Universidade da Beira Interior
História e Filosofia da Matemática
Teste
Duração: 2.00 h
2006-06-23
Instrução: escreva o seu nome e número em cada folha que entregar.
Cotação: cada grupo 5, 0.
I
1. O que é o chamado “problema de Júlio César”?
2. a) Qual é a definição explícita de número natural (Frege)?
b) A definição explícita de número natural é uma definição impredicativa? Se sim,
por que sim? Se não, por que não?
3. Explicite o paradoxo de Russell.
II
1. Teorema: Existem números irracionais a e b, tal que ab é racional.
Demonstração:
Suponhamos 2
2
racional.
Dado que 2 é irracional.
Consideremos a = b = 2 . Então a e b são irracionais e a b é racional.
Suponhamos 2
2
irracional.
Consideremos a = 2
Então a b = ( 2
2
)
2
2
, b = 2 . (a e b são irracionais.)
= 2
2. 2
2
= 2 = 2, ou seja, a b é racional.(q.e.d .)
A demonstração anterior é uma demonstração intuicionisticamente válida?
Se sim, por que sim? Se não, por que não?
2. a) As concepções clássica e intuicionista distinguem dois tipos de infinito
matemático. Qual é a distinção em questão?
b) Qual é a justificação da concepção clássica para o infinito matemático?
c) Qual é a justificação da concepção intuicionista para o infinito matemático?
3. “Todas as demonstrações clássicas em matemática que procedem por reductio ad
absurdum são demonstrações intuicionisticamente inválidas”.
Qual é o valor de verdade da proposição anterior? Justifique.
III
1. “Os benefícios manifestos da postulação aborígene de corpos comuns, são a melhor
evidência de realidade que podemos pedir”. (Quine: “Postulações e Realidade”)
A que benefícios se refere Quine? Explicite e explique, brevemente, cada um deles.
2. Qual é o exemplo histórico que Maddy utiliza para objectar a epistemologia quineana?
Explicite a objecção em questão.
3. “Apesar do critério de Quine [de compromisso ontológico] poder ser, em si mesmo, trivial,
as aplicações que podemos fazer dele estão longe de ser triviais”. (Resnik: “Quine and the
Web of Belif”)
a) Explicite o critério de compromisso ontológico quineano.
b) Por que razão os platonistas podem considerar que este critério implica que existem
entidades matemáticas? Por sua vez, por que razão os ficcionistas podem considerar que
este critério não implica que existam entidades matemáticas?
IV
Responda a uma, e a uma só, das seguintes questões.
1. “A teoria implicará bastantes condicionais observacionais (...) Mas como enfatizou Duhem,
estes condicionais observáveis, são implicados apenas pela teoria como um todo (...) O
quinto movimento, finalmente, traz-nos o naturalismo: o abandono do objectivo de uma
filosofia primeira.” (Quine, “Cinco Marcos do Empirismo”)
Comente a passagem anterior. Ao longo do seu comentário esclareça, pelo menos, os seguintes
conceitos: Holismo, Naturalismo e Filosofia Primeira. Não exceda uma página.
2. “Uma questão surge para os naturalistas (...) que se aventuram para além do naturalismo
quineano. Se o naturalista, envolvido no seu estudo científico da ciência, descobre que uma
prática dos seres humanos (nomeadamente, a matemática) é realizada utilizando métodos
diferentes daqueles usados na ciência natural, (...) por que deve a matemática, e não a
astrologia ou a teologia, figurar na lista das ciências?” (Maddy, “Three Forms of Naturalism”)
Comente a passagem anterior. Ao longo do seu comentário explicite as características do
Naturalismo Matemático e refira qual é a resposta de Maddy à questão formulada na passagem
anterior. Não exceda uma página.
Universidade da Beira Interior
História e Filosofia da Matemática
Exame (Época Normal)
Duração: 2.00 h + 15 m
2006-07-04
Instrução: escreva o seu nome e número em cada folha que entregar.
Cotação: cada grupo 5 val.
I
4. O que afirma a “tese logicista”?
5. Mostre que 0 é um número natural (1º axioma de Peano).
6. Qual é a suposição do sistema de Frege que conduz ao paradoxo de Russell?
7. a) O que se entende por “princípio do contexto”?
d) Em que medida é que esse princípio se aplica a números?
II
1.
Teorema : 2 é irracional.
Demonstraç ão :
Suposição :
∃a, b inteiros ( 2 = a / b, a e b não têm factores em comum). Isto é, 2 é racional.
Então,
2 = (a / b) 2
⇔
2b 2 = a 2 .
(1)
Isto é, a 2 é par .
Então,
a é par (dado que o quadrado de um número ímpar, é um número ímpar)
e b é ímpar (dada a suposição de a e b não terem factores em comum).
Mas se a é par, então ∃c inteiro ( a = 2c )
Substituin do a em (1) :
b 2 = 2c 2
Isto é, b 2 é par.
Então, b é par (dado que o quadrado de um número ímpar, é um número ímpar). Absurdo.
Logo, ∀a,b inteiros ( 2 ≠ a / b). Isto é, 2 é irracional.
a) Explicite (em termos formais) a forma lógica desta demonstração.
b) Esta demonstração é intuicionisticamente válida? Se sim, por que sim? Se não,
por que não?
2. a) O que é um conceito indefinidamente extensível? Dê um exemplo.
b) Os
matemáticos
intuicionistas
consideram
conceitos
indefinidamente
extensíveis? Justifique.
3. Considere as seguintes inferências:
A
¬¬A
¬¬A
A
a) O matemático clássico aceita ambas as inferências? Justifique.
b) O matemático intuicionista aceita ambas as inferências? Justifique.
4. Em que medida as concepções intuicionista e clássica da matemática se relacionam
com a disputa realismo vs. anti-realismo em matemática?
III
4. a) O que se entende por “filosofia primeira”?
b) Quine adopta ou não uma concepção de “filosofia primeira”? Justifique.
5. a) De acordo com a filosofia da matemática de Quine, devemo-nos comprometer
ontologicamente com conjuntos de ordem elevada? Justifique.
b) De acordo com a filosofia da matemática de Quine, o modus ponens (lógica) é
susceptível de ser revisto por uma experiência? Justifique.
6. a) Qual é a concepção platonista tradicional do conhecimento?
b) Avance um contra-exemplo à concepção anterior (Gettier)?
c) Qual é o problema epistemológico de Benacerraf para o platonismo matemático?
IV
3. “A quantificação sobre entidades matemáticas é indispensável è ciência, tanto a formal como a física;
portanto, devemos aceitar tal quantificação; mas isto compromete-nos com aceitar a existência das
entidades matemáticas em questão” (Putnam, “Philosophy of Logic”)
Comente a passagem anterior. Ao longo do seu comentário responda às seguintes
questões. Qual é o argumento em questão na passagem anterior? Quais são as teses que
suportam esse argumento? O que afirmam essas teses? Por que é esse argumento tão
importante para o platonismo matemático? Que estratégias conhece para objectar esse
argumento? Não exceda duas páginas.