema a ser trabalhado, Maçãs, foi utilizado na prova
do PISA/2000. O programa PISA2 - Programa Internacional de Avaliação
de
Estudantes
foi
criado
pela
Organização
para
Cooperação
e
Desenvolvimento Econômico - OCDE, com o objetivo de avaliar o
desempenho
de
estudantes
que
estão
próximos
de
concluir
a
escolarização obrigatória definida no seu país de origem.
Dos Objetivos
 Oportunizar
situação
em
que
o
aluno
utilize
seus
próprios
conhecimentos para resolver o problema contribuindo positivamente
com sua auto-estima.
 Apresentar diversas formas de resolução de um problema.
 Identificar seqüência de números ímpares.
 Utilizar incógnitas ou variáveis em expressões.
 Identificar e resolver equações.
Do Conteúdo
O problema em pauta oportuniza trabalhar com alunos de
várias séries, porém, neste caso, será trabalhado com os da 8.ª série do
Ensino Fundamental. Para esta turma podemos estudar temas tais como
Números Naturais, Quadrado de um Número, Valor Numérico, Seqüências,
Expressões Algébricas e Equações.
Da Avaliação
Segundo as Diretrizes Curriculares do Paraná (2006), uma
[...] avaliação que se restringe a quantificar o nível de
informação que o aluno domina não é coerente com a
2
Mais informações no site http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/Novo/oquee.htm
8
proposta da Educação Matemática. Para ampliar sua eficácia,
a avaliação deve incluir a complexa relação do aluno com o
conhecimento. Isso significa interrogar em que medida o
aluno atribuiu significado ao que aprendeu e consegue
materializar situações que exigem raciocínio matemático.
(p.47).
Em conformidade com essas Diretrizes, a avaliação será
realizada por meio da observação da participação e do aproveitamento de
cada aluno, para tanto, utilizarei como critérios:
•
a demonstração de empenho e interesse na resolução das tarefas
propostas na aula e/ou em casa;
•
a participação por iniciativa própria e o interesse em atividades
relacionadas com a disciplina;
•
a correção e a consistência teórica da sua participação;
•
a participação efetiva nos trabalhos em grupo.
Os critérios aqui expostos ainda deverão ser discutidos com
os alunos no momento da construção do Contrato Didático procurando
desenvolver um processo de negociação.
Dos materiais utilizados
•
folhas impressas com os problemas a serem utilizados
•
quadro
•
giz
Do Desenvolvimento do Trabalho
Iniciarei a aula propondo aos alunos a construção conjunta
de regras que deverão nortear nosso trabalho (Contrato Didático).
Explicarei a eles que tal construção faz-se necessária para que juntos,
utilizando a estratégia da Resolução de Problemas, possamos construir
uma aprendizagem consistente.
9
É possível que algumas das regras que poderão compor
nosso Contrato Didático sejam:
1. Deverá haver cooperação entre professor e alunos a fim de manter
o bom desenvolvimento da aula.
2. Professor e aluno deverão respeitar-se mutuamente.
3. Quando uma pessoa estiver falando, as demais deverão manter
silêncio para um melhor entendimento.
4. Quando alguém precisar falar deverá levantar a mão para pedir a
palavra.
5. A avaliação será realizada no decorrer da aula de acordo com os
critérios abaixo:
6.

a demonstração de empenho e interesse na
tarefas propostas na aula e/ou em casa;
resolução das

a participação por iniciativa própria e o interesse em atividades
relacionadas com a disciplina;

a correção e a consistência teórica da sua participação;

a participação efetiva nos trabalhos em grupo.
Todos os trabalhos de Resolução de Problemas deverão ser
realizados em grupo.
7.
A escolha dos grupos deverá ser feita ora pela professora, ora pelos
próprios alunos, ora por sorteio.
8.
A ajuda do professor será solicitada somente quando nenhum
componente do grupo souber encaminhar a questão.
Quanto ao item 6, que trata da avaliação, pretendo
pormenorizar, em conjunto com os alunos, os critérios já explicitados no
tópico correspondente e aqui complementá-lo com as suas sugestões.
10
Após
a
construção
do
Contrato
Didático,
iniciarei
a
formação dos grupos de acordo com as regras nele estabelecidas.
Com os grupos compostos, passarei à distribuição do
problema escolhido para este momento. Embora os alunos estejam
organizados em grupos, o problema será distribuído individualmente, ou
seja, um para cada aluno, de modo que todos possam analisar o problema
e compartilhar a sua forma de pensar com os colegas do grupo.
Explicarei que a princípio deverão ler, analisar o problema,
imaginar de quais formas poderão abordá-lo e resolvê-lo. Que somente
após a leitura e análise do problema e em caso de dúvida poderão solicitar
minha ajuda, conforme consta no Contrato Didático.
