Sumário
1 Introdução
16
1.1 Breve Histórico do Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2 Magnetismo da Matéria: Comportamento Microscópico . . . . . . . . . .
23
1.3 Modelo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.4 Outras Interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.5 Transição de Fase e Fenômenos Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.6 Motivação desta Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1.7 Apresentação do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2 Teoria de Campo Efetivo
68
2.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.2 Teoria do Campo Molecular de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.3 Aproximação de Bragg-Williams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.4 Aproximação de Bethe-Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.5 Método Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.6 Método Variacional em Sistemas Clássico e Quântico . . . . . . . . . . .
87
2.6.1
Sistema Clássico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.6.2
Sistema Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
2.6.3
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3 Filmes Finos Magnéticos
98
1
3.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
3.2 Modelo Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4 Propriedades Termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5.1
Temperatura Crítica como Função do Tamanho do Filme . . . . . 114
3.5.2
Propriedades Termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.6 Expoentes Críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4 Super-Rede Magnética
206
4.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.2 Modelo Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.3 Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.4.1
Temperatura Crítica em Função do Número de Camadas . . . . . 216
4.4.2
Propriedades Termodinâmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5 Conclusões
242
A Integrais do Modelo O(n)
245
B Susceptibilidade para um Sistema de Camadas
249
2
Lista de Figuras
1.1 Correntes de Ampère no interior da matéria . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.2 Comportamento diamagnético idealizado por Faraday . . . . . . . . . . .
23
1.3 Comportamento Paramagnético idealizado por Faraday . . . . . . . . . .
24
1.4 Paramagnetismo de Curie-Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.5 Fenômeno da histerese, fato responsável pela “memória” que materiais
ferromagnéticos apresentam pois retêm parte do campo nele aplicado. . .
32
1.6 Representação esquemática de um átomo com dois elétrons (He). . . . .
34
1.7 Parâmetro de ordem (magnetização) em função da temperatura mostrando
os dois tipos de transição: (a) primeira e (b) segunda ordem. . . . . . . .
51
1.8 Expoente crítico β como função do tamanho do filme de Ni. As linhas
tracejadas correspondem os valores teóricos (ver Tabela 1.1) dos expoentes
para os modelos Ising e Heisenberg tridimensional. A área hachurada
indica o crossover de dimensionalidade (2D → 3D). . . . . . . . . . . . .
57
1.9 Imagem obtida através da técnica HRTEM (High-Resolution Transmission
Electron Microscopy) mostrando nitidamente camada por camada de um
filme fino magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.10 Classificação de estruturas formadas a partir de um determinado substrato
levando em conta seu tamanho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.11 Retenção do campo aplicado a um filme magnético através do fenômeno
da histerese.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
61
2.1 Dependência da magnetiza ção em função da temperatura na aproximação
de campo médio para um sistema ferromagnético . . . . . . . . . . . . .
76
2.2 Aglomerado contendo um sítio central e quatro sítios periféricos. . . . . .
81
2.3 Comportamento da magnetizaç ão do modelo de Heisenberg clássico e
quântico em função da temperatura no bulk de um filme fino para uma
rede cúbica simples (z = 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.1 Representação geométrica de uma rede cúbica simples com aglomerado de
dois spins na presença de duas sub-redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Figura representativa de um filme fino com ` camadas e interações de
superfície Js e do bulk Jb em uma rede cúbica simples ferromagnética. . . 115
3.3 Comportamento da temperatura cr ítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita
pelo modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita
pelo modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . . . . . 122
3.5 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita
pelo modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . . . . . 123
3.6 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita
pelo modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.7 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita
pelo modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.8 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita
pelo modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4
3.9 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita
pelo modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.10 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita
pelo modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.11 Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita
pelo modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.12 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada
atrav és do modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . 130
3.13 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada
atrav és do modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . 131
3.14 Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada
através do modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1). . . . . . . . . 132
3.15 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada
atrav és do modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.16 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada
atrav és do modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.17 Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada
através do modelo XY (η x = 0 e η y = 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5
3.18 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada
atrav és do modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.19 Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada
atrav és do modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.20 Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada
através do modelo de Ising (η x = η y = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.21 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para cada
camada n de um filme fino Heisenberg na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 0.0.142
3.22 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para cada
camada n de um filme fino Heisenberg na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 1.5.143
3.23 Magnetização em fun ção da temperatura para cada camada n de um
filme fino Heisenberg na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . 144
3.24 Magnetização em fun ção da temperatura para cada camada n de um
filme fino Heisenberg na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 1.5. . . . . . . . 145
3.25 Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme
fino Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . 146
3.26 Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme
fino Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 0.29. . . . . . . 147
3.27 Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme
fino Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 1.5. . . . . . . . 148
3.28 Variação da magnetiza ção em função da temperatura para os três modelos
considerados: Heisenberg, XY e Ising em um filme sc(001); ∆ = 0.0 e ` = 10.149
3.29 Variação da magnetiza ção em função da temperatura para os três modelos
considerados: Heisenberg, XY e Ising em um filme sc(001); ∆ = 1.5 e ` = 10.150
6
3.30 Variação da magnetiza ção em uma rede sc(001) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 151
3.31 Variação da magnetiza ção em uma rede sc(001) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 152
3.32 Variação da magnetiza ção em uma rede bcc(111) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 153
3.33 Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(111) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 154
3.34 Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(111) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 155
3.35 Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(001) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 156
3.36 Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(001) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `. . . . . . . . . . . 157
3.37 Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura para as quatro estruturas cristalinas consideradas de um filme Heisenberg de tamanho
` = 10 e parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.38 Comportamento da magnetização em função da temperatura para as quatro estruturas cristalinas consideradas de um filme fino Heisenberg de
tamanho ` = 10 e parâmetro ∆ = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.39 Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg sc(001) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆. . 160
3.40 Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg bcc(111) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆. 161
3.41 Comportamento da magnetização em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg fcc(001) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
162
3.42 Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg fcc(111) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
7
163
3.43 Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising com diferentes tamanhos ` na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . . . . 164
3.44 Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising de diferentes tamanhos ` na rede bcc(111) e parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . . . 165
3.45 Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising com diferentes tamanhos ` na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0. . . . . . . . . . . 166
3.46 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para quatro tipos de estrutura cristalina. . . . 167
3.47 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para quatro tipos de estrutura cristalina. . . . 168
3.48 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede sc(001) para diferentes valores do parâmetro ∆. . . . . . . 169
3.49 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede bcc(111) para diferentes valores do parâmetro ∆. . . . . . 170
3.50 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede fcc(001) para diferentes valores do parâmetro ∆. . . . . . 171
3.51 Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede fcc(111) para diferentes valores do parâmetro ∆. . . . . . 172
3.52 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
XY na rede sc(001) e par âmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `. . . 173
3.53 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
finos XY na rede bcc(111) e parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `.174
3.54 Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
finos XY na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `. 175
3.55 Comportamento da magnetização em função da temperatura em um filme
fino XY de tamanho ` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para diferentes tipos de
estrutura cristalina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8
3.56 Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura em um filme
fino XY de tamanho ` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para diferentes tipos de
estrutura cristalina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.57 Magnetização para um filme fino XY na rede sc(001) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.58 Magnetização para um filme fino XY na rede bcc(111) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.59 Magnetização para um filme fino XY na rede fcc(001) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.60 Magnetização para um filme fino XY na rede fcc(111) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.61 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 na rede bcc(111) para diferentes
valores de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.62 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 e parâmetro ∆ = 0.0 para três estruturas cristalinas consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.63 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 e parâmetro ∆ = 1.5 para três estruturas cristalinas consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.64 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para filmes
finos Ising na rede sc(001); parâmetro ∆ = 0 com diferentes tamanhos (`). 185
3.65 Susceptibilidade em função da temperatura para um filme fino de tamanho
` = 10 e parâmetro ∆ = 0.0 para os três modelos considerados. . . . . . . 186
3.66 Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme fino XY com tamanho ` = 10 na rede bcc(111) para diferentes valores
de ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9
3.67 Comportamento da susceptibilidade em função da camada n do filme fino
Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 0.0 e ` = 10. . . . . . . . . . 188
3.68 Comportamento da susceptibilidade em função da camada n do filme fino
Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 1.5 e ` = 10. . . . . . . . . . 189
3.69 Comportamento da energia interna em função da temperatura para um
filme Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 0.0 para cada camada n
do filme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.70 Comportamento da energia interna em função da temperatura para um
filme Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 1.5 para cada camada n
do filme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.71 Comportamento da energia interna em função da temperatura para filmes
Heisenberg na rede sc(001) com parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes números
de camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.72 Comportamento da energia interna em função da temperatura em um filme
Heisenberg com ` = 10, rede bcc(111) para diferentes valores do parâmetro
∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.73 Comportamento da energia interna em função da temperatura em um filme
Heisenberg com ` = 10, rede sc(001) para diferentes valores do parâmetro
∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.74 Energia interna em função da temperatura para um filme Heisenberg com
` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para quatro tipos de rede. . . . . . . . . . . . 195
3.75 Energia interna em função da temperatura para um filme Heisenberg com
` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para quatro tipos de rede. . . . . . . . . . . . 196
3.76 Comportamento do calor específico em função da temperatura em um filme
XY bcc(111) com ` = 10 para diferentes valores do parâmetro ∆. . . . . 197
3.77 Comportamento do calor específico em função da temperatura em filmes
Heisenberg sc(111) com par âmetro ∆ = 0.0 para diferentes números de
camada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10
3.78 Expoente crítico λ utilizando modelo de Heisenberg para quatro tipos de
rede em um filme com 20 camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.79 Expoente crítico λ utilizando modelo de Ising para quatro tipos de rede
utilizando um filme fino com 20 camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.80 Expoente crítico λ utilizando modelo XY para quatro tipos de rede utilizando um filme fino com 20 camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.1 Representação esquemática de uma super-rede magnética com camadas
alternadas entre os materiais A e B considerada em nosso estudo. . . . . 211
4.2 Variação da temperatura crítica em função do número de camadas para
uma super-rede XY corpo centrado para diferentes configurações de exchange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3 Variação da temperatura crítica em função do número de camadas ` para
uma super-rede Heisenberg na configuração 1 de exchange para diferentes
redes cristalinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.4 Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando a
configuração 4 de exchange no modelo de Heisenberg em uma super-rede
com tamanho ` = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4.5 Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando a
configuração 4 de exchange no modelo de Ising em uma super-rede com
tamanho ` = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.6 Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando
a configuração 4 de exchange no modelo XY em uma super-rede com
tamanho ` = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.7 Variação da magnetizaç ão em função da temperatura kB T /JA considerando
as quatro configurações escolhidas no modelo de Heisenberg e rede cúbica
simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.8 Magnetização em função da camada n de uma super-rede Heisenberg corpo
centrado utilizando a configuração 1 para as interações de exchange. . . . 230
11
4.9 Magnetização em função da camada n de uma super-rede Heisenberg corpo
centrado utilizando a configuração 2 para as interações de exchange. . . . 231
4.10 Variação da magnetizaç ão em função da camada n de uma super-rede
Heisenberg para o caso de uma rede cubica simples utilizando a configuração 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.11 Comportamento da magnetização para um filme Heisenberg cúbica simples
utilizando a configuraç ão 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.12 Comportamento simétrico da magnetização para cada camada n de uma
super-rede magnética utilizando modelo de Ising em uma rede cúbica simples.234
4.13 Função susceptibilidade de uma super-rede com ` = 10 no modelo de
Heisenberg utilizando rede cúbica simples para diferentes configurações de
exchange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.14 Variação da energia interna em função da temperatura kB T /JA de uma
super-rede XY com tamanho ` = 10 utilizando rede cúbica simples para
as quatro configurações de exchange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.15 Calor específico obtido para quatro configurações de exchange em uma
super-rede magnética Heisenberg com tamanho ` = 10 utilizando rede
cúbica simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2.1 Dielétrico formado por ` camadas limitado por placas de área S carregadas
com carga q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12
AGRADECIMENTOS
A Deus pelo merecimento de viver.
Aos meus pais, pela educação exemplar e dedicação.
A minha esposa e filha, Cláudia e Luana pelo amor e carinho.
A José Ricardo de Sousa, pela orientação recebida e importantes sugestões em todas
as etapas desta dissertação.
A João Cabral Neto pelo trabalho de co-orientação de importância fundamental para
a conclusão deste trabalho.
A todos os professores, alunos, em especial à LIGA MUNDIAL - “Amigolhes
do Coração” (João Neto, Marcelos Peres, Elie, Jose, Ritinha e Denilson), pela amizade
e força fundamentais na conclusão deste trabalho.
A Capes pelo apoio financeiro dado durante a elaboração deste trabalho.
RESUMO
Aplicamos o modelo de Heisenberg quântico de spin
1
2
anisotrópico (parâmetros de
anisotropia dados por η x e η y nas direções x e y respectivamente) o que possibilita
recairmos em casos particulares importantes que são: Ising unidimensional (η x = η y =
0), XY ou planar (η x = 1, η y = 0 ou η x = 0, η y = 1) e Heisenberg isotrópico (η x =
η y = 1) no estudo de filmes finos e super-redes magnéticas formados por monocamadas
ferromagnéticas crescidas à partir de um substrato básico, onde a presença de superfícies
livres alteram consideravelmente o comportamento do sistema.
Discutimos inicialmente os resultados obtidos através da aproximação de campo médio em sistemas simples, como o modelo de Ising unidimensional de spin
1
2
sem campo
para em seguida desenvolvermos o formalismo do método variacional baseado na desigualdade de Bogoliubov em sistemas com cluster de dois spins, que será utilizado no presente
trabalho para obter o diagrama de fase do sistema na região da criticalidade bem como
obter as propriedades térmicas (energia e calor específico) e magnéticas (magnetização
e susceptibilidade). Introduzimos no modelo os parâmetros zo e z1 que corresponde ao
número de vizinhos na mesma camada do cluster e em camadas adjacentes respectivamente, sendo z = zo + 2z1 o número total de vizinhos. Isto permite variarmos a estrutura
da rede cristalina e verificar de que forma o acréscimo de vizinhos influencia no comportamento do sistema aqui dado pelas redes cúbicas simples [sc(001)] com números de
coordenação iguais a zo = 4 e z1 = 1, corpo centrado [bcc(111)] com zo = 6 e z1 = 1, face
centrada [f cc(111) e f cc(001)] com zo = 6 e z1 = 3 e zo = 4 e z1 = 4 respectivamente.
Aplicamos o formalismo do método em filmes finos formados por ` camadas com
exchange de superfície e interior (bulk) dados por Js e Jb respectivamente. O diagrama
de fase na região da criticalidade é obtido fazendo-se tanto a temperatura em função do
número ` de camadas do filme quanto em função do parâmetro ∆ = Js /Jb − 1, onde
verificamos a existência de duas fases distintas: fase bulk (BF) onde o bulk encontra-se
ordenado e a superfície desordenada, isto é Tcb > Tcs e fase superfície (SF) onde agora a
superfície apresenta-se ordenada e o bulk desordenado, Tcb < Tcs . O ponto multicrítico
∆c = (Js /Jb )c − 1, que corresponde ao ponto de coexistência das fases BF e SF, é
determinado para as diferentes redes utilizadas no trabalho e observamos a região de
crossover de dimensionalidade (transição entre o sistema bi e tridimensional) no plano
Tc × ` onde a temperatura crítica do sistema apresenta forte variação.
Em super-redes magnéticas, continuamos com o mesmo formalismo para agora investigarmos a influência do tipo de material na transição de fase ferromagnética-paramagnética,
suas propriedades termodinâmicas e o comportamento crítico do sistema. Consideramos
uma estrutura de super-rede composta de monocamadas alternadas por material tipo A
e tipo B (ABAB..B) com exchange JAS e JBS para as superfícies livres, JA e JB nas
camadas no interior e JAB para interações entre-planos.
Capítulo 1
Introdução
1.1
Breve Histórico do Magnetismo
Os antigos gregos, 800 anos a.C., já conheciam as propriedades elétricas do âmbar,
como a capacidade de atrair pequenos corpos quando atritado e também as propriedade
magnéticas de certas rochas ígneas, denominadas de magnetita, que podiam atrair pequenos pedaços de ferro. A lenda atribue este nome ao pastor Magnes que observou
como seus sapatos, providos de tachas de ferro, sofriam uma certa atração quando caminhava por cima dessas rochas em seu pastoreio. Este mineral, hoje o composto químico
conhecido como óxido ferroso-férrico (Fe3 O4 ), era relativamente fácil de achar nas proximidades de Tessália, que mais tarde veio a se chamar Magnésia, uma cidade grega situada
ao norte do mar Egeu.
Desse início pouco ou quase nada foi feito para se tentar compreender os fenômenos
magnéticos; pelo contrário, a força magnética foi demasiadamente mistificada e tratada
de modo ingênuo e emocional. Platão (427-347 a.C.)descrevia a inspiração dos artistas
fazendo analogias com o campo produzido pela magnetita: assim como o poeta recebe de
sua Musa inspiração e a Musa não perde sua capacidade de inspirá-lo novamente, o ímã
(ou magneto, como assim são chamados os materiais que apresentam propriedades mag16
néticas) é capaz de induzir seu magnetismo sobre o ferro, à distância, sem por isso perder
seu próprio magnetismo. Aristóteles (384-322 a.C.) mencionou as forças magnéticas, no
seu “Tratado sobre a Alma”, para fazer uma analogia entre a ação da Alma, que geraria
o movimento dos animais, e a ação do ímã, que gera o movimento de um pedaço de ferro.
Lucrécio (98-55 a.C.), um dos primeiros a defender a idéia filosófica de átomo, tentou
explicar a forma de atuação da força à distância da magnetita sobre o ferro, no livro VI
de seu Tratado-Poema “Da Natureza”. Para ele, os átomos do material magnético, por
alguma propriedade especial, expulsariam o ar presente entre eles e o ferro de modo que
este seria empurrado, pelo ar atrás dele, em direção à magnetita. Estas idéias de caráter
místico e sobrenatural ao redor do magnetismo logo fez surgirem especulações, principalmente na Idade Média, a respeito de possíveis curas provenientes de “usos medicinais”
da magnetita e outros ímãs.
No entanto, dados históricos fortalecem a hipótese de muitos pesquisadores que
atribuem aos chineses o mérito de serem os primeiros a descobrir as propriedades magnéticas da magnetita, no período de 2637 a 1100 a. C., desenvolvendo inclusive o primeiro
instrumento realmente útil com esse material, a bússola, para auxiliar em suas viagens
marítimas e terrestres. O naturalista alemão Alexander von Humboldt afirmou que os
chineses, no século III atravessaram o Oceano Índico com navios possuindo agulhas magnéticas. Não obstante, sua aparição na Europa se deu no ano de 1100 de nossa era, por
meio do interesse despertado pelas grandes navegações, fenômeno que cresceu na Europa
com vistas a encontrar novas rotas para as Índias. O primeiro relato do uso da bússola
aparece no livro De Naturis Rerum, publicado por volta de 1186 pelo inglês Alexander
Neckam.
A primeira e mais importante tentativa experimental de se entender o magnetismo, foi
devida a Pierre Pelerin de Maricourt (1240-?) também conhecido como Petrus Peregrinus,
que escreveu o mais antigo tratado de física experimental em 1269. Este fez experiências
com uma magnetita esférica, colocando pedaços de ímã em várias regiões, traçou as linhas
do campo magnético que se interceptavam em dois pontos. Estes pontos foram chamados
de pólos do ímã, como analogia aos pólos (geográficos) da Terra, sendo que o pólo sul de
um ímã aponta aproximadamente para o pólo norte do planeta.
Nos anos seguintes observou-se o surgimento de uma série de documentos[1] relatando
estudos feitos em bússolas e sua interação com a posição geográfica em que se localizavam.
Estes serviram de base para que William Gilbert de Colchester (considerado o pai do
magnetismo), médico da rainha Izabel I da Inglaterra, escrevesse seu famoso livro De
Magnete. Publicado em 1600, reúne todos os conhecimentos sobre o magnetismo até
aquela época e descreve como utilizar um aparelho construído por ele, o versorium, e que
consta de uma agulha de aço imantada, suspensa por uma linha não trançada, com a
qual se podia medir o ângulo de atração entre ímãs. Dos resultados de seus experimentos,
Gilbert concluiu que o extremo norte de uma bússola é similar ao pólo sul magnético
terrestre e assim lançou a hipótese de ser a própria Terra um imenso ímã permanente.
Apesar de todas as suas observações, Gilbert acreditava que a magnetita tinha uma alma,
sendo esta uma pequena parte da “alma da Terra”.
A idéia de que a magnetita possuia uma alma foi descartada pelo filósofo e matemático
francês Renê Descartes que em seu livro Principia Philosophie explica o magnetismo
através da teoria dos vórtices[2]. Descartes relacionou os fenômenos magnéticos a pequenas partículas fibradas e fluidas que podiam circular pela Terra através de dutos que
se localizavam em seu interior, indo de um pólo ao outro. Essas partículas retornavam
via aérea e nesse retorno, caso encontrassem uma substância magnética dotada de dutos,
elas preferiam passar por ela permanecendo presas ai.
Durante a primeira metade do século XVIII Dufay, na França, chegou a estabelecer uma classificação para a eletricidade, designada mais adiante de positiva e negativa
por Benjamin Franklin. Este por sua vez, observou que agulhas de ferro poderiam ser
imantadas ou desimantadas por intermédio de uma descarga elétrica produzida por uma
garrafa de Leiden1 , mostrando uma estreita relação entre a eletricidade e o magnetismo.
1
Esta garrafa foi construída pelo matemático e físico holandês Pietri van Musschenbroek, professor
da Universidade de Leiden, em 1745, com o objetivo de engarrafar o efluvium elétrico
Em 1755, o físico russo Franz Maria Ulrich Theodor Hoch Aepinus apresentou um
tratado matemático: Tentamen Electricitatis et Magnetismi para explicar a eletricidade
e o magnetismo utilizando a teoria dos vórtices de Descartes. Aepinus propôs, a partir da
teoria de fluido elétrico desenvolvida por Franklin no estudo dos fenômenos elétricos, que
as propriedades magnéticas dos “pólos” de um ímã se deviam à falta ou excesso de um
fluido magnético, cujas partículas repeliam uma a outra, assim como atraiam partículas
de ferro e aço. Em 1777, o engenheiro militar francês Charles August Coulomb, contrário
à idéia dos vórtices de Descartes explica o magnetismo através de argumentos mecânicos,
confirma a hipótese de Michell2 e através de uma balança de torção por ele mesmo
desenhada estabeleceu a lei que leva seu nome para cargas elétricas pontuais em repouso.
As primeiras leis quantitativas sobre a eletricidade e o magnetismo pareciam seguir a
idéia newtoniana de atração entre corpos celestes: as forças elétricas e magnéticas entre
corpos separados se apresentam através de uma ação à distância, de forma instantânea
e sem intermediação de matéria nenhuma, fato que incomodava os cartesianos da época
pois não entendiam como era possível tal feito.
Em geral, os autores consideram o nascimento do eletromagnetismo moderno no dia
21 de julho de 1820. Nesse dia aparece em Copenhague a publicação em latim da famosa
experiência de Oersted Experimenta Circa Effectum Conflictus Eletrici in Acum Magnetican[3] no qual trata o desvio que sofre uma agulha magnética situada nas proximidades de
um condutor elétrico. Este descobrimento ocorreu meses antes da publicação de seu trabalho e ao que parece, não foi obra do acaso, como se conta, pois que Oersted (1777-1851)
realizava desde 1807 experimentos para encontrar alguma relação entre a eletricidade e
o magnetismo.
Tendo contato com os resultados da expriências de Oersted em uma palestra proferida por Arago em 1819, André Marie Ampère apresenta no ano seguinte uma primeira
memória [4] onde demonstra que as correntes elétricas se repelem e se atraem recip2
Em 1751, em seu livro A Treatise of Artificial Magnets, o geólogo e astrônomo inglês Jonh Michell,
propôs a idéia de que a força entre pólos magnéticos variava com o inverso do quadrado da distância
entre eles.
rocamente segundo leis previamente definidas. O mesmo Ampére introduziu o termo
“Eletrodinâmica” como referência a estes novos fenômenos. Segundo Ampére, a magnetizacão resulta de correntes microscópicas, que podem ser correntes circulares localizadas
em um plano perpendicular ao eixo z. A homogeneidade da distribuição das correntes faz
com que a corrente em qualquer curva interior seja zero, pois as contruibuições internas
são canceladas aos pares. Como fora do material não existem correntes para anular a
contribuição interna, resultará em uma corrente superficial, conforme a Fig.(1.1).
Figura 1.1: Correntes de Ampère no interior da matéria
Neste mesmo ano Arago descobriu a imantação do ferro por uma corrente e inventa
o eletroímã. Durante o mês seguinte sai a publicação dos resultados obtidos por Biot e
Savart. Estes investigadores mediram a direção das oscilações de uma agulha imantada
em função da distância a uma corrente retilínea. Estabeleceram experimentalmente que
a força depende de 1/r2 e da intensidade da corrente.
Semanas depois, pensando nesses resultados, Laplace encontra matematicamente a lei
de Biot-Savart mostrando que o campo magnético criado por um elemento de corrente dl
à uma distância r é transversal à linha de atuação. Isto não agradou os newtonianos, que
não entendiam como uma força a distância poderia se manifestar perpendicularmente
à direção de interação entre os corpos. Dessa forma, ao fim de 1820 se conheciam as
primeiras leis quantitativas da eletrodinâmica.
O desenvolvimento de uma teoria que explicasse de forma consistente o magnetismo e
sua interação com a eletricidade teve grande impulso quando Michael Faraday em setembro de 1821 realiza suas primeiras investigações experimentais em eletricidade nos laboratórios da Royal Institution. Seus resultados foram publicados em 1832 na Philosophical
Transactions da Royal Society com o título Experimental Researches in Eletricity, a
primeira de uma série monumental de 30 memórias que levou quase 25 anos para ser
concluída[5], tornando-o mundialmente famoso. Em seu trabalho sugere-se que o campo
magnético não poderia existir apenas confinado no Ferro, Níquel e Cobalto mas sim em
toda a matéria. Faraday verificou que nem todos os corpos reagiam da mesma maneira
na presença de um campo magnético. Dividiu as substâncias em grupos e denominou
de paramagnéticas as que conduzem bem o campo magnético e diamagnéticas como
pobres condutores de campo magnético. Faraday foi um caso de excepcional relevância.
Sem uma formação acadêmica, era autodidata, de aprendiz de encanador que lia com
avidez todos os livros de ciência que passavam por suas mãos, passou a ajudante de laboratório na Royal Institution, onde viveu como cientista profissional. Nos sótãos da Royal
Institution gozava de um dos laboratórios mais equipados do mundo na época. No dia 6
de agosto de 1845, o físico inglês William Thomson escreveu uma longa carta a Faraday
na qual descrevia seu tratamento matemático das linhas de força faradayanas e fornece
uma série de sugestões sobre experiências que deveriam ser realizadas com o propósito
de testar as idéias de Faraday. Uma delas fez com que Faraday observasse a interação
da luz com o campo magnético, conhecido como efeito Faraday. Analisando o fenômeno,
Faraday escreveu:“Se não seria possível que as vibrações, que numa determinada teoria
são consideradas explicativas da irradiação, e dos fenômenos correlatos, se pudessem verificar nas linhas de força que unem partícula e, conseqüentemente, massas de matéria noção essa que, na medida em que for admitida, dispensará éter, o qual sob outro ponto
de vista, é tido com um meio ambiente onde ocorrem tais vibrações”. Mais tarde, tais
suposições iriam influenciar diretamente os trabalhos de Maxwell e Einstein a respeito
da natureza eletromagnética da luz.
Utilizando o modelo de fluidos magnéticos, o matemático francês Siméon-Denis Pois-
son, em 1824, demonstrou como calcular a intensidade do campo magnético em um ponto
exterior de um corpo magnético. Expressou este campo em função de uma nova grandeza,
denominada magnetização (M), grandeza que apresenta comportamento vetorial. Em
1881, o escocês James Alfred Ewing introduziu o termo histerese3 , em virtude do efeito
termoelétrico que se atrasava em relação à tensão aplicada, observou também que a área
sob a curva de histerese era proporcional ao trabalho realizado durante o ciclo completo
de magnetização e desmagnetização.
A partir das publicações e livros de laboratório de Faraday, James Clerk Maxwell realiza um longo estudo do fenômeno do magnetismo resultando em 1873 na publicação de
sua famosa obra A Treatise on Electricity and Magnetism. Seu profundo conhecimento
matemático auxiliou no desenvolvimento de uma rigoroso formalismo para o tratamento
do magnetismo. As conhecidas quatro leis de Maxwell em derivadas parciais4 , que sintetizam os conhecimentos da eletricidade e do magnetismo, representam a segunda grande
unificação de fenômenos físicos aparentemnete distintos da história da ciência. Em resumo, as cargas elétricas geram os fenômenos elétricos e o movimento dessas cargas
geram os fenômenos magnéticos. Referindo-se certa vez às Equações de Maxwell, o físico
alemão Ludwig Boltzmann (citando um verso de Goethe) escreveu: “Foi um Deus quem
escreveu estas linhas...?”. Em época mais recente, J. R. Pierce, num capítulo de um livro
intitulado As Maravilhosas Equações de Maxwell, escreveu:“Qualquer um que sinta algo
inclinação por algo além do estritamente prático, deve tentar compreender as Equações
de Maxwell, simplesmente para o bem de sua alma”.
O tratamento dado por Maxwell teve por base a Mecânica Clássica, que mais tarde
tornou-se ineficaz no tratamento de alguns fenômenos ligados ao movimento de elétrons
no interior de condutores, fato este resolvido com a utilização da Mecânica Quântica por
3
Em grego o termo “histerese” significa estar em “atraso”. O “atraso” entre a aplicação de uma força
e o seu efeito, em alguns processos físicos, já era conhecido desde 1866 pelo alemão Rudolph Hermann
Arndt Kohlrausch.
4
Esta formulação das Leis de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside (1850-1925) que no final do séc. XIX,
após abandonar seu trabalho de telegrafista dedica-se ao estudo da obra de Maxwell. Utilizando cálculo
vetorial, Heaviside simplificou as 20 equações de Maxwell na forma com que se apresentam atualmente.
Feymann, criando assim uma nova Eletrodinâmica, a Eletrodinâmica Quântica.
1.2
Magnetismo da Matéria: Comportamento Microscópico
Faraday abriu as portas de um novo ramo da investigação científica quando observou
que nem todos os materiais comportam-se da mesma maneira quando submetidos a um
campo magnético. Observou que um grupo de elementos dentre os quais o ferro, são bons
“condutores” do campo magnético pois fazem convergir as linhas do campo magnético
para seu interior. A esse grupo de substâncias denominou de Paramagnéticos. Por
outro lado, outros corpos, dentre os quais se encontram o Bismuto e o Antimônio, são
pobres condutores de campo magnético, ou seja, divegem as linhas de força do campo de
si mesmos. A esse grupo Faraday denominou de Diamagnéticos e seus comportamentos
são dados respectivamente conforme as Figs.(1.3) e (1.2).
Figura 1.2: Comportamento diamagnético idealizado por Faraday
Com esses resultados, Faraday estimulou os cientistas da época na elaboração de modelos que pudessem explicar estes fenômenos. Os adeptos da teoria dos fluidos magnéticos,
explicaram o paramagnetismo como sendo resultado da atração entre fluidos magnéticos
Figura 1.3: Comportamento Paramagnético idealizado por Faraday
presentes no corpo e no seu exterior. Para o diamagnetismo, proporam ser o resultado da
capacidade que certas substâncias apresentam de reverter a polaridade daqueles fluidos.
Para Faraday, contrário a teoria dos fluidos, as propriedades magnéticas dos corpos eram
devidas principalmente às suas linhas de força, que ele considerava como um “fluxo de
poder”, já que comparava o ímã (magneto) a um circuito galvânico no qual o próprio
magneto era uma fonte de poder. A explicação dada por Faraday era insatisfatória uma
vez que não era provida de nenhum mecanismo para explicar o fenômeno magnético, no
entanto, apresenta um aspecto bastante interessante pois atribuía ao campo magnético e
não ao magneto, as ações magnéticas deste.
Alguns anos mais tarde o estudo do magnetismo da matéria traria novos fatos quando
Pierre Curie analisou o comportamento de certas substâncias, por ele denominadas de
Ferromagnéticas, em função da temperatura e/ou do campo magnético[6]. Determinou para várias substâncias a temperatura acima da qual a amostra se comporta como
paramagnética (Tc , temperatura de Curie) e fez estudos sobre o fenômeno da histerese,
uma espécie de “memória magnética”. Foi a partir dessas observações, que qualquer
modelo proposto para explicar o magnetismo teria, necessariamente, de ser capaz de reproduzir essas medidas experimentais. De um ponto de vista teórico, essas propriedades
termodinâmicas mereciam uma explicação, e isto foi uma das principais motivações para
o desenvolvimento da mecânica estatística. Uma propriedade extremamente importante,
obtida por Pierre Curie em 1895, é a famosa lei de Curie para os compostos paramagnéticos isolantes5 (por exemplo, o cristal Cr2 (SO4 )3 K2 SO4 24H2 O), que demonstra que a
susceptibilidade χ0 varia inversamente com a temperatura, ou seja, χ0 = C/T. Para as
substâncias ferromagnéticos (por exemplo, cristais formados por Fe, Ni), Curie mostrou
γ
que χ0 = C/ |T − Tc | , onde Tc é a temperatura de Curie no qual a magnetização espontânea é nula e γ é o expoente crítico associado com esta grandeza.
Na tentativa de explicar as propriedades magnéticas, em especial nos compostos paramagnéticos, o físico alemão Voigt[7], em 1901 e 1902, e J. J. Thomson[8], em 1903, estudaram o efeito de um campo magnético externo sobre um conjunto de elétrons, igualmente
espaçados, que se movimentavam em um círculo, com velocidade uniforme e em torno de
um centro comum. Este modelo não foi possível encontrar uma magnetização diferente
de zero. Porém, Voigt contornou a dificuldade admitindo que o paramagnetismo decorria
do impacto mútuo entre os elétrons orbitais sempre que, imediatamente após o impacto,
esses elétrons tivessem um excesso médio de energia potencial ou cinética. Através deste
modelo, o paramagnetismo e o diamagnetismo eram oriundos da mesma causa (!), e com
isto não foi possível deduzir a lei de Curie.
Utilizando a estatística clássica de Boltzmann e admitindo ad hoc que os átomos e
moléculas possuem um momento magnético intrínseco e permanente, Langevin[9], em
1905, conseguiu pela primeira vez reproduzir qualitativamente a lei de Curie para os
sistemas paramagnéticos isolantes. Vale ressaltar que, o uso ad hoc da existência de um
momento magnético no tratamento clássico por Langevin foi um ato de sua intuição,
pois cálculo baseado na teoria clássica lorentziana[10] indica que o paramagnetismo é
incompatível com a mecânica e o eletromagnetismo clássicos.
Baseado nos resultados da teoria de Langevin para o paramagnetismo, Pierre Weiss[11],
5
Para os compostos metálicos a susceptibilidade paramagnética é infinita em T = 0, não satisfazendo
assim a lei de Curie χo = C
T , e teoricamente foi explicada após o advento da mecânica quântica, quando
Pauli, usando o princípio de exclusão (antisimetrização da função de onda) para descrever o paramagnetismo dos elétrons livres no metal partindo da distribuição de Fermi-Dirac, conseguiu reproduzir os
resultados experimentais desses compostos metálicos.
em 1907, forneceu a primeira teoria moderna do ferromagnetismo. O modelo proposto
por Weiss considerava que uma substância ferromagnética era constituída de átomos,
os quais eram pequenos dipolos magnéticos, submetidos a um intenso campo molecular (alguns milhões de Oersteds) o qual era proporcional e paralelo à magnetização da
substância. Apesar da teoria de campo molecular de Weiss ser capaz de prever qualitativamente a transição de fases ferromagnética-paramagnética, pois apontava na direção
correta quando afirmava que o magnetismo decorria da interação mútua entre os componentes do sistema (efeito cooperativo), esta não era capaz de explicar a natureza dessa interação. Originalmente, Weiss admitiu que a interação era de natureza dipolar (∼ µ2 /a3 ,
◦
onde a ' 10 A é o parâmetro de rede), muito fraca para produzir o efeito esperado. Uma
argumentação qualitativa simples, pode ser feita para mostrar que a natureza física da
interação para o forte magnetismo não pode ser dipolar, para isso estimamos que na criticalidade a energia térmica (∼ kB Tc ) é da ordem da energia de interação ∆E (' µ2 /a3 ) ,
com isto usando os valores das constantes envolvidas obtemos Tc ' 0.1 − 1K, que é muito
menor do que os valores experimentais Tc ' 103 K.
A explicação microscópica do magnetismo, só foi possível com o advento da mecânica
quântica, em especial por Heisenberg[12], em 1928, que mostrou ser a interação forte
de natureza eletrostática. Esta interação tem origem devido às restrições impostas pelo
princípio de exclusão de Pauli à função de onda eletrônica total. Isso faz com que os
autovalores da energia dependam das orientações relativas do spin eletrônico. Portanto,
o estado fundamental do sistema é tal que os spins só podem ter um única orientação
relativa. A quantidade de energia necessária para levar o sistema para outra configuração possível é chamada de interação de troca (exchange) J. O valor e o sinal de J
em materiais magnéticos é uma conseqüência direta da distribuição eletrônica dentro do
material em questão[13]. Sendo J de origem eletrostática (' e2 /a) , pode-se mostrar que
esta energia é forte o suficiente para explicar o campo molecular intenso na teoria de
Weiss e também estimar corretamente o valor de Tc , ou seja, Tc ' e2 /kB a ' 103 K. À
primeira vista, parece muito estranho como uma energia de origem eletrostática faz com
que os momentos magnéticos nos sólidos cristalinos (ou até amorfos) fiquem configurados
numa dada direção específica. Deve-se ressaltar que, nos sólidos temos a presença de dois
tipos de interações: eletrostática e dipolar, mas no forte magnetismo nos sólidos apenas a
interação eletrostática é predominante. Por outro lado, existem compostos, como por exemplo a liga metálica diluída Eux Sr1−x S, que no regime de altas concentrações apresenta
um ordenamento dos momentos magnéticos que caracteriza uma nova fase magnética denotada de vidro de spin, no qual a interação dipolar é fundamental para o entendimento
dos resultados experimentais[14].
A teoria de campo molecular de Weiss apontava na direção certa (cooperatividade),
mas ficou claro posteriormente, a hipótese do campo molecular era equivalente à admissão
de que forças de interação entre os momentos de dipolo eram de alcance infinito, uma suposição demasiadamente distante da realiade. Por isso, novos rumos, que incorporassem
hipóteses mais realistas sobre as interações, precisavam ser tentadas.
Na tentativa de superar as deficiências apresentadas pela teoria de campo molecular
de Weiss, em 1920, o físico alemão Wilhelm Lenz propôs como tema de tese de doutoramento ao seu estudante Ernest Ising, um modelo teórico para explicar o magnetismo, que
mais tarde ficou conhecido como modelo de Ising6 [15]. O modelo consiste de momentos magnéticos colocados eqüidistantes numa cadeia linear, interagindo com seus vizinhos
mais próximos, de modo que a energia potencial é mínima quando os dipolos interagentes
apontavam numa mesma direção, e máxima quando apontassem em direção contrária,
não sendo, no entanto, permitida outras orientações. Ising resolveu exatamente este mod6
Na maioria dos livros textos de mecânica estatística, o modelo de Ising é descrito microscopicamente
pelo seguinte Hamiltoniano
X
X
H = −J
σ i σ i+1 − µB B
σ i , σ i = ±1
i
i
onde J é a interação de exchange, onde sua origem não era conhecida na época de Ising sendo considerada
um parâmetro de energia, µB o magneton de Bohr e B é o campo magnético externo. A solução
apresentada por Ising usou o ensemble microcanônico (análise combinatória). Este tipo de solução não
tem sido tratada na maioria dos livros textos, tem-se utilizado o ensemble canônico e a técnica da matriz
de transferência, pois consiste de uma solução simples e elegante. Teoricamente, o modelo de Ising é um
caso particular da modelo de Heisenberg onde as interações dos spins transversais (x e y) são desprezadas.
elo, obtendo toda a termodinâmica, mas com o resultado frustrante de que a campo nulo
a magnetização é nula, não sendo possível, assim, explicar o magnetismo permanente na
matéria. Na sua tese de doutorado, Ising também apresentou argumentos que o seu o
modelo não exibe ferromagnetismo em duas e três dimensões, com isto foi natural que o
modelo foi subseqüentemente negligenciado pela comunidade científica da época.
Heisenberg, em 1928, quando propôs um modelo para explicar o magnetismo, citou a
falha do modelo de Ising para justificar a introdução de seu modelo. Assim, durante algum
tempo, o modelo de Ising foi ignorado pelos teóricos e o modelo de Heisenberg, quase
simultaneamente introduzido por Dirac[16] e Frenkel[17] foi extensamente estudado. Os
trabalhos de Dirac, Heisenberg e outros, foram os primeiros a formular um Hamiltoniano
de interação entre os spins da rede cristalina do tipo
H=−
X
→−
−
→
Jij Si .Sj ,
(1.1)
hi,ji
onde Jij é a interação de exchange, o somatório é feito sobre pares de primeiros vizinhos
→
−
e Si = (Six , Siy , Siz ) é o operador de spin no sítio i. A energia de exchange Jij corresponde
fisicamente a diferença de energia entre as configurações de spin paralelo (tripleto) e
anti-paralelo (singleto), isto é, J = E↑↑ − E↑↓ . Portanto, J > 0 o mínimo de energia
corresponde aos spins paralelos (estado ferromagnético) e J < 0 os spins anti-paralelos
(estado antiferromagnético).
Os estudos de Faraday mostraram alguns tipos de interação da matéria com o campo
externo aplicado. Estudos modernos em teoria dos sólidos através da mecânica quântica
elucidaram essa diferença de comportamento com base no prenchimento eletrônica das
camadas atômicas. A formação dos sólidos a partir dos diferentes elementos presentes
na tabela periódica requer, na maioria das vezes, uma troca de elétrons que provoca em
um o preenchimento de sua última camada formando assim íons diamagnéticos, é o que
acontece por exemplo com o cloreto de sódio (NaCl).
Por outro lado, os íons dos elementos de transição do ferro (T i, V, Cr, Mn, F e, Co, Ni)
apresentam a camada 3d incompleta, mesmo tendo elétrons na camada 4s. Nas ligações
químicas são os elétrons 4s que são perdidos inicialmente deixando a camada 3d incompleta formando assim um íon com momento magnético total não nulo, o magnetismo nos
sólidos é então originado basicamente das distribuições dos elétrons nas camadas incompletas. Faremos a seguir um breve resumo das principais fases magnéticas, presentes na
maioria dos sólidos.
a) Diamagnetismo: os materiais denominados diamagnéticos, não possuem dipolos
magnéticos intrínsecos, ou seja apresentam momento angular total nulo (J = L +
S = 0), porém é possível induzir dipolos magnéticos nestes materiais pela ação de
um campo magnético externo. O diamagnetismo é uma manifestação da lei da
indução de Faraday atuando sobre os elétrons atômicos. O fato de que o momento
magnético induzido é oposto ao sentido do campo indutor pode ser visto como
uma consequência da lei de Lenz7 atuando numa escala atômica. Essa oposição
faz com que o valor do campo no interior do material apresente seu valor reduzido.
O diamagnetismo é uma propriedade de todos os átomos. Entretanto, quando um
átomo possui momento de dipolo magnético intrínseco (paramagnetismo), o efeito
diamagnético torna-se geralmente imperceptível.
b) Paramagnetismo: na maioria dos átomos e íons, os efeitos magnéticos dos elétrons,
incluindo os que se devem aos spins e aos movimentos orbitais, anulam-se exatamente, de modo que o átomo ou o íon é não magnético. Isto é válido para os gases
raros como o neônio e para íons como o Cu+ , que constitui o cobre comum. Em
outros átomos e íons, os efeitos magnéticos dos elétrons não se anulam, de modo
que o átomo como um todo tem um momento de dipolo magnético µ. Encontram-se
exemplos deste caso entre os elementos de transição, como o Mn2+ , as terras-raras,
como o Gd3+ , e os elementos da série dos actinídios, como o U 4+ . O paramagnetismo
7
O fato deste valor ser negativo é justificado pela Lei de Lenz: esta é uma lei que diz que um circuito
submetido a um campo magnético externo variável, cria um campo contrário opondo-se a variação deste
campo externo.
(paramgnetismo de Curie) é caracterizado quando em uma amostra contendo N
átomos, cada um com um momento de dipolo µ, não interagente e orientado nas
mais diversas direções, isto é hµi = 0, apresenta tendência a alinhar-se na direção
de um campo externo aplicado8 . Caso houvesse alinhamento perfeito, a amostra
como um todo ficaria com um momento de dipolo magnético igual a Nµ. No entanto, o processo de alinhamento é seriamente perturbado pela agitação térmica:
oscilações causais de átomos (resultantes da agitação térmica) levam a colisões no
interior da matétria, em alguns casos a energia cinética se transfere para átomos já
alinhados e rompe seu alinhamento. Esses materiais são caracterizados pela Lei de
Curie: χ =
C
,
T
onde C é a constante de Curie e T a temperatura.
c) Ferromagnetismo: Quando uma interação entre os momentos magnéticos de
diferentes átomos é adicionada à interação com o campo magnético aplicado, temos
o ferromagnetismo de Curie-Weiss. Esta interação entre os momentos (interação
de troca) pode ajudar a alinhar momentos adjacentes na mesma direção ou pode
ajudar a alinhar a vizinhança na direção oposta. A susceptibilidade de Curie-Weiss
é dada por
χCW =
C
,
T −θ
onde T é a temperatura. O parâmetro θ está relacionado com a intensidade de
interação entre os dipolos. Para θ > 0, esta interação promove o ordenamento
dos dipolos na mesma direação, neste caso temos uma interação denominada de
ferromagnética e para Tc = θ onde Tc é a temperatura de Curie o sistema sofre
uma transição de fase ferromagnética-paramagnética. Para θ < 0 teremos o ordenamento dos dipolos em sentidos contrários, essa rede de interação é denominda de
antiferromagnética. Seus comportamentos estão representados na Fig.(1.4)
8
Esta configuração é energeticamente favorecida pois o mínimo de energia ocorre quando µ e H ficam
alinhados, conforme mostra a equação vetorial: U = −µ.H.
Figura 1.4: Paramagnetismo de Curie-Weiss
Outra forma de paramagnetismo é o de Pauli, que é observado em metais e é devido
ao fato dos elétrons de condução terem momentos magnéticos que podem ser alinhados
com o campo aplicado (a banda de condução é separada em duas com a aplicação do
campo, uma com elétrons de spin 1/2 e outra com elétrons de spin −1/2, o momento
magnético resultante dessas bandas tem a direção do campo, o que caracteriza o paramagnetismo). Uma característica do paramagnetismo de Pauli é que χ é aproximadamente
independente da temperatura e em muitos casos tem valor muito pequeno. Alguns elementos do grupo de transição, como o ferro, níquel e cobalto puros ou em ligas com
outros elementos, apresentam uma alta magnetização espontânea abaixo da temperatura
de Curie (Tc ). O módulo da magnetização em materiais ferromagnéticos é várias ordens
de grandeza maior do que em materiais paramagnéticos e diamagnéticos, e a sua relação
com o campo H é não linear. A curva de magnetização não depende somente do material, mas do tratamento (térmico, magnético) a que este foi submetido, ou seja, de sua
história anterior. Por isso, costuma-se dizer que os materiais ferromagnéticos possuem
memória ou uma função memória. Na Fig.(1.5), o comportamento da magnetização M
em função do campo H é característico de um material magneticamente duro como o aço
temperado (preparado por aquecimento seguindo de resfriamento brusco).
Figura 1.5: Fenômeno da histerese, fato responsável pela “memória” que materiais ferromagnéticos apresentam pois retêm parte do campo nele aplicado.
Aplicando-se um campo no material inicialmente desmagnetizado, este seguirá a curva
pontilhada até atingir um patamar constante chamado de magnetização de saturação
(Ms ). Diminuindo o campo a partir deste valor, M descresce mais lentamente seguindo
o sentido dado pela seta até um valor residual da magnetização para um campo nulo
chamado de magnetização remanente (Mr ), onde o material permanece magnetizado
sem aplicação de campo como acontece com os ímãs de geladeira. Invertendo o sentido
do campo segue no mesmo sentido da curva para valores de M menores que Mr até que a
magnetização se anule para um determinado valor de campo chamado de campo coercivo
(Hc ). E se continuarmos a variar o módulo do campo chegaremos novamente a uma
regão de saturação e repetindo o ciclo no sentido inverso obtemos uma curva fechada que
constituindo assim o chamado ciclo de histerese. Para um material como o ferro doce,
em geral preparado por aquecimento até uma temperatura elevada, seguida de resfriamento lento (processo de recozimento) também possui um ciclo de histerese, mas a sua
largura é muito pequena aparentando ser uma curva unívoca. Uma aplicação da memória
característica destes materiais é a gravação de mídia magnética (fitas K7), memórias permanentes, dispositivos eletrônicos e outras. Os materiais ferromagnéticos são os materiais
mais utilizados na industria eletrônica, juntamente com os semicondutores.
1.3
Modelo de Heisenberg
As interações responsáveis pelo ordenamento dos spins (energia de troca) nos estados
ferromagnético (↑↑) e antiferromagnético (↑↓) só foram realmente entendidas com a utilização da mecânica quântica, feita independentemente por Heisenberg[12], Frenkel[17] e
Dorfman[18].
A descrição microscópica de um sólido ferromagnético envolve três problemas distintos: i) a natureza dos portadores de momento magnético; ii) a origem das interações
entre eles; e iii) a termodinâmica do sistema constituído por um conjunto de portadores
de momento magnético em interação. Neste trabalho nos restringiremos à termodinâmica
de modelos magnéticos com momentos localizados (isolantes). A interação entre os momentos magnéticos existente num sólido é responsável pela ordem magnética. Um cristal
está ordenado ferromagneticamente, quando essa interação ordena em média os momentos
magnéticos, na ausência de campo magnético externo, numa dada direção cristalográfica
(eixo fácil da magnetização) para temperatura inferior a Tc (temperatura de Curie), resultando assim numa magnetização espontânea não nula. Se a energia térmica kB Tc for
maior que a energia de interação entre os momentos magnéticos J, a ordem ferromagnética é destruída, e dizemos que o sistema sofreu uma transição de fase ferromagnéticaparamagnética. Exemplos típicos de materiais ferromagnéticos são cristais constituídos
por elementos F e, Co e Ni, e esses são todos metálicos. Porém, o tratamento qualitativo das propriedades magnéticas pode ser aproximadamente descrito pelo modelo de
Heisenberg.
Em compostos antiferromagnéticos, por exemplo MnF2 , F eF2 , CoF2 , La2 CuO4 , os
momentos magnéticos, em média, se orientam antiparalelamente. Este ordenamento
não é aleatório (paramagnético), mas cada spin da rede cristalina interage com os seus
primeiros vizinhos cujo mínimo de energia corresponde os momentos antiparalelos. Por
esta razão, um antiferromagneto consiste de um conjunto de duas sub-redes interpenetrantes: A(spins para cima) e B(spins para baixo), tendo cada uma sub-rede um valor
médio dos momentos MA e MB , que correspondem às magnetizações de sub-redes. Na
ausência de campo magnético externo MA = −MB 6= 0 para uma temperatura inferior a
TN (temperatura de Néel). Diferente dos ferromagnetos, os compostos antiferromagnéticos apresentam transição de fase induzida por ampo externo TN (H), onde dependendo
do material o diagrama de fase no plano T versus H apresenta vários pontos multicríticos
(tricrítco, bicrítico e crítico terminal)[19].
Para elucidar a natureza da interação de exchange, considere o exemplo de dois
elétrons em um átomo conforme mostra a Fig.(1.6) .
Figura 1.6: Representação esquemática de um átomo com dois elétrons (He).
O Hamiltoniano que representa este sistema é dado por
H=
¢
−h̄2 ¡ 2
∇1 + ∇22 + V (r1 , r2 ),
2m
(1.2)
sendo V (r1 , r2 ) = V (r1 ) + V (r1 ) + V12 (r). O Hamiltoniano dado pela Eq.(1.2), não apresenta termos de interação magnética (energia muito menor que a de origem eletrostática)
o que provoca a ausência das variáveis de spin. Podemos compor a função de onda total
do sistema de dois elétrons Ψ com sendo o produto das funções de onda espacial com os
spinors (relação das componentes de spin), ou seja
ΨS1 S2 (r1 , r2 ) = ϕ(r1 , r2 ).χs (S1 , S2 ),
(1.3)
onde S1 e S2 são as projeções dos spins (±1) em uma determinada direção e ϕ(r1 , r2 ) é
obtida à paritr da equação de Schrödinger estacionária
Hϕ(r1 , r2 ) = E(1, 2)ϕ(r1 , r2 ),
(1.4)
onde E(1, 2) é a auto-energia de H.
A Eq.(1.4) deve ser tratada com cuidado pois de acordo com o princípio de exclusão de
Pauli, dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, isso faz
com que a função de onda total seja antisimétrica ( i. e. ΨS1 S2 (r1 , r2 ) = −ΨS1 S2 (r2 , r1 )),
ou seja se ϕ(r1 , r2 ) for simétrica [ϕ(r1 , r2 ) = ϕ(r2 , r1 )], χ(S1 , S2 ) tem que ser antisimétrica
[χ(S1 , S2 ) = −χ(S2 , S1 )] e vice-versa. Utilizamos a soma do momento angular para spin
1
2
para descrever os estados totais χs (S, M = −S, ..., S) [S = 0, 1] como uma combinação
linear dos estados de dois spins χ(m1 , m2 ). Isto faz com que tenhamos os spins totais
S = 0(M = 0) ou S = 1(M = −1, 0, 1), cujas componentes dos spinors são dadas por
1
χs (0, 0) = √ [χ(+, −) − χ(−, +)] Singleto (Antisimétrico),
2
χs (1, 0) =









