UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE
Laboratório de Introdução aos Sistemas de Controle Professor: Antonio Silveira Aula 05: Modelagem do sistema de bombeamento e parametrização do processo de nível da FESTO 1. Introdução Em nossa última aula revisamos as características de resposta temporal de sistemas de primeira e de segunda ordem. Utilizamos tal revisão para destacar a importância desse conhecimento para aplicação, por exemplo, em atividades de modelagem empírica. Nesta aula iremos então modelar empiricamente o sistema de bombeamento de água da bancada da FESTO, ou seja, iremos aplicar um degrau em tensão no motor da bomba centrífuga e observar a curva de resposta em vazão desse processo. Este sistema será posteriormente conectado ao modelo fenomenológico do processo de nível, no qual realizamos, também, atividades de simulação, mas com parâmetros de um tanque fictício e que hoje faremos a parametrização deste com as medidas da mesa FESTO (área do reservatório, área da tubulação de vazão de saída, mudança de unidades, etc). 2. Objetivos ‐ Modelagem empírica do sistema de bombeamento; ‐ Parametrização do modelo de nível com base nas medidas da mesa FESTO; ‐ Conexão dos dois modelos para obtenção do modelo completo; ‐ Realização de simulações para validação do modelo em comparação com os dados reais. 3. Modelagem do sistema de bombeamento Vamos utilizar o software FluidLab para obter os dados de entrada (tensão [Volts]) e saída (vazão de entrada [litros/minuto]) do sistema de bombeamento. Para isto, configure o FluidLab para a apresentação gráfica apenas desses dois sinais. Obtenha de duas a três sequências em degrau de amplitude igual a 8 Volts, tal como mostrado na Figura 1. Observe que a curva de reação desse sistema têm característica de primeira ordem, sendo possível levantar um modelo simplificado do tipo Kp
G ( s) =
(1) τ s +1
onde K p é o ganho estático e τ a constante de tempo do processo. Note no canto inferior direito da tela do FluidLab, ou na Figura 1, que existem dois botões que nos permitem salvar dados das experiências – um para gravar uma imagem da tela e o outro para gravar um arquivo texto contendo uma matriz de dados numéricos, tal como mostrado na Figura 2. Nesta matriz de dados, observe que cada coluna contém um dado específico das variáveis usadas no processo da FESTO. Os dados que nos interessam neste momento são os das colunas 3 (vazão) e 6 (tensão). Figura 1. Tela do FluidLab para duas sequências em degrau de 8V aplicadas na bomba centrífuga.
Figura 2. Matriz de dados em arquivo texto gerada pelo FluidLab.
3.1. Trabalhando com a matriz de dados no MATLAB Para podermos carregar o arquivo dados_bomba_vazao.txt no MATLAB, primeiro temos que eliminar a primeira linha do documento para que se tenha apenas dados numéricos, sem textos como Time, Liter, etc. Feito isto, podemos experimentar o seguinte código: % Carrega a matriz de dados para uma variavel dados_bomba
dados_bomba = load('dados_bomba_vazao.txt');
tensao = dados_bomba(:,6); % todas as linhas da coluna seis
vazao = dados_bomba(:,3); % todas as linhas da coluna tres
intervalo = 0.04; % Intervalo entre as amostras no FluidLab
% de 40ms ou 0.04 segundos.
tempo_total = length(tensao); % Numero de amostras da experiencia
% Gera um vetor de Tempo com intervalos de 0.04 segundos
t=0:intervalo:(tempo_total*intervalo-intervalo);
plot(t,tensao,':k',t,vazao,'k');
ylabel('Amplitudes'); xlabel('Tempo (s)');
legend('Entrada (V)','Saída (l/min)');
O código anterior é responsável por carregar os dados experimentais e associá‐los as variáveis que podem então ser plotadas no MATLAB. O resultado é um gráfico como o apresentado na Figura 3. Dentro do MATLAB é possível “dar zoom” na figura e obter com precisão as informações necessárias para o cálculo do ganho estático K p e da constante de tempo τ do processo. 8
Entrada (V)
Saída (l/min)
7
6
Amplitudes
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
Tempo (s)
50
Figura 3. Dados experimentais plotados no MATLAB.