A seguir apresento o problema a ser trabalhado nesta
oficina.
11
Maçãs
Um fazendeiro planta macieiras formando quadrados. Para protegê-las do
vento, ele planta pinheiros ao redor do pomar.
O Diagrama abaixo mostra essa situação, na qual se podem ver as macieiras
e os pinheiros para um número ( n ) de filas de macieiras
X
X
QUESTÃO 1:
Complete a tabela abaixo:
12
n
Nú
me
ro
de
ma
ciei
ras
Nú
me
ro
de
pin
hei
ros
1
1
8
2
4
3
4
5
13
Ao entregar o problema, é possível que, por uma questão
de costume, os alunos procurem resolvê-lo sozinhos, ou seja, de forma
individual, porém, penso que à medida que forem sentindo dificuldades
em resolvê-lo começarão a discuti-lo no grupo.
Para completar a tabela da questão 1, uma das formas
possíveis e prováveis é que os alunos contem quantas ● (macieiras) e
quantos x (pinheiros) há em cada situação, porém, quando tiverem que
completar a linha na qual n = 5 é que a dificuldade se apresenta. Nesta
etapa, os alunos já poderão ter percebido alguma regularidade na tabela,
mas se não perceberem, é provável que construam outro quadro com 5
linhas e 5 colunas para poderem contar e completá-la.
Neste momento quero salientar a importância da contagem
no ensino da matemática, pois esta “desenvolve a habilidade de raciocínio
combinatório e a capacidade de elaborar estratégias para a sua resolução”
(ZANIN, 2005, p.5).
Alguns alunos poderão questionar se não há outra maneira
de se resolver a questão. Neste momento poderei intervir sugerindo que
eles analisem a tabela que já completaram. Posso questionar se observam
alguma regularidade, alguma coisa que dê entender qual será o próximo
número. Há alguma pista de qual será o próximo número?
Voltados para a tabela, os alunos poderão observar se há
relação de um número com o outro anterior. Neste momento, poderei
questionar: será que existe alguma relação com a letra n? Vocês sabem
como esta letra n pode ser chamada? Hora de introduzir ou de lembrar os
termos variável e incógnita, explicar aos alunos que uma variável é um
símbolo (que geralmente é uma letra) utilizado para representar valores
diversos em um mesmo problema, ou seja, um valor não fixo, que poderá
variar neste problema em função de outro, ao passo que incógnita é um
valor a ser descoberto, um valor que está implícito numa equação e que
torna uma sentença verdadeira.
14
Quanto à possível regularidade comentada, é provável que
os alunos percebam que a coluna dos pinheiros é formada pelos múltiplos
de 8, assim, ficará fácil descobrirem os próximos números da tabela. Já na
coluna das macieiras possivelmente será um pouco mais trabalhoso até
que os alunos cheguem à conclusão de que o número de macieiras, aqui
representado por • é igual ao número de fileiras, representado pela
variável n , multiplicado por ele mesmo n , ou seja, n ² .
Outra forma possível de se completar a tabela é a análise
do crescimento do número de macieiras. O aluno pode observar que o
número de macieiras é o resultado da soma de uma seqüência de
números ímpares no conjunto dos números naturais e que o número n
indica a quantidade de números da seqüência a serem utilizados. Se
algum deles observar essa regularidade, construirei no quadro a seguinte
tabela
n = 1 → macieiras = 1
n = 2 → macieiras = 4 = (1+3)
n = 3 → macieiras = 9 = (1+3+5)
n = 4 → macieiras = 16 = (1+3+5+7)
n = 5 → macieiras = 25 = (1+3+5+7+9)
Supondo que nenhum deles observe a seqüência, poderei
instigá-los perguntando, por exemplo: vocês já observaram que o número
de macieiras é dado por n ² . Vocês acham que é possível haver alguma
outra regularidade além desta? E qual seria essa regularidade? Se ainda
assim não observarem, posso ainda questionar: Vocês se lembram dos
números ímpares? É possível formular alguma regularidade utilizando
esses números?
15
É
bastante
provável
que
demorem
um
pouco
para
encontrar a regra, mas quando a observarem, notarão que ficará fácil
encontrar os próximos números.
Essa
oportunidade
é
adequada
para
se
falar
sobre
seqüências. Poderei expor que existem várias seqüências como a
seqüência de Fibonacci, uma Progressão Aritmética (PA), uma Progressão
Geométrica (PG), etc. Poderei mostrar também que o número de pinheiros
do problema em questão nada mais é do que uma PA de razão 8 e ainda,
fazer uma ligação com a PG dizendo que na PA a razão é somada a cada
termo e na PG a razão é multiplicada a cada termo.