χ(+, +)
√1
2
[χ(+, −) + χ(−, +)]
χs (+, −) = χ(−, −)









Tripleto (Simétrico),
(1.5)
(1.6)
onde χ(m1 , m2 ) corresponde ao estado do elétron 1 com componete de spin m1 = ± e o
elétron 2 com componente de spin m2 = ±.
A função de onda espacial é obtida à partir da resolução da equação diferencial representada pela Equação de Schrödinger, Eq.(1.4). No entanto, a presença do termo
de interação entre os elétrons, V12 (r), torna a solução exata impossível. Em vista disso
tratamos o problema de forma aproximada, via teoria de perturbação, dado que o termo
de interação V12 (r) pode ser encarado como termo perturbativo. A Eq.(1.4) é aplicada
então para um sistema de elétrons independentes sendo depois acrescentada a correção
aproximada devido a perturbação.
Para o caso em que V12 (r) = 0 e desprezando as interações tipo spin órbita, podemos
desmembrar H = H0 (solúvel) para cada partícula, respectivamente H10 e H20 , assim chegamos às seguintes equações
H10 ϕn (r1 ) = En0 (1)ϕn (r1 )
(1.7)
0
H20 ϕm (r1 ) = Em
(1)ϕm (r1 ),
(1.8)
e
onde m e n identificam os estados orbitais quânticos de cada partícula. Dessa forma a
função de onda espacial será dada pelo produto das funções de onda de cada partícula,
isto é
ϕn,m (r1 , r2 ) = ϕn (r1 )ϕm (r2 ) = ϕ1 (r1 , r2 )
(1.9)
ϕn,m (r1 , r2 ) = ϕm (r1 )ϕn (r2 ) = ϕ2 (r1 , r2 ).
(1.10)
ou
As duas autofunções acima aplicadas ao sistema formado por partículas idênticas
0
0
0
apresentam uma degenerescência dada por: Enm
(1, 2) = En0 (1)+Em
(2) = Em
(1)+En0 (2).
Sabendo disso, podemos tratar os efeitos de V12 via teoria de perturbação degenerada de
1a ordem, onde procuramos resolver inicialmente o seguinte determinante para encontrar
as auto-energias
sendo
¯
¯
¯ hHi11 − Enm (1, 2)
hHi12
¯
¯
¯
hHi21
hHi22 − Enm (1, 2)
hHi12 = hHi21 = J =
Z
¯
¯
¯
¯=0
¯
¯
ϕ∗n (r1 ).ϕ∗m (r2 )V12 ϕn (r2 ).ϕm (r1 )dr1 dr2
(1.11)
(1.12)
e
0
hHi11 = hHi22 = Enm
(1, 2) + K,
(1.13)
sendo K definido por:
K=
Z
|ϕn (r1 )|2 V12 |ϕn (r2 )|2 dr1 dr2
(1.14)
A integral em J representa a energia correspondente à interpenetração das funções
de onda e é conhecida como integral de troca ou exchange. Resolvendo o determinante
na Eq.(1.11) obtemos os auto-valores associados às auto-funções dadas por
1
0
E1 (1, 2) = Enm
(1, 2) + K + J ⇒ ϕsim (r1 , r2 ) = √ [ϕ1 (r1 , r2 ) + ϕ2 (r1 , r2 )]
2
(1.15)
e
1
0
(1, 2) + K − J ⇒ ϕantisim (r1 , r2 ) = √ [ϕ1 (r1 , r2 ) − ϕ2 (r1 , r2 )] . (1.16)
E2 (1, 2) = Enm
2
Substituindo os resultados encontrados para a função espacial, Eqs.(1.15) e (1.16), e
spinor, Eqs.(1.5) e (1.6) na função de onda total, Eq.(1.3), obtemos os possíveis casos
(preservando a característica antisimétrica da função)
ΨS=0 (r1 , r2 ) = ϕsim (r1 , r2 ).χ(0, 0), Singleto
(1.17)
ΨS=1 (r1 , r2 ) = ϕantisim (r1 , r2 ).χ(1, M), Tripleto,
(1.18)
e
onde na Eq.(1.18) temos na verdade três soluções cada uma correspondendo a um valor
de M (M = −1, 0, 1).
Devido a antisimetrização das funções de onda, o potencial V12 depende implicitamente do spin com energia associada ao estado singleto dada pela Eq.(1.15) e o tripleto,
representado pela Eq.(1.16). Tomando a diferença de energia entre esses dois estados
teremos o valor da energia de exchange, ou seja
J=
1
[E(S = 0) − E(S = 1)] ,
2
(1.19)
onde E(S = 0) corresponde à energia do estado singleto (spins antiparalelos ↑↓), Eq.(1.15)
e E(S = 1) ao estado tripleto (spins paralelos ↑↑), Eq.(1.16). Levando em conta a situação
de mínima energia para o equilíbrio do sistema temos para J > 0 formação do estado
tripleto e para J < 0 a formação do estado singleto, temos ai respectivamente a formação
de sistemas ferromagnético e antiferromagnético.
A energia de exchange tem a propriedade de decrescer exponencialmente com a distância entre os íons, em contraste com a interação coulombiana que decresce mais lentamente (' 1r ). Isto ocorre pois na integral definida para J há o produto ente funções
de onda de elétrons ligados em diferentes núcleos, isso provoca um overlap nas funções
que tem por característica um rápido decrescimento. Assim, interações de exchange são
essencialmente de curto-alcance.
Considerando então um sistema formado por dois elétrons com autofunção dada por
ΨS=0,1 (r1 , r2 ), temos o spin total dado por S = S1 + S2 , o operador S2 satisfaz a seguinte
relação