60
70
Para o exemplo da Figura 3, o valor da saída em regime ficou em torno de
y (∞) = 2.4 litros/min . O ganho estático do sistema pode ser obtido por Kp =
y (∞ ) − 0
= 0.3 8−0
(2) A constante de tempo é obtida pelo tempo decorrido a partir do instante da aplicação do degrau até o instante em que a saída atinge 63.2% do valor da saída em regime (0.632x2.4). Isto fornece o valor aproximado de τ = 1.35 segundos. Neste exemplo, o modelo matemático do sistema de bombeamento obtido empiricamente é dado por 0.3
G( s) =
(3) 1.35s + 1
Vamos validar o modelo em (3) submetendo‐o a uma simulação usando os mesmos dados de entrada que o processo real foi submetido. Para isto, damos sequência de onde paramos no código do MATLAB apresentado anteriormente: hold on; % Preserva os gráficos já plotados na figura
Kp=0.3; tau=1.35; % Parametros do modelo da bomba
G=tf(Kp,[tau 1]); % Funcao de Transferencia do modelo
vazao_simulada=lsim(G,tensao,t); % Gera a saida simulada
plot(t,vazao_simulada,'b'); % plota na figura em hold
legend('Entrada (V)','Saída (l/min)','Saída Simulada');
Este último fragmento de código produziu a resposta mostrada na Figura 4. Note que há grande semelhança no comportamento do sistema real e do sistema simulado. 8
Entrada (V)
Saída (l/min)
Saída Simulada
7
6
Amplitudes
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
Tempo (s)
50
60
Figura 4. Resposta real vs resposta simulada do sistema de bombeamento.
70
4. Parametrização do modelo do sistema de nível Como atividade preparatória para esta aula foi solicitada uma investigação sobre quais alterações deveriam ser feitas no sistema de nível simulado na Aula 03 para adaptá‐lo ao processo da FESTO. De maneira resumida podemos citar que as vazões de entrada e saída na Aula 03 eram dadas em vazões mássicas, ou seja, quilograma por segundo (kg/s), enquanto que na mesa FESTO são dadas em litros por minuto (Litros/min). Sendo assim, consideremos que em cada Litro de água existe aproximadamente 1kg de água. Logo, bastaria dividir a vazão mássica por 60 para representá‐
la em Litros/min. De maneira análoga, para reescrever a vazão de saída em Litros/min, bastaria multiplicar a vazão por 60. O modelo original de simulação da Aula 03 era descrito pelas seguintes equações: ⎛A
⎞
⎛ 1 ⎞
H = − ⎜ 2 2 g ⎟ H + ⎜
(4) ⎟ Q1 ⎝ A1
⎠
⎝ ρ A1 ⎠
(
Q2 = ρ A2 v2 = ρ A2 2 g
)
H (5) Em (4) e (5), Q1 = Q1 60 e 60Q2 = Q2 , onde Q1 e Q2 são as vazões dadas em Litros/min. Os parâmetros a serem medidos na bancada da FESTO são as dimensões da tubulação de saída (área de secção cilíndrica) e largura e altura média do reservatório (área e volume). Em uma medição rápida desses parâmetros verificou‐se que estes são aproximadamente A1 = 0.08 × 0.08 = 0.0064 m 2
A2 = π (0.0035) 2 = 3.8485 × 10−5 m 2 H max = 0.3 m
(6) onde H max corresponde a marca de 10 Litros de água. Sendo assim, podemos estabelecer uma transformação aproximada de nível em metros para Litros, tal que o volume em litros seja 10 H
V=
(7) 0.3
5. Conexão dos modelos de bombeamento e de nível Na Figura 5 é apresentado o diagrama de simulação do Simulink com o sistema completo, onde agora tem‐se uma entrada em tensão aplicada na bomba centrífuga que gera uma variação no volume de líquido no reservatório. Os resultados da simulação são mostrados na Figura 6 e podem ser comparados com os dados reais na Figura 7. Figura 5. Diagrama de simulação do sistema completo no Simulink.
2
2.5
1.8
1.6
Q1
2
Q2
Vazões (Litros/min)
Volume (Litros)
1.4
1.2
1
0.8
1.5
1
0.6
0.5
0.4
0.2
0
0
0
20
40
60
80
Tempo (s)
100
120
140
0
20
40
60
80
Tempo (s)
100
120
Figura 6. Respostas da simulação do sistema completo no Simulink.
Figura 7. Resposta do sistema real.
140
6. Atividade complementar Colete os dados de vazão (entrada) e volume (saída) e obtenha um modelo linear empiricamente. Faça a validação do seu modelo matemático de forma similar a feita com o exemplo do sistema de bombeamento deste documento.