Terminada as discussões sobre esta questão, passarei a
sistematizar o conteúdo no quadro, trabalhando com os comentários
realizados por eles até chegarmos à conclusão que:
Número de pinheiros = 8n
Número de macieiras = n ²
Iniciarei a distribuição da questão seguinte, da mesma
forma planejada para a questão 1, todos os alunos de cada grupo
receberão a questão 2 do problema Maçãs.
Questão 2:
Existem duas fórmulas que você pode usar para calcular o número de
macieiras e o número de pinheiros no padrão descrito acima:
Número de macieiras = n ²
Número de pinheiros = 8n
Onde n é o número de filas de macieiras.
Existe um valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número
de pinheiros. Encontre o valor de n , mostrando o método usado para
fazer os cálculos.
16
Entregue a questão a todos os alunos, eles deverão ler e
tentar resolvê-la nos grupos.
Provavelmente os alunos utilizarão da mesma estratégia e
acrescentarão linhas na tabela até chegarem ao número solicitado, ou
seja, um número n de filas em que o número de macieiras e de pinheiros
será igual. Porém, nesta fase, espero que os alunos não mais utilizem o
princípio da contagem e sim, as expressões já descobertas, ou seja, para
encontrar o número de macieiras utilizarão a expressão n ² , substituindo
os valores 6, 7, 8 à variável n , e paralelamente deverão substituí-los
também na expressão 8n , até encontrarem o número 8, quando n ² = 64 e
8n = 64 .
Supondo que os alunos não utilizem as expressões n ² e 8n ,
lembrarei a eles que na 7.ª série, provavelmente eles devem ter estudado
um conteúdo chamado Valor Numérico. Poderei instigá-los a calcular o
Valor numérico das expressões citadas para cada um dos valores de n . Ou
seja, n = 1 , n = 2 , n = 3 , n = 4 , e assim por diante. Dessa forma observarão
que por meio da substituição de um número informado em uma expressão
que contenha variável ou variáveis, podem resolver ou calcular o Valor
Numérico para aquela expressão, chegando à resposta solicitada à
questão 2 do problema.
Farei um paralelo entre o que descobrimos na 1.ª questão
e o que temos na 2.ª questão. Chamarei a atenção para observarem que
a coluna que representa o número de pinheiros é formada pelos múltiplos
de 8. Assim, 8x1, 8x2, 8x3, 8x4, e assim por diante, representam 8 vezes
a variável n , da mesma forma a coluna que representa o número de
macieiras é aquilo que descobrimos na questão 1, ou seja, o valor n de
fileiras multiplicado por ele mesmo, n ² .
É pouco provável que os alunos utilizem de equação para
resolver o problema procurando o valor da incógnita, porém, é também
uma forma de resolução. Então ele pode pensar: se quero saber se há um
valor n para o qual o número de macieiras é igual ao número de pinheiros
e sei que o número de macieiras é representado pela expressão n ² e o
17
número de pinheiros é representado pela expressão 8n , então se eu
igualar as duas expressões posso calcular esse número. Assim, posso
fazer
n ² = 8n
Como os alunos são da 8.ª série e o projeto será aplicado
no início do ano, é provável que os alunos não saibam resolver a equação
posta. Se isso acontecer, poderei tratar da resolução de equações
incompletas3 do 2° grau e das diversas formas de resolvê-las.
Levantarei a discussão sobre quais as vantagens de se
utilizar a equação para se resolver o problema. É possível que os alunos
percebam que desta forma, qualquer que seja o valor de n , seja ele
grande ou pequeno, os passos da resolução são os mesmos, o raciocínio é
o mesmo.
Após a conclusão da discussão acima passarei a distribuir a
terceira questão.
QUESTÃO 3:
Suponha que o fazendeiro queira fazer um pomar muito maior com
muitas fileiras de árvores. A medida que o fazendeiro aumentar o pomar,
o que crescerá mais rápido: o número de macieiras ou o número de
pinheiros: Explique como você encontrou a sua resposta.
Mais uma vez o problema será entregue e deixarei a cargo
dos próprios alunos articularem uma forma de resolução.
A primeira forma de resolução, provavelmente será o
preenchimento de linhas na tabela. Desta forma, poderão observar o
crescimento do número de macieiras e de pinheiros.
É provável que os alunos pensem crescer mais rápido o
número de pinheiros por ser um produto, ou seja, o número é sempre
multiplicado por 8. Mas deverão perceber que a partir do número n = 4 , o
3
Equações do 2.º grau chamadas incompletas são equações que se apresentam na forma
.
ax ² + c = 0 ou ainda
ax ² + bx = 0 ,
18
número de macieiras crescerá mais rápido, pois é uma potência de
expoente 2, ou seja, a representação de um quadrado perfeito.