 S2 Ψ (r , r ) = S(S + 1)Ψ (r , r )
S 1 2
S 1 2
,

S2 Ψ (r , r ) = 3 Ψ (r , r )
i
S
1
2
4
S
1
(1.20)
2
onde temos usado h̄ ≡ 1.
Usando as relações em (1.20) obtemos
1
(1 + S1 .S2 )ΨS (r1 , r2 ) = [S(S + 1) − 1] ΨS (r1 , r2 ).
2
(1.21)
Vimos que o Hamiltoniano inicial pode ser dado pela soma entre um termo que
representa as partículas livres H0 e outro que é o termo de interação V12 (r), ou seja
H = H0 + V12 (r).
(1.22)
A equação de Schröndinger para H apresenta soluções dadas pelas Eqs.(1.15) e (1.16),
sendo E1 (1, 2) = E(S = 0) e E2 (1, 2) = E(S = 1). Definimos então um operador que
possui autovalor E(S = 0) no estado singleto e E(S = 1) no estado tripleto. Assim temos
HΨS=0 (r1 , r2 ) = E(S = 0)ΨS=0 (r1 , r2 ) = (E + K + J)ΨS=0 (r1 , r2 )
(1.23)
HΨS=1 (r1 , r2 ) = E(S = 1)ΨS=1 (r1 , r2 ) = (E + K − J)ΨS=0 (r1 , r2 ).
(1.24)
e
Usando o resultado da Eq.(1.21), podemos reescrever o Hamiltoniano (1.2) na seguinte
forma
H = H0 + (K −
J
) − JS1 .S2 ,
2
(1.25)
tomando como constante os dois últimos termos ficaremos
H =cte − JS1 .S2 ,
(1.26)
que redefinindo aconstante para o ponto zero das energias obtemos
H = − JS1 .S2 .
(1.27)
O Hamiltoniano dado pela Eq.(1.27) foi obtido de forma simples para o caso de
uma molécula diatômica. Para o caso de um sistema com N partículas interagentes,
consideramos novamente apenas interações coulombianas. As funções de onda do sistema
apresentam propriedades de simetria bem definidas e realizando uma combinação de pares
de ligações distintas na rede podemos generalizar o Hamiltoniano (1.27) na forma
H =−
X
Jij Si .Sj ,
(1.28)
(ij)
onde o somatório é feito sobre todos os pares ij da rede cristalina e Si = (Six , Siy , Siz ) o
operador de spin no sítio i. A Eq.(1.28) é conhecida como modelo de Heisenberg isotrópico
pois as três direções no espaço apresentam a mesma probabilidade de orientação.
O Hamiltoniano (1.28) foi derivado por meio da aproximação de Heitler-London, que
é usada na teoria das moléculas comligações covalentes. Átomos livres são rearrumados
como uma aproximação de ordem zero, onde o envolvimento (overlap) entre funções
de onda atômica de sítios próximos é tratado como uma pequena perturbação. Desta
forma, expressamos a integral de exchange, Eq.(1.12), em termos das funções atômicas
e a energia elétrica entre os elétrons. Muitos cálculos numéricos na obtenção da energia
de exchange J nos metais do grupo do ferro, tem apresentado resultados contraditórios
com respeito ao sinal de J, que para esse caso particular J > 0 (ferromagnético).
Nos isolantes, onde as interações antiferromagnéticas aparecem como dominante, cálculos sugerem que o exchange direto Jij , presente na Eq.(3.1), não pode ser devido ao
acoplamento dos íons diretamente, isto porque em muitos casos as distâncias entre os
vizinhos mais próximos são grandes o suficiente para obtermos um apreciável overlap das
funções de onda. A generalização do exchange foi primeiramente realizada por Kramers,
em 1934[20], onde a idéia de exchange indireto ou superexchange foi proposta. A idéia
desta interação é simples, que consiste na presença de um íon diamagnético entre cada
par de íons magnéticos no cristal, fazendo com que cada par de íons magnéticos não apresente uma interação direta e sim é intermediada pela presença do íon diamagnético. A
idéia do superexchange tem sido também desenvolvida numa forma geral por Anderson,
em 1963[21], e aplicado recentemente na descrição dos novos compostos supercondutores
de altas temperaturas formados por planos de CuO2 , por exemplo o composto cerâmico
La2−x Bax CuO4 que valeu o prêmio nobel de 1987 aos pesquisadores Berdnoz e Müller[22].
Para os condutores, a idéia de superexchange foi estendida por Zener, em 1951[23], no
qual as interações entre os elétrons localizados nas bandas d e f (interação d − f ) em
diferentes íons são mediadas pelos íons (elétrons) livres de condução. A energia de exchange tem a propriedade de decrescer rapidamente (exponencial) com a distância entre
os núcleos, em contraste com a interação coulombiana que decresce mais lentamente. A
razão é que Jij na Eq.(3.1) contém o produto de funções de onda de elétrons ligados
em diferentes núcleos, portanto Jij dependerá de envolvimento (overlap) das funções de
onda φ1,2 (r1 ) e φ1,2 (r2 ), e este overlap decresce exponencialmente com a distância. Desta
maneira a interação de exchange corresponde uma interação de curto-alcance.
Para que um átomo ou íon possua um momento magnético permanente, deve ter um
momento angular (orbital + spin) efetivo. Numa camada completamente preenchida, o
momento angular efetivo é nulo (regra de Hund). Por outro lado, se um átomo possui
uma camada interna, d ou f, incompleta, temos assim um momento angular não nulo. A
estrutura eletrônica em torno de um íon depende da natureza do próprio íon bem como
da distribuição geométrica de seus íons vizinhos. Outro fator importante é a presença de
impurezas não magnéticas na vizinhança de um íon magnético resultante de um íon em
um sólido.
À primeira vista, o estado fundamental de redes antiferromagnéticas seria aquele em
que todos os spins se alinham antiparalelamente (estado de Néel). Porém, este não é
auto-estado do Hamiltoniano de Heisenberg e, além deste estado, há uma infinidade com
P
spin total nulo (S z = i Siz ), que devem ser combinados para formar o estado fundamental. A difilcudade em estabelecer um estado fundamental é o maior problema teórico que
surge no estudo do antiferromagnetismo e é o que justifica o fato de que, embora ele apresente maior interesse do ponto de vista experimental, tenha se dado, inicialmente, maior
atenção ao caso ferromagnético. Uma diferença crucial entre as propriedades magnéticas
de compostos ferromagnéticos e antiferromagnéticos reside no estudo do comportamento
da susceptibilidade magnética (χ0 ) a campo nulo em função da temperatura. Para o
caso ferromagnético temos que χ0 , que representa fisicamente a grandeza resposta da
presença do campo externo sobre a magnetização do sistema, apresenta singularidade na
temperatura de Curie Tc , isto é, para T ' Tc observa-se o comportamento χ0 '
C
γ
|T −Tc |
enquanto o caso antiferromagnético temos a presença de um ponto de máximo na temperatura crítica TN .
1.4
Outras Interações
A interação de exchange (e superexchange) se caracteriza pelo fato de ser independente
da orientação dos spins, consequentemente o Hamiltoniano deve ser invariante por rotação
de spin. Esta transformação implica que o Hamiltoniano deve conter apenas termos pares
de operadores Siν , onde a forma aproximada (1.28) representa o Hamiltoniano bilinear.
Vários outros termos de interações poderão ser incluídos para o verdadeiro entendimento
microscópico do magnetismo, como por exemplo o termo biquadrático
b1 = −
H
X
Jij0 (Si .Sj )2 ,
(1.29)
(i,j)
o termo da interação antisimétrica Dzyaloshinski e Moriya (DM) (responsável pela explicação do pequeno ferromagnetismo nos compostos antiferromagnéticos),
bDM = −
H
X
(i,j)
Dij . (Si × Sj ) ,
(1.30)
onde Dij = −Dji é um tensor antisimétrico, interações de quatro corpos
H4 = −
etc...
X
ijlk
Jeijlk (Si .Sj )(Sl .Sk ),
(1.31)
A inclusão da interação DM, Eq.(1.30), no Hamiltoniano de Heisenberg ferromagnético tem induzido uma transição de fase de primeira ordem (presença de calor latente)2.30
com a presença de um ponto tricrítico (separa uma linha de 2o ordem de outra de 1o ordem) no diagrama de fase no plano (T, D). Por outro lado, analisando esta inclusão no
Hamiltoniano de Heisenberg antiferromagnético não é observada transição de 1o ordem??.
O tipo de estrutura cristalmagnética é determinada pela natureza e magnitude das
interações entre osmomentos magnéticos dos íons que compõem o cristal. A interação
de exchange, de origem eletrostática (mais o princípio de exclusão de Pauli) responsável
pelo ordenamento magnético, é de natureza isotrópica, independe da direção do spin com
respeito ao eixo cristalino. A energia de exchange naõ é capaz de definir alguma orientação
específica dos momentos magnéticos diferentes com respeito aos eixos cristalográficos,
mas ela produz um ordenamento mútuo dos spins em vários sítios da rede. O fato
de que a distribuição de spins ordenados é sempre orientada numa dada direção (eixo
fácil da magnetização) definida com respeito ao eixo cristalino, devemos assim ter algum
outro tipo de interação que torne o sistema (Hamiltoniano) anisotrópico. Fisicamente,
as interações magnéticas (dipolar, quadrupolar, etc) são responsáveis pela existência da
anisotropia magnetocristalina, que se manisfeta com a dependência da energia do cristal
nas orientações dos momentos magnéticos dos átomos com relação ao eixo cristalino.
Podemos dizer que em um cristal existem campos magnéticos efetivos internos que tendem
a orientar os momentos magnéticos em uma dada direção privilegiada. Este campo pode
alterar algumas vezes as orientações mútuas dos momentos magnéticos dos átomos, desta
forma distorcendo assim a estrutura magnetocristalina (transição de fase estrutural).
Um primeiro exemplo de anisotropia, é a interação dipolar que é representada pelo
seguinte Hamiltoniano
bdipolar = −4µ2B
H
¾
X ½ Si .Sj − 3(b
rij .Si )(b
rij .Sj )
rij3
(ij)
onde rij = ri − rj é o vetor posição que separa os íons i e j, rbij =
,
(1.32)
rij
rij
é o vetor unitário e
µB o magneton de Bohr.
É importante mencionar que tanto o Hamiltoniano de Heisenberg, Eq.(1.28), como o
dipolar, Eq.(1.32), as interações spin-spin são uma forma quadrática em termos dos operadores de spin Si e Sj (interação bilinear). Fisicamente podemos interpretar a energia
de exchange como sendo a interação (acoplamento) do momento magnético µi = gµB Si
(h̄ ≡ 1) com um campo molecular (teoria de Weiss) resultante de todos os outros momentos magnéticos vizinhos, gerando assim um campo magnético muito intenso, da ordem
de 104 Oe, explicando microscopicamente a origem do forte magnetismo da matéria. O
fenômeno do forte magnetismo é restrito apenas a compostos sólidos, não tendo sido
observado nos estados líquido ou gasoso. A energia dipolar também pode ser interpretada qualitativamente em função do campo molecular, porém nesse caso a intensidade do
campo é muito pequena, da ordem de 10−1 Oe não podendo explicar o forte magnetismo.
Um outro tipo importante de interação que o spin eletrônico ligado no átomo sente
é a ação do campo magnético gerado pelo núcleo devido ao movimento relativo (orbital)
entre os elétrons e o núcleo. Esta interação, denominada spin-órbita, é a responsável pela
estrutura hiperfina no espectro atômico, e é descrita pelo seguinte Hamiltoniano
onde ξ(ri ) =
1 dφ(ri )
,
2m2 ri dri
bL.S =
H
X
ξ(ri )Li .Si ,
(1.33)
i
φ(ri ) é a energia potencial elétrica (núcleo-elétron), Li e Si são
os momentos angular e spin, respectivamente no sítio i.
o
Utilizando teoria de perturbação de 2 ordem para a energia de interação spin-órbita,
a Eq.(1.33) poderá ser reescrita na forma
bL.S =
H
sendo
Λiαβ = 2ξ 2
X
Λiαβ Siα Siβ ,
(1.34)
i,(α,β)
X
hp |Lαi | li
D ¯ ¯ E
¯ ¯
l ¯Lβi ¯ p
Epo − Elo
`6=p
,
(1.35)
­
®
onde ξ 2 = ξ 2 (ri ) , e Eno é o autovalor do Hamiltoniano não perturbado.
O Hamiltoniano (1.34) pode ser reduzido, levando em consideração propriedades de
simetria, a um importante caso particular que leva em conta apenas termos diagonais do
tensor Λiαβ = Di δ αz δ βz − Ei [δ αx δ βx − δ αy δ βy ], resultando assim na anisotropia ortorrômbica dada por
bion = −
H
X
Di (Siz )2
+
i
X
i
h
i
y 2
x 2
Ei (Si ) − (Si ) ,
(1.36)
onde para Ei = 0 a Eq.(1.36) reduz-se ao caso da anisotropia uniaxial. Observe que o
Hamiltoniano (1.36) representa a “interação” do sítio i com ele mesmo (auto-interação),
que é uma consequência da interação spin-órbita, conhecida na literatura como anisotropia
de íon-único. A Eq.(1.36) só é relevante para sistemas com spin S > 1/2, pois o caso
particular de spin S = 1/2 temos que (Siν )2 = 1/4 para qualquer componente ν = x, y, z
e consequentemente a Eq.(1.36) se reduzirá a uma constante que pode ser desprezada
nos cálculos das grandezas termodinâmicas.
Vamos interpretar fisicamente a inclusão da anisotropia uniaxial, Eq.(1.36) com Ei =
0, no Hamiltoniano de Heisenberg, Eq.(1.28), ou seja, teremos o seguinte Hamiltoniano
resultante
H=−
X
(i,j)
Jij Si .Sj −
X
i
Di (Siz )2 ,
(1.37)
onde na Eq.(1.37) para o limite Di = 0 (isotrópico), as três direções espaciais (x, y, z)
são energeticamente equivalentes, portanto do ponto de vista da mecânica estatísitica as
probabilidades de encontrar os spins nas três direções são iguais, resultando assim hSix i =
­
® ­
® ­
®
hSiy i = hSiz i e Six Sjx = Siy Sjy = Siz Sjz . A presença do segundo termo na Eq.(1.37)
quebra essa isotropia. Se Di > 0, interpretamos que a direção axial (eixo z) é probabilís® ­
® ­
®
­
ticamente mais favorecida com hSiz i > hSix i = hSiy i e Siz Sjz > Six Sjx = Siy Sjy . Em
se tratando de transições de fase, por exemplo ferromagnética-paramagnética, a temper-
atura crítica Tc (D) cresce à medida que aumentamos o valor da anisotropia Di = D > 0,
pois a magnetização axial Mz ≡ hSiz i fica agora mais forte por causa do termo de íonúnico D que favorece ainda mais a direção axial, e dizemos que para D > 0 o sistema tem
a classe de universlidade do modelo de Ising (expoentes críticos Ising e não temperatura
crítica). No limite D → ∞, apenas os estados −S e S do operador Siz são energeticamente
favorecidos e teremos assim um sistema com dois estados apenas interagindo axialmente,
que corresponde fisicamente o modelo de Ising de spin 1/2. Do ponto de vista teórico,
todos os compostos magnéticos isolantes são descritos pelo Hamiltoniano de Heisenberg,
porém devido ao forte acoplamento spin-órbita, que microscopicamente é mapeado pela
anisotropia de íon-único, Eq.(1.36), podemos para o caso Ei = 0 e Di = D > 0 aproximar o sistema axial por um modelo de Ising com uma única componente nas direções
dos spins.
Por outro lado, quando Di < 0 na Eq.(1.37) a direção axial fica agora “enfraquecida”
­
®
­
®
­
®
energeticamente, o que resulta em hSiz i < hSix i = hSiy i e Siz Sjz < Six Sjx = Siy Sjy .
Neste caso, a temperatura crítica na qual Mz tende a zero diminui gradualmente à medida
que D < 0 diminui. Ao contrário do caso D > 0, onde os spins preferem se orientar
axialmente, no caso D < 0 os spins tendem ao plano XY, e podemos associar este regime
à classe de universalidade do modelo XY. Diante dessa análise qualitativa, temos que
as temperaturas críticas para os modelos Ising (I), XY e Heisenberg (H) satisfazem a
desigualdade: Tc (I) > Tc (XY ) > Tc (H).
A fim de reproduzir teoricamente os três limites dos modelos Ising, XY e Heisenberg
isotrópico, é comum escrever um Hamiltoniano efetivo de spins na forma generalizada
H=−
X
(ij)
¡
¢
Jij η x Six .Sjx + η y Siy .Sjy + Siz .Sjz ,
(1.38)
onde η ν ∈ [0, 1] é o parâmetro de anisotropia da componente ν = x, y da interação dos
spins. O Hamiltoniano (1.38) é cohnecido na literatura como o modelo de Heisenberg
anisotrópico (xyz) e reduz-se a casos particulares dos modelos Ising (η x = η y = 0), XY
(η x = 0 ou η y = 0) e Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
O estado fundamental (T = 0) e algumas excitações elementares do Hamiltoniano (1.38) numa rede unidimensional para spin S = 1/2 foi resolvido exatamente por
Bethe[27], em 1931, e Hulthén[28], em 1938, no limite isotrópico (η x = η y = 1). A generalisação do método de Bethe e Hulthén para incluir a anisotropia η x = η y = η foi feita
anos mais tarde por Walker[29], cuja energia do estado fundamental por partícula é dada
por
J
E0 (η) '
2
(
"
#)
∞
X
4
1
− tanh(a) 1 +
,
2
exp(2ηa)
+
1
n=1
(1.39)
onde sech(a) = η.
Outro resultado exato para o modelo de Heisenberg numa rede d(=1,2)-dimensional
é o teorema de Mermin e Wagner[30], que afirma que este sistema não apresenta ordem
de longo alcance a T > 0 no limite isotrópico para d = 1, 2, e resumidamente é expresso
através das seguintes desigualdades
|M(T, H)| ≤
onde W =
P
(r,r0 )
 





 






