INTERSEÇÃO DE CURVAS PROJETIVAS: A CRIAÇÃO DO PLANO
PROJETIVO E A ABOLIÇÃO DO PARALELISMO DE RETAS.
Tânia Robaskiewicz Coneglian Fujii (PIBIC/Fundação Araucária-FAFIPA),
Prof. Msc. Valter Soares de Camargo (Orientador), e-mail:
[email protected].
Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí –
FAFIPA/Departamento de Matemática/Paranavaí - PR.
Área e sub-área: Álgebra, Geometria Algébrica
Palavras-chave:
Plano Projetivo, Curvas Projetivas Planas, Teorema de Bezout.
Resumo
Antes de discutir curvas projetivas ou plano projetivo, é importante
conhecer os fatos que motivaram a concepção de tais assuntos. No período
renascentista Desargues com objetivo de dar sustentação matemática aos
métodos de perspectivas dos pintores e arquitetos da época decidiu
acrescentar ao plano usual uma reta no infinito, constituindo assim o plano
projetivo. No entanto a motivação originalmente presente na criação do
plano projetivo foi o desejo de abolir o paralelismo de retas em P 2, não só
retas, mais sim, quaisquer duas curvas projetivas planas sempre se
interceptam, de modo que o número total de pontos comuns entre as duas
contados com suas respectivas multiplicidades seja igual ao número obtido
com o produto de seus graus, ou infinito, tal fato ocorre quando as curvas
possuem componentes em comum. Devemos destacar também nomes
como o de Pascal, Monge e Porcelet que também contribuíram fortemente
no desenvolvimento do plano projetivo. Nesta comunicação oral daremos
uma idéia do que é um plano projetivo e também apresentaremos um
resultado que nos permite contar o número de interseções dessas curvas,
assim, veremos que duas curvas projetivas planas quaisquer sempre se
cruzam. Veremos o Teorema de Bezout que, justifica todo o trabalho como
resultado central.
Introdução
Para entender o surgimento da Geometria Algébrica devemos retomar
a Geometria Projetiva, pois de certo modo, as origens da Geometria
Algébrica estão ligadas ao uso de coordenadas na abordagem da Geometria
Projetiva. A Geometria Projetiva, por sua vez, surgiu com a necessidade de
formalizar matematicamente as novas tendências artísticas da Renascença,
onde a perspectiva começou a ser utilizada em concepções artísticas com o
objetivo de retratar as sensações de profundidade nos objetos e cenários.
Anais do XIX EAIC – 28 a 30 de outubro de 2010, UNICENTRO, Guarapuava –PR.
Um exemplo que evidência as diferenças entre a Geometria Euclidiana e a
Geometria Projetiva é o que ocorre com retas paralelas. No caso da
Geometria Euclidiana, duas tais retas nunca se interceptam, pense em uma
estrada de ferro retilínea, os trilhos nunca se cruzam. No entanto, se
fossemos fotografar tal cenário ou retratar em um quadro, os trilhos
“parecem” se interceptar num “ponto distante”, este é um fato que a
Geometria Projetiva admite, ou seja, quaisquer duas retas (projetivas)
sempre se interceptam. O “ponto distante” que mencionamos anteriormente,
que podemos considerar como o infinito, é considerado naturalmente como
elemento do ambiente onde a Geometria Projetiva se desenvolve.
Conclusões
Durante a realização deste trabalho foram realizados estudos sobre
interseções de curvas planas e suas multiplicidades, o plano projetivo, o
espaço projetivo e também interseções de curvas projetivas. Com isso,
pode-se concluir que duas curvas projetivas planas sempre se cruzam e,
com a aplicação do teorema de Bezout, é possível contar esses pontos com
suas respectivas multiplicidades.
Agradecimentos
Agradeço a Fundação Araucária pela bolsa de estudos, também a
Faculdade de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí e, em especial ao
Professor Msc. Valter Soares de Camargo pela orientação e apoio neste
Projeto de Pesquisa.
Referências
Vainsencher, I. Introdução às Curvas Algébricas Planas. Rio de Janeiro:
IMPA, 2005.
Boyer, C.B. História da Matemática, trad. E. 1968.
Hefez, A. Introdução à Geometria Projetiva, IMPA, 1990.
Gonçalves, A. Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1987.
Anais do XIX EAIC – 28 a 30 de outubro de 2010, UNICENTRO, Guarapuava –PR.