Outra maneira possível é por meio da construção de
gráficos. Utilizando esta estratégia, o aluno poderá, após completar a
tabela, construir o gráfico correspondente que mostrará que o número de
árvores de macieiras crescerá mais rápido que o número de árvores de
pinheiros. Ele deverá construir uma tabela como a mostrada abaixo:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Número de macieiras Número de pinheiros
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
Após a construção da tabela, eles deverão construir o
gráfico correspondente. Provavelmente precisarão de ajuda e poderei
construir no quadro
19
Número de árvores
250
200
150
Número de macieiras
Número de pinheiros
100
50
0
0
5
10
15
20
Valores de n
É provável que algum aluno pergunte se pode traçar a linha
ligando os pontos do gráfico sendo esta, uma boa oportunidade para
questionar o que estaríamos representando se traçássemos essa linha. A
idéia é que eles percebam que estaremos considerando todos os Números
Reais em cada intervalo, o que neste caso não se aplica uma vez que
estamos trabalhando com o conjunto dos Números Naturais, então não
podemos considerar, por exemplo, 4,5 árvores, ou seja, quatro árvores e
meia.
Pedirei para que eles me informem uma situação em que
pensam ser possível traçar as linhas num gráfico e a partir daí, farei um
paralelo entre esta situação posta e a informada, no intuito de esclarecer
alguma dúvida que possa vir a surgir. Caso eles não tenham sugestão
alguma, pedirei para que, em casa, encontrem alguma situação onde
podemos traçar uma linha ligando os pontos num gráfico e tragam na
próxima aula.
Partindo da interpretação da tabela e do gráfico que
construímos, concluirei com eles que o crescimento do número de
macieiras é mais rápido porque tem um crescimento exponencial
enquanto o crescimento do número de pinheiros é aritmético.
20
Em cada etapa do trabalho será feita a retomada e
respectiva sistematização dos conteúdos envolvidos.
Referências
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 3
ed. Tipografia Matemática: Lisboa, 1951.
NINA, Clarissa Trojack Della; CURY, Helena Noronha. Criação e resolução
de problemas que estão nos gibis. In: ENCONTRO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., Recife. Anais...Recife, SBEM, 2004. CDROM.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de
Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.
PORTUGAL, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da
Educação./Conceitos Fundamentais em Jogo na Avaliação de
Resolução de Problemas./ Disponível em: <http://www.gave.minedu.pt/np3content/?
newsId=33&fileName=conceitos_fundamentais_avaliacao_pisa2003.pdf.>
Acesso em dez de 2004.
SCHOENFELD, Alan. Porquê toda esta Agitação Acerca da Resolução de
Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar
para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p.
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ZANIN, Alda de Cássia. MC 05 Estatística e Problemas de Contagem no
Ensino Fundamental, Disponível em
http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/m_cur/mc05.pdf, em
05/02/2008.
Bibliografia Indicada
BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Da Resolução de Problemas para as
Atividades de Investigação, 24 de março de 2007. 3 f. Notas de aula.
Mimeografado.
21
BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (I).
NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina,
1995. p. 1.
BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (II).
NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina,
1995. p. 1.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 3
ed. Tipografia Matemática: Lisboa, 1951.
CASTRO, Monica Rabello de. Educação Algébrica e Resolução de
Problemas. Disponível em
<http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/>. Acesso em
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FRANT, Janete Bolite. Educação Algébrica e Resolução de Problemas.
PGM 5 – As Equações e o conceito de função, Disponível em
<http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2003/eda/text5.htm>.
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KUNZ, Rosibel. Séries Iniciais do Ensino Fundamental: Vivenciando
a Matemática através da Resolução de Problemas. Disponível em
http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/relatos/re33.pdf.> Acesso em 02
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NINA, Clarissa Trojack Della; CURY, Helena Noronha. Criação e resolução
de problemas que estão nos gibis. In: ENCONTRO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., Recife. Anais...Recife, SBEM, 2004. CDROM.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de
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PORTUGAL, Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.
Conceitos Fundamentais em Jogo na Avaliação de Resolução de
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Porquê investigar na aula de matemática. Disponível em:
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22
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Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar
para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p.
61-72.
VIOLA DOS SANTOS, João Ricardo. O que alunos da Escola Básica
mostram saber por meio de sua produção escrita em matemática.
2007. 114 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação
Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, p. 31 a 43.
ZANIN, Alda de Cássia. MC 05 Estatística e Problemas de Contagem no
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