tg −1
½
π2 β 2 W
r
π 2 W S(S+1)
|M (T,H)|
 13
1
 S(S + 1) |H| 3 , d = 1
i
h 4πβW
π 2 W S(S+1)
log 1+ |H||M(T,H)|
¾ 12
(1.40)
S(S + 1), d = 2
|J(r − r0 )| |r − r0 |2 < ∞, S é a magnitude do spin e H o campo magnético
externo. No limite de campo nulo (H = 0), a partir das deigualdades (1.40) temos que
M(T, 0) = 0, não apresentando ordem de longo-alcance para T > 0. Se admitirmos uma
interação de longo-alcance do tipo J(r) =
J
,
rp
é fácil mostrar que W < ∞ se e somente
se p > d + 2, e portanto é o limite de aplicabilidade do teorema de Mermin e Wagner[30].
Para p < d + 2 observa-se que W → ∞, e do teorema de Mermin e Wagner nada
podemos afirmar sobre a existência ou não de ordem de longo-alcance. Recentemente,
esse teorema foi generalisado por Bruno[31] para incluir interação de longo alcance, e
foi provado que para p ≥ 2d(d = 1, 2) o modelo de Heisenberg isotrópico não apresenta
ordem de longo alcance a T > 0, e para d < p < 2d temos presença de uma transição de
fase em temperatura finita Tc (p) 6= 0.
Esses resultados rigorosos são relevantes para certificarmos da potencialidade de uma
dada aproximação, haja vista não podermos resolver de forma exata o Hamiltoniano
(1.38) para d ≥ 2, e portanto o caminho escolhido é o uso de teorias de campo efetivo
tratadas no próximo capítulo deste trabalho. Geralmente, essas teorias não reproduzem
o teorema de Mermin e Wagner, por isto é adequada apenas para descrever a termodinâmica e criticalidade (diagrama de fase) de modelos com alta dimensionalidade (d = 3),
que para o caso da aproximação de campo médio esta é exata para dimensão crítica superior ou igual a 4.
Modelo XY Anisotrópico
Introduzido inicialmente por Matsubara e Matsuda 2.40 apresenta solução exata em
uma dimensão[33]. Quando aplicado em sistemas bidimensionais não exibe magnetização
espontânea, no entanto, exibe uma fase de ordem topológica que apresenta uma transição
de fase conhecida como Kosterlitz e Thouless[34]. O modelo XY é um caso particular do
Hamiltoniano (1.28) onde consideram-se configurações de spin apenas em um plano e é
expresso por
HXY = −
X¡
¢
Jijx Six .Sjx + Jijy Siy .Sjy
(1.41)
i6=j
De um ponto de vista experimental, o modelo XY (ou modelo planar) simula muito
bem alguns compostos magnéticos como o CoBr2 e CoCl2 e descreve adequadamente
as configurações de vórtices na superfluidez no filme fino de Hélio (He4 ) 9 . Tratar teoricamente a transição Kosterlitz-Thouless (KT) é difícil por causa da inexistência de um
parâmetro local acessível para descrever a mudança no ponto crítico TKT ; a energia livre
e suas derivadas são contínuas no ponto crítico TKT . Detectamos a transição KT com a
divergência exponencial do comprimento de correlação na forma (T < TKT )
£
¤
ξ = ξ o exp a(T − TKT )−ν
(1.42)
onde ν é umcerto expoente e ξ = ∞ para T < TKT . A ausência de umparâmetro de
ordem local dificulta o uso de teorias de campo efetivo para estudar a transição KT.
Modelo de Ising
O modelo de Ising descreve o comportamento de uma cadeia linear de átomos interagentes e pode ser obtido do Hamiltoniano de Heisenberg quando consideramos apenas
interações em uma só dimensão, ou seja:
HIS = −
X
Jijx Siz .Sjz
(1.43)
i6=j
O modelo não apresenta solução exata em três dimensões, mas resultados rigorosos
de espansão em séries e simulação de Monte Carlo podem ser consideradas boas aproximações. Descreve muito bem sistemas magnéticos com anisotropia uniaxial e também
utilizado para estudar transições gás-líquido para fluidos de uma componente e para ligas
binárias.
1.5
Transição de Fase e Fenômenos Críticos
É característica de certos materiais na natureza sofrer mudanças em suas propriedades
9
Tratado por A. N. Becker e D. R. Nelson[39]. Ver também o trabalho de revisão do autor D. R.
Nelson, Phase Transitions and Critical Phenomena, ed. C. Domb e J. L. Lebowitz, vol. 7, DefectMediated Phase Transitions (Academic Press, 1983).
físicas quando certos parâmetros são alterados, como temperatura, pressão, campo magnético, etc provocando assim uma transição de fase no sistema. Como exemplo, temos: os
fluidos, sistemas magnéticos e ferroelétricos, superfluidos, supercondutores, ligas binárias,
cristais líquidos, sistemas que sofrem mudanças estruturais, entre outros. Esta transição
de fase caracteriza-se por apresentar quebra espontânea de simetria o que provoca efeitos
macroscopicamente observados (perda de magnetização em sistemas ferromagnéticos, alteração na densidade de fluidos, etc).
Podemos estudar esse comportamento das transições de fases de um dado sistema
por meio de um diagrama de fase que delimita a região de existência de cada fase sob
a variação dos parâmetros externos, ou através de uma função de estado ( densidade,
magnetização, energia interna, etc) que reflete uma mudança de fase sob a variação de
um parâmetro externo. Quando esta função de estado assume valores diferentes nas
diferentes fases e se anula na fase mais desordenada, então esta é denominada parâmetro
de ordem10 . Por exemplo, para sistemas ferromagnéticos, o parâmetro de ordem é a
magnetização; por outro lado, para uma transição líquido-gás, o parâmetro de ordem é
a diferença das densidades do líquido e do gás.
Nas transições de fase em sólidos, há uma quebra espontânea da simetria quando
o sistema atinge a temperatura característica denominada temperatura crítica Tc , onde
passamos de uma fase ordenada, que tem simetria mais baixa, para uma fase desordenada,
de simetria mais alta. A fase ordenada é exibida por causa do efeito cooperativo11
existente entre os íons magnéticos localizados nos sítios da rede cristalina, que é mediada
pela interação de exchange. A forma como o parâmetro de ordem se anula na transição
10
Essa definição foi dada por Landau, em 1937 e corresponde a um parâmetro em que para T < Tc
este é não nulo e T > Tc ele é nulo, caracterizando assim duas fases, uma ordenada (T < Tc ) e outra
desordenada (T > Tc ).
11
O efeito cooperativo surge devido a uma interação microscópica que tende a minimizar a energia
interna do sistema, alinhando os momentos magnéticos atômicos (spins) numa dada configuração microscópica, e gerando uma correlação entre os vários graus de liberdade do sistema. Sendo assim, para
um sistema magnético sujeito a uma variação de temperatura, há uma competição entre a agitação térmica, que tende a desordenar o sistema, e o acoplamento dos momentos magnéticos, que tende a ordenar
o sistema.
de fase, descontinuamente ou continuamente, é classificada como transição de fase de
primeira ordem ou segunda ordem, respectivamente. Na Fig.(1.7) temos esquematizado
o comportamento da magnetização (parâmetro de ordem) quando ocorre uma transição
de primeira ou segunda ordem
12
.
Figura 1.7: Parâmetro de ordem (magnetização) em função da temperatura mostrando
os dois tipos de transição: (a) primeira e (b) segunda ordem.
Portanto, como podemos observar da figura acima, na transição de segunda ordem, a
magnetização varia continuamente com o aumento da temperatura até se tornar nula na
temperatura de transição Tc . Em torno de Tc , a magnetização varia com a temperatura
de acordo com uma lei de potência definida por
m ∼ |t|β ,
onde t = 1 − T /Tc é a temperatura reduzida, T é a temperatura absoluta e β é um
expoente crítico. Além da magnetização, outras grandezas termodinâmicas apresentam
singularidades no ponto crítico. Tais singularidades também são caracterizadas por uma
12
O termo transição de fase de “segunda ordem”, usado de forma sinônima com transição de fase
contínua, é uma relíquia da classificação de transições de fases em primeira, segunda, terceira,...ordem
devido a Ehrenfest.
lei de potência ao redor do ponto crítico, cada qual com um expoente crítico bem definido.
Outras grandezas conhecidas que apresentam singularidade, são:
1) Calor específico (t ∼ 0 e h = 0)
C ∼ |t|−α ;
2) Susceptibilidade magnética (t ∼ 0 e h = 0)
χ ∼ |t|−γ ;
3) Comprimento de correlação (t ∼ 0 e h = 0)
ξ ∼ |t|−ν ;
4) Magnetização (t = 0 e h ∼
= 0)
1
m ∼ hδ ,
onde h é o campo magnético externo, {α, β, γ, δ, ν} são números (expoentes críticos),
independentes de T e h, e ξ é uma distância característica que mede o tamanho médio de
aglomerados correlacionados, que caracteriza o comportamento da função de correlação
conectada[35]
r
Gc (r) =
e− ξ
rd−2+η
(r → ∞) ,
sendo η mais um expoente crítico.
A identificação do parâmetro de ordem, tipo de transição e o comportamento do
sistema ao redor do ponto crítico caracteriza o estudo da transição de fase e fenômenos
críticos.
Historicamente, a primeira tentativa de explicar teoricamente a transição de fase nos
magnetos foi dada por Weiss[11], em 1907, onde propôs a idéia de campo molecular.
Posteriormente, em 1937, Landau propôs um procedimento universal para o tratamento
da energia livre perto da transição de fase de segunda ordem, que é a expansão da mesma
em potências do parâmetro de ordem, porém, os expoentes críticos são os mesmos da
teoria de Weiss, e estes não concordam com os resultados experimentais. As teorias de
Weiss e Landau, são hoje conhecidas como teorias de campo médio e, apesar de serem
muito utilizadas em uma primeira abordagem de um determinado problema, elas possuem
algumas imperfeições entre essas a universalidade nos expoentes críticos, que obtem, por
exemplo, β =
1
2
para qualquer modelo e dimensão espacial.
Baseados em argumentos de estabilidade dos potenciais termodinâmicos, vários autores obtiveram relações de desigualdades entre os expoentes críticos, tais como
α0 + 2β + γ 0 ≥ 2
α0 + β (1 + δ) ≥ 2
(Rushbrooke, 1963)
(1.44)
(Griffiths, 1965)
(1.45)
dν 0 ≥ 2 − α0 (Josephson, 1967)
(2 − η) ν 0 ≥ γ 0
(Fisher, 1969)
(1.46)
(1.47)
A solução exata do modelo de Ising em rede quadrada a campo nulo por Onsager,
em 1944, representa o início da época moderna do estudo de transição de fase e fenômenos críticos. Com o conhecimento prévio desta solução exata, Widom[36] e Domb e
Hunter[37], em 1965, observaram que quando os parâmetros que caracterizam distâncias
ao ponto crítico (t e h) variam, as funções termodinâmicas preservam a dependência funcional, mudando apenas em escala. Desta forma, o comportamento crítico de um sistema
é ditado pela parte singular das funções termodinâmicas, a qual pode ser escrita, convenientemente, apenas em termos dos parâmetros que traduzem as distâncias ao ponto
crítico. Widom, Domb e Hunter assumiram que a parte singular da energia livre é uma
função homogênea generalizada, definida por
¢
¡
Gsing λa t, λb h = λGsing (t, h) ,
(1.48)
onde os dois parâmetros (a, b) definem o grau de homogeneidade de Gsing , fazendo com
que a Eq.(1.48) valha para qualquer valor de λ13 .
Usando a Eq.(1.48), obtem-se, com o uso das definições das grandezas termodinâmicas, igualdades, e não desigualdades entre os expoentes críticos e, além do mais, identidade entre os expoentes acima e abaixo da transição (α0 = α, γ 0 = γ, ν 0 = ν). A seguir
estão as igualdades entre os expoentes críticos conhecidos na literatura para sistemas
com transição de fase de segunda ordem
13
A extensão da hipótese de escala para tratar sistemas com transição de fase de primeira ordem, ou
melhor, perto da tricriticalidade (ponto que separa uma linha crítica de primeira de uma de segunda
ordem), é necessário a utilização de um parâmetro externo competitivo, que faz com que o sistema
apresente instabilidade. Seja g este parâmetro externo, então a energia livre torna-se:
´
³
Gsin g λa t, λb h, λc g = λGsin g (t, h, g) ,
que nas vizinhanças do ponto tricrítico esta obedece a seguinte relação de escala:
µ
¶
h g
2−α
G (t, h, g) = t
F
,
,
t∆ tφ
onde os ¡expoentes
¢ α, ∆ e φ caracterizam o comportamento tricrítico. Para campo nulo (h = 0), a função
F (0, x) x = tgφ deve ter singularidades pelo menos em dois valores de x, correspondentes às linhas de
1a e 2a ordem. Assim, as duas linhas devem ser escritas assintoticamente pela expressão
g∼
= tφ ,
sendo que φ o expoente de cruzamento (crossover) deve ser maior que 1 a fim de que haja tangencialmente
do ponto tricrítico. Observa-se que para obtenção dos expoentes tricríticos são necessários três expoentes
independentes.
α + 2β + γ = 2
α + β (1 + δ) = 2
dν = 2 − α
γ = (2 − η) ν = β (δ − 1)
onde d é a dimensão espacial.
Os expoentes críticos {α, β, γ, δ, ν, η} dependem fortemente da dimensionalidade da
rede (d) e da dimensão do parâmetro de ordem (n) para sistemas de interação de curto
alcance. Por exemplo, para o modelo de Ising em duas dimensões (n = 1, d = 2) temos
a presença de uma transição de fase em kbJTc = 2.269... com os seguintes expoentes
©
ª
críticos exatos: α = 0(log), β = 18 , γ = 74 , δ = 15, ν = 1, η = 1/4 , enquanto o modelo
de Heisenberg isotrópico (n = 3) em duas dimensões (d = 2) não apresenta transição
de fase (Tc = 0) segundo o teorema de Mermin-Wagner[30]. Por outro lado, o modelo
XY 2d (n = 2, d = 2) não apresenta ordem de longo-alcance convencional, mas apresenta uma ordem topológica associada aos vórtices formados pelos spins que é destruída
numa dada temperatura característica TKT onde o comprimento de correlação diverge
exponencialmente[34]. Essa dependência dos expoentes críticos com os valores de n e d
é o que define a classe de universalidade. Na Tabela (1.1) [38] temos apresentado os
valores dos expoentes críticos para os modelos Ising (n = 1), XY (n = 2) e Heisenberg
(n = 3) numa rede cúbica simples (d = 3). Observe que esses expoentes não depende da
topologia da rede, apenas dependem da dimensão espacial, assim sendo, uma rede cúbica
simples e corpo centrado têm os mesmos expoentes críticos
Outra característica marcante dessa classe (ou hipótese) de universalidade é a independência dos expoentes críticos com o valor do spin (S), assim o modelo de Heisenberg quântico de spin
1
2
3d tem os mesmos expoentes do seu equivalente clássico (S =
∞)[39, 40] bem como seu equivalente quântico antiferromagnético numa rede 3d não
Tabela I.1: Valores dos expoentes críticos para os
Heisenberg (n=3) em três dimensões e seus valores
Expoente Clássico
Ising
α
0 (disc.) 0.10 (div.)
β
0.50
0.33
γ
1.00
1.24
δ
3.00
4.8
ν
0.50
0.63
η
0.00
0.04
modelos de Ising (n=1), XY (n=2),
clássicos.
XY Heisenberg
0.01
−0.12
0.34
0.36
1.30
1.39
4.80
4.80
0.66
0.71
0.04
0.04
frustrada[41, 42]. Analisando os valores dos expoentes δ e η, observamos que esses são
independentes da simetria do Hamiltoniano (valor de n) em concordância com resultados
de grupo de renormalização[43].
Existem, porém, alguns modelos que violam a hipótese de universalidade. O primeiro
modelo exatamente solúvel por Baxter[44, 45] é o de oito vértices, que apresenta uma
linha crítica no diagrama de fase com os parâmetros do Hamiltoniano onde os expoentes
críticos variam continuamente. Este modelo é uma generalização para a descrição de
cristais com ligação de hidrogênio. Seja µ o parâmetro presente no modelo de oito
vértices, então Baxter tem mostrado que os expoentes críticos apresentam os seguintes
valores: α = 2 − πµ , β =
π
,
16µ
ν =
π
,
2µ
δ = 15, η = 14 . Suzuki[46] propôs uma pequena
hipótese de universalidade, no qual definiu os expoentes críticos em termos do inverso do
expoente crítico do comprimento de correlação ( ν1 ). Desta forma os expoentes críticos
©
ª
β
γ
1
7
=
2,
β
=
=
e
γ
=
=
reduzidos α ≡ 2−α
são independentes do parâmetro µ.
ν
ν
8
ν
4
Outro modelo que viola a hipótese de universalidade é o Ising numa rede quadrada
0
com interações de primeiros (J) e segundos (J ) vizinhos. Os primeiros estudos indicam
¯ 0 ¯
na região ¯J /J ¯ < 12 uma variação contínua dos expoentes críticos com o parâmetro
0
α = J /J[47].
Um resultado interessante na análise da classe de universalidade é a investigação do
expoente crítico β como uma função do tamanho ` dos filmes finos[48]. Na Fig.(1.8) temos
apresentado a dependência de β como uma função do tamanho d(monocamadas) = `a
(a ' 1 Å) do filme formado por camadas de níquel (Ni).
Figura 1.8: Expoente crítico β como função do tamanho do filme de Ni. As linhas tracejadas correspondem os valores teóricos (ver Tabela 1.1) dos expoentes para os modelos
Ising e Heisenberg tridimensional. A área hachurada indica o crossover de dimensionalidade (2D → 3D).
Vemos que para d entre 2 e 4 ml (monocamadas), a classe de universalidade Ising 2D,
e à medida que aumentamos a espessura do filme temos uma região de mudança de classe
de universalidade (crossover) que para 10 < d < 16 ml teremos expoente β(Ising 3d), e
finalmente para d > 20 ml (bulk) estabilizamos na classe de universalidade Heisenberg
3d.
A partir da hipótese de escala, Eq.(1.48) , também é possível obter a equação de
estado magnética em função de variáveis apropriadas (campo magnético e magnetização
escalados), descrevendo um comportamento universal para magnetos uniaxiais, como
a lei dos estados correspondentes para os fluidos. Este comportamento universal é
comprovado teoricamente por simulação numérica e experimentalmente. A partir da
Eq.(1.48) pode-se mostrar, por exemplo, que a magnetização apresenta a seguinte lei de
escala
M
µ
h
t∆
¶
=
m (t, h)
,
tβ
(1.49)
onde ∆ = βδ. A Eq.(1.49) representa uma universalidade de curvas, isto é, traçando um
gráfico de m (t, h) /tβ versus x = h/t∆ teremos duas curvas universais, uma para T < Tc e
outra para T > Tc . Salientamos que, para uma substância caracterizada pelos expoentes
−
+
β e ∆ temos duas curvas universais para T ' Tc e T ' Tc , não significa que para
qualquer substância analisada temos uma universalidade e sim para aquelas que têm os
mesmos expoentes críticos. De fato, os estudos experimentais confirmam esta previsão
da teoria de escala de uma maneira convincente.
1.6
Motivação desta Dissertação
A corrida por fontes cada vez mais seguras de reter um volume cada vez maior de informações permitiu o desenvolvimento de técnicas com precisão e controle sem precedentes
na formação dos blocos fundamentais da matéria. Isso atuando em escalas nanométricas (bilionésimos de metro), escala caracterísitca de átomos e moléculas. Essas estruturas formam-se através de auto-organização de átomos e moléculas depositados sobre
uma superfície (substrato). Dentre os inúmeros processos de crescimento de estruturas
atômicas[49], Fig.(1.9) temos a evaporação em ultra-alto vácuo e deposição por magnetron
sputtering.
Na evaporação em ultra-alto vácuo, o material é depositado em uma superfície (substrato) a uma baixa taxa de deposição, geralmente menor do que uma camada de átomos
por segundo. Isso resulta em um filme controlado camada a camada. Devido ao ultra-alto
vácuo dentro da câmara de deposição, é possível usar técnicas sofisticadas de caracterização, do tipo LEEDS e Auger, que envolvem a detecção de elétrons. Técnicas mais
avançadas permitem estudar a topologia da superfície de filmes ou fazer manipulações
em nível atômico.
O magnetron sputtering é uma técnica de deposição de materiais com taxas de deposição da ordem de 0,1 nanômetro por segundo. A técnica arranca átomos de um
material que se quer depositar sobre um substrato (alvo). Isso é feito através da for-
Figura 1.9: Imagem obtida através da técnica HRTEM (High-Resolution Transmission
Electron Microscopy) mostrando nitidamente camada por camada de um filme fino magnético.
mação de um de ‘gás’ do elemento argônio a altíssimas temperaturas na verdade, não
se trata de um gás, mas sim de um estado da matéria, denominado plasma, em que as
partículas, devido à elevada temperatura, estão dissociadas. Todo esse processo ocorre
em uma câmara de ultra vácuo.
Apesar de permitir um bom controle da taxa de deposição, a presença dos gases de
‘sputtering’ exclui a possibilidade de se analisarem as estruturas dentro da câmara onde
acontece o crescimento do filme. A composição dos filmes finos principalmente, na forma
de multicamadas é caracterizada através de vários métodos de análise, entre elas difração
por raios X, magnetorresistência, magnetização, espectroscopia Mössbauer e ressonância
ferromagnética.
De acordo com a expessura da estrutura formada, temos classificação dada pela
Fig.(1.10)
Figura 1.10: Classificação de estruturas formadas a partir de um determinado substrato
levando em conta seu tamanho.
Dessas estruturas, temos nos filmes finos importantes características que lhe dão importância relevante no desenvolvimento de modernas tecnologias que são sua relativa
facilidade de formação, efeitos de tamanho finito e principalmente controle sobre suas
propriedades térmicas, mecânicas e químicas o que faz com que seja utilizado nas mais
diversas aplicações como isolante, películas ópticas reflectivas e supercondutores.
Dentre os vários dispositivos para aplicação, estão os direcionados à gravação magnética em computadores. Nesse tipo de gravação, por exemplo, as informações são ‘escritas’ por uma cabeça de gravação magnética e ‘lidas’ por um dispositivo de leitura
magnético no disco rígido conforme mostrado na Fig.(1.11), este também constituído por
materiais magnéticos e para o qual se pesquisa o aumento da capacidade de armazenamento de informação em um espaço cada vez menor. Esse tipo de armazenamento ocorre
devido principalmente à característica de materiais ferromagnéticos em reter parte do
campo aplicado. No entanto o fenômeno do magnetismo varia de acordo com o tamanho
e as características do sistema.
Materiais magnéticos de tamanho normal (como um clipe de papel, ou a porta da
geladeira) na maioria das vezes não ficam magnetizados de modo espontâneo, porque
a configuração dos momentos magnéticos procura ficar em um estado de mínima energia potencial. Assim, a magnetização do material divide-se em diversas regiões, os
domínios magnéticos. Dentro de cada domínio os momentos apontam na mesma direção,
mas de um domínio para outro os alinhamentos têm orientação diferente, o que desmagnetiza o material na escala macroscópica. Em materiais cada vez menores, porém,
Figura 1.11: Retenção do campo aplicado a um filme magnético através do fenômeno da
histerese.
existe um tamanho crítico abaixo do qual a divisão em domínios deixa de ser conveniente
do ponto de vista energético, e então ocorre a magnetização espontânea. O tamanho
crítico para que um sistema alcance esse estado é em geral muito pequeno, da ordem
de algumas dezenas de nanômetros. Quando isso ocorre, o sistema é conhecido como
monodomínio. Como todos os átomos apresentam um só momento magnético teremos
o chamado supermomento ou momento magnético gigante, efeito este denominado por
Neèl de superparamagnetismo
A caracterização desse momento, a forma com que ele muda sua configuração, auxilia
na escolha de elementos que apresentem maior estabilidade, característica importante
para leitoras e gravadoras magnéticas.
1.7
Apresentação do Trabalho
Os efeitos magnéticos existentes em sistemas semi-infinitos, onde efeitos de superfície
são considerados, tem sido estudado na literatura tanto do ponto de vista teórico quanto
experimental[50]-[51]. O desenvolvimento de tecnologias para o crescimento de materiais
a partir de um substrato básico, filme fino, contribuiu para o entendimento do comportamento dessas estruturas na medida que o controle na formação das camadas permitiu
o conhecimento do tipo de interação atômica presente. Assim, modelos teóricos capazes
de simular o comportamento do filme e prever novos e interessantes fenômenos foram
desenvolvidos apresentando condições de contorno adequadas para simular o efeito da
superfície no regime crítico (próximo à temperatura crítica). Sabe-se que a criticalidade
desses sistemas apresenta certas dificuldades operacionais pelo fato de que, além do efeito
geométrico da perda de vizinhos, as interações microscópicas próximo à superfície podem
assumir valores bem diferentes daquelas no interior do filme (bulk) tendo por consequência um ordenamento magnético diferenciado para a superfície (2d) e o bulk (3d). Sabe-se
teoricamente que tal comportamento é verifado considerando um modelo tri-dimensional
semi-infinito com o bulk interagindo com acoplamento Jb e a superfície com Js .
No capítulo 2 desenvolvemos a teoria de campo efetivo aplicada em sistemas simples
como o modelo de Ising unidimensional sem campo e o método variacional, que é um
método tipo campo médio, em aglomerado de dois spins, aplicado no modelo de Ising e
Heisenberg, neste último particularizando nas formas quântica e clássica (conhecido na
literatura por modelo O(n)).
Em seguida, aplicamos o formalismo do método variacional na aproximação de cluster
de dois spins em filmes finos compostos por materiais ferromagnéticos com exchange Js e
Jb e assim obter tanto o comportamento crítico do sistema com as fases BF e SF14 e suas
propriedades térmicas e magnéticas (energia interna, calor específico, magnetização e
susceptibilidade). Variamos parâmetros como número de camadas (`), estrutura da rede
cristalina (zo e z1 ), modelo de interação: Ising, XY e Heisenberg isotrópico e introduzimos
14
O estudo de sistemas de baixa dimensionalidade tem mostrado[52]-[53] um comportamento diferenciado com relação ao ordenamento dos momentos magnéticos presentes na superfície e no bulk. Para a
região abaixo do parâmetro crítico ∆c temos a fase bulk (BF) caracterizada por apresentar uma temperatura crítica para a superfície menor do que a encontrada para o bulk, ou seja, Tcb > Tcs e para a região
acima de ∆c temos a fase de superfície onde Tcb > Tcs .
na análise o parâmetro ∆ = Js /Jb − 1 que indica a forma de interação da superfície com
o bulk.
Estendemos nossa análise no capítulo seguinte a uma estrutura de super-rede magnética formada por dois materiais A e B alternados em monocamadas, com exchange JA
e JB para camadas no interior e JAS e JBS para monocamadas localizadas na superfície.
Escolhemos configurações adequadas de exchange verificar a influência do material no
comportamento do sistema.
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64
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Capítulo 2
Teoria de Campo Efetivo
2.1
Considerações Gerais
Materiais magnéticos estão presentes em inúmeras formas da vida moderna, dos motores elétricos aos discos de computador, passando por televisões e cartões de crédito.
Sua importância faz com que as pesquisas ligadas às propriedades magnéticas da matéria
sejam intensas, com grandes avanços nas últimas décadas. No campo teórico tem-se
procurado, através de modelos estatísticos, estudar as propriedades termodinâmicas,
magnéticas e a criticalidade dos mais variados modelos visando reproduzir os resultados experimentais. O formalismo adotado no desenvolvimento dos modelos advém dos
princípios da mecânica estatística que estabelece o elo entre o efeito, macroscopiamente
medido, e a causa, oriunda da modificação dos estados energéticos das partículas constituintes do sistema. Essa modificação deve-se principalmente à influência da temperatura
o que provoca alteração significativa no comportamento de algumas grandezas físicas
principalmente no regime de baixas temperaturas, onde efeitos quânticos são relevantes.
O tratamento teórico adotado passa inicialmente pelo conhecimento de uma função que
na literatura é chamada de função de partição Z e é definida por
68
©
ª
Z =T r e−βH ,
onde T r representa o funcional traço, β =
1
kB T
(2.1)
( kB é a constante de Boltzmann e T
a temperatura absoluta) e H o Hamiltoniano que descreve o sistema físico em estudo.
Utilizaremos neste trabalho o modelo de Heisenberg anisotrópico descrito pelo seguinte
Hamiltoniano
H = −J
X¡
¢
η x Six Sjx + η y Siy Sjy + Siz Sjz ,
(2.2)
hiji
onde η x e η y são os parâmetros de anisotropia de exchange das componentes x e y,
respectivamente, J é o parâmetro de exchange (J > 0 e J < 0 corresponde aos casos
ferromagnético e antiferromagnético, respectivamente), Siν (ν = x, y, z) é a componente
ν = x, y, z do operador de spin de Pauli e hiji denota a soma entre primeiros vizinhos.
Hamiltoniano (3.2) reduz-se a alguns casos particulares dependendo dos valores de η x
e η y , que são: Ising (η x = η y = 0), XY (η x = 0 ou η y = 0) e Heisenberg isotrópico
(η x = η y = 1). Portanto, tratar este Hamiltoniano (3.2) anisotrópico podemos estudar
particularmente cada modelo (Ising, XY e Heisenberg isotrópico) mencionado.
Na Mecânica Quântica, H é um operador representado por uma matriz de ordem 2N
(N é o número de partículas) diagonalizada por meio de uma transformação unitária, ou
seja, à = UAU −1 , onde à é a matriz diagonalizada de A, U é a matriz unitária formada
pelos autovetores de A e U −1 a inversa de U. Resolvendo o funcional traço na Eq.(3.1)
com o Hamiltoniano já diagonalizado, obtemos a seguinte expressão
Z=
n
X
e−βλi ,
(2.3)
i=1
onde {λi } são os autovalores da matriz H e n = 2N .
Na mecânica estatística clássica, a função de partição é escrita através de uma integral no espaço de fase, pois considera-se que as variáveis de H possam assumir valores
contínuos diferentemente do caso quântico, onde as variáveis assumem somente valores
discretos. No caso do modelo de Heisenberg clássico, suas variáveis de spin serão vetores com comprimentos fixos orientados em todas as direções sem regras de comutação
estabelecidas. Desta forma, a função de partição é obtida através da integral
Z=
Z
dΩe−βH ,
(2.4)
onde dΩ = dS 1 .dS 2 ...dS N e S i = (Si1 , Si2 , ..., Sin ) é um vetor de spin com n componentes.
A partir do conhecimento da função de partição podemos obter todas as propriedades
térmicas e magnéticas do modelo considerado, uma vez que ela nos permite conhecer a
energia livre associada dada por
1
F = − ln Z.
β
(2.5)
O estudo do modelo quântico apresenta sérias dificuldades na descrição de sistemas
reais. Primeiro devido à interação de muitos corpos, o que adiciona ao Hamiltoniano
um termo que impossibilita sua resolução de forma exata, na medida que o número de
partículas constituintes do sistema agora é da ordem do número de Avogadro (N ' 1024 ).
Segundo, as regras de comutação entre os operadores do Hamiltoniano torna esta análise
mais complexa do que sistemas clássicos. A condição do limite termodinâmico N → ∞
garante-nos não só uma baixa flutuação térmica no cálculo da média de nossas grandezas
1
(∼ N − 2 ), como também a observação de transições de fase em sistemas de partículas
interagentes1 . Devido o somatório na Eq.(3.3) ser realizado em um número de partículas
muito grande, poucos modelos apresentam solução exata (por exemplo o modelo de Ising
uni e bidimensional sem campo), motivo este que levou ao desenvolvimento de técnicas
aproximativas que tem por objetivo reproduzir qualitativamente os resultados primeiros.
Dentre esses métodos destacamos aqui, e desenvolveremos no capítulo seguinte, a aprox1
O Teorema de Yang-Lee ([1],[2]) tem dito que a condição para existência de transição de fase acontece
no limite termodinâmico. Essa condição é necessária, mas não suficiente. Sistemas unidimensionais com
interações de curto alcance não apresentam ordem de longo alcance (Tc = 0).
imação de campo médio, um dos mais sucedidos com sua matemática pouco rebuscada
fornecendo excelente comportamento qualitativo, mas com algumas restrições em sua
utilização.
Substâncias ferromagnéticas apresentam transição de fase para um certo valor crítico
de temperatura denominada temperatura de Curie Tc . O sistema passa para a fase
paramagnética desordenada em Tc devido a quebra no emparelhamento dos spins da rede
anulando a magnetização espontânea do sistema. Temos então que o valor médio da
magnetização por spin m =
1
N
hSiz i é um bom parâmetro de ordem do sistema (ordem
de longo alcance).
Em sistemas reais, o cálculo de m requer a utilização de um Hamiltoniano com múltiplas interações aplicado em um número N de partículas da ordem do número de Avogadro
(N ' 1024 ). Da mecânica estatística sabemos que a função de partição, Eq.(3.1), repre-
senta matematicamente uma soma sobre (2S + 1)N configurações de spin (para S =
1
2
teremos 2N configurações) tornando a solução exata impossível de ser obtida, exceção
feita para alguns modelos unidimensionais onde o uso da técnica da matriz transferência
mostrou-se eficaz; entretanto, se o modelo for bidimensional, os cálculos tornam-se complexos, uma vez que condições de contorno periódicas em duas direções tornam a matriz
a ser diagonalizada de ordem muito elevada.
Em 1931 o físico norte-americano Hans Bethe[3] determinou a função de onda de
estados com um número arbitrário de spins opostos através do cálculo das auto-funções
do estado ferromagnético no modelo de Heisenberg, tornando-se a primeira solução exata de um sistema quântico de muitos corpos interagentes. O modelo de Heisenberg
explicou satisfatoriamente o ferromagnetismo e por isso foi intensamente estudado nos
anos seguintes à sua descoberta, no entanto, em 1936 Peierls[4] lança seu artigo “Sobre o Modelo de Ising do Ferromagnetismo” no qual sustentava, através de argumentos
fenomenológicos, que contrariamente ao caso unidimensional, em duas e três dimensões
o modelo de Ising deveria exibir uma magnetização espontânea em baixas temperaturas.
Fazendo isto, Peierls ressuscita o estudo desse modelo para sistemas magnéticos. Cinco
anos depois os físicos holandeses Hendrik Anthony Kramers e Gregory Hugh Wanier[5]
conseguem determinar exatamente a temperatura de transição Tc no modelo de Ising em
uma rede quadrada e relacionam a função de partição em altas e baixas temperaturas.
Em 1944, usando método combinatório, Onsager [6], obteve a função de partição de
forma exata para o modelo de Ising
1
2
bidimensional a campo nulo.
Chegando a um resultado exato para um modelo interagente bidimensional, a solução
de Onsager tornou-se um marco importante no desenvolvimento das modernas teorias
de fenômenos críticos o que favoreceu o surgimento de métodos aproximativos com a
finalidade de reproduzir estes resultados e estendê-los a sistemas mais complexos. A
seguir destacamos alguns dos métodos mais utilizados :
a) Aproximação de aglomerados, que são métodos tipo campo médio onde um determinado aglomerado é tratado de forma exata e as interações com os vizinhos sofrem
aproximações. Os métodos de Bragg e Williams (1934), Bethe (1935), Guggenhein
(1935) e Kikuchi (1951) são exemplos e eles têm a vantagem de possuirem solução
simples sem muitos esforços matemáticos.
b) Método das equações integrais, o qual fornece bons resultados numéricos para sistemas de fluidos simples ( Kirkwood, em 1935 e van Leeuwen e colaboradores, em
1959).
c) Simulações numéricas usando a técnica de Monte Carlo, onde se tem em geral
um número grande de átomos do ponto de vista microscópico mas muito pequeno
macroscopicamente[7].
d) Expansão em série de uma variável adequada ao sistema. No caso do modelo de
Ising é usual uma expansão em potências da temperatura e seus resultados são um
guia para os resultados de outros métodos.
e) Grupo de Renormalização, o qual usa a técnica de realizar a soma através de estágios
sucessivos de renormalização do Hamiltoniano original. Apesar de ser considerado
um resultado “exato”, só se tem obtidos resultados exatamente para alguns modelos
simples.
Dentre os vários métodos aproximativos, vamos tratar nas seções posteriores as aproximações de Curie-Weiss[8], Bragg-Williams[9], Bethe-Peierls[4], desigualdade de Bogoliubov[10,
11] aplicados ao modelo de Ising2 .
2.2
Teoria do Campo Molecular de Weiss
A história do magnetismo teve um de seus grandes momentos quando Langevin chegou
às equações que descreviam o paramagnetismo utilizando um modelo que considerava os
momentos magnéticos localizados e não-interagentes em uma rede cristalina. No entanto
sua teoria falha para o ferromagnetismo pois esta prevê ausência de ordem de longo
alcance para temperaturas abaixo de Tc . Pierre Weiss [8], na tentativa de explicar o
ferromagnetismo, postulou que os efeitos de interação provocados pelos vizinhos a um
sítio da rede, podem ser descritos por um fictício “campo molecular” proporcional à
média da magnetização por sítio
m=
1 X
hSj i ,
N j
(2.6)
e introduziu um termo nas equações de Langevin que refletiam esta idéia.
Aplicaremos a idéia do campo molecular de Weiss no Hamiltoniano de Ising com
campo
H = −J
2
X
hi,ji
Si .Sj − H
X
Si ,
(2.7)
i
Trata-se do primeiro modelo para sistemas magnéticos que leva em conta as interações entre spins
e de onde se conseguiram os primeiros resultados.
onde H é o campo externo aplicado, J a interação de exchange e Si a variável de spin
que pode assumir os valores ±1. O primeiro somatório abrange as interações entre pares
de primeiros vizinhos hi, ji numa rede cristalina.
O campo local atuante no spin localizado no sítio i vale
Hi = J
X
Sj + H,
(2.8)
j
que depende da configuração dos primeiros vizinhos.
Para o caso em que um determinado sítio apresente muitos vizinhos, podemos supor
que todas as interações de spins, provocados pelos z vizinhos, podem ser substituídas por
um termo que representa a média dessas interações, ou seja
J
X
j
Sj ' J
X
j
hSj i = zJm,
(2.9)
onde hSj i = m (magnetização por spin) para todo j. Observa-se que nessa aproximação
ignoramos os desvios existentes no cálculo da média de Sj pois assumimos que o campo
no sítio i independe da orientação do spin local. Esta suposição é claramente uma aproximação, porque se Si é para cima, então seus spins vizinhos estão mais provavelmente
orientados para cima. Isto faz com que a função de correlação seja ignorada.
A partir da Eq.(3.5), observa-se que o campo médio atuante em cada sítio, HMF , será
HMF = zJm + H,
(2.10)
note que HMF independe do sítio considerado, pois considera-se que a rede apresente
uma periodicidade em sua estrututra, e substitui Hi nas interações locais. Nessa aproximação de campo médio, o Hamiltoniano original dado pela Eq.(3.4) é substituído por
um Hamiltoniano de campo médio HMF e é dado por
HMF = −HMF
N
X
i=1
Si .
(2.11)
Para o caso particular de spin 12 , a função de partição para a Eq.(3.8) vale
Z = [2 cosh(βHMF )]N .
(2.12)
A magnetização por spin correspondente pode ser expresso como função de Z por
m=
1 ∂ ln Z
,
N ∂(βHMF )
e usando o resultado 3.9 obtemos
m = tanh(βHMF ),
(2.13)
que deu à teoria de Weiss uma importância significativa pois conseguiu explicar o ferromagnetismo (m 6= 0 para T < Tc e H = 0) com a magnetização espontânea apresentando
o seguinte resultado
m = tanh(βzJm).
(2.14)
sendo seu comportamento dado pela Fig.(2.1) , resultado qualitativamente igual ao encontrado por Curie em seus experimentos.
A teoria do campo molecular falha em alguns pontos quando comparada aos resultados
exatos. Para o modelo de Ising unidimensional (z = 2), a Eq.(3.10) prevê a existência de
magnetização espontânea para T < Tc = 2J/kB , em contradição com o resultado exato
que mostra Tc = 0 (ausência de ordem de longo alcance em Tc > 0), além de que para
uma rede quadrada obtemos tc = kB Tc /J = 4 que difere bastante do resultado exato de
Onsager, igual a 2.269....
Os resultados de campo médio para os expoentes críticos não são bons para sistemas de
baixa dimensionalidade ou quando o número de primeiros vizinhos é pequeno, além do que
prevê uma universalidade desses expoentes que não é verificado experimentalmente como
por exemplo da Eq.(3.10) mostramos que próximo da criticalidade T ' Tc a magnetização
Figura 2.1: Dependência da magnetiza ção em função da temperatura na aproximação
de campo médio para um sistema ferromagnético
espontânea vai a zero continuamente com o expoente crítico β = 1/2 para qualquer valor
de z.
Outro fato não explicado na época é quanto a origem microscópica do parâmetro λ,
que fora utilizado por Weiss nas equações de Langevin para representar as interações
de um determinado sítio com seus vizinhos. Inicialmente, pensava-se que a origem microscópica atribuída a λ era do tipo energia dipolar (i.e., λ '
o
µ2B
,
a3
onde a é o parâmetro
de rede ' 1 A). No entanto, esta hipótese leva a um valor para a temperatura crítica da
ordem de Tc ' 10−1 K que é muito menor do que o observado experimentalmente para a
maioria dos compostos ferromagnéticos (em torno 103 K). Portanto, apesar da teoria de
Curie-Weiss ser capaz de explicar qualitativamente o ferromagnetismo, esta não descreve
à nível microscópico o magnetismo da matéria. Isto só foi resolvido com o surgimento
da mecânica quântica que associado com o princípio de exclusão de Pauli explicou satisfatoriamente a origem de λ (no modelo de Ising observa-se que λ = zJ) como sendo
de origem eletrostática e está relacionada à energia de troca entre os íons, assim os altos
valores de Tc obtidos.
Apesar desses resultados, MF mostrou-se eficaz quando aplicada sob certas condições.
Suas predições tornan-se corretas para sistemas que apresentem dimensionalidade alta
ou quando o número de primeiros vizinhos z → ∞, nesses casos um sítio da rede percebe
a contribuição dos muitos vizinhos fazendo com que as flutuações não sejam relevantes
no cálculo da média das grandezas.
Na aproximação realizada na Eq.(3.5), o íon do sítio i interage (em média) com a
mesma magnitude com todos os sítios da rede cristalina. Isto faz com que interações de
longo-alcance apareçam no sistema induzindo assim ordem de longo-alcance, pois sempre
existirá para T < Tc um íon i interagindo com outro situado a uma grande distância.
Isto pode ser entendido se reescrevermos o Hamiltoniano de Ising, Eq.(3.4), na forma de
interação de longo alcance
H=−
J X
Si Sj ,
N
(2.15)
hi,ji
que é conhecido na literatura como modelo de interação de longo-alcance, e apresenta
solução exata tendo como resultado para a magnetização idêntica a obtida por campo
médio usual fazendo o limite z → ∞3 .
No Hamiltoniano de Ising (3.4) aproximado pela Eq.(3.11), aglomerado de únicos
íons livres foram utilizados. Se utilizarmos aproximação de aglomerados de pares livres,
denotada na literatura de aproximação de Oguchi (ver Ref.[13] para revisão de teoria de
campo efetivo), o Hamiltoniano para um par de íons é escrito por
H2 = −JS1 S2 − J (z − 1) (S1 + S2 ) .
Calculando a magnetização por spin m =
(2.16)
®
(S
+
S
)
, a temperatura crítica (m → 0)
1
2
2
­1
para a rede quadrada é kB Tc /J = 3.893. Uma análise de finite size scaling na aproximação de campo médio foi feita no modelo (3.4) por Suzuki e Katori[14] para vários
tamanhos de aglomerados e obtiveram kB Tc (N) /J. Nos casos de aglomerados com
N = 9, 21, 45 e 87 spins, Suzuki e Katori encontraram, respectivamente kB Tc /J =
3.125, 2.915, 2.748 e 2.679 para o modelo de Ising numa rede quadrada4 , mostrando uma
3
4
Para o leitor interessado em maiores detalhes, recomendo a Ref.[12], pag. 171.
O leitor interessado na forma topológica dos aglomerados finitos para uma rede quadrada usados por
pequena convergência em direção ao resultado exato kB Tc /J = 2.2629..., mas certamente
o tempo computacional é a maior dificuldade nesta análise de finite size scaling.
2.3
Aproximação de Bragg-Williams
Trata-se de uma aproximação de campo efetivo mais sofisticada do que a Teoria Molecular de Weiss utilizada no modelo de Ising de spin
1
2
para explicar o ferromagnetismo.
O sistema agora é composto de duas sub-redes, uma com N+ spin para cima e outra com
N− spin para baixo. Através de um processo de minimização da energia livre obtem-se
o parâmetro de ordem do sistema. Neste caso temos presente duas sub-redes com spins
para cima e spins para baixo. A diferença entre eles será proporcional à magnetização
m, ou seja
N+ − N− = Nm,
(2.17)
onde N+ (N− ) é o número de spins para cima ( baixo) e N é o número total de partículas
relacionado com N+ e N− por
N+ + N− = N.
(2.18)
A partir das Eqs.(3.13) e (3.14) podemos tirar os valores de N+ e N− em função de
N e m, ou seja
N+ =
N
(1 + m)
2
(2.19)
N− =
N
(1 − m) .
2
(2.20)
e
Suzuki e Katori[14], para calcular kB Tc /J no modelo de Ising-1/2, recomendo ver a figura 9 do trabalho
do Mansuo Suzuki[15] para ilustrações.
A entropia total associada ao sistema é expressa por
N!
,
N+ !N− !
S = kB ln
(2.21)
Portanto, substituindo os resultados das Eqs.(4.12) e (2.20) na expressão da entropia
(2.21), ficamos
S = kB ln £ N
2
N!
¤ £N
¤.
(1 + m) ! 2 (1 − m) !
(2.22)
A energia interna é definida através do Hamiltoniano Ising por
U = hHi =
*
−J
X
(ij)
Si Sj − H
X
i
Si
+
,
(2.23)
onde a soma pode ser feita levando-se em conta que o sistema possui simetria translacional, ficando então com a energia média dada por
U = −J
Nz
hSi Sj i − HNm,
2
(2.24)
onde Nz/2 é o número de ligações sobre a rede, z é o número de coordenação e m = hSi i .
Por outro lado, de acordo com a transformada de Legendre, a energia livre magnética
por spin, é definida por
g (T, H, m) =
1
(U − T S) .
N
(2.25)
Utilizando os resultados das Eqs.(2.22) e (3.26) na Eq.(3.28), obtemos
g (T, H, m) = −
kB T
N!
Jz
¤ £N
¤.
hSi Sj i − Hm −
ln £ N
2
N
(1 + m) ! 2 (1 − m) !
2
(2.26)
Na Eq.(3.30) , o último termo é um tipo de aproximação de campo médio. Porém, a
Eq.(3.30) não pode ser resolvida exatamente, uma vez que existe uma certa dificuldade
em calcular as correlações de dois spins (hSi Sj i) em termos de T, H e m.
Entretanto, na aproximação de Bragg-Williams[9], as flutuações nas funções de cor-
relação de dois spins não são levadas em consideração (aproximação de ordem zero), ou
seja, fazemos a seguinte aproximação
hSi Sj i ' hSi i hSj i = m2 .
(2.27)
Portanto, substituindo na Eq.(3.30) o resultado aproximado (2.27) , e usando a expansão de Stirling5 para os fatoriais, a energia livre por spin de Bragg-William, no limite
termodinâmico, é dada por
gBW (T, H, m) = −
Jz 2
ln 2
1
m − Hm −
+
[(1 + m) ln (1 + m) + (1 − m) ln (1 − m)] .
2
β
2β
(2.28)
Agora, fazendo o processo de minimização de gBW com respeito a m, temos
µ
¶
∂gBW
1
1+m
= −Jzm − H +
ln
= 0,
∂m
2β
1−m
(2.29)
que após algumas manipulações algébricas, ficamos
m = tanh [β (Jzm + H)] ,
(2.30)
que é a mesma equação de estado de Curie-Weiss obtida anteriomente, Eq.(2.13).
A partir da Eq.(2.30), identificamos facilmente o parâmetro fenomenológico λ, que
foi introduzido por Weiss, como sendo λ = Jz.
Vimos acima, que as teorias de Curie-Weiss e Bragg-Williams são equivalentes. Nessas
aproximações (ordem zero), a temperatura crítica será dada por kB Tc /J = z, que nos dá
resultado inconsistente para uma rede linear (z = 2) Tc 6= 0.
5
ln N ! ' N ln N − N, para N grande
2.4
Aproximação de Bethe-Peierls
Nesta aproximação, ao contrário da aproximação de Bragg-Williams, leva-se em consideração as correlações de curto alcance. Isto significa que podemos recuperar alguns
efeitos que escapam dos tratamentos usuais de campo médio. Na aproximação de BethePeierls[10], um certo aglomerado considerado contém um spin central S0 , sob a ação de
um campo externo H, e z spins periféricos (ver Figura (2.2)), sob a ação de um campo
efetivo HEF , que tem o papel de simular o efeito do restante da rede cristalina. A interação entre o spin central com os vizinhos é tratada exatamente, enquanto que a interação
desses vizinhos com os outros spins da rede é considerada aproximada através do campo
efetivo He .
Figura 2.2: Aglomerado contendo um sítio central e quatro sítios periféricos.
O Hamiltoniano de spin para o aglomerado é dado por:
Ha = −JS0
z
X
i=1
Si − HS0 − HEF
z
X
i=1
Si .
(2.31)
Portanto, a função canônica de partição para o aglomerado acima será
Za =
X
{Si }
e−βHa =
X
eβHS0 [2 cosh (2βJS0 + βHEF )] .
(2.32)
S0
A partir da expressão da função de partição, podemos calcular todas as propriedades
termodinâmicas do sistema. A magnetização associada ao sítio central é definida por
mo =
1 ∂
ln Za ,
β ∂H
e a magnetização de um sítio na periferia, por
mp =
1 ∂
ln Za .
β ∂HEF
Após algumas manipulações algébricas, as magnetizações mo e mp são dadas por
£
¤
mo = tanh βH + z tanh−1 (tanh βJ tanh βHEF ) ,
e
mp =
¢
¡
¢
¡
1 − tanh2 βJ tanh βHEF + m0 1 − tanh2 βHEF tanh βJ
1 − (tanh βJ tanh βHEF )2
(2.33)
.
(2.34)
A condição de autoconsistência, a partir da qual será possível eliminar o campo
efetivo, é definida por
m0 = mp = m,
(2.35)
que fornece a equação de estado na aproximação de Bethe-Peierls, m = m (T, H) .
A campo nulo (H = 0), perto da temperatura crítica, m e HEF devem ser muito
pequenos. Portanto, podemos expandir as Eqs.(2.33) e (2.34) , resultando em
m0 = z (tanh βJ) tanh (βHEF ) + ...
e
mp =
1
βHEF + m tanh (βJ) + ...
cosh (βJ)
2
A partir dessas expressões é fácil verificar usando a condição m0 = mp que a
temperatura crítica na aproximação de Bethe-Peierls é dada por
· µ
¶¸−1
kB Tc
z
.
= 2 ln
J
z−2
Em uma dimensão, ou seja, para z = 2, não há transição de fases (Tc = 0) . Para z = 4
(correspondendo a uma rede quadrada), kB Tc /J = 2/ ln 2 = 2.885..., que é inferior à temperatura crítica prevista pela aproximação de Bragg-Williams, kB Tc /J = 4, mas ainda
√ ¢
£
¡
¤
está acima do valor exato calculado por Onsager kB Tc /J = 2/ ln 1 + 2 = 2.269... .
2.5
Método Variacional
O princípio variacional, baseado na desigualdade de Bogoliubov [10, 11], apóia-se
em argumentos de convexidade. Esse tratamento, aplicado a um sistema descrito por
um Hamiltoniano qualquer (quântico ou clássico), estabelece um limite superior para a
função energia livre de Helmholtz. Para demonstrar essa afirmação, vamos considerar
um Hamiltoniano H, que represente algum sistema termodinâmico, e vamos supor que
possamos dividir esse Hamiltoniano em duas partes, ou seja
H = H0 + λH1 ,
(2.36)
onde H0 é um Hamiltoniano exatamente solúvel e λ é um parâmetro variacional. A
energia livre de Helmholtz para H é dada por
1
1
F (H) = − ln T re−βH = − ln T re−β(H0 +λH1 ) ,
β
β
(2.37)
Diferenciando a Eq.(2.37) com relação a λ, tem-se
¤
£
T r H1 e−β(H0 +λH1 )
∂F
=
= hH1 i ,
∂λ
T re [−β(H0 +λH1 ) ]
(2.38)
e
­
∂2F
2®
.
2 = −β (H1 − hH1 i)
∂λ
(2.39)
Com respeito a Eq.(2.39) podemos concluir que a energia livre de Helmholtz para o
Hamiltoniano H é côncava com relação a λ. Baseado nesses fatos podemos supor um
funcional Φ (λ) definido por
Φ (λ) = F (λ = 0) +
µ
¶¯
∂F ¯¯
λ,
∂λ ¯λ=0
onde F (λ = 0) = F0 é a energia livre do Hamiltoniano solúvel H0 e
µ
¶¯
∂F ¯¯
= hH1 i0 ,
∂λ ¯λ=0
onde h...i0 é uma média térmica feita no ensemble definido por H0 . Portanto, teremos
Φ (λ) = F0 + λ hH1 i0 .
(2.40)
Podemos reescever a Eq.(2.40) utilizando o resultado da Eq.(2.36), ou seja
Φ (λ) = F0 + hH − H0 i0 .
(2.41)
Vale ressaltar que essa expressão é apenas um limite superior para a energia livre
do sistema. Portanto, devemos calcular Φ minimizando-o com relação a um parâmetro
variacional já estabelecido, garantindo assim, que a aproximação obtida seja a melhor
possível para uma dada escolha de H0 . Assim sendo, da Eq.(2.41) teremos
F (H) ≤ Φ = F0 + hH − H0 i0 .
(2.42)
Para entedermos melhor a desigualdade de Bogoliubov, vamos fazer uma aplicação
bastante simples ao tão conhecido modelo de Ising de spin
H
H = −J
X
hi,ji
Si Sj − H
X
1
2
na presença de um campo
(2.43)
Si .
i
Nossa escolha trivial para H0 é o Hamiltoniano de spins isolados não interagentes dado
por
H0 = − (H + λ)
X
(2.44)
Si ,
i
onde λ é o parâmetro variacional e Si = ±1. A energia livre para H0 é dada por
F (H0 ) = −
N
ln {2 cosh [β (H + λ)]} .
β
(2.45)
Das Eqs.(2.43) e (2.44), obtemos
hH − H0 i0 =
*
−J
X
hi,ji
Si Sj + λ
X
Si
i
+
0
= −J
X
hi,ji
hSi Sj i0 + λ
X
i
hSi i0 .
(2.46)
Sendo H0 constituído de partículas livres, a média hSi Sj i0 será
hSi Sj i0 = hSi i0 hSj i0 ,
(2.47)
e, para um sistema com invariância de translação, temos
hSi i0 = hSj i0 = m,
(2.48)
onde m é o parâmetro de ordem. Desta forma, utilizando os resultados das Eqs.(2.47) e
(2.48), a Eq.(2.46) será reescrita na forma
hH − H0 i0 = −
NzJ 2
m + λNm.
2
(2.49)
Assim, o funcional Φ por número de sítios é dado por
ϕ=
1
zJm2
Φ
= − ln {2 cosh [β (H + λ)]} −
+ λm.
N
β
2
Minimizando ϕ com relação a λ, temos
dϕ
= 0 =⇒ − tanh [β (λ + H)] + m = 0,
dλ
ou seja,
(2.50)
m = tanh [β (λ + H)] .
Agora, minimizando ϕ com relação a m, temos
dϕ
= 0 =⇒ λ − zJm = 0
dm
ou seja,
(2.51)
λ = zJm.
Substituindo a Eq.(2.51) na Eq.(2.50), obtemos
(2.52)
m = tanh [β (zJm + H)] .
Podemos observar que os resultados obtidos para o modelo de Ising de spin
1
2
são os
mesmos obtidos na aproximação de campo médio. Na verdade, o princípio variacional
baseado na desigualdade de Bogoliubov é uma forma matematicamente “elegante” de
se obter a aproximação de campo médio. Recentemente, esta desigualdade tem sido
amplamente utilizada na descrição da transição de fase em sistemas tridimensionais,
onde a aproximação é qualitativamente aceitável. Aproximações em cluster tornaram-se
uma boa alternativa no estudo dos mais variados sistemas pois elimina a dificuldade de
partículas interagentes.
2.6
Método Variacional em Sistemas Clássico e Quântico
Nesta seção estendemos o formalismo do método variacional aplicando-o no modelo
isotrópico de Heisenberg, descrito pela Eq.(2.53), nos limites clássico e quântico em uma
rede cúbica simples (z = 6). O sistema considerado é um filme fino formado por `
camadas. No entanto, determinamos preliminarmente o comportamento da magnetização
em seu interior (bulk) , o que faz com que desconsideremos quaisquer efeitos da superfície,
­
­
®
®
ou seja, Szn−1 = hSzn i = Szn+1 ' m. Estudaremos o seguinte Hamiltoniano
H=−
X
Jij Si .Sj ,
(2.53)
hi,ji
onde Jij > 0 corresponde a interação ferromagnética e Jij < 0 a interação antiferromagnética, hi, ji indica que o somatório é feito sobre todos os pares de primeiros vizinhos e
S i representa a variável de spin (operador ou vetor) do sítio i.
2.6.1
Sistema Clássico
Classicamente, podemos estudar um sistema clássico de spins interagentes através do
modelo O(n) vetorial (ou D-dimensional) tratado inicialmnete po Stanley [16], onde as
variáveis de spins são vetores com n componentes [Si = (Si1 , Si2 , .., Sin )] cujo comprimento
vale
n
X
|Si | =
(Siα )2 = n,
2
α=1
no qual as interações são invariantes por simultâneas rotações desses vetores. O modelo
O(n) reduz-se a casos particulares importantes que são: Ising (n = 1), XY ou planar
(n = 2) e Heisenberg (n = 3).
De acordo com a seção anterior, o método variacional tem como princípio a seguinte
desigualdade:
F (H) ≤ Φ = Fo + hH − Ho io ,
(2.54)
onde F (H) é a energia livre associada ao Hamiltoniano não aproximado dado pela
Eq.(2.53), Ho o Hamiltoniano tentativa (aproximado) do sistema, no caso, aplicado em
um sistema composto de aglomerados de dois spins e Fo a energia livre associada ao
Hamiltoniano tetantiva Ho .
Para este sistema utilizamos o Hamiltoniano tentativa dado por
B
A
A
B
B
Hop = −JSA
1b .S2b − JS1b .h2b − JS1b .h2b .
(2.55)
Na Eq.(2.55) dividimos o sistema em duas subredes, A e B correspondendo respectivamente aos spins 1 e 2 do cluster. Dessa forma, os primeiros vizinhos da subrede
A pertencem à subrede B e vice-versa. O índice b indica que nossas variáveis estão
sendo calculadas no interior do material (bulk), o parâmetro hbν (ν = A, B) representa
a interação entre os vizinhos e a componente do cluster pertencente à subrede ν sendo
determinado através do processo de minimização de nosso funcional, Eq.(2.54).
Aplicando aproximação axial, isto é, considerando que o sistema se ordene em uma
direção preferencial (no caso a direção ẑ), ficaremos com o seguinte Hamiltoniano reduzido
para o sistema
Ho = −J
sendo Ho =
P
p
X
p
B
SA
1b .S2b − J
X
p
zA
S1b
.hA − J
X
zB
S2b
.hB ,
(2.56)
p
Hop , o índice p designa o par formado no cluster.
A média h...io presente na Eq.(2.54), após introduzirmos os resultados encontrados
em (2.56) e (2.53) fica
À
¿
JN(z − 1) A B
N
N
Az
Bz
hH − Ho io = −
S1b .S2b + J hA S1b + J hB S2b
.
2
2
2
0
(2.57)
­
®
B
Sendo Ho o Hamiltoniano de um sistema de partículas livres temos que SA
1b .S2b o =
­ Az ® ­ Bz ®
B
S1b . S2b = mA
b .mb , ficando
hH − Ho io = −
N
N B
JN(z − 1) A B
mb .mb + JhA mA
m .
b + JhB
2
2
2 b
(2.58)
onde z representa o número de coordenação da rede cristalina sendo igual a 6 para a rede
cúbica simples.
Procuramos agora determinar a energia livre Fo referente ao Hamiltoniano aproximado. Temos
1
Fo = − ln Zo ,
β
(2.59)
N
sendo Zo = [Zop ] 2 .
A função de partição é obtida através da relação
Zo = T r12 {exp(−βHop )} .
(2.60)
Para o caso clássico, as variáveis de spin são vetores que podem assumir qualquer
posição no espaço, assim o traço presente na Eq.(2.60) corresponde a uma integral no
espaço de fase das variáveis de spin
Zop =
Z
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) exp(−βHop ).
(2.61)
Substituindo a Eq.(2.55) na Eq.(2.61) obtemos:
Zop =
Z
B
A
B
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) exp(KSA
b .Sb + KSb hA + KSb hB ),
(2.62)
onde K = βJ.
A resolução desta integral torna-se possível quando aplicamos as seguintes relações
(ansatz )

