MATEMÁTICA V
ANÁLISE MATEMÁTICA BÁSICA
DISCURSIVAS – SÉRIE AULA – AULA 01
1) (Unicamp–SP) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média das
idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada
sexo, no grupo?
Resolução:
M H 120 ⇒ H = 120 − M .....(1 )
35 M 50 ⋅H = 40
.....(2 )
120
 + =

 ⋅ +

35 ⋅ M + 50(
⋅ 120 − M )
= 40
120
M = 80
35 M + 6000 − 50M = 4800 ⇒ 15M = 1200 ⇒ 
H = 40
Fazendo (1 )→( 2
)
:
Resposta: 80 mulheres e 40 homens.
2) (PUC–SP 2006) Para a orientação dos maquinistas, ao longo de uma ferrovia existem placas com a
indicação da quilometragem. Um trem percorre essa ferrovia em velocidade constante e, num dado
instante, seu maquinista observa uma placa em que o número indicador da quilometragem tinha 2
algarismos. Após 30 minutos, ele passa por uma outra em que, curiosamente, os algarismos assinalados
eram os mesmos da primeira, só que escritos na ordem inversa. Decorridos 30 minutos de sua passagem
pela segunda placa, ele passa por uma terceira em que o número marcado tinha os mesmos algarismos
das anteriores mas na mesma ordem dos da primeira e com um zero intercalado entre eles. Nessas
condições, calcule a velocidade desse trem, em quilômetros por hora.
Resolução:
Número indicado na 1ª placa:
Número indicado na 2ª placa:
Número indicado na 3ª placa:
N1 = 10 ⋅ A + B
N2 = 10 ⋅ B + A
N3 = 100 ⋅ A + 10 ⋅ 0 + B ⇒ N3 = 100 ⋅ A + B
Como a velocidade do trem é constante:
Assim,
N2 − N1 = N3 − N2
(10 ⋅B + A )−(10 ⋅ A + B )=(100 ⋅ A + B )−(10 ⋅B + A )
9 ⋅ B − 9 ⋅ A = 99 ⋅ A − 9 ⋅ B ⇒ 18 ⋅ B = 108 ⋅ A
⇒
B = 6⋅A
Como A e B são algarismos decimais, só existe uma única
possibilidade para os mesmos, ou seja: A = 1 e B = 6;
O primeiro número indicador da quilometragem será 16 km;
O segundo número indicador da quilometragem será 61 km;
O terceiro número indicador da quilometragem será 106 km;
Logo, podemos afirmar que a velocidade do trem para o percurso desenvolvido será:
v=
(106 − 16 )Km
espaço
⇒ v=
⇒
tempo
1h
v = 90 Km / h
Resposta: 90 Km/h.
AULA 01 - Página 1 de 7
3) (UFRJ) As faculdades A e B oferecem somente cursos de medicina e engenharia. A tabela a seguir
apresenta as percentagens dos alunos que concluíram seus cursos em 1995, distribuídos segundo sua
faculdade e curso:
Medicina
40%
30%
Fac A
Fac B
Engenharia
60%
70%
Sabe-se que esses alunos estão atualmente empregados ou desempregados, de acordo com os índices
da tabela a seguir:
Empregado
Desempregado
Medicina
70%
30%
Engenharia
20%
80%
A tabela abaixo deve apresentar as percentagens dos alunos que concluíram seus cursos em 1995,
porem distribuídos por faculdade e situação ocupacional (empregado/desempregado):
Empregado
X
Z
Fac A
Fac B
Desempregado
Y
W
Resolução:
Empregados
Fac A 8 6Desemprega
dos Fac A8 
 64
44474444
444474444


=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
 = 

⋅ 442
+ 444
⋅ 4
⋅
+
⋅
  144
3 1444424444
3 
 Empregados Fac B

Desemprega
dos
Fac
B


=
=
 ⇒ W = 65%
 
 

 
 