 exp(KS A h ) = cosh(Kh ) + S A sinh(Kh ),
A
A
b A
b
 exp(KS B h ) = cosh(Kh ) + S B sinh(Kh ).
b
B
B
b
(2.63)
B
Substituindo estas relações na Eq.(2.61), obtemos
Z0 = B1 φ + B2 ψ + B3 ϕ + B4 ξ,
(2.64)
onde os coeficientes são dados por: B1 = cosh(KhA ) cosh(KhB ), B2 = cosh(KhA ) sinh(KhB ), B3 =
cosh(KhB ) sinh(KhA ) e B4 = sinh(KhB ) sinh(KhA ) e as integrais (ver Apêndice A)
φ =
ψ =
ϕ =
ξ =
Z
Z
Z
Z
B
n
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) exp(KSA
b .Sb ) = ΩI 2 −1 (nK),
¡ ¢
B
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) SbB exp(KSA
b .Sb ) = 0,
¡ ¢
B
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) SbA exp(KSA
b .Sb ) = 0,
¡
¢
B
n
dSA dSB δ(n − |SA |2 )δ(n − |SB |2 ) SbA .SbB exp(KSA
b .Sb ) = ΩI 2 (nK).
A função de partição fica então
£
¤
Zop = Ω I n2 −1 (nK).B1 + I n2 (nK).B4 ,
(2.65)
onde In (nK) é a função de Bessel modificada de segunda espécie e Ω está relacionado ao
resultado da área da hiperesfera no limite de K → ∞.
De posse dos resultados mostrados na Eqs.(2.62) e (2.58), podemos agora realizar o
processo de minimização de Φ na Eq.(2.54). Minimizando em relação às magnetizações
A
de subrede mA
b e mb obtemos respectivamente
hA =
e
X
B
mB
b = (z − 1) mb ,
(2.66)
hB =
X
A
mA
b = (z − 1) mb .
(2.67)
Minimizando agora Φ com relação a hA obtemos:
∂Φ
1∂
= 0 ⇒ mA
[ln Z0 ] .
b =
∂hA
β∂
Substituindo o resultado encontrado para Z0 na Eq.(2.61) temos
mA
b =
I n2 −1 (nK) cosh(KhB ) sinh(KhA ) + I n2 (nK) cosh(KhA ) sinh(KhB )
.
I n2 −1 (nK) cosh(KhA ) cosh(KhB ) + I n2 (nK)B4 sinh(KhB ) sinh(KhA )
(2.68)
Utilizando relações de soma e diferença de arcos hiperbólicos chegamos à seguinte
forma simplificada para a magnetização da subrede A
mA
b =
onde Θn =
I n −1 (nK)−I n (nK)
2
2
I n −1 (nK)+I n (nK)
2
sinh K(hA + hB ) + Θn sinh K(hA − hB )
,
cosh K(hA + hB ) + Θn cosh K(hA − hB )
(2.69)
.
2
Considerando o sistema ferromagnético, todos os spins apresentam-se ordenados paralelamente no estado fundamental, assim: hA = hB = (z − 1) m, sendo m a magnetização
por spin no bulk. A Eq.(2.69) reduz-se a
m=
2.6.2
sinh [2K(z − 1)m]
,
cosh [2K(z − 1)m] + Θn
(2.70)
Sistema Quântico
No sistema quântico continuamos a utilizar o resultado da Eq.(2.58) e a definição
dada pela Eq.(2.54). No entanto, tratando o sistema quanticamente, as variáveis de
spin apresentam somente valores discretos o que faz com que seu cálculo seja realizado
o operador traço, Eq.(2.60), que resulta na diagonalização do Hamiltoniano dado pela
Eq.(2.56) onde aplicamos os operadores de spin (dados pelas matrizes de Pauli) na base
canônica {|1i = |++i , |2i = |+−i , |3i = |−+i , |4i = |−−i} .
O Hamiltoniano do par pode ser então expresso na forma matricial

Hop



=




−(J + JhA + JhB )
0
0
0
0
J + JhB − JhA
−2J
0
0
−2J
J + JhA − JhB
0
0
0
0
−(J − JhA − JhB )



,



Cujos autovalores são dados por
λ1 = −J + A+ (hA , hB ),
λ2 = −J − A+ (hA , hB ),
λ3 = J + W (hA , hB ),
λ4 = J − W (hA , hB ),
q
onde W (hA , hB ) = 4J 2 + [A− (hA , hB )]2 , e A ± (hA , hB ) = J(hA ± hB ).
Substituindo estes valores na função de partição quântica, dada pelo traço do operador
Hamiltoniano, Eq.(2.60) obtemos
Zop = 2 exp(K) cosh [KA+ (hA , hB )] + 2 exp [βW (hA , hB )] .
(2.71)
Substituindo os resultados obtidos nas Eqs.(2.71) e (2.58) na definição do funcional
Φ dado pela Eq.(2.54) podemos agora efetuar sua minimização com relação aos parâmetros escolhidos. Minimizando em relação aos parâmetros hA e hB , obtemos os mesmos
resultados para o caso clássico, dados pelas Eqs. (4.8) e (4.9).
Fazendo agora a minimização em relação à magnetização mA
b utilizando a função de
partição quântica, obtemos a seguinte função para a magnetização da subrede A
mA
b =
sinh [KA+ (hA , hB )] + [W (hA , hB )]−1 A− (hA , hB ) exp(−2K) sinh [βW (hA , hB )]
,
cosh [KA+ (hA , hB )] + exp(−2K) cosh [βW (hA , hB )]
(2.72)
Para o caso ferromagnético teremos novamente a situação de todos os spins apresentarem o mesmo ordenamento no estado fundamental ficando a magnetização para o
sistema ferromagnético
m=
2.6.3
sinh [2K(z − 1)m]
.
cosh [2K(z − 1)m] + exp(−2K) cosh(2K)
(2.73)
Resultados
De posse dos resultados da magnetização de um sistema ferromagnético nos modelos
clássico [modelo O(n)] e quântico (modelo de Heisenberg), Eqs.(2.70) e (2.73) respectivamente, vamos mostrar os resultados para o comportamento da magnetização espontânea
em função da temperatura reduzida kB T /J.
Fazendo J = 1 e aplicando para o caso de uma rede cúbica simples onde z = 6,
variamos o valor da temperatura encontrando as raízes (valores da magnetização m na
Eq.(2.73)) através do método de Newton-Raphson.
Observamos para essa situação um comportamento da magnetização qualitativamente
de acordo com o previsto para sistemas ferromagnéticos. Estas curvas não apresentam
descontinuidade o que caracteriza uma transição de segunda ordem. Abaixo da temperatura crítica (Tc ) o sistema apresenta-se ordenado, próximo a esses valores críticos o
sistema começa a sofrer desordem magnética provocada pelo aumento da temperatura
e anula-se para valores acima de Tc . No estado fundamental os spins apresentam-se
ordenados paralelamente(↑↑↑ ...) de modo que m(0) = 1.
Outro fato relevante nestes resultados é que embora os sistemas quântico e clássico apresentem comportamento semelhante, notamos uma pequena diferença entre os
1.0
clássico
quântico
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 2.3: Comportamento da magnetizaç ão do modelo de Heisenberg clássico e quântico em função da temperatura no bulk de um filme fino para uma rede cúbica simples
(z = 6).
resultados para a temperatura crítica (Tc (quântico) = 5.72, Tc (clássico) = 5.84), sendo
Tc (quântico) < Tc (clássico) resultado este comprovado por métodos mais rigorosos, como
a expansão em série, mostrado na Tabela (1.1)[23]. Isto se dá em função do sistema clássico ter muito mais graus de liberdade que o sistema quântico.
Tabela II.1: Temperaturas críticas reduzidas para os
e clássico e Ising numa rede cúbica simples obtidos
abaixo.
Modelo
MFT
EFT
XY Clássico
Séries[17]
MFT
EFT
XY Quântico
Séries[18]
MFT
EFT
Heisenberg Clássico
Séries[19]
MFT
Heisenberg Quântico EFT
Séries[17]
MFT
EFT
Ising
Séries[17]
modelos XY, Heisenberg quântico
através das técnicas mencionadas
Tc
5.830
5.034
4.405
5.787
4.980
4.000
5.841
5.031
4.329
5.719
4.891
3.360
5.847
5.039
4.511
TN
5.843
5.034
4.405
5.787
4.980
4.000
5.841
5.031
4.329
5.771
4.891
3.593
5.847
5.039
4.511
Referências
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[11] H. Falk, Phys. Rev. 133, 1382 (1964).
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Phenomena: An Introduction to the Renormalization Group, Oxford University Press,
New York (1999).
96
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[14] M. Suzuki e M. Katori, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 1 (1986); M. Katori e M. Suzuki, J.
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[15] Mansuo Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 55, 4205 (1986).
[16] H. E. Stanley, Phys. Rev. 179, 570 (1969).
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[20] K. Binder, Phase Transition and Critical Phenomena Vol. 8, ed. C. Domd and J. L.
Lebowitz (Academic, London, 1983).
[21] K. Binder e D. P. Landau, Physica A 163, 17 (1990).
[22] T. Kaneyoshi, J. Phys. Cond. Matter 3, 4497 (1991); Rev. Solid State Science 2, 39
(1989); Phys. Stat. Sol. B 165, 549 (1991); J. Mag. Mat. 98, 185 (1991); Introduction
to Surface Magnetism, (Boca Raton, FL:CRC Press, 1991).
[23] J. Cabral Neto, Efeito de Superfície em Modelos de Spins Clássico e Quântico, Tese
de Mestrado (UFSCAR).
Capítulo 3
Filmes Finos Magnéticos
3.1
Considerações Gerais
Recentemente, o estudo do magnetismo em filmes ultra-finos representa considerável
avanço tanto teórico quanto experimental na medida que a corrida por fontes cada vez
mais seguras e eficientes de gravação magnética tornou-se de vital importância para a
sociedade. A necessidade de reter uma quantidade cada vez maior de informações em
um espaço cada vez menor, possibilitou o surgimento de novas tecnologias de crescimento de filmes magnéticos ultra-finos a partir de um substrato possibilitando a formação das mais variadas estrututras caracterizadas tanto pela geometria de sua rede
cristalina(heteroestruturas) quanto pelo tipo de interação entre os seus íons(super-rede).
Além de sua importância tecnológica, os filmes finos têm significativa importância teórica
para o entedimento da ordem magnética e transição de fase em sistemas bidimensionais,
onde a presença de superfícies livres alteram o comportamento do interior do material provocando o aparecimento de novos e interessantes fenômenos. Além disso é um
excelente “laboratório” teórico para verificar a hipótese de universalidade.
O desenvolvimento de materiais com características determinadas para uma aplicação específica requer o conhecimento detalhado das interações microscópicas, e como
98
elas são afetadas por fatores como sua composição e preparação. Por exemplo, o uso
de filmes ultra-finos magnéticos para armazenamento de dados requer a fixação da magnetização aplicada no filme e leitura desses dados com alto grau de precisão. Variações
na composição do filme podem ser usadas para manipular as propriedades desejadas e
sua sensibilidade na presença de um campo externo. A habilidade em lidar com esses
parâmetros é fundamental para o estabelecimento de sua estrutura física fazendo com
que sua perfomance seja optimizada trazendo significativos benefícios tecnológicos.
Um dos grandes avanços na análise desses sistemas foi a descoberta do efeito magnetoóptico de superfície denominado Efeito Kerr, que através da incidência de laser (λ =
632nm) em uma determinada direção pode informar o comportamento da magnetização em função da temperatura1 . Além disso um controle maior da deposição atômica
feita camada por camada através de técnicas modernas de alto-vácuo, como o método
de crescimento epitaxial[3], tem garantido formar novas estruturas de filmes, nas mais
diversas orientações. Verifica-se que os diferentes planos de orientação de crescimento
provocam mudança na distância entre as camadas do filme: 1, 246 Å para Ni(110), 1, 762
Å para Ni(100), 2, 035 Å para Ni(111) este fato também modifica a simetria do sistema,
acarretando uma variação na temperatura crítica para sistemas compostos pelo mesmo
elemento e orientações cristalográficas diferentes. Medidas experimentais realizadas em
filmes de Ni e Cu[4, 7] mostraram que: Tc (111) > Tc (100) > Tc (110).
Verifica-se experimentalmente que a ordem magnética do filme é afetada pela variação
da temperatura do sistema. Allenspach e Bischof[8], usando microscópio eletrônico estudaram a variação da estrutura dos domínios magnéticos em filmes finos de F e/Cu(001).
Abaixo da temperatura característica, os momentos magnéticos formam um simples
domínio magnético orientado perpendicularmente ao longo do eixo cristalográfico. Com
o contínuo aumento da temperatura os momentos magnéticos reorientam-se da direção
perpendicular para a direção paralela ao plano do filme, fenômeno este conhecido com
1
O leitor interessado em maiores detalhes da metodologia empregada, recomendo ler as referências
[1, 2]
transição de reorientação. Essa mudança estrutural é verificada com variação na temperatura ou no número de camadas do filme[9, 10]. A importância da estrutura dos domínios
magnéticos na estrutura do filme foi bem demonstrada por Speckmann[11] no estudo do
crescimento de filmes em amostras de Co e Au (111). Alguns progressos foram obtidos
na tentativa de isolar os efeitos provocados por parâmetros como temperatura e espessura do filme nas propriedades magnéticas por uma escolha cuidadosa do substrato. Por
exemplo, Arnold[12] formou filmes com estrutura fcc de ferro em um substrato obtido
pela deposição de duas camadas de níquel e a superfície de tungstênio (110) resultando
em estruturas mais estáveis.
Do ponto de vista teórico, métodos numéricos para o cálculo de Tc para filmes com
algumas camadas de spin foram desenvolvidos, como a expansão em série por extrapolação em altas temperaturas (HTSEE) utilizando até décima segunda ordem[13]. Recentemente, alguns métodos analíticos foram desenvolvidos com base na expansão do
cumulante (VCE) calculando pontos críticos de filmes Ising com precisão arbitrária.[14].
Valores de Tc foram obtidos até quarta ordem para as redes cúbica simples (sc), corpo
centrado (bcc) e em terceira ordem para cubica de face centrada[14, 15]. Outro técnica
que tem sido exaustivamente utilizada é a teoria de campo efetivo (EFT), empregada
nos mais variados tipos de problemas como percolação, ordem e desordem em modelos
de spin clássico e quântico[16] e no comportamento crítico da superfície e do bulk[17].
A influência da dimensionalidade no comportamento dos filmes finos logo tornou-se
motivo principal dos estudos teóricos destes sistemas. Trabalhos pioneiros como os de
Fisher e colaboradores[18, 19] influenciaram fortemente estudos posteriores a respeito
da influência das variação da espessura na magnetização de filmes ultra-finos e o comportamento da temperatura crítica Tc do sistema. Tendo por base base estes trabalhos,
Zhang e Willis[20], utilizando um simples modelo de acoplamento entre spins conseguiram
mostrar uma região com uma abrupta variação da temperatura crítica quando relacionada
ao número de camadas do filme (` < 5). Seus resultados foram comparados com resultados experimentais onde pode-se observar um comportamento qualitativo próximo do
Tabela III.1: Valores dos parâmetros ai, bi para um filme fino Ising obtido teoricamente
da Ref.[24]
N o da camada
1
2
3
ai
0.17 0.66 1.00
bi
0.14 0.45 0.76
esperado, sendo os valores de Tc maiores que os obtidos experimentalmente. Esse fato
já fora observado antes[21] e sua ocorrência se dá pois considera-se a energia de troca
Jij constante ao longo do filme. De fato, o exchange da superfície é muito diferente do
interior do material. Isto é sugerido na Ref.[22] e confirmado por Mills e Maraduddin[23].
Analisando o comportamento de Tc (`) por meio da expansão do cumulante na região
de crossover da dimensionalidade, Ou[24] obteve resultados muito próximos aos obtidos
para filmes de Níquel ao considerar a diferença de exchange da superfície com o bulk e
entre camadas. Para tanto definiu as seguintes relações: Jk = ai J e J⊥ = bi J, respectivamente interações intraplano e interplano. O índice i identifica a camada sendo que
i = 1 corresponde à superfície e ai = bi = 1 para i ≥ 4 com os outros valores variando
conforme a Tabela (III.1)
Ampliando a investigação de pontos críticos para filmes Ising tratados pelo método
proposto por Lin e colaboradores [14, 15], Ou[24] tratou os efeitos de interface na determinação da temperatura crítica de heteroestruturas. Considerou-se neste trabalho
heteorestruturas compostas de m camadas de um filme crescido em um substrato com
n camadas magnéticas com diferença na estrutura da rede. A temperatura crítica da
estrutura completa, Tc (m, n), foi obtida em função dos parâmetros m e n e uma forte
dependência de Tc com a estrutura da rede foi revelada, principalmente efeitos de interface. Considerando n < m (Ex: sc-bcc, sc-fcc) a temperatura crítica do sistema diminui
com o aumento do número total de camadas (N = n + m) e aumenta com o número de
n. Verifica-se que o inverso ocorre para n > m.
A influência da superfície em sistemas tridimensionais provoca, além da mudança no
comportamento crítico, um diagrama de fase onde as ordenações magnéticas do bulk e
da superfície são consideradas. Temos então a seguinte classificação:
• Ordenação do bulk


bulk Ferromagnético (BF)
 bulk Antiferromagnético (BAF)

 Superfície Ferromagnética (SF)
• Ordenação da Superfície
 Superfície Antiferromagnético(SAF)
• Fase Paramagnética
Na fase de ordenação na superfície somente ela está magnetizada, para a fase de ordenação do bulk tanto a superfície e o bulk estão ordenados, já para a fase paramagnética
tanto a superfície quanto o bulk estão desordenados. O estudo da ordem magnética
em superfícies tem sido bem caracterizado através de alguns métodos experimentais tais
como: emissão de fóton com spin polarizado[25], difração de elétrons de alta energia[26]
e espectroscopia de captura eletrônica[27]. Estes métodos apresentam a capacidade de
determinar o comportamento crítico da superfície de sistemas formados por Ni, Cr, Gd
e T b. Para estes sistemas é observada uma mudança entre o comportamento da magnetização da superfície e a magnetização do bulk nas proximidades de uma determinada
temperatura de transição Tcb . Isto acontece devido a redução da simetria para sítios
localizados próximos ou na superfície do sistema, fato este representado pela variação
do número de coordenação. Este fenômeno pode ocorrer localmente ou somente para
algumas camadas atômicas abaixo da superfície o que vem a afetar as propriedades magnéticas no interior do material como a estrutura dos domínios magnéticos e o arranjo dos
spins.
Os estudos teóricos em filmes finos têm-se limitado na sua grande maioria a sistemas Ising[31, 32]. Somente recentemente, Neto, de Sousa e Plascak[40] desenvolveram
uma teoria de campo efetivo baseado na técnica do operador diferencial de Honmura e
Kaneyoshi e aplicaram nos filme finos de Heisenberg clássico e quântico. Desejando fazer
uma análise mais abrangente, porém simplificada, estudaremos neste capítulo o filme fino
de Heisenberg quântico anisotrópico, onde no Hamiltoniano existem parâmetros associados aos limites dos modelos Ising, XY e Heisenberg isotrópico. Aplicaremos o método
variacional baseado na desigualdade de Bogoliubov, desenvolvido preliminarmente no
Capítulo 2 para uma descrição das propriedades do bulk, e calcularemos as propriedades
termodinâmicas e diagramas de fase para este filme fino quântico em função de várias
variáveis (número de coordenação, exchange, anisotropia, etc). Devemos salientar que,
resultados preliminares dos diagramas de fase têm sido obtidos por Amazonas, Neto e de
Sousa [49], e foram mostrados que as curvas críticas são qualitativamente equivalentes
às obtidas pela técnica do operador diferencial [40]. Portanto encorajamos estender esse
método variacional para obter também as propriedades termodinâmicas, bem como outras análises que serão apresentadas à seguir.
3.2
Modelo Proposto
O modelo microscópico de Heisenberg tornou-se um dos mais adequados para descrever sistemas magnéticos isolantes. Passados setenta anos desde sua elaboração, este
modelo tem sido retomado na literatura com aplicação de métodos aproximativos em
aglomerado finito. Aqui utilizaremos a desigualdade de Bogoliubov em aglomerado de
dois spin associado à MFA no Hamiltoniano de Heisenberg de spin
H=−
X
(i,j)
¡
¢
Jij η x Six Sjx + η y S y Sjy + Siz Sjz ,
1
2
descrito por
(3.1)
onde Jij representa a interação de exchange entre pares de primeiros vizinhos (i, j) (J > 0
e J < 0 corresponde os limites ferro e antiferromagnético, respectivamente), η x e η y são
os parâmetros de anisotropias de exchange, e Siν a matriz de Pauli (ν = x, y, z). Se (i, j)
∈ à superfícies Jij = Js caso contrário Jij = Jb . O Hamiltoniano (3.1) reduz-se a alguns
casos particulares importantes: Ising (η x = η y = 0), XY (η x = 0 ou η y = 0) e Heisenberg
isotrópico (η x = η y = 1).
Faremos o estudo do Hamiltoniano (3.1) considerando diferentes tipos de filmes magnéticos, cada qual com uma estrutura cristalina diferente caracterizada por seu número
Figura 3.1: Representação geométrica de uma rede cúbica simples com aglomerado de
dois spins na presença de duas sub-redes
de coordenação e índices de Muller. O número de coordenação z informa o número de
primeiros vizinhos sendo dado para uma rede tridimensional por z = z0 +2z1 , onde z0 corresponde ao número de primeiros vizinhos na mesma camada enquanto que z1 o número
de primeiros vizinhos nas camadas adjacentes. O índice de Muller está relacionado aos
planos de rede em que o cristal se formou. Analisaremos as seguintes estruturas:
a) Rede Cúbica Simples: com orientação dada pelos índices (001) (abreviada para
sc(001)), apresenta números de coordenação iguais a z0 = 4 e z1 = 1. Sua configuração espacial no aglomerado de dois spins com duas sub-redes (Sa e Sb ) é
facilmente representada e é dada conforme a Fig. (2.1) .
b) Rede Cúbica Corpo Centrado: com orientação dada pelos índices (111) (abreviada para bcc(111)), tem números de coordenação iguais a z0 = 6 e z1 = 1.
c) Rede Cúbica Face Centrada: utilizaremos dois tipos de orientação (111) e
(001) (abreviadas para f cc(111) e f cc(001)). Seus números de coordenação são
dados respectivamente por z0 = 6 e z1 = 3; z0 = z1 = 4.
3.3
Formalismo
O ponto de partida do princípio variacional está em determinar a relação obtida para
a energia livre de Helmholtz
F ≤ Φ = F (Ho ) + hH − Ho io ,
(3.2)
onde F (Ho ) é a energia livre associada ao Hamiltoniano solúvel Ho para aglomerado
finito, escrito como função de algum parâmetro variacional. Para um filme magnético
constituído de ` camadas (n = 1, 2, ..., `) com N partículas, construimos o Hamiltoniano
da n-ésima camada Hon de forma que o sistema seja dividido em duas partes, uma contendo
aglomerados formados por pares de partículas livres (somente interações mútuas) e outro
por íons livres que atuam em cada par por aproximação de campo médio (ver Fig.(2.1)),
ou seja
Hon = −Jn
X¡
X
X
¢
ny ny
nx nx
nz nz
nz
nz
S2p + η y S1p
S2p + S1p
S2p − hnA
S1A
− hnB
S2B
.
η x S1p
p
sA
(3.3)
sB
Aplicamos no Hamiltoniano tentativa dado pela Eq.(3.3) aproximação axial na interação de um elemento do par com seus vizinhos mais próximos, o somatório em p é
realizado nos spins do aglomerado, o somatório em sζ (ζ representando as sub-redes A
e B) nos íons livres e hnA e hnB são parâmetros associados ao campo molecular produzido
pelos íons vizinhos.
De posse do resultado (3.3), podemos determinar Φ e minimizá-lo com relação aos
parâmetros adotados. Substituindo os resultados encontrados nas Eqs.(3.2) e (3.3) no
segundo termo da Eq.(3.2) obtemos
hH − Hon io =
*
−
P
¡
¢
Jij η x Six Sjx + η y S y Sjy + Siz Sjz +
(i,j)
¢
P nz
P nz
P ¡ x nx nx
ny ny
nz nz
Jn . η S1p S2p + η y S1p
S2p + S1p
S2p + hnA S1A
+ hnB S2B
p
sA
sB
+
,
o
(3.4)
Aplicando-se a média na Eq.(3.4) e usando o fato que
­ n n®
­ zn ® ­ zn ®
S1p .S2p o ' S1p
. S2p = mnA .mnB
obtemos
hH − Hon io = −

N
2
+ z1 Jn+1 mnA .mn+1
(zo − 1)Jn mnA .mnB + z1 Jn−1 mnA .mn−1
B
B +
z1 Jn−1 mnB .mn−1
A
+
z1 Jn+1 mnB .mn+1
A
+
hnA mnA
+
hnB mnB

 (3.5)
onde zo e z1 especificam o tipo de rede cristalina utilizada.
A determinação da energia livre do sistema requer a determinação prévia da função
de partição Zon relativa ao Hamiltoniano tentativa. Essas grandezas estão relacionadas
por
1
F (Hon ) = − ln Zon
β
onde β = 1/kB T , Zon =
4
P
(3.6)
exp(−βλi ), sendo λi o autovalor obtido a partir da diagonaliza-
i=1
ção da matriz Hamiltoniana do sistema. Usando a base canônica {|1i = |++i , |2i = |+−i , |3i = |−+
o Hamiltoniano de um par descrito por
ny ny
n
x x
nz nz
nz
nz
Hop
= −Jn (η x S1p
S2p + η y S1p
S2p + S1p
S2p ) − hnA S1p
− hnB S2p
,
é expresso na seguinte forma matricial
(3.7)
n
Hop




=



−(Jn +
hnA
+
hnB )
0
0
Jn + hnB − hnA −Jn (η x + η y )
0
0
−Jn (η x − η y )
−Jn (η x + η y ) Jn + hnA − hnB
0
0
x
y
−Jn (η − η )
0
0
−(Jn − hnA − hnB )




 (3.8)



A matriz (3.8) apresenta os seguintes autovalores
q
λ1 = −Jn + Jn2 (η x − η y )2 + [An+ (hnA , hnB )]2 ,
q
λ2 = −Jn − Jn2 (η x − η y )2 + [An+ (hnA , hnB )]2 ,
q
λ3 = Jn + Jn2 (η x + η y )2 + [An− (hnA , hnB )]2
e
q
λ4 = Jn − Jn2 (η x + η y )2 + [An− (hnA , hnB )]2 ,
onde An± (hnA , hnB ) = hnA ± hnB .
n
Substituindo estes valores na expressão de Zop
e agrupando-os obtemos
n
Zop
= 2eKn cosh[βW−n (hnA , hnB )] + 2e−Kn cosh[βW+n (hnA , hnB )],
onde W±n (hnA , hnB ) =
q
(η x ± η y )2 Jn2 + [An∓ (hnA , hnB )]2 e Kn = βJn .
(3.9)
N
n
Da Eq.(3.9) obtemos a energia livre F (Hon ) = − 2β
ln Zop
. De posse desse resultado e
o encontrado na Eq.(3.5) obtemos o seguinte funcional
ª
N © Kn
ln 2e cosh[βW−n (hnA , hnB )] + 2e−Kn cosh[βW+n (hnA , hnB )] −
(3.10)
2β


n−1
n+1
n−1
n
n
n
n
n
N (zo − 1)Jn mA .mB + z1 Jn−1 mA .mB + z1 Jn+1 mA .mB + z1 Jn−1 mB .mA + 
− 
.
2
z1 Jn+1 mn .mn+1 + hn mn + hn mn
Φ = −
B
A
A
A
B
B
Iremos agora minimizar Φ com respeito à magnetização das subredes A e B, ou seja
∂Φ
=0
∂mnA
e
∂Φ
= 0,
∂mnB
resultando respectivamente
hnA = (zo − 1)Jn mnB + z1 Jn−1 mn−1
+ z1 Jn+1 mn+1
B
B
(3.11)
hnB = (zo − 1)Jn mnA + z1 Jn−1 mn−1
+ z1 Jn+1 mn+1
A
A .
(3.12)
e
Minimizando Φ agora em relação ao parâmetro hnA obtemos a expressão para a magnetização da sub-rede A na n-ésima camada por
¡
¡
¢
¡ n ¢−1 n n n
¢
¡ n ¢−1 n n n
n
−2Kn
n
A
(h
,
h
)
sinh
βW
A
(h
,
h
)
sinh
βW
+
e
W
W
−
+ A
−
+
− A
+
B
B
mnA =
. (3.13)
cosh (βW−n ) + e−2Kn cosh (βW+n )
Realizando o mesmo procedimento para o parâmetro hnB , encontramos o seguinte
resultado para mnB
mnB
¡
¡
¢
¡
¢−1 n n n
¢
¡ n ¢−1 n n n
A+ (hA , hB ) sinh βW−n − e−2Kn W+n
A− (hA , hB ) sinh βW+n
W−
. (3.14)
=
cosh (βW−n ) + e−2Kn cosh (βW+n )
Para o sistema ferromagnético, os spins no estado fundamental (T = 0) estão alinhados paralelamente, de forma que a interação de exchange é positiva, ou seja, J > 0.
De acordo com as Eqs.(3.13) e (3.14), em T = 0, temos que mnA = mnB = mn , o que nos
sugere que hnA = hnB = hn = (zo − 1)Jn mn + z1 Jn−1 mn−1 + z1 Jn+1 mn+1 . Portanto, a partir
dessas considerações, chegamos ao seguinte resultado para a magnetização
mn =
2hn sinh βW (hn )
©
£
¤ª ,
W (hn ) cosh βW (hn ) + exp(−2Kn ) cosh Kn (η x + η y )
(3.15)
q
onde W (hn ) = Jn2 (η x − η y )2 + 4h2n .
A partir do resultado para a magnetização da n-ésima camada obtemos o diagrama
de fase para o filme juntamente com o comportamento da resposta do filme a um campo
externo, a susceptibilidade.
3.4
Propriedades Termodinâmicas
Aproximações na mecânica estatística têm sido posta à prova constantemente quando
investigam-se novos sistemas, onde a obtenção de diagramas de fase se faz necessário
para a melhor compreensão de seu comportamento, como ocorre com os filmes finos. A
aproximação de aglomerados representa uma eficaz ferramenta de cálculo matemático que
deve apresentar resultados satisfatórios para sistemas de alta dimensionalidade quando
associada à métodos rigorosos de simulação numérica. Sua aproximação axial (interações
do cluster com os spins vizinhos ocorrendo somente em um eixo privilegiado) introduz
no sistema um pequena anisotropia responsável pela ocorrência de transição de fase no
modelo de Heisenberg mesmo para sistemas bidimensionais, em desacordo com o teorema
de Mermin-Wagner[28].
A presença de comportamento não físicos ou anômalos nas grandezas termodinâmicas
em modelos quânticos do ponto de vista teórico deve-se a três fatores importantes: (i) o
tipo de aproximação utilizada; (ii) o efeito de tamanho finito dos aglomerados utilizados
nos formalismos e (iii) efeitos competitivos nas interações do Hamiltoniano. Em três dimensões, nem mesmo o modelo de Ising apresenta solução exata, mas sua termodinâmica
em todo regime de temperatura é muito bem conhecida através de técnicas rigorosas de
expansões em séries e simulação de Monte Carlo. Presença de efeitos competitivos no
Hamiltoniano de Ising pode apresentar resultados que diferem ligeiramente do sistema
puro, sendo que para d = 3 os resultados não são conclusivos, pois não se sabe exatamente o que acontece no regime de baixas temperaturas, onde frustrações magnéticas
predominam.
Bonner e Fisher[29] estudaram através de diagonalização numérica exata as propriedades termodinâmicas do modelo de Heisenberg quântico de spin 1/2 numa rede
unidimensional ferromagnética e antiferromagnética. Para tamanho da rede finita utilizada N = 2 até 11, o calor específico em função da temperatura, para qualquer valor de
anisotropia de exchange ferromagnético, apresenta um comportamento regular saindo de
zero em T = 0 (3a lei da termodinâmica) e aumentando até um valor máximo em Tmax , e
diminuindo posteriormente a zero quando T → ∞ na forma c ' 1/T 2 , o que caracteriza
um sistema sem transição de fase. Por outro lado, para o sistema AF o calor específico
apresenta um comportamento anômalo com a presença de dois máximos, um em baixa
temperatura e outro em alta temperatura. Aumentando o valor de N, Bonner e Fisher
verificaram que o primeiro ponto de máximo do calor específico em baixas temperaturas
diminui monotonicamente a zero quando N → ∞, mostrando ser este comportamento
anômalo devido ao efeito de tamanho finito da rede que é altamente relevante na região
de baixas temperaturas, e que é mais atuante em sistemas quânticos.
Vamos a seguir calcular várias propriedades termodinâmicas na aproximação de campo
efetivo no modelo, Eq.(3.1), e verificar, no capítulo seguinte, como a influência quântica,
que se apresenta quando saimos de sistemas Ising para Heisenberg pode refletir nos resultados da temperatura crítica do sistema e como esta varia em função da estrutura da
rede.
a) Energia interna e Calor Específico
A energia interna por partícula relativa à n-ésima camada un pode ser calculada
tomando a média do Hamiltoniano tentativa (3.3) reduzido já para uma rede ferromagnética (hn = hnA = hnB ), assim teremos
un =
1
hHn i
N
ou em função da função de partição
un = −
¤
∂ £
n
ln Zop
∂β
(3.16)
Substituindo (3.9) na Eq.(3.16) obtemos
un
½
¾
Jn exp(2Kn ) cosh W (hn ) + (2 + η x + η y ) sinh Kn (η x + η y ) − cosh Kn (η x + η y )
= −
2
exp(2Kn ) cosh W (hn ) + cosh Kn (η x + η y )
(3.17)
−mn hn ,
nos dá o comportamento da energia interna por partícula para a n-ésima camada. Para
um filme composto por ` camadas, determinamos a energia média u através da relação
P̀
u = 1` un que dá o comportamento médio do filme.
n=1
O calor específico é obtido através do cálculo da primeira derivada da energia em
relação à temperatura reduzida t = kB T /J na Eq. (3.17). Podemos realizar este cálculo diretamente na Eq.(2.21) ou utilizando recursos de derivação do editor de gráficos
ORIGIN 6.0 diretamente na curva obtida de u em função de t, os dois resultados são
equivalentes, porém optamos pelo segundo procedimento.
b) Magnetização e Susceptibilidade
A magnetização média do filme é uma função importante para o estudo da transição
de fase, que indica o ponto onde o sistema sofre a passagem da fase ferromagnética para
a fase paramagnética. Este ponto em que o sistema perde sua magnetização espontânea
é de grande interesse pois a estabilidade de sistemas magnéticos é fundamental para
fixação de informação através de um campo aplicado em sua estrutura. Para um filme
de ` camadas teremos um sistema autoconsistente de ` equações acopladas, isto é



m1 =












m =

 2





mn =










 m =
`
2h1 sinh βW (h1 )
,
W (h1 ){cosh βW (h1 )+exp(−2Ks ) cosh[Ks (ηx +η y )]}
2h2 sinh βW (h2 )
,
W (h2 ){cosh βW (h2 )+exp(−2Kb ) cosh[Kb (η x +η y )]}
(3.18)
.......
2hn sinh βW (hn )
,
W (hn ){cosh βW (hn )+exp(−2Kb ) cosh[Kb (ηx +ηy )]}
......
2h` sinh βW (h` )
.
W (h` ){cosh βW (h` )+exp(−2Ks ) cosh[Ks (η x +η y )]}
A magnetização total do filme será dada pela média das magnetizações de cada camada, ou seja
m=
1 X̀
mn ,
` n=1
(3.19)
Outra função igualmente importante no estudo de sistemas magnéticos é a susceptibilidade pois mostra a resposta do sistema ao campo aplicado, e apresenta como principal
característica um comportamento anormal (descontinuidade) da susceptibilidade na temperatura crítica quando o campo é retirado. Sua determinação se faz quando aplicamos
um campo ao sistema. Isto representa a adição de um termo no Hamiltoniano, Eq.(3.3),
dado por
∆Hon = −H
"
X
i
nz
SiA
+
X
i
#
nz
,
SiB
onde H é campo externo cuja minimização da energia de interação com o operador de spin
Sinz ocorre na direção do campo, adotado como sendo o eixo z. A presença de um campo
magnético interagindo com os spins do cluster na direção axial altera a equação para a
magnetização ferromagnética, Eq.(4.12) . Representamos essa modificação simplesmente
fazendo a substituição hn → hn + H = αn .
Para a camada n a susceptibilidade é obtida através de
χn =
µ
∂mn
∂H
¶
.
(3.20)
H=0
Derivando parcialmente cada termo em relação ao campo H obtemos
χn = Φn
µ
¶
∂hn
,
+1
∂H
H=0
(3.21)
sendo
Φn
·
¸
1
4βαn γ n (αn ) cosh βW (αn )
=
{ 2τ n (αn ) +
−
%n (αn )φn (αn )
%n (αn )
·
¸
4αn [φn (αn ) + β%n (αn ) sinh βW (αn )]
},
mn
%n (αn )
onde γ n (αn ) = 2αn , τ n (αn ) = sinh βW (αn ), %n (αn ) =
£
¤
exp(−2Kn ) cosh Kn (η x + η y ) .
p
W (αn ) e φn (αn ) = cosh βW (αn )+
Aplicando a definição de hn em (4.24) ficamos com a seguinte equação para a suscep-
tibilidade da n-ésima camada
·
¸
1
− (zo − 1)Jn χn − z1 Jn−1 χn−1 − z1 Jn+1 χn+1 = 1
Φn
(3.22)
A Eq.(4.25) representa um sistema de ` equações lineares que pode ser resolvido de
forma exata. Decidimos resolver este sistema numericamente, onde erros em relação
ao resultado exato são desprezíveis. O valor médio de χ para o filme é obtido através
do formalismo de Wang, Smith e Tilley[30] (ver Apêndice B), onde as camadas podem
ser tratadas como capacitores, assim a capacitância do filme será dada pela soma das
capacitâncias de cada camada quando conectadas em série. A susceptibilidade total χ
será dada então por
1X
=
(1 + χn )−1
` n=1
L
−1
(1 + χ)
(3.23)
sendo ` o número total de camadas do filme.
3.5
3.5.1
Resultados
Temperatura Crítica como Função do Tamanho do Filme
Aplicamos nesta seção os resultados encontrados anteriormente para descrever a criticalidade numa estrutura de um filme fino tendo como característica a presença de
interações ferromagnéticas (J > 0) em cada camada de um filme de tamanho `. A
rede cristalina apresenta uma só forma em toda a estrutura e pode ser cubica simples
(001) (zo = 4, z1 = 1), corpo centrado (111) (zo = 6, z1 = 1), face centrada (111)
(zo = 6, z1 = 3) e face centrada (001)(zo = 4, z1 = 4). Com base em resultados experimentais que indicam uma interação de exchange da superfície diferente do bulk, temos
nesta estrutura dois tipos de interação: Js presente nas superfícies livres e Jb nas camadas
internas e entre camadas, conforme mostra a Fig.(3.2).
O comportamento da magnetização em sistemas ferromagnéticos tem como característica um rápido decaimento próximo à temperatura crítica, anulando-se nesse ponto
sendo que a transição de fase de 10 ordem apresenta uma descontinuidade em T = Tc
(presença de calor latente) e a de 20 ordem contínua. Em particular, o sistema analisado neste capítulo apresenta transição de fase de 20 ordem, assim podemos expandir
as magnetizações para cada camada em primeira ordem em mn . Efeitos decorrentes do
tamanho finito do filme, como a mudança de simetria da rede com a redução do número
Figura 3.2: Figura representativa de um filme fino com ` camadas e interações de superfície Js e do bulk Jb em uma rede cúbica simples ferromagnética.
de vizinhos para camadas próximas à superfície alteram a forma com que a magnetização
de cada camada mn decai nessa região fazendo de maneira simétrica. A partir do sistema
de equações (3.18) obtemos no limite mn → 0 o seguinte sistema de equações lineares
mn = Ωn (Kn ) ((zo − 1)Kn mn + z1 Kn−1 mn−1 + z1 Kn+1 mn+1 ) ,
onde Ωn (Kn ) =
(3.24)
sinh[(η x −η y )Kn ]
.
2(η x −η y )Kn {cosh[(η x −η y )Kn ]+e−2Kn cosh[(η x +ηy )Kn ]}
A aproximação dada pela Eq.(3.24) forma um sistema linear na variável mn . Aplicando
condições de contorno adequadas ao tipo de estrutura descrita pela Fig.(3.2), ou seja
interações de superfície Js e do bulk Jb resulta



am1 + m2 + 0m3 + 0m4 + .... + 0m` = 0,






m1 + bm2 + m3 + 0m4 + .... + 0m` = 0,


0m1 + m2 + bm3 + m4 + .... + 0m` = 0,





...................




 0m + 0m + m + 0m + .... + am = 0,
1
2
3
4
`
(3.25)
onde a =
Ω(Ka )(zo −1)
z1 Kb
para n = 1 = ` e b =
Ω(Kb )(zo −1)
z1 Kb
para 1 < n < `. Reescrevendo o
 

sistema (3.25) na forma matricial ficamos

ou seja













a 1 0 ... 0
1 b 1 ... 0
0 1 b ... 0
0 0 1 ... 0
.. .. .. ... ..
0 0 0 ... a













`






.