40% 60%   70% 30%
30% 70%  ⋅  20% 80%



40% 60% 70% 30% 40% 60%
30% 70%  ⋅  20% 80% 35% 65%
40% 70% 60% 20% 40% 30% 60% 80%
30% 70% 70% 20% 30% 30% 70% 80%
28% + 12% 12% + 48% 
21% + 14% 9% + 56% 
X Y
Z W
Resposta: W = 65%.
4) (UNICAMP SP) Sabe-se que um número natural escrito na base 10 como ... a5 a4 a3 a2 a1 a0 é divisível
por 11 se, e somente se, a0 – a1 + a2 – a3 + a4 – a5 + . . . for um número divisível por 11.
a) Aplique o critério acima para mostrar que o número natural escrito na base 10 como 123456789 não é
divisível por 11.
b) Qual o menor número natural que devemos subtrair do número 123456789 para que a diferença seja um
número divisível por 11?
Resolução:
a) Aplicando o critério do enunciado: (9 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
= 5 ; cujo resultado não é um
número divisível por 11.
b) O menor número natural é 5, pois o resultado da respectiva soma conforme o critério de divisibilidade por
11 será igual a zero e zero é divisível por 11 (zero é divisível por todo número real não nulo).
123456789 – 1 = 123456788 ⇒(8 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
=4
123456789 – 2 = 123456787 ⇒(7 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
=3
123456789 – 3 = 123456786 ⇒(6 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
=2
123456789 – 4 = 123456785 ⇒(5 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
=1
123456789 – 5 = 123456784 ⇒(4 − 8 )
+(7 − 6 )
+(5 − 4 )
+(3 − 2 )
+(1− 0 )
=0
Respostas: a) Vide resolução;
b) 5.
AULA 01 - página 2 de 7
5) (Fava 2012) Um comerciante resolveu dar um desconto de 20% no preço de uma mercadoria (A). Em
seguida, aumentou os preços das mercadorias B, C, D e E com percentuais (Y) inversamente
proporcionais a seus respectivos preços (X), de modo que a soma desses percentuais fosse também
20%. Vide tabela a seguir, com os preços iniciais, por unidade, de cada mercadoria:
Mercadorias
A
B
C
D
E
Preço (R$)
50
5
10
15
20
Dizemos que uma grandeza Y é inversamente proporcional a outra grandeza X quando existe uma
constante k, tal que
Y = k . Calcule, nessas condições:
X
a) O valor da constante k;
b) A quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas, apenas do produto C, para que a diferença
entre seus preços final e inicial recupere o desconto concedido em uma única unidade da mercadoria A.
Resolução:
a)
12 k + 6 k + 4 k + 3 k 1
25 k 1
5k 1
k k k k
20
+
+
+
=
⇒
= ⇒
= ⇒
= ⇒
5 10 15 20 100
60
5
60 5
12 5
b) Para o produto “C” foi dado um aumento de
k%
, ou seja, de
10
k = 48%
48 % = 4,8%
10
6444
474444
8


Como o preço unitário do produto “C” aumentará 4,8%, o aumento em reais será de ⋅ 
;
⋅


4,8 (R $ 10,00 )
q 100
20
⋅ 50 = R $ 10,00 ;
100
•
O total descontado numa única unidade do produto “A” foi de
•
Verificando qual deverá ser a quantidade “q” de produtos “C”, a serem vendidos, de forma a
compensar os R $ 10,00 , correspondentes ao desconto em uma única unidade do produto “A”,
teremos:
q ⋅ 4,8
100
 4,8 
q⋅
⋅ R $ 10,00 )≥ 10,00 ⇒
≥1 ⇒ q ≥
⇒ q ≥ 20,833L ⇒ q min= 21 .
(
100
4,8
 100 
Respostas: a)
k = 48% .
b) 21 unidades.
6) (UFV–MG 2006) Em um exame, foi usado o seguinte critério de correção:
I. Para cada questão respondida corretamente o candidato recebeu 5 pontos;
II. Para cada questão respondida incorretamente o candidato perdeu 2 pontos;
III. Para cada questão em branco o candidato perdeu 1 ponto.
A tabela abaixo apresenta o desempenho, nesse exame, dos candidatos Antônio e Maria.
Com base nos dados acima, determine o número de questões do exame.
Resolução:
⋅ 2y + 2z )
− 2 ⋅ y − z = 84
 5(
 8 y + 9 z = 84
⇒ 
⇒ y =6 e z=4
 5(
⋅
3
y
+
z
)
−
2
(
⋅
y
−
z
)
−
y
=
100
 12 y + 7 z = 100

Assim, o número de questões do exame é: (2 y + 2 z )
+ y + z = 30
Resposta: 30 questões.
AULA 01 - Página 3 de 7
7) (Unicamp–SP) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma segunda torneira gasta 18
minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira
durante x minutos: ao fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de
encher o tanque em x+3 minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.
Resolução: Considerando V o volume do tanque,
V
unidades volumétricas por minuto;
12
V
A vazão da torneira 1 será:
unidades volumétricas por minuto;
18
A vazão da torneira 1 será:
Podemos então escrever:
V ⋅x + V (
⋅ x +3)
= V (÷ V )
12 18
x x+3
+
= 1 ×(36 )⇒ 3 x + 2(
⋅ x +3)
= 36 ⇒ x = 6
12 18
Assim, o tempo gasto para encher o tanque será a soma do tempo efetivo da torneira 1 (6 minutos) com
o tempo efetivo da torneira 2 (6 + 3 = 9 minutos), totalizando 15 minutos.
Resposta: 15 minutos.
8) (Unicamp–SP 2008) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada
por 1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e anota da terceira prova é multiplicada por 3. Os
resultados após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por esse critério for maior ou igual a 6,5
o aluno é dispensado das atividades de recuperação. Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira
prova e 4,5 na segunda prova. Quanto precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da
recuperação?
Resolução:
⋅ 1)
+ 4,5(
⋅ 2)
+ x(
⋅ 3)
6,3(
≥ 6,5 ⇒ 6,3 + 9 + 3 x ≥ 39 ⇒ 3 x ≥ 23,7 ⇒ x ≥ 7,9
6
Conclusão: O aluno precisará tirar na terceira prova uma nota no mínimo igual a 7,9.
Resposta: Uma nota no mínimo igual a 7,9.
AULA 01 - página 4 de 7
9) (UnB) Julgue os itens abaixo:
(1) Se a escala da figura I é linear, então o valor correspondente ao
ponto indicado pela seta é 53,75.
(2) Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais e X é
figura I
acrescido de 25%, então Y decresce 20%.
(3) Considere que, a partir das temperaturas máxima e mínima na
ºN
ºC
cidade do Rio de Janeiro, construiu-se uma nova escala linear,
0
14
mostrada na figura II, em que a temperatura é indicada por °N e a
100
39
correspondência com a escala Celsius é mostrada na tabela que
figura
II
se segue. Nessas condições, o ponto de ebulição da água,
naquela cidade, é igual a 400°N.
(4) Considere que, em um sistema de aposentadoria, um trabalhador pode se aposentar quando a soma
de sua idade com o número de anos de serviço totaliza 95 anos. Nesse caso, quem começar a
trabalhar com 25 anos só poderá se aposentar com, no mínimo, 65 anos de idade.
Resolução:
(1) Verificando a linearidade (proporcionalidade):
80 − 38 = 42 = 5,25 ⇒ para o ponto indicado, denominando-o pela letra “P”, teremos :
8
8
P = 38 + 3 × 5,25 ⇒ P = 53,75 (Verdadeiro).
(2) Se
Y1 = 1
X1
(3)
⇒
Y2 =
1
X
X1 + 1
4
⇒
Y2 = 5 ⋅1X
4
⇒
1
Y2 = 4 ⋅ 1
5 X1
⇒
Y2 = 0,8 ⋅ Y1
(Verdadeiro).
N−0
C − 14
N C − 14
=
⇒
=
100 − 0 39 − 14
100
25
N
= C − 14 ⇒
4
N = 4(⋅ C −14 )
Verificamos que a temperatura de 100ºC corresponderá, na escala N, ao valor
= ⋅
−
= 344ºC.
Portanto, a informação do item ( 3 ) é Falsa.
N 4(100 14 )
(2) Iniciando com 25 anos, como a soma da idade com o tempo de serviço deverá ser igual a 70
anos, para se aposentar, o trabalhador deverá trabalhar 70 anos, ou seja, se aposentará
com 25 + 70 = 95 anos (no cemitério provavelmente) (Falsa).
Resposta: V – V – F – F.
AULA 01 - Página 5 de 7
10) (UFSC 2006.2) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
(01) Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho e outra pessoa B trabalha com