m1
m2
m3
m4
..
m`






 = 0,






`
A` .M` = 0,
(3.26)
onde A` é a matriz formada pelos coeficientes a e b e M` a matriz das magnetizações de
cada camada. O comportamento crítico do sistema encontra-se todo descrito pela matriz
A` e seus valores críticos são encontrados a partir da solução não trivial da Eq.(3.26), ou
seja, det A` = 0. Devido o sistema ser composto de equações acopladas encontramos os
valores de Tc através de métodos numéricos para calcular as raízes na Eq.(3.26). Nosso
objetivo agora é encontrar uma relação generalizada para o determinante det A` , e assim
encontrar uma relação entre a temperatura crítica do filme e o número de camadas que
ele possui. Através do método de Laplace com o cálculo de cofatores encontramos por
meio de indução matemática a seguinte relação para a matriz A`
det A` = (ab − 1)2 B`−4 − 2a(ab − 1)B`−5 + a2 B`−6 ,
(3.27)
sendo B` o determinante da matriz interna que apresenta somente coeficientes b, definido
por
¯
¯
¯
¯
¯
¯
B` = ¯¯
¯
¯
¯
¯
b
1
0
0 ... 0
1
b
1
0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0
0
0
0 ...
b
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
¯
¯
Encontramos novamente uma relação generalizada para o determinante B` através do
mesmo procedimento utilizado para a matriz A` . Obtemos então o seguinte resultado
B` = bB`−1 − B`−2 .
(3.28)
Utilizando o software MAPLE V aplicamos o comando rsolve na relação (3.28) para
encontrarmos sua relação de recorrência, ou seja
rsolve ({bB(` − 1) − B(` − 2) − B(`) = 0; B(0) = 0, B(1) = 1} , B) ,
(3.29)
com as condições iniciais B0 = 0 e B1 = 1 chegamos então, após agruparmos o resultado
obtido em (3.29), a seguinte relação
1
B` = √
b2 − 4
(·
b+
√
√
¸`+1 ·
¸`+1 )
b − b2 − 4
b2 − 4
−
2
2
(3.30)
equação válida apenas para o caso em que b2 > 4. Para b2 < 4 realizamos a seguinte
p
√
substituição na Eq.(3.30): b2 − 4 −→ i (4 − b2 ) dando como resultado:
B` =
sin [θ (` + 1)]
,
sin θ
(3.31)
onde θ = cos−1 ( 2b ).
De posse dessas relações, resolvemos numericamente usando o método de interpolação
de raízes para encontrarmos todos os valores de Tc que satisfaça
det A` = 0.
(3.32)
Uma das principais características de sistemas magnéticos é sua temperatura de transição, que para o caso dos ferromagnéticos é chamada de temperatura de Curie. Devido
o sistema constituído por um filme fino apresentar tamanho finito, sua temperatura de
transição apresenta uma forte dependência com a espessura do filme sendo caracterizada
uma região de forte variação correspondendo à passagem do sistema de bi para tridimensional, crossover da dimensionalidade do sistema. Este comportamento é obtido quando
encontramos a solução para det A` = 0. Esta condição resulta em ` soluções diferentes
para a temperatura crítica Tc (`) sendo o maior valor dado como sendo a temperatura
real do filme[31]. Os resultados podem ser analisados tanto em função da expessura do
filme como também em função do parâmetro ∆ que representa a relação do exchange da
superfície com o bulk, ou seja, ∆ = Js /Jb − 1, indicando em nossos cálculos o quanto a
superfície difere do bulk. Isto representa uma segunda aproximação do sistema real haja
vista que nos primeiros cálculos realizados considerou-se o filme com interações de bulk
e superfície iguais dando resultados para Tc acima do obtido experimentalmente. Em
sistemas reais vimos que as interações crescem no sentido superfície-bulk, apresentando
valor constante a partir, aproximadamente, da terceira camada. Considerando o caso em
que o número de camadas ` → ∞ o sistema pode ser considerado como sendo o modelo
de Heisenberg semi-infinito já tratado por Neto e de Sousa[32].
Considerando o sistema formado por uma rede cúbica simples em um filme com interações Js e Jb descrito pelo modelo de Heisenberg de spin 12 , é um fato bem conhecido
que o sistema exibe dois tipos de transições, a transição de superfície (SF) onde a superfície apresenta-se ordenada e a transição de bulk (SB) a qual apresenta o bulk ordenado.
As temperaturas a eles relacionadas são respectivamente denominadas de temperatura
crítica de superfície Tcs e temperatura crítica do bulk Tcb onde verifica-se que Tcb < Tcs . O
ponto multicrítico ∆ = ∆c corresponde ao caso em que tanto a superfície quanto o bulk
estão ordenados.
A transição de superfície não é verificada para o modelo isotrópico de Heisenberg uma
vez que este não exibe transição de fase em duas dimensões (de acordo com o Teorema de
Mermin-Wagner[28]). Na aproximação de campo médio presente no método variacional
utilizado neste trabalho, a transição de superfície existe como consequência da quebra
da simetria no Hamiltoniano tentativa proposto na Eq.(3.3) onde consideramos somente
interações axiais dos vizinhos com os sítios no aglomerado.
Apresentamos agora os resultados da criticalidade do sistema de tamanho finito,
representado pelo filme fino
descrito neste capítulo, através dos diagramas de fase
Tc × ∆ e Tc × `, onde ∆ = Js /Jb − 1. Estes diagramas foram obtidos com a utilização das Eqs.(3.27) , (3.30) , (3.31) e da condição (3.32) aplicada nas diferentes estruturas:
sc(001), bcc(111) e fcc(111) nos três modelos considerados, em função dos parâmetros de
anisotropia η x e η y : Ising (I) (η x = η y = 0), XY (η x = 0 ou η y = 0) e Heisenberg isotrópico
(H) (η x = η y = 1) em um filme com um número de camadas ` = 10. A análise de sistemas
magnéticos utilizando teoria de campo médio tem mostrado a existência de uma pequena
diferença entre os modelos utilizados na descrição das propriedades de filmes-finos. Isto
está relacionado diretamente ao aumento de flutuações quânticas quando passamos de
sistemas Ising para Heisenberg o que provoca por exemplo alteração no valor do ponto
multicrítico ∆c na ordem ∆c (H) > ∆c (XY ) > ∆c (I), conforme mostrado na Tabela
(III.2). Também notamos uma variação do ponto multicrítico com respeito ao tipo de
estrutura cristalina na ordem ∆c (f cc(111)) > ∆c (sc(001)) > ∆c (bcc(111)), mostrando a
influência da topologia da rede na ordenação magnética.
Nas Figs.(3.3) a (3.11) mostramos a variação da temperatura crítica reduzida (kB T /J)
em função do parâmetro de exchange ∆ para filmes com diferentes números de camadas
(`) aplicado nas três esturutras cristalinas: sc(001), bcc(111) e fcc(111) nos modelos
Ising, XY e Heisenberg. Temos observado que todas as curvas críticas Tc (∆) para os
vários valores de ` se encontram no único ponto que equivale ao ponto multicrítico ∆c
do modelo de Heisenberg semi-infinito, o qual foi discutido previamente para o caso da
rede cúbica simples por Neto e de Sousa[17]. Os valores para os pontos multicríticos,
Tabela III.2: Valores críticos do parâmetro delta para as três redes consideradas nos
modelos de Ising, XY e Heisenberg
Ising XY Heisenberg
sc(001) 0.27 0.28
0.29
fcc(111) 0.51 0.52
0.53
bcc(111) 0.17 0.18
0.19
Tabela III.3: Valores da temperatura crítica para três tipos de estrutura cristalina nos
modelos de Ising, XY e Heisenberg
Ising XY Heisenberg
sc(001)
5.84 5.81
5.71
fcc(111) 11.92 11.90
11.84
bcc(111) 7.88 7.858
7.78
obtidos do cruzamento das três curvas e a temperatura crítica associada são mostrados
nas Tabelas.(III.2) e (III.3). Nota-se que para valores de ∆ < ∆c o sistema apresenta-se
com bulk ordenado e a superfície desordenada (BF), ou seja, Tcb > Tcs . Para ∆ > ∆c a
superfície está ordenada e o bulk desordenado (SF), ou seja, Tcb < Tcs .
Nas Figs.(3.12) a (3.20), apresentamos o comportamento da temperatura crítica Tc em
função do número ` de camadas para um filme tratado através dos modelos Heisenberg,
XY e Ising nas três estruturas de rede consideradas. Observamos um comportamento
diferenciado do filme fino para os quatro valores de ∆ utilizados, efeito este resultante
da presença da superfície no sistema. Nota-se que para ∆ < ∆c , sendo ∆c o ponto
multicrítico obtido anteriormente, temos Tcb > Tcs . O sistema, nesse caso, apresenta
inicialmente temperatura crítica menor que a do bulk e tende a este valor quando aumentamos o número de camadas do filme caracterizando então um ordenamento do bulk
(BF) e desordem na superfície, aqui simulada para ` pequeno. No caso em que ∆ > ∆c
temos Tcb < Tcs , ou seja, inicialmente temos uma temperatura crítica maior para o sistema bidimensional tendendo ao valor do bulk quando fazemos ` → ∞, caracterizando
o ordenamento da superfície e desordem no bulk ,SF. A linha pontilhada corresponde à
passagem de uma fase para outra. Em todos os casos analisados (tipo de rede e modelo
adotado) o comportamento qualitativo é semelhante, destacando-se uma abrupta vari-
ação da temperatura crítica em uma pequena região, compreendida entre ` = 1 e ` = 3,
fenômeno esse já verificado tanto experimentalmente[33] a [38] quanto através de modelos
aproximativos mais rigorosos[39, 24, 40]. Essa região corresponde à passagem do sistema
de duas para três dimensões, crossover de dimensionalidade.
8,0
7,9
bulk
7,8
7,7
Tc
7,6
= 13
=6
7,5
=3
7,4
7,3
7,2
7,1
7,0
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
∆
Figura 3.3: Comportamento da temperatura cr ítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita pelo modelo de
Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
13
12
bulk
= 13
Tc
=8
11
=3
10
9
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
∆
Figura 3.4: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita pelo modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
6,0
5,8
bulk
= 13
5,6
=8
Tc
5,4
=3
5,2
5,0
4,8
4,6
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
∆
Figura 3.5: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita pelo modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
9,0
8,5
bulk
8,0
=8
7,5
Tc
=3
7,0
=2
6,5
6,0
5,5
5,0
0,0
0,1
0,2
0,3
∆
Figura 3.6: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita pelo modelo XY
(η x = 0 e η y = 1).
15
14
13
bulk
Tc
12
=8
11
=3
10
=2
9
8
7
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
∆
Figura 3.7: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita pelo modelo XY
(η x = 0 e η y = 1).
7,0
6,5
bulk
6,0
=8
Tc
5,5
=3
5,0
=2
4,5
4,0
3,5
3,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
∆
Figura 3.8: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita pelo modelo XY (η x = 0
e η y = 1).
10
9
8
= 18
bulk
Tc
=6
7
=3
6
5
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
∆
Figura 3.9: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede bcc(111) descrita pelo modelo de Ising
(η x = η y = 0).
13
= 15
12
bulk
=8
Tc
11
= 15
10
9
8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
∆
Figura 3.10: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede fcc(111) descrita pelo modelo de Ising
(η x = η y = 0).
7,0
6,5
6,0
= 18
bulk
=6
Tc
5,5
=3
5,0
4,5
4,0
3,5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
∆
Figura 3.11: Comportamento da temperatura crítica em função do parâmetro de exchange
∆ para filmes de diferentes espessuras (`) na rede sc(001) descrita pelo modelo de Ising
(η x = η y = 0).
12
∆ = 0.5
10
∆ = 0.4
8
Tc( )
7.78
6
∆ = 0.0
4
∆ = -0.5
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.12: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada atrav és do
modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
18
16
∆ = 1.0
14
12
∆ = 0.7
Tc( )
11.84
∆ = 0.2
10
8
∆ = 0.0
6
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.13: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada atrav és do
modelo de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
7
∆=0.5
6
5.72
∆=0.4
5
∆=0.0
Tc( )
4
∆=−0.5
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.14: Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada através do modelo
de Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1).
12
∆ = 0.5
10
∆ = 0.4
8
Tc( )
7.858
6
∆ = 0.0
4
∆ = -0.5
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.15: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada atrav és do
modelo XY (η x = 0 e η y = 1).
18
∆ = 1.0
16
∆ = 0.7
14
12
Tc( )
11.90
∆ = 0.2
10
8
∆ = 0.0
6
4
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.16: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada atrav és do
modelo XY (η x = 0 e η y = 1).
∆ = 0.5
7
∆ = 0.4
6
5.81
Tc( )
5
∆ = 0.0
4
3
2
∆ = -0.5
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.17: Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada através do modelo
XY (η x = 0 e η y = 1).
12
∆ = 0.5
10
∆ = 0.4
8
Tc( )
7.88
6
∆ = 0.0
4
∆ = -0.5
2
0
2
4
6
8
10
Figura 3.18: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede bcc(111) tratada atrav és do
modelo de Ising (η x = η y = 0).
18
∆ = 1.0
16
∆ = 0.7
14
12
Tc( )
11.92
∆ = 0.2
10
8
∆ = 0.0
6
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figura 3.19: Comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede fcc(111) tratada atrav és do
modelo de Ising (η x = η y = 0).
8
7
∆ = 0.5
6 ∆ = 0.4
5.84
Tc( )
5
4
∆ = 0.0
3
∆ = -0.5
2
1
0
2
4
6
8
10
Figura 3.20: Comportamento da temperatura cr ítica em função do número de camadas
do filme para diferentes valores do parâmetro ∆ na rede sc(001) tratada através do modelo
de Ising (η x = η y = 0).
3.5.2
Propriedades Termodinâmicas
Mostramos à seguir o comportamento das grandezas termodinâmicas encontradas na
Seção 1.4 deste capítulo: magnetização, Eq.(4.22), susceptibilidade, Eq.(4.27) e energia
interna, Eq.(2.21). O calor específico é obtido diretamente do gráfico da energia interna
através de sua primeira derivada em relação à temperatura reduzida t = kB T /J. Os
gráficos são obtidos à partir dos resultados encontrados numericamente para a magnetização, com o uso do método de Newton-Raphson para o isolamento de raízes no sistema
de equações presente em (3.18). Aplicamos essa análise em filmes com diferentes camadas
utilizando os modelos de Heisenberg isotrópico, Ising e XY nas redes sc(001), bcc(111),
fcc(001) e fcc(111).
Inicialmente mostramos nas Figs.(3.21) a (3.24) o comportamento da magnetização
em função da temperatura para cada camada n em um filme de dez camadas (` = 10).
Escolhemos a rede cúbica simples na direção (001) e cúbica face centrada na direção (111)
ambas no modelo de Heisenberg, verificando-se comportamento semelhante para outros
tipos de estruturas e modelos adotados. Observa-se uma simetrização da função magnetização relativa à posição da camada, ou seja: m1 = m10 , m2 = m9 , ..., mn−1 = mn+1 . Esse
comportamento é esperado haja vista que introduzimos condições de contorno que levam
em consideração tanto a diferença no exchange da superfície Js e do bulk Jb quanto na
mudança do número de vizinhos para camadas próximas à superfície. Observamos aqui
o tipo de ordenamento BF e SF quando utilizamos valores diferentes para o parâmetro
∆. Para ∆ = 0.0, Figs.(3.21) e (3.23), notamos um valor maior para a magnetização
em camadas localizadas no interior do material, bulk, ou seja, o bulk apresenta maior
resistência à tendencia de desorientação dos spins com o aumento da temperatura do
sistema. O inverso ocorre para o caso em que ∆ = 1.5, Figs.(3.22) e (3.24), onde agora
são as camadas próximas à superfície que apresentam maior resistência à desordem magnética. A existência de ordenamentos diferenciados para o sistema conforme o valor para
o parâmetro ∆, previsto inicialmente na análise do comportamento do filme fino próximo
à criticalidade, é confirmada também nas Figs.(3.25) e (3.27) onde verificamos o comportamento da magnetização em função da camada do filme para diferentes temperaturas.
Na Fig.(3.25) o valor de ∆ = 0.0 provoca uma modificação maior na ordem magnética
para spins presentes nas camadas próximas à superfície que aumenta de acordo com o
aumento da temperatura, já na Fig.(3.27) observamos o comportamento inverso pois para
.∆ > ∆c o sistema desordena inicialmente do bulk para a superfície.
Nas Figs.(3.28) a (3.60) observamos os comportamentos diferenciados da magnetizaP̀
ção total de um filme com ` camadas, m = 1` mn , em função dos diversos fatores enn=1
volvidos verificando em todos os casos a existência de uma transição de fase de segunda or-
dem (magnetização não apresenta descontinuidade na temperatura crítica), caracterísitca
de sistemas ferromagnéticos. Na Fig.(3.28) temos a magnetização para os três modelos
utilizados: Ising (IS), XY (SY) e Heisenberg (HS). Constitui um resultado interessante
para a teoria de campo médio o fato de poder prever a mudança no valor da temperatura
crítica do sistema com a mudança do modelo na ordem: Tc (IS )˙ > Tc (XY ) > Tc (HS).
O aumento no valor da temperatura de transição da fase ferro para a fase paramagnética nesse caso está relacionada com o aumento das flutuações quânticas, que tendem
a desorientar o sistema, devido a isto o filme Heisenberg, essencialmente quântico, apresenta temperatura de transição menor que filmes Ising que por apresentar operadores
de spin na direção axial constitui um modelo clássico. Este fato é observado tanto para
∆ = 0.0 quanto para ∆ = 1.5. Nas Figs.(3.30) a (3.60) temos a magnetização em função
da temperatura de filmes finos para ` = 2, 4, 6 e 10 camadas comparando suas curvas
com a obtida para o interior do material, bulk, para diferentes valores de ∆. À medida que acrescentamos camadas na estrutura do filme, este tende ao comportamento do
bulk (sistema tridimensional), ou seja, os efeitos de superfície diminuem para modelos
de alta dimensionalidade (valor de ` elevado). Mostramos esse comportamento para os
três modelos nas diferentes estruturas cristalinas: sc(001), bcc(111), fcc(001) e fcc(111).
Nota-se um comportamento diferenciado para a rede fcc(001) no caso em que ∆ = 1.5
tanto para sistemas Ising, XY ou Heisenberg. Destacamos na Fig.(3.37) o fato de ter-
mos um filme Heisenberg com ` = 10 e ∆ = 0.0 onde verificamos uma diferenciação na
temperatura crítica para uma mesma estrutura cristalina mas com orientação diferente,
ou seja: Tc (f cc(111)) > Tc (f cc(001)) que tem origem na diminuição de simetria da rede
quando passamos da f cc(111) para f cc(001).Observamos este comportamento também
para filmes tratados através do modelo de Ising, Fig.(3.46) , e XY, Fig.(3.55). Em todos
os casos vemos que o parâmetro ∆, que mede a relação de exchange Js /Jb − 1 tem forte
influência sobre o ponto de transição de fase do material, quanto maior a diferença entre
o exchange de superfície (Js ) e do bulk, maior a resistência do sistema à desordem.
Nas Figs.(??) a (3.68) temos o comportamento da susceptibilidade do filme em função
da temperatura reduzida t = kB T /J. A função apresenta a divergência característica dos
ferromagnetos apresentando modificação quando variamos parâmetros como ∆, tipo de
rede, modelo utilizado e número de camadas do filme. Vemos na Fig.(3.67) e (3.68) o
efeito provocado pela superfície nas propriedades do bulk. A susceptibilidade comporta-se
de forma a semelhente à magnetização, de acordo com o valor de ∆.
A energia interna e calor específico em função da temperatura são mostrados nas
Figs.(3.69) a (3.77) onde aplicamos novamente os diferentes parâmetros envolvidos. Na
Fig. (3.69) notamos um comportamento diferenciado para a energia nas camadas mais
externas do filme. O parâmetro ∆ modifica a curva no ponto crítico minimizando a
divergência existente aí. Isto tem reflexo no comportamento do calor específico, como
mostrado na Fig.(3.77) onde a descontinuidade muda para sistemas com maior número de
camadas. O comportamento do calor específico também é influenciado pelo parâmetro
∆, como mostrado na Fig.(3.76), para um filme com ` = 10 camadas. Nesse caso o
aumento de ∆ tem o efeito de deslocar o ponto máximo da curva da região em que ocorre
a transição de fase, T = Tc .
A susceptibilidade é mostrada nas Figs.(3.61) a (3.68) variando tanto a estrutura
da rede, modelo utlizado e parâmetro ∆. A descontinuidade que se observa na curva,
característica de materiais ferromagnéticos, sofre forte influência dos fatores acima correspondendo ao ponto em que o sistema apresenta transição de fase, observada inicialmente
na magnetização do filme.
1.0
n = 1 e 10
0.8
n=2e9
0.6
mn
n=3e8
n=4e7
0.4
n=5e6
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 3.21: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para cada
camada n de um filme fino Heisenberg na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 0.0.
1.0
n = 1 e 10
0.8
n=2e9
0.6
mn
n=3e8
0.4
0.2
n=4e7
n=5e6
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.22: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para cada
camada n de um filme fino Heisenberg na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 1.5.
1.0
n = 1 e 10
0.8
n=2e9
n=3e8
0.6
mn
n=4e7
0.4
n=5e6
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
kBT/J
Figura 3.23: Magnetização em fun ção da temperatura para cada camada n de um filme
fino Heisenberg na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0.
1.0
0.8
n = 1 e 10
0.6
mn
n=2e9
n=3e8
0.4
n=4e7
n=5e6
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
kBT/J
Figura 3.24: Magnetização em fun ção da temperatura para cada camada n de um filme
fino Heisenberg na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 1.5.
t = 1.0
1.0
t = 3.0
0.8
t = 4.0
0.6
mn
t = 5.0
0.4
0.2
t = 5.63
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Figura 3.25: Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme fino
Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 0.0.
1,0
t=2
t=3
0,9
0,8
m
t=4
0,7
t=4
0,6
2
4
6
8
10
kBT/J
Figura 3.26: Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme fino
Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 0.29.
t = 1.0
1.0
t = 3.0
0.8
t = 5.0
mn
0.6
0.4
t = 7.0
0.2
t = 9.0
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Figura 3.27: Comportamento da magnetização em função da camada n de um filme fino
Heisenberg na rede sc(001) para um parâmetro ∆ = 1.5.
1.0
0.8
0.6
m
XY
Ising
Heisenberg
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 3.28: Variação da magnetiza ção em função da temperatura para os três modelos
considerados: Heisenberg, XY e Ising em um filme sc(001); ∆ = 0.0 e ` = 10.
1.0
Heisenberg
XY
Ising
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.29: Variação da magnetiza ção em função da temperatura para os três modelos
considerados: Heisenberg, XY e Ising em um filme sc(001); ∆ = 1.5 e ` = 10.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 3.30: Variação da magnetiza ção em uma rede sc(001) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
=2
=4
=6
=10
0,8
0,6
m
bulk
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
kBT/J
Figura 3.31: Variação da magnetiza ção em uma rede sc(001) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
kBT/J
Figura 3.32: Variação da magnetiza ção em uma rede bcc(111) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.33: Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(111) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
0,8
=2
=4
=6
=10
bulk
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/J
Figura 3.34: Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(111) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
bulk
0,8
0,6
m
=2
=4
=6
=10
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.35: Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(001) com parâmetro ∆ = 0.0
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1,0
0,9
0,8
0,7
=10
=6
=4
=2
m
0,6
0,5
bulk
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
kBT/J
Figura 3.36: Variação da magnetiza ção em uma rede fcc(001) com parâmetro ∆ = 1.5
para filmes finos Heisenberg com diferentes tamanhos `.
1.0
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.37: Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura para as quatro estruturas cristalinas consideradas de um filme Heisenberg de tamanho ` = 10 e
parâmetro ∆ = 0.0.
1.0
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.38: Comportamento da magnetização em função da temperatura para as quatro
estruturas cristalinas consideradas de um filme fino Heisenberg de tamanho ` = 10 e
parâmetro ∆ = 1.5.
1.0
∆ = 0.0
∆ = 0.5
∆ = 1.0
∆ = 1.5
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.39: Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg sc(001) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
1.0
∆ = 0.0
∆ = 0.5
∆ = 1.0
∆ = 1.5
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
kBT/J
Figura 3.40: Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg bcc(111) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
1.0
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
3
4
m
0.6
∆
∆
∆
∆
0.4
0.2
0.0
0
1
2
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.41: Comportamento da magnetização em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg fcc(001) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
1.0
0.8
∆ = 0.0
∆ = 0.5
∆ = 1.0
∆ = 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.42: Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura de um filme
fino Heisenberg fcc(111) de tamanho ` = 10 para diferentes valores de ∆.
1,0
bulk
0,9
0,8
=2
=4
=6
=10
0,7
m
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 3.43: Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising com diferentes tamanhos ` na rede sc(001) e parâmetro ∆ = 0.0.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
kBT/J
Figura 3.44: Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising de diferentes
tamanhos ` na rede bcc(111) e parâmetro ∆ = 0.0.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.45: Magnetização em fun ção da temperatura para filmes finos Ising com diferentes tamanhos ` na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0.
1.0
0.8
0.6
m
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.46: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para quatro tipos de estrutura cristalina.
1.0
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
kBT/J
Figura 3.47: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para quatro tipos de estrutura cristalina.
1.0
∆
∆
∆
∆
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.48: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede sc(001) para diferentes valores do parâmetro ∆.
1.0
∆=
∆=
∆=
∆=
0.8
0.0
0.5
1.0
1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
kBT/J
Figura 3.49: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede bcc(111) para diferentes valores do parâmetro ∆.
1.0
0.8
∆
∆
∆
∆
m
0.6
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.50: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede fcc(001) para diferentes valores do parâmetro ∆.
1.0
∆
∆
∆
∆
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.51: Magnetização em funç ão da temperatura de um filme fino Ising de tamanho
` = 10 na rede fcc(111) para diferentes valores do parâmetro ∆.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
kBT/J
Figura 3.52: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
XY na rede sc(001) e par âmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
kBT/J
Figura 3.53: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
finos XY na rede bcc(111) e parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `.
1,0
bulk
0,8
=2
=4
=6
=10
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.54: Comportamento da magnetizaç ão em função da temperatura para filmes
finos XY na rede fcc(001) e parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes tamanhos `.
1.0
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.55: Comportamento da magnetização em função da temperatura em um filme
fino XY de tamanho ` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para diferentes tipos de estrutura
cristalina.
1.0
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
0.8
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.56: Comportamento da magnetiza ção em função da temperatura em um filme
fino XY de tamanho ` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para diferentes tipos de estrutura
cristalina.
1.0
∆
∆
∆
∆
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.57: Magnetização para um filme fino XY na rede sc(001) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆.
1.0
∆
∆
∆
∆
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.58: Magnetização para um filme fino XY na rede bcc(111) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆.
1.0
0.8
∆
∆
∆
∆
m
0.6
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
kBT/J
Figura 3.59: Magnetização para um filme fino XY na rede fcc(001) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆.
1.0
∆
∆
∆
∆
0.8
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kBT/J
Figura 3.60: Magnetização para um filme fino XY na rede fcc(111) de tamanho ` = 10
para diferentes valores de ∆.
3.0
∆
∆
∆
∆
2.5
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
2.0
χ
1.5
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
kBT/J
Figura 3.61: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 na rede bcc(111) para diferentes valores de ∆.
10
9
sc(001)
bcc(111)
fcc(111)
8
7
6
χ
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
kBT/J
Figura 3.62: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 e parâmetro ∆ = 0.0 para três estruturas cristalinas
consideradas.
3.0
sc(001)
fcc(111)
bcc(001)
2.5
2.0
χ
1.5
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
kBT/J
Figura 3.63: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme Heisenberg de tamanho ` = 10 e parâmetro ∆ = 1.5 para três estruturas cristalinas
consideradas.
10
=4
=6
=10
bulk
9
8
7
6
χ
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/J
Figura 3.64: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para filmes
finos Ising na rede sc(001); parâmetro ∆ = 0 com diferentes tamanhos (`).
10
9
Heisenberg
XY
Ising
8
7
6
χ
5
4
3
2
1
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
kBT/J
Figura 3.65: Susceptibilidade em função da temperatura para um filme fino de tamanho
` = 10 e parâmetro ∆ = 0.0 para os três modelos considerados.
10
9
∆
∆
∆
∆
8
7
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
m
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
kBT/J
Figura 3.66: Comportamento da susceptibilidade em função da temperatura para um
filme fino XY com tamanho ` = 10 na rede bcc(111) para diferentes valores de ∆.
t=8
0.45
0.40
0.35
0.30
t = 10
χn
0.25
0.20
0.15
t = 14
0.10
t = 18
0.05
0.00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Figura 3.67: Comportamento da susceptibilidade em função da camada n do filme fino
Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 0.0 e ` = 10.
0.8
0.7
0.6
t = 10
χn
0.5
0.4
t = 12
0.3
t=14
0.2
0.1
t = 18
0.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
Figura 3.68: Comportamento da susceptibilidade em função da camada n do filme fino
Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 1.5 e ` = 10.
0
n = 1 e 10
-1
n=2e9
-2
un
n=3e8
-3
n=5e6
-4
n=4e7
-5
-6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
kBT/J
Figura 3.69: Comportamento da energia interna em função da temperatura para um
filme Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 0.0 para cada camada n do filme.
0
n=5e6
-1
n=4e7
-2
n=3e8
-3
n=2e9
n = 1 e 10
-4
un
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.70: Comportamento da energia interna em função da temperatura para um
filme Heisenberg na rede sc(001), parâmetro ∆ = 1.5 para cada camada n do filme.
0
=2
=4
=6
= 10
-1
u
-2
-3
bulk
-4
-5
-6
0
2
4
6
8
kBT/J
Figura 3.71: Comportamento da energia interna em função da temperatura para filmes
Heisenberg na rede sc(001) com parâmetro ∆ = 0.0 com diferentes números de camadas.
0
-1
-2
-3
∆
∆
∆
∆
u
-4
-5
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
-6
-7
-8
-9
-10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
kBT/J
Figura 3.72: Comportamento da energia interna em função da temperatura em um filme
Heisenberg com ` = 10, rede bcc(111) para diferentes valores do parâmetro ∆.
0
-1
-2
∆
∆
∆
∆
u
-3
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
kBT/J
Figura 3.73: Comportamento da energia interna em função da temperatura em um filme
Heisenberg com ` = 10, rede sc(001) para diferentes valores do parâmetro ∆.
0
-1
-2
-3
-4
u
-5
sc(001)
bcc(111)
fcc(001)
fcc(111)
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
0
2
4
6
8
10
12
14
kBT/J
Figura 3.74: Energia interna em função da temperatura para um filme Heisenberg com
` = 10, parâmetro ∆ = 0.0 para quatro tipos de rede.
0
-1
-2
-3
-4
sc(001)
bcc(111)
fcc(111)
fcc(001)
-5
u
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-13
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/J
Figura 3.75: Energia interna em função da temperatura para um filme Heisenberg com
` = 10, parâmetro ∆ = 1.5 para quatro tipos de rede.
2.5
∆
∆
∆
∆
2.0
= 0.0
= 0.5
= 1.0
= 1.5
cV
1.5
1.0
0.5
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/J
Figura 3.76: Comportamento do calor específico em função da temperatura em um filme
XY bcc(111) com ` = 10 para diferentes valores do parâmetro ∆.
3,0
=2
=4
=6
= 10
2,5
cV
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
2
4
6
8
kBT/J
Figura 3.77: Comportamento do calor específico em função da temperatura em filmes
Heisenberg sc(111) com par âmetro ∆ = 0.0 para diferentes números de camada.
3.6
Expoentes Críticos
Podemos observar que a temperatura crítica do sistema sofre forte influência da espessura do filme, principalmente na região de crossover de dimensionalidade. Podemos então
supor uma lei de escala que represente Tc como um parâmetro dependente da espessura
do filme, onde agora Tc (`) (2D) chega à temperatura do bulk Tc (∞) (3D) fazendo ` → ∞.
Esta relação pode ser mostrada através de uma simples lei de potência[47] caracterizada
por um expoente crítico λ definido por:
Tc (`) = Tc (∞)(1 −
A
)
`λ
(3.33)
onde A e λ dependem da espessura. A constante A é da ordem de 1 a 10, medida em
vários experimentos.
A teoria de escala representada pela Eq.(3.33) é resultado de uma classe de universalidade encontrada para os expoentes críticos onde λ pode ser expresso por 1/ν sendo ν o
expoente de correlação de longo alcance do bulk. Técnicas rigorosas mediram o valor do
expoente λ para sistemas Ising 3D, XY e Heisenberg obtendo respectivamente os valores:
λ = 1.586, λ = 1.492, λ = 1.413[48]. Estudos teóricos e experimentais mostraram ser a
classe de universalidade caracterizada por um pequeno número de parâmetros tal como a
dimensionalidade do sistema (1D, 2D, 3D) e a simetria do parâmetro de ordem. Sistemas
de dimensionalidade diferente refletem expoentes críticos diferentes. Por exemplo para o
modelo de Ising 3D (bulk) apresenta ν = 0.63 enquanto que para o caso bidimensional
temos ν = 1.
Sistemas constituídos por filmes finos oferecem oportunidade única de estudo do comportamento dos expoentes críticos uma vez que temos controle tanto na formação de sua
estrutura como também em sua composição atômica.
Utilizando os resultados obtidos para a temperatura crítica em função do número de
camadas n do filme podemos obter o comportamento de δT = [Tc (bulk ) − Tc (`)] Tc (`)
para ` escolhido entre 10 e 20, Figs.(3.78) a (3.80), transformada para uma escala loglog em vista de aumento de precisão do expoente crítico λ presente na Eq.(3.33). Realizamos a medição de λ para cada linha com a mesma classe de universalidade (no
caso, as estruturas cristalinas: sc(001), fcc(111), bcc(111)) resultando nos valores médios:
λ(H) = 1.65, dado pela Fig.(3.78), λ(XY ) = 1.76, dado pela Fig.(3.80) e λ(I) = 1.78,
dado pela Fig.(3.79) estando em perfeio acordo qualitativo com a hipótese de classe de
universalidade.
ln[1-Tc( )/Tc(bulk)]
sc100
bcc111
fcc100
fcc111
0,01
λ=1.65
10
ln( )
Figura 3.78: Expoente crítico λ utilizando modelo de Heisenberg para quatro tipos de
rede em um filme com 20 camadas.
ln[1-Tc( )/Tc(bulk)]
bcc111
fcc001
fcc111
sc001
λ=1,78
0,01
10
ln( )
Figura 3.79: Expoente crítico λ utilizando modelo de Ising para quatro tipos de rede
utilizando um filme fino com 20 camadas.
ln[1-Tc( )/Tc(bulk)]
SC
BCC
FCC1
FCC2
0,01
λ=1,76
10
ln( )
Figura 3.80: Expoente crítico λ utilizando modelo XY para quatro tipos de rede utilizando um filme fino com 20 camadas.
Referências
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[49] M. S. Amazonas, J. Cabral Neto e J. Ricardo de Sousa, J. Magn. Matt (submetido).
Capítulo 4
Super-Rede Magnética
4.1
Considerações Gerais
O avanço da moderna ciência do vácuo, em particular a técnica de crescimento epitaxial possibilitou um maior controle no crescimento de filmes magnéticos, camada por camada, predeterminando inclusive o tipo de átomo constituinte de cada camada. Verificouse que a presença de átomos diferenciados na estrutura modifica consideravelmente as
propriedades físicas do filme como sua forma de interação com o campo magnético e a luz
pois a interação de exchange entre sítios da rede depende diretamente das características
de cada átomo1 .
Podemos ter filmes com camadas alternadas formadas por átomos magnéticos (ferromagnéticos ou antiferromagnéticos) e não magnéticos ou apenas magnéticos. Assim,
estruturas diferenciadas com novas e interessantes propriedades foram desenvolvidas, caso
das super-redes magnéticas isolantes2 onde a superfície interage de forma diferenciada do
1
Para uma revisão das propriedades de estruturas magnéticas e super-redes recomendo a Ref.[1]
Analisamos neste trabalho estruturas magnéticas onde apenas spins localizados nos sítios da rede
cristalina são levados em consideração. Ao considerarmos spins relativos aos elétrons de condução
(magnetismo intinerante), dificuldades adicionais são introduzidas no modelo que o tornam de difícil
resolução.
2
206
bulk.
A idéia de que as propriedades físicas de uma super-rede podem ser alteradas de forma
significativa de acordo com seus átomos constituintes (exchange), da espessura da célula
unitária e da topologia global tem motivado o estudo tanto experimental [2, 5] quanto
teórico[6, 15] dessas estruturas.
Experimentalmente, estudos realizados em filmes de Ferro (Fe) crescido em monocamadas de ouro (Au) e gadolíneo (Gd) crescido em tungstênio(W) foram realizados
respectivamente por Durr e Taborelli[5] e Farle e Baberschke[4]. Eles têm mostrado o
comportamento crítico e a variação das propriedades físicas com o número de monocamadas presentes em sua estrutura. Resultados experimentais como esses serviram de guia
para a elaboração de condições de contorno apropriadas na aplicação dos diferenciados
modelos estatísticos utilizados na literatura.
Assim, tratamos um sistema magnético em uma estrutura de super-rede, considerando
uma rede cristalina infinita no plano xy com duas superfícies delimitadoras na região axial (eixo z). Considerando que o sistema seja constituído por dois materiais A e B,
relacionamos essa composição à super-rede fazendo as interações de exchange nas superfícies JAS e JBS , respectivamente. Para as interações interplanares temos JA e JB e entre
planos JAB .
Tratando teoricamente um sistema de multicamadas alternadas periodicamente, cada
qual composta de átomos ferromagnéticos diferentes, Fishman, Schwable e Schwenk[8]
analisaram o sistema utilizando a formulação de Ginzburg-Landau encontraram sua temperatura de transição e o espectro das ondas de spin. O ponto em que o sistema sofre
transição de fase foi objeto de investigação no trabalho de Tilley[10] onde utilizou o
formalismo de Landau na determinação da temperatura crítica de vários sistemas. Comparado com a formulação de Ginzburg-Landau, o formalismo presente no trabalho de
Tilley apresenta-se mais geral pois permite uma gama mais larga de condições de contorno e inclui o sinal do exchange nas superfícies.
Para estruturas de super-redes mais complicadas com um número arbitrário de mono-
camadas diferentes, Barnás[11] derivou um conjunto de equações gerais de dispersão para
o bulk e a superfície magnética polarizados. Estas equações saõ aplicadas nos modos magnetostáticos e propagação de onda retardada na geometria de Voigt[12].
Ma e Tasi[13] estudaram a variação do comprimento de onda de modulação com a
temperatura de Curie para super-rede magnética no modelo de Heisenberg. Seus resultados concordaram qualitativamente com experimentos em filmes de Cu/Ni[14] realizado
por Zheng e colaboradores. Estruturas de super-rede compostas por materiais ferro e antiferromagnético, dispostos em camadas alternadas foram investigados por por Hinchey
e Mills [6, 7] utilizando um modelo de spins localizados. Já Sy e Ow[15] usando aproximação de campo médio e Seidov e Shaulov[16] utilizando teoria de campo efetivo associado à técnica do operador diferencial, estudaram as transições em super-redes magnéticas
alternadas.
Super-redes tratadas através do modelo quântico de Heisenberg foram pouco exploradas na literatura[17, 18]. No entanto, a introdução do modelo de Heisenberg possibilitou
verificar as excitações elementares dos spins localizados em cada sítio da super-rede.
Desde o desenvolvimento dos trabalhos de Bloch[19], Holstein e Primakoff[20] e Kubo[21],
o fenômeno das ondas de spin tem atraído considerável interesse de estudo[22, 23].
À partir desses conhecimentos, alguns autores lidaram com as excitações de ondas de
spin em sistemas de sub-redes (filmes finos com poucas camadas) que apresentam ordem
magnética[24]-[26]. É geralmente aceito que para estruturas de rede mais complexas,
isto é, para o caso em que o número de spins por célula unitária é maior que dois, o
problema não pode ser resolvido explicitamente em termos dos elementos de matriz de
cada vetor k. Geralmente utiliza-se métodos numéricos para resolver o problema[26]-[28] e
resultados contraditórios são obtidos devido a diferença de métodos empregados[24], [29][31]. Recentemente, o espectro das ondas de spin para baixas temperaturas em sub-redes
Heisenberg com 4 camadas ferromagnéticas e ferrimagnéticas para diferentes constantes
de exchange (JAB = JCD 6= JBC = JDA ) foi analisado em termos dos operadores de
criação e destruição[32]. Para a diagonalização do Hamiltoniano relativo a essa estrutura,
duas extensões da transformação de Bogoliubov foram desenvolvidas e os espectros das
ondas de spin foram determinados.
Na literatura encontra-se considerável número de estudos de super-redes analisando a
teoria de ondas de spin através de várias teorias quânticas microscópicas[33]-[35]. ZhangZhi Dong[36] tratou uma sub-rede Heisenberg com três camadas com interções de exchange dadas por JAB = JBC 6= JCA , observando a dependência do espectro das ondas
de spin com as interações de exchange do sistema bem como suas possíveis configurações
de spin.
Podemos ter filmes constituídos de multicamadas alternadas entre materiais magnéticos e não magnéticos. Para o caso de camadas não magnéticas de grande espessura, a
interação de exchange entre camadas (J⊥ ), essencialmente de curto alcance, deixa de existir passando então a interagir somente via interação dipolar (longo alcance). O espectro
correspondente às ondas de spin na região em que interações de exchange são dominantes é então composto de ondas de spin confinadas à camadas à camada magnética
particular do filme. Contrariamente, observa-se que na região dominada por interações
dipolares (camadas não magnéticas), os modos normais são agora excitações coletivas do
sistema total formando uma estrutura de sub-banda característica. A região dominada
por efeitos dipolares foi analizada teoricamente no limite magnetostático[37]-[39] onde
efeitos de retardamento foram incluídos[40]-[42]. Para o caso em que a contribuição da
energia de exchange é comparável à dipolar nas ondas de spin, obtêm-se então modos
coletivos associados às interações exchange-dipolar.
Podemos citar também os estudos realizados em sistemas onde os átomos ferromagnéticos apresentam-se diluídos em camadas (caracterizados através de uma determinda
concentração) alternados entre átomos não magnéticos. Como exemplo de tais substânicas temos Cs3 Cl5 , DyP o4 , F ep Mg1−p Cl2 , F ep Co1−p Cl2 e Cd1−p Mnp T e que são bem
descritos quando tratados através do modelo de Ising para sistemas diluídos. Do ponto
de vista experimental é possível sintetizar tais estruturas pois cada monocamada é regulada em escala atômica[43].
Em geral, as propriedades de sistemas magnéticos diluídos podem ser obviamente
diferentes dos sistemas puros correspondentes. Foi mostrado por Kaneyoshi, Tamura e
Sarmento[44] que fenômenos físicos novos aparecem nestes sistemas quando estudaram
um filme fino com diluição na superfície por meio da teoria de campo efetivo com correlações. Qiang Hong[45, 46] e Benyoussef, Boccara e Saber[47] estudaram o sistema
semi-infinto diluído usando teoria de campo médio e método de grupo de renormalização
respectivamente, na determinação de seus diagramas de fase. Ferchmin e Maciejewski[48]
trataram um filme fino Ising diluído e observaram que a fase magnética da superfície pode
aparecer quando a concentração de átomos magnéticos na superfície é bastante alta. A
diferença entre um sistema puro e diluído foi mostrado por Saber e colaboradores[49]
quando estudaram os diagramas de fase de uma super-rede Ising com spin 1/2 diluída
através da teoria de campo efetivo.
Todos os estudos mencionados anteriormente são concernentes a sistemas Ising com
S = 1/2. Para S = 1, as propriedades do bulk de sistemas magnéticos no modelo de
Ising[50], sistema magnéticos semi-infinitos[51] e filmes finos magnéticos Ising[51]-[54] são
discutidos, porém, dificuldades matemáticas são introduzidas em estudos de super-redes
para spins maiores que 1.
Aouad e colaboradores[56] trataram uma super-rede ferromagnética no modelo de
Ising de spin 1 diluída e encontraram os diagramas de fase e suas propriedades magnéticas
utilizando teoria de campo efetivo associado à distribuição de probabilidade realtiva
à variável de spin desenvolvida por Tucker e Saber[57] e observaram a influência da
concentração de átomos nas propriedades físicas da estrutura.
4.2
Modelo Proposto
Neste capítulo analisamos uma super-rede alternada periodicamente por monocamadas
magnéticas alternadas formadas por materiais tipo A e B, (ABABA...B), ambos ferromagnéticos em um filme com ` camadas conforme representado pela Fig.(4.1).
Figura 4.1: Representação esquemática de uma super-rede magnética com camadas alternadas entre os materiais A e B considerada em nosso estudo.
Tratamos o sistema de forma aproximada considerando apenas suas interações de
exchange, que para esse caso apresenta valor predominante frente os outros tipos de
interação encontrados em sistemas magnéticos (dipolar, Zeeman, spin-órbita, etc). O
caso ferromagnético nos garante que J > 0 e para o estado fundamental teremos os spins
alinhados paralelamente (↑↑↑ ... ↑) na direção axial. Assim, utilizamos o Hamiltoniano
isotrópico de Heisenberg de spin 1/2
H=−
X
(i,j)
¡
¢
Jij η x Six Sjx + η y Siy Sjy + Siz Sjz ,
(4.1)
onde η x e η y são parâmetros de anisotropia que determinam os modelos aqui utilizados:
Ising (η x = η y = 0), XY ou planar (η x = 1 e η y = 0) e Heisenberg isotrópico (η x = η y = 1)
e para a configuração de super-rede utilizada temos Jij correspondendo às interações JA
e JB para camadas no interior do filme constituídas por materiais A e B respecivamente,
JAS e JBS para as supefícies livres. O somatório atua apenas entre os j primeiros vizinhos
associados a um determinado sítio i das redes cúbica simples, sc(001), corpo centrado,
bcc(111), e face centrada, fcc(111). Cada estrutura é caracterizada por seus números de
coordenação zo e z1 associados respectivamente aos vizinhos presentes na mesma camada
e em camadas adjacentes, sendo z = zo + z1 o número total de vizinhos.
Tratamos o Hamiltoniano dado pela Eq.(4.1) através do método variacional baseado
na desigualdade de Bogoliubov[58, 59], em clusters de dois spins, onde determina-se o
parâmetro relacionado com média das interações dos sítios presentes no cluster com os
vizinhos da rede.
Com a presença de superfícies livres, as interações entre spins são modificadas em
função da quebra de simetria do sistema, além da mudança do tipo de material em cada
camada. Isso provoca um comportamento diferenciado da superfície (duas dimensões)
em relação ao bulk (sistema tridimensional).
4.3
Formalismo
O princípio variacional tem como ponto de partida a desigualdade
F ≤ Φ = F (Ho ) + hH − Ho io ,
(4.2)
onde escolhemos para Hamiltoniano tentativa Ho , aquele que descreve um sistema formado por cluster de dois spins com o par apresentando interação nas três componentes
e cada sítio interagindo com os vizinhos através de um parâmetro a ser determinado.
Consideramos inicialmente uma rede de spins composta por duas sub-redes A e B cujas características dependem do tipo de interação adotado: ferromagnética (mA = mB ),
antiferromagnética (mA = −mB ), etc.
Aplicamos a Eq.(4.2), que descreve o sistema total, restringindo à n-ésima camada,
cujos resutuldados podem der extendidos para as todas as ` camadas do filme. Nessa
situação, nosso Hamiltoniano tentativa será dado por
Hon = −Jn
X¡
X
X
¢
ny ny
nx nx
nz nz
nz
nz
S2p + η y S1p
S2p + S1p
S2p − hnA
S1A
− hnB
S2B
.
η x S1p
p
sA
(4.3)
sB
onde hnA e hnB representam os parâmetros a serem determinados através do processo de
minimização do funcional Φ pois este corresponde ao limite superior do valor da energia
livre do sistema.
Tratando um sistema de N partículas não interagentes, podemos reduzir a análise do
£ n¤
n
sistema total para apenas um aglomerado desde que façamos Hon = N2 Hop
onde Hop
representa o Hamiltoniano de um cluster somente, a divisão por 2 ocorre para compensar
as interações cruzadas nos somatórios da Eq.(4.3) .
Aplicando o Hamiltoniano dado pela Eq.(4.3) na base própria de dois spins encontramos sua representação matricial
n
Hop




=



−(Jn +
hnA
+
hnB )
0
hnB
x
0
−
hnA
x
y
−Jn (η + η )
0
Jn +
0
−Jn (η x + η y ) Jn + hnA − hnB
−Jn (η x − η y )
0
0
y
−Jn (η − η )
0
0
−(Jn − hnA − hnB )




 . (4.4)



Determinando seus autovalores λi encontramos a função de partição da n-ésima camada para o modelo quântico através da relação
Zon
=
4
X
exp(−βλi ),
(4.5)
i=1
temos
n
Zop
= 2eKn cosh[βW−n (hnA , hnB )] + 2e−Kn cosh[βW+n (hnA , hnB )],
onde
Zon
(4.6)
q
£ n ¤N n n n
n
n
n n
n
= Zop , A± (hA , hB ) = hA ±hB , W± (hA , hB ) = (η x ± η y )2 Jn2 + [An∓ (hnA , hnB )]2
e Kn = βJn .
De posse do resultado dado pela Eq.(4.6) obtemos a energia livre para o sistema de
N
n
N partículas: F (Hon ) = − 2β
ln Zop
. Com este resultado e os encontrados na Eqs.(4.3) e
(4.6) obtemos o seguinte funcional
ª
N © Kn
ln 2e cosh[βW−n (hnA , hnB )] + 2e−Kn cosh[βW+n (hnA , hnB )] −
(4.7)
2β


n−1
n+1
n−1
n
n
n
n
n
−
1)J
m
.m
+
z
J
m
.m
+
z
J
m
.m
+
z
J
m
.m
+
(z
N
o
n A
1 n−1 A
1 n+1 A
1 n−1 B
B
B
B
A
.
− 
n+1
n
n n
n
n
2
+h m +h m
z1 Jn+1 m .m
Φ = −
B
A
A
A
B
B
Minimizando a Eq.(4.7) em relação às magnetizações de sub-rede mnA e mnB obtemos
os parâmetros variacionais, dados respectivamente por
hnA = (zo − 1)Jn mnB + z1 Jn−1 mn−1
+ z1 Jn+1 mn+1
B
B
(4.8)
+ z1 Jn+1 mn+1
hnB = (zo − 1)Jn mnA + z1 Jn−1 mn−1
A
A .
(4.9)
e
Minimizando Φ em relação aos parâmetros hnA e hnB obtemos a expressão para a
magnetização das sub-redes A e B na n-ésima camada dadas respectivamente por
mnA
¡
¡
¢
¡
¢−1 n n n
¢
¡ n ¢−1 n n n
A+ (hA , hB ) sinh βW−n + e−2Kn W+n
A− (hA , hB ) sinh βW+n
W−
=
(4.10)
cosh (βW−n ) + e−2Kn cosh (βW+n )
e
¡
¡
¢
¡ n ¢−1 n n n
¢
¡ n ¢−1 n n n
n
−2Kn
n
A
(h
,
h
)
sinh
βW
A
(h
,
h
)
sinh
βW
−
e
W
W
−
+
−
+
−
+
A
B
A
B
. (4.11)
mnB =
cosh (βW−n ) + e−2Kn cosh (βW+n )
Considerando o caso ferromagnético, no estado fundamental (T = 0) os spins estão
alinhados paralelamente, de forma que a interação de exchange é positiva, ou seja, J > 0.
De acordo com as Eqs.(4.10) e (4.11), em T = 0, temos que mnA = mnB = mn , o que nos
sugere que hnA = hnB = hn = (zo − 1)Jn mn + z1 Jn−1 mn−1 + z1 Jn+1 mn+1 . Portanto, a partir
dessas considerações, chegamos ao seguinte resultado para a magnetização da n-ésima
camada
mn =
2hn sinh βW (hn )
©
£
¤ª ,
W (hn ) cosh βW (hn ) + exp(−2Kn ) cosh Kn (η x + η y )
(4.12)
q ¡
¢2
onde W (hn ) = Jn2 η y − η x + 4h2n .
A Eq.(4.12) descreve a magnetização da n-ésima camada do filme. Trat-se de uma
equação que depende do valor das magnetizações das camadas adjacentes: mn−1 e mn+1 .
Assim, temos de resolver o sistema de ` equações acoplados em (4.13) através de método
numérico determinando a magnetização total do filme.



m1 =







m2 =






2h1 sinh βW (h1 )
,
W (h1 ){cosh βW (h1 )+exp(−2K1 ) cosh[K1 (ηx +ηy )]}
2h2 sinh βW (h2 )
,
W (h2 ){cosh βW (h2 )+exp(−2K2 ) cosh[K2 (ηx +ηy )]}
.....
n sinh βW (hn )


mn = W (h ) cosh βW (h2h)+exp(−2K
,


n {
n
n ) cosh[Kn (η x +η y )]}





.....