velocidade 50% maior do que A, então B faz a mesma peça em 6 dias de trabalho.
(02) Uma empresa dispunha de 144 brindes para distribuir igualmente entre sua equipe de
vendedores, mas como no dia da distribuição faltaram 12 vendedores, a empresa distribuiu os
144 brindes igualmente entre os presentes, cabendo a cada vendedor um brinde a mais. Logo,
estavam presentes 36 vendedores no dia da distribuição.
(04) Se reduzindo o preço x em 20% se obtém y, então y deve sofrer um acréscimo de 20% para se
obter novamente x.
(08) A soma de dois números naturais é 29. Então o valor mínimo da soma de seus quadrados é
533.
Resolução:
(01) Considerando V a velocidade de trabalho da pessoa A e 1,5 ⋅ V a da pessoa B, teremos:
V ..................... 9 dias
3 ⋅ x ⋅ V = 9 ⋅ V ÷( V )⇒ 3 ⋅ x = 9 ⇒ x = 6
⇒
(Verdadeiro).
↑
↓
1,5 V ............... x dias
2
2
(02) Considerando “x” o número funcionários da equipe de vendedores (número total), vamos determinar o
número de vendedores presentes no dia da distribuição dos brindes, ou seja, (x – 12);
144 = y ........(1 )
x
144 = y + 1 ........(2 )
x − 12
→
(1 ) ( 2 )
:
144 = 144 + 1 ⇒ x 2 − 12 x − 1728 = 0
x − 12 x
x = 48 ou x = −36
Conclusão: O número de vendedores presentes no dia da distribuição dos brindes era igual a
(48 − 12 )= 36 (Verdadeiro).
11) (FAVA 2012) Três torneiras enchem um tanque: a primeira em 15 horas; a segunda em 20 horas; e a
terceira em 30 horas. Há um escoadouro que pode esvaziar o tanque em 40 horas. Estando as três
torneiras e o escoadouro a funcionar, calcule em quantas horas o tanque poderá ficar cheio.
Resolução:
Considerando “V” o volume to tanque e “t” o tempo necessário para encher o tanque, teremos?
V V V V V
1 1 1 1 1
8+6+ 4−3 1
1 15
+
+
−
=
÷( V )⇒
+
+
−
= ⇒
= ⇒ =
⇒
15 20 30 40 t
15 20 30 40 t
120
t
t 120
Resposta: 8 horas.
AULA 01 - página 6 de 7
t
= 8 horas .
12) (UFSCar-SP 2005) Ao iniciar uma viagem de São Paulo para o Rio de Janeiro, Pedro abasteceu o
tanque de combustível do carro, que estava totalmente vazio, até o limite máximo, pagando pelo
abastecimento R$111,80. Após percorrer 180 km da viagem, Pedro parou em outro posto para
completar o combustível do tanque até o limite máximo, gastando agora R$24,75. Sabe-se que a
distância do ponto de partida de Pedro, em São Paulo, até a cidade do Rio de Janeiro é igual a 480km,
que o tanque de combustível do carro de Pedro tem capacidade total de 52 litros, e que seu carro
percorre na estrada, em média, 16km por litro de combustível.
a) Qual é o preço do litro de combustível em cada um dos dois postos em que Pedro abasteceu o carro?
b) Sem novos abastecimentos, quantos quilômetros, no máximo, o carro de Pedro poderá percorrer na
cidade do Rio de Janeiro, sabendo-se que em trecho de cidade seu carro faz, em média, 12km por litro
de combustível?
Resolução:
a) 1º Posto: considerando P1 o preço do litro de combustível no 1º posto,
P1 =
R$ 111,80
⇒
52 litros
P1 = 2,15
R$
litro
2º Posto: considerando P2 o preço do litro de combustível no 2º posto,
R $ 24,75
2 = 11,25 litros ⇒
P
P2 = 2,20
R$
litro
Observação:
Como Pedro já havia percorrido 180 Km entre o 1º e o 2º posto, o seu gasto de
combustível até então foi de:
180 Km
= 11,25 litros
16 Km / litro
b) Para percorrer os 300 Km restantes, Pedro ainda gastará
300 Km
16 Km / litro
A distância máxima que Pedro poderá percorrer na cidade será:
Respostas: a) Posto 1 (R$ 2,15) e Posto 2 (R$ 2,20)
b) 399 Km.
AULA 01 - Página 7 de 7
= 18,75 litros de combustível;
12 Km (
⋅ 52 − 18,75 )
litros = 399 Km .
litro