2h` sinh βW (h` )

 m` =
,
W (h` ){cosh βW (h` )+exp(−2K` ) cosh[K` (ηx +ηy )]}
(4.13)
onde h1 = (zo − 1)JAS m1 + z1 JAB m2 e h` = (zo − 1)JBS m` + z1 JAB m`−1 , que são
os parâmetros relativos às camadas localizadas na superfície e h2n = (zo − 1)JA m2n +
z1 JAB m2n−1 +z1 JAB m2n+1 e h2n+1 = (zo −1)JB m2n+1 +z1 JAB m2n +z1 JAB m2n+2 relativas
às camadas presentes no interior do filme. Camadas de ordem par apresentam em sua
composição materiais tipo A e camadas ímpares formadas por materiais tipo B.
4.4
4.4.1
Resultados
Temperatura Crítica em Função do Número de Camadas
É um fato verificado experimentalmente que sistemas ferromagnéticos apresentam
transição de fase de segunda ordem, ou seja, a magnetização decai de forma contínua até
um valor nulo no ponto em que o sistema sofre transição de fase (T → Tc ). Esse comportamento possibilita tratarmos o sistema de forma aproximada fazendo hn → 0, obtendo
as temperaturas críticas tanto para o bulk quanto para a superfície no sistema semiinfinito nos modelos Ising, XY e Heisenberg isotrópico. Essa aproximação foi realizada
inicialmente por Binder e Hohenberg[60].
Aplicando a condição hn → 0 na função magnetização ferromagnética, Eq.(4.12),
obtemos
mn = Ωn (Kn ) ((zo − 1)Kn mn + z1 Kn−1 mn−1 + z1 Kn+1 mn+1 ) ,
onde Ω(Kn ) =
sinh[(ηx −η y )Kn ]
.
2(ηx −η y )Kn {cosh[(ηx −ηy )Kn ]+e−2Kn cosh[(η x +η y )Kn ]}
(4.14)
Chegamos então ao seguinte
sistema
onde as =



as m1 + m2 + 0m3 + 0m4 + 0m5 .... + 0m` = 0






m1 + bm2 + m3 + 0m4 + 0m5 .... + 0m` = 0




 0m + m + am + m + 0m .... + 0m = 0
1
2
3
4
5
`
,


0m
+
0m
+
m
+
bm
+
m
....
+
0m
=
0
1
2
3
4
5
`






.....




 0m + 0m + 0m + m + am .... + b m = 0
1
2
3
4
5
s `
Ω(KAS )(zo −1)
, bs
z1 KAB
Ω(KBS )(zo −1)
z1 KAB
Ω(KA )(zo −1)
= z1 KAB
=
localizadas na superfície e a
(4.15)
que são os coeficientes relativos as camadas
para o caso de n par e b =
caso de n ímpar.
Escrendo este conjunto de equações na forma matricial ficamos
Ω(KB )(zo −1)
z1 KAB
para o

ou seja













as 1 0 0 0 ...
0
1
b 1 0 0 ...
0
0
1 a 1 0 ...
0
0
..
.
0
..
.
0
..
.
0
0 0 0 0 ... bs
1
..
.
b
..
.
1 ...
.. . .
.
.
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 
 
 
 
m1
m2
..
.
mn
..
.
m`







 = 0,






A` .M` = 0,
(4.16)
(4.17)
onde A` é a matriz formada pelos coeficientes as , bs , a e b.
O comportamento crítico do sistema é totalmente descrito pela matriz A` e seus
valores são obtidos aplicando a solução não trivial na Eq.(4.17), ou seja, det A` = 0. Esta
equação apresenta toda a informação a respeito do comportamento crítico da super-rede.
Para o tratamento de uma rede com tamanho ` qualquer, faz-se necessário encontrar
uma relação generalisada para o valor do determinante de A` . Através do método dos
cofatores encontramos a seguinte relação
·
·
¸
¸
as bs
as bs
det A2` = as bs − ( + ) det B2`−2 + 1 − ( + ) det B2`−4 ,
a
b
a
b
(4.18)
onde aplicamos a condição de termos somente matrizes de ordem par. A matriz B` é
formada pelos elementos internos da matriz A, ou seja






B` = 




b 1 0 ...
0
1 a 0 ...
0
0
..
.
0
..
.
1
..
.
b ...
.. . .
.
.
0 0 0 ... a











(4.19)
Encontramos uma relação generalisada para 4.19,dada por
B2` = (ab − 2)B2`−2 − B2`−4
(4.20)
Encontramos a relação de recorrência para a Eq.(4.20) através do comando rsolve no
software MAPLE V
rsolve ({(ab − 2)B(2` − 2) − B(2` − 4) − B(2`) = 0; B(0) = 0, B(1) = 1} , B) .
As condições iniciais nos fornece uma relação entre a matriz B e o número de camadas
do filme
B2`−2 =
onde θ = cosh−1
1
{sinh [(` + 1) θ] + sinh(`θ)}
sinh θ
(4.21)
¡ ab−2 ¢
.
2
A Eq.(4.21) apresenta limitações pois para o caso em que ab > 2, não teremos solução.
Já para ab ≤ 2 teremos valores imaginários para θ. Reescrevendo então na forma θ = ϕi,
as funções hiperbólicas comportam-se como funções trigonométricas comuns em função
de ϕ.
Para a solução não trivial teremos um valor nulo para (4.18), isso se faz somente se
considerarmos det B2` = 0 nesta equação, obtendo consequentemente ϕ =
2π
.
2`+1
Da Eq.(4.18) obtemos então o comportamento da temperatura crítica (Tc /JA ) do
filme em função do tamanho ` da super-rede magnética.
Mostramos na Fig.(4.2) a variação da temperatura crítica para uma super-rede tratada
através do modelo XY na rede cúbica corpo centrado, bcc(111), para configurações
dos parâmetros de exchange dados por: Configuração 1 (JB = JA , JAB = 2JA ); Configuração 2 (JB = 2JA , JAB = JA ) e Configuração 3 (JB = JA , JAB = JA ). Observamos que para valores pequenos de `, superfície, a temperatura crítica apresenta valor
menor do que a temperatura do bulk tendendo a esse valor quando o tamanho do
filme é aumentado (` → ∞). Observamos que a configuração de exchange modifica
consideravelmente a criticalidade do sistema variando o valor da temperatura crítica
na ordem: Tc (config2) > Tc (config1) > Tc (config3). Na Fig.(4.3) temos o comportamento da temperatura crítica em função do número de camadas de uma super-rede
Heisenberg com a configuração 1 de exchange para as quatro redes cristalinas consideradas. A temperatura crítica, em todos os casos, tende à temperatura do bulk
quando aumentamos o número ` de camadas da estrutura estando na seguinte ordem:
Tc (f cc001) > Tc (f cc111) > Tc (bcc111) > Tc (sc111). Para 1 < ` < 6 aproximadamente
observa-se a região de crossover de dimensionalidade (passagem do sistema bidimensional
para tridimensional) onde a temperatura crítica sofre forte variação.
4.4.2
Propriedades Termodinâmicas
Vamos a seguir determinar as propriedades termodinâmicas do filme considerando as
` camadas existentes na sua estrutura bem como a topologia da rede cristalina: sc(001),
bcc(111) e fcc(111) determinadas pelos parâmetros zo e z1 . Os casos particulares do
modelo anisotrópico de Heisenberg: Ising, XY e Heisenberg isotrópico.
a) Magnetização e Susceptibilidade
A magnetização total do filme é encontrada à partir da resolução do sistema acoplado
presente em (4.13) através do método numérico de Newton-Raphson para a determinação
de raízes. Com isso encontramos a magnetização de cada camada do filme, mn , que apre-
12
Config.1
Config.2
Config.3
11
Tc
10
9
8
7
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 4.2: Variação da temperatura crítica em função do número de camadas para uma
super-rede XY corpo centrado para diferentes configurações de exchange.
senta comportamento diferenciado entre camadas adjacentes devido à perda de vizinhos
para sítios próximos à superfície. Esse comportamento simétrico também tem origem na
variação da interação de exchange da superfície e do bulk. Considerando o sistema total,
superfície mais o bulk, a magnetização será dada pela média realizada nos valores de mn ,
ou seja
m=
1 X̀
mn ,
` n=1
(4.22)
A susceptibilidade é obtida diretamente da Eq.(4.12) quando nela introduzimos um
termo representando o campo magnético aplicado
20
18
16
sc001
bcc111
fcc001
fcc111
Tc
14
12
10
8
6
4
0
5
10
15
20
Figura 4.3: Variação da temperatura crítica em função do número de camadas ` para uma
super-rede Heisenberg na configuração 1 de exchange para diferentes redes cristalinas.
∆Hon
= −H
"
X
i
nz
SiA
+
X
i
nz
SiB
#
,
onde H é campo externo cuja minimização da energia de interação com o operador de spin
Sinz ocorre na direção do campo, adotado como sendo o eixo z. A presença de um campo
magnético interagindo com os spins do cluster na direção axial altera a equação para a
magnetização ferromagnética, Eq.(4.12) . Representamos essa modificação simplesmente
fazendo a substituição hn → hn + H = αn .
Para a camada n a susceptibilidade é obtida através de
χn =
µ
∂mn
∂H
¶
.
(4.23)
H=0
Derivando parcialmente cada termo em relação ao campo H obtemos
χn = Φn
µ
¶
∂hn
,
+1
∂H
H=0
(4.24)
sendo
Φn
·
¸
1
4βαn γ n (αn ) cosh βW (αn )
=
{ 2τ n (αn ) +
−
%n (αn )φn (αn )
%n (αn )
·
¸
4αn [φn (αn ) + β%n (αn ) sinh βW (αn )]
mn
},
%n (αn )
onde















γ n (αn ) = 2αn ,
τ n (αn ) = sinh βW (αn ),
p
%n (αn ) = W (αn ),
£
¤
φn (αn ) = cosh βW (αn ) + exp(−2Kn ) cosh Kn (η x + η y ) .
Aplicando a definição de hn em (4.24) ficamos com a seguinte equação para a susceptibilidade da n-ésima camada
·
¸
1
− (zo − 1)Jn χn − z1 Jn−1 χn−1 − z1 Jn+1 χn+1 = 1.
Φn
(4.25)
Para a configuração de super-rede com ` camadas, a Eq.(4.25) gera o seguinte sistema

















 h
h
1
Φ2
h
i
1
Φ1
− (zo − 1)JAS χ1 − z1 JAB χ2 = 1,
i
− (zo − 1)JB χ2 − z1 JAB χ1 − z1 JAB χ3 = 1,
.....
i
1
− (zo − 1)JA χ2n+1 − z1 JAB χ2n − z1 JAB χ2n+2 = 1,
Φ2n

i
h



1

−
(z
−
1)J
o
B χ2n − z1 JAB χ2n−1 − z1 JAB χ2n+1 = 1,

Φ2n+1





.....



h
i


1

− (zo − 1)JBS χ` − z1 JAB χ`−1 = 1.
Φ`
(4.26)
O sistema presente em (4.26) apresenta um conjunto de ` equações lineares que pode
ser resolvido de forma exata. Decidimos resolver este sistema numéricamente, como ocorrida para o caso de filmes finos, onde erros em relação ao resultado exato são desprezíveis.
O valor médio de χ é obtido através do formalismo de Wang, Smith e Tilley[61], onde as
camadas podem ser tratadas como capacitores, assim a capacitância do filme será dada
pela soma das capacitâncias de cada camada quando conectadas em série. A susceptibilidade total χ será dada então por (ver Apêndice B)
1X
=
(1 + χn )−1
` n=1
L
−1
(1 + χ)
(4.27)
sendo ` o número total de camadas do filme.
b) Energia interna e Calor Específico
A energia interna por partícula relativa à n-ésima camada un pode ser calculada
tomando a média do Hamiltoniano tentativa (3.3) reduzido já para uma rede ferromagnética (hn = hnA = hnB ). Em acordo com o procedimento adotado para filmes finos
chegamos ao seguinte resultado
un
½
¾
Jn exp(2Kn ) cosh W (hn ) + (2 + η x + η y ) sinh Kn (η x + η y ) − cosh Kn (η x + η y )
(4.28)
= −
2
exp(2Kn ) cosh W (hn ) + cosh Kn (η x + η y )
−mn hn ,
A Eq.(4.28) nos dá o comportamento da energia interna por partícula para a n-ésima
camada. Para um filme composto por ` camadas, determinamos a energia média u através
P̀
da relação u = 1` un que dá o comportamento médio do filme.
n=1
O calor específico é obtido através do cálculo da primeira derivada da energia, Eq.(2.21) ,
em relação à temperatura reduzida t = kB T /J. Podemos realizar este cálculo diretamente
na Eq.(2.21) ou utilizando recursos de derivação do editor de gráficos ORIGIN 6.0 diretamente na curva obtida de u em função de t, os dois resultados são equivalentes, porém
optamos pelo segundo procedimento.
As grandezas termodinâmicas relacionadas à uma super-rede formada por ` = 10 camadas são agora analisadas levando-se em consideração aspectos como modelo (Ising, XY
e Heisenberg isotrópico), tipo de rede (sc(001), bcc(111) e fcc(111)) e tipo de material presente na estrutura. A influência do material se faz através das configurações de exchange,
aqui sendo dadas por: configuração 1 (JAS = JBS = 0.5JA , JB = 1.5JA ), configuração
2 (JAS = JBS = 3JA , JB = 2JA ), configuração 3 (JAS = JBS = JA , JB = 2JA ) e configuração 4 (JAS = JBS = JA , JB = 2.5JA ), fizemos JAB = 1 em todas as configurações
tratadas e colocamos a interações de exchange em função de JA a fim de verificarmos o
comportamento das grandezas analisadas em função da temperatura reduzida kB T /JA .
De posse dos resultados encontrados nas Eq.(4.22) e no sistema presente em (4.13)
obtemos inicialmente o comportamento da magnetização em função da temperatura reduzida, mostrada nas Figs.(4.4) a (4.6) para as diferentes estruturas cristalinas consideradas em um filme com tamanho ` = 10. Notamos que para uma mesma configuração
de exchange, dada por JAS = JBS = JA , JB = 2.5JA , a variação do tipo de estrutura cristalina nos três modelos considerados tem o efeito de modificar o ponto em que
o sistema sofre a transição de fase na seguinte ordem: Tc (sc(001)) < Tc (bcc(111)) <
Tc (f cc(111)). A Fig.(4.7) mostra a variação da magnetização para as quatro configurações de exchange definidas anteriormente aplicadas em uma super-rede Heisenberg de
tamanho ` = 10 com simetria cúbica simples. O ponto em que o sistema sofre transição de
fase é fortemente influenciado pelas características do material sendo dadas na seguinte
ordem: Tc (conf ig4) > Tc (conf ig3) > Tc (conf ig1) > Tc (conf ig2). Nas Figs.(4.8) a
(4.11) temos a magnetização em função da camada n do filme. Podemos observar os
diferentes tipos de ordenamentos magnéticos presentes na super-rede quando variamos
o parâmetro de exchange. Na Fig.(4.8) a configuração utilizada é: JAS = JBS = 0.5JA ,
JB = 1.5JA , ou seja, a energia de troca é menor na superfície e maior no bulk, assim
o sistema começa a modificar sua ordem magnética inicialmente nas superfícies (n = 1
e n = 10) com o aumento da temperatura do sistema. Já na Fig.(4.9) onde utilizamos
a configuração:JAS = JBS = 3JA , JB = 2JA , observamos um comportamento inverso, o
bulk desordena primeiramente que a superfície pois agora o exchange é maior no bulk.
Nas Figs. (4.10) e (4.11) temos que o exchange presente provoca uma série alternada de
ordem-desordem nas camadas do filme. Mostramos na Fig.(4.12) o comportamento da
magnetização para diferentes camadas de uma super-rede Ising com JAS = JBS = 0.5JA ,
JB = 1.5JA e tamanho ` = 10. É observado o comportamento simétrico da magnetização
para camadas diametralmente opostas, ou seja, m1 = m10 , m2 = m9 , ..., mn−1 = mn+1 .
Na Fig.(4.13) temos o comportamento da função susceptibilidade de uma super-rede
Heisenberg com tamanho ` = 10 nas quatro configurações de exchange. A descontinuidade da função, localizada na temperatura crítica, varia de acordo com a configuração de exchange utilizada.
Nas Figs.(4.14) e (4.15) observamos respectivamente o comportamento da energia e
do calor específico do sistema para as quatro configurações de exchange adotadas. As
configurações de exchange alteram o ponto em que o sistema sofre a transição de fase
influenciando tanto a energia interna quanto o calor específico. Apesar desta influência
observamos o comportamento esperado para o calor específico (descontinuidade na temperatura crítica) indo a zero para T → 0 e T → ∞. Verifica-se um deslocamento do ponto
máximo da curva do calor específico em relação ao ponto correspondente a temperatura
crítica.
1,0
sc(001)
fcc(001)
bcc(111)
0,8
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/JA
Figura 4.4: Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando a
configuração 4 de exchange no modelo de Heisenberg em uma super-rede com tamanho
` = 10.
1,0
sc(001)
fcc(111)
bcc(001)
0,8
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/JA
Figura 4.5: Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando a
configuração 4 de exchange no modelo de Ising em uma super-rede com tamanho ` = 10.
1,0
sc(001)
fcc(001)
bcc(111)
0,8
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
kBT/JA
Figura 4.6: Comportamento da magnetização para três redes diferentes utilizando a
configuração 4 de exchange no modelo XY em uma super-rede com tamanho ` = 10.
1,0
Config. 1
Config. 2
Config. 3
Config. 4
0,8
m
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
kBT/JA
Figura 4.7: Variação da magnetizaç ão em função da temperatura kB T /JA considerando
as quatro configurações escolhidas no modelo de Heisenberg e rede cúbica simples.
1,0
t=1.5
0,9
0,8
t=3.0
0,7
t=5.0
mn
0,6
0,5
t=6.0
0,4
0,3
0,2
0,1
2
4
6
8
10
n
Figura 4.8: Magnetização em função da camada n de uma super-rede Heisenberg corpo
centrado utilizando a configuração 1 para as interações de exchange.
1,0
t=1.5
0,8
t=3.0
mn
0,6
0,4
0,2
t=4.0
0,0
t=5.0
2
4
6
8
10
n
Figura 4.9: Magnetização em função da camada n de uma super-rede Heisenberg corpo
centrado utilizando a configuração 2 para as interações de exchange.
1,0
t=2.0
t=3.0
0,9
t=4.0
0,8
t=5.0
0,7
mn
0,6
t=6.0
0,5
0,4
t=7.0
0,3
t=8.0
0,2
2
4
6
8
10
n
Figura 4.10: Variação da magnetizaç ão em função da camada n de uma super-rede
Heisenberg para o caso de uma rede cubica simples utilizando a configuração 3.
1,0
t=3
0,9
t=4
0,8
t=5
mn
0,7
0,6
t=6
0,5
0,4
0,3
2
4
6
8
10
n
Figura 4.11: Comportamento da magnetização para um filme Heisenberg cúbica simples
utilizando a configuraç ão 4.
1,0
0,8
0,6
mn
m1=m10
m2=m9
m3=m8
m4=m7
m5=m6
0,4
0,2
0,0
0
2
4
6
8
kBT/JA
Figura 4.12: Comportamento simétrico da magnetização para cada camada n de uma
super-rede magnética utilizando modelo de Ising em uma rede cúbica simples.
Configuração1
Configuração2
Configuração3
Configuração4
14
12
10
m
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
kBT/J
Figura 4.13: Função susceptibilidade de uma super-rede com ` = 10 no modelo de
Heisenberg utilizando rede cúbica simples para diferentes configurações de exchange.
0
-2
-4
Configuração1
Configuração2
Configuração3
Configuração4
u
-6
-8
-10
-12
-14
0
2
4
6
8
10
12
kBT/JA
Figura 4.14: Variação da energia interna em função da temperatura kB T /JA de uma
super-rede XY com tamanho ` = 10 utilizando rede cúbica simples para as quatro configurações de exchange.
4,0
Config. 4
Config. 1
Config. 2
Config. 3
3,5
3,0
cv
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0
2
4
6
8
10
12
kBT/JA
Figura 4.15: Calor específico obtido para quatro configurações de exchange em uma
super-rede magnética Heisenberg com tamanho ` = 10 utilizando rede cúbica simples.
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Capítulo 5
Conclusões
Analisamos neste trabalho o comportamento físico de sistemas na presença de superfícies livres, cujo interesse de estudo está baseado na verificação de novos fenômenos
originários da quebra de simetria da rede cristalina. Vimos que o avanço na tecnologia
de crescimento de filmes finos possibilitou não só o desenvolvimento de novas estruturas
como também o entendimento mais detalhado das interações atômicas que se apresentam
nestas estruturas, fato este importante pois filmes finos constituem excelentes sistemas
bidimensionais onde temos total controle de sua formação tanto estrutural quanto com
relação ao tipo de átomo que a estrutura apresenta.
Modelos teóricos foram então propostos na literatura com o intuito de reproduzir resultados obtidos experimentalmente. Esse maior controle dos fenômenos se faz necessário
haja vista o emprego de filems finos em gravações magnéticas necessitar de uma precisão
muito alta tanto no momento em que retém informação quanto na hora em que está
sendo lido pela leitora magnética.
No capítulo 2 fizemos uma breve revisão das teorias de campo efetivo e algumas aplicações a modelos simples onde concluimos a importância desse tipo de proximação por
apresentar uma simplicidade em tratar sistemas magnéticos. Em uma primeira abordagem utilizamos campo efetivo para observarmos o comportamento qualitativo do sis242
tema em análise para em seguida encontrar resultados mais exatos através de métodos
mais rigorosos como grupo de renormalização, técnica do operador diferencial e simulação
de monte carlo.
No capítulo 3 desenvolvemos todo o formalismo matemático do método variacional
utilizando o modelo de Heisenberg com anisotropia nas componentes do operador de
spin com o objetivo de recair nos modelos de Ising e XY. O primeiro, por apresentar
apenas uma componente de spin que comuta com o Hamiltoniano considerado representa
em nossos cálculos não só um modelo unidimensional de interação como também um
tratamento clássico dado ao sistema. Como consequência observamos posteriormente um
valor maior para a temperatura crítica para este modelo quando comparado aos resultados
quânticos (Heisenberg e XY). Utilizamos também uma rede cúbica generalizada para
recairmos nos casos experimentalmente analisados como filmes de Níquel e Cobre.
A análise do sistema na região da criticalidade para as diferentes redes cristalinas
e modelos de interação, revelaram a existência de duas fases distintas, já prevista na
literatura: fase bulk (BF) onde a superfície encontra-se desordenada e fase superfície,
onde temos agora o bulk desordenado. Os pontos de coexistência das duas fases, ∆c ,
foram encontrados e verificou-se sua dependência com a topologia da rede, dada por:
∆c (f cc) > ∆c (sc) > ∆c (bcc) e do tipo de interação entre os spins.
Encontramos para filmes finos as grandezas termodinâmicas e observamos para todas
elas um aumento da temperatura crítica do sistema tanto pela introdução de efeitos
quânticos no sistema (quando passamos de Ising para Heisenberg isotrópico) quando pelo
aumento do parâmetro ∆, ou seja, variando as relações entre os exchange de superfície Js
e do bulk Jb temos uma modificação no ponto em que ocorre a transição ferromagnéticaparamagnética. O tipo de rede também influi diretamente no ponto de transição, como
verificado para as redes sc(001), bcc(111), fcc(111) e fcc(001) devido principalmente ao
aumento de simetria da rede com o aumento de primeiros vizinhos e um feito importante
para a aproximação de campo médio utilizada é o fato de encontrarmos diferenças entre as
temperaturas críticas para a mesma estrutura, fcc(111) e fcc(001), na ordem f cc(001) >
f cc(111). Apesar de apresentarem a mesma quantidade de primeiros vizinhos (z = 12), a
disposição dos elementos na rede, de acordo com a orientação cristalina, é aqui percebida,
modificando o ponto de transição.
A análise de estruturas de baixa dimensionalidade através do método variacional,
é extendida para uma estrutura mais complexa, super-rede, onde agora o efeito dos
diferentes parâmetros de exchange são observados.
A análise do comportamento crítico para diferentes estruturas em uma mesma configuração de exchange apresentou o mesmo comportamento quando consideramos o mesmo
tipo de rede mas para diferentes estruturas. Observa-se em ambos os casos uma forte
dependência da temperatura crítica com o número de camadas ` do filme em uma pequena região com ` < 5. Esta região corresponde à passagem do sistema de bi para
tridimensional, sendo o valor da temperatura crítica tendendo para o valor encontrado
para o bulk ao fazermos ` → ∞. Nota-se que o filme comporta-se como o bulk já para
` = 20.
Também verificamos a variação das grandezas termodinâmicas, que apresentam comportamentos diferenciados para os diferentes parâmetros de exchange.
Assim, encontramos os mesmos comportamentos verificados inicialmente por métodos
mais rigorosos, como o operador diferencial, simulação de monte carlo e expansão em
séries de potência. Apesar de ser uma teoria com uma matemática mais simples, a
aproximação de campo médio apresenta ótimas previsões a respeito do comportamento
qualitativo em altas temperaturas dessas estruturas fato este importante pois serve como
teste preliminar para aproximações mais rigorosas e que exigem tempo computacional
mais longo.
Apêndice A
Integrais do Modelo O(n)
Os cálculos das integrais no espaço de fase têm como alcance o trabalho pioneiro
de Stanley, onde o modelo O(n) sem campo externo em uma dimensão foi resolvido
exatamente. Consideremos a expressão geral
Z
KS · S
¡
¢ ¡
¢
dS1 dS2 δ n − |S1 |2 δ n − |S2 |2 F (Si ) e 1l 2l .
(A.1)
Vamos inicialmente resolver a integral
I=
Z
KS · S
¡
¢
dS1 δ n − |S1 |2 F (Si ) e 1l 2l .
(A.2)
Usando a representação integral para a função delta
a
δ (x) =
2πi
Z
ε+i∞
uax
du e
(A.3)
,
ε−i∞
na integral (A.2) ficará
K
I=
2πi
Z
dS1
Z
ε+i∞
uK n−|S1 |2
du e
ε−i∞
245
(
)
KS · S
1l
2l
F (Si ) e
.
(A.4)
Para calcular essas integrais é conveniente trocar a ordem das integrações. Supondo
n
¡ α¢
Q
que F (Si ) =
F Si reescrevemos a integral (A.4) na forma
α=1
K
I=
2πi
Z
ε+i∞
uKn
du e
ε−i∞
n Z
Y
α
·
¸
α α
α 2
K S S −u S
1 2
1
α
( )
dS1 F (Si ) e
(A.5)
.
α=1
¡ α¢
α
A integral I contém m integrais independentes em S1 . Para F Si = 1 temos m
n
X
¡ α ¢2
Si = n, portanto
integrais gaussianas com a condição de que
α=1
K ³ π ´ 12
I1 =
2πi K
Z
ε+i∞
n
(
1
Kn u+ 4u
du u− 2 e
)
(A.6)
.
ε−i∞
Fazendo uma mudança de variável X ≡ nK e Y ≡ unK
K
I1 =
1− n
2
(nK)


Ã
2!

³ π ´ 12  1 Z ε+i∞
Y+X
4Y
n
.
dY Y − 2 e

K  2πi ε−i∞
(A.7)
O termo entre chaves em (A.7) é exatamente a função de Bessel modificada de primeira
¡
¢
espécie de ordem n2 − 1 . Sendo assim,
K
I1 =
2
e fazendo ξ =
K
2
¡ 2π ¢ n2
µ
2π
K
¶ n2
2
K
I1 =
Z
A
B
¡
¢ KS · S
dS1 δ n − |S1 |2 e 1l 2l = ξI n −1 (nK) .
o limite
¡
¢
dS2 δ n − |S2 |2 = lim
K→0
(A.9)
2
A integral referente à área da hiperesfera
Z
(A.8)
I n −1 (nK) ,
Z
R
¢
¡
dS2 δ n − |S2 |2 pode ser calculada tomando
n
n −1
2
KS · S
¡
(π) 2 (n)
2¢
1l
2l
¡
¢
=
dS2 δ n − |S2 | e
Γ n2
= Ω.
(A.10)
¡ α¢
Façamos agora que F Si satisfaça

α
¡ α ¢  Si para α = 1
F Si =
.
 1 para α 6= 1
(A.11)
Teremos então, após resolver as integrais gaussianas (A.5) e seguindo o mesmo procedimento que
I2 =
Z
¡
¢ 1 KS · S
1
dS1 δ n − |S1 |2 S1 e 1l 2l = ξS2 I n (nK) .
2
(A.12)
Da mesma forma que calculamos (A.10) encontraremos que
Z
¡
¢ 1
dS2 δ n − |S2 |2 S2 = lim
K→0
Se agora
I3 =
¡
¢ 1 KS · S
dS2 δ n − |S2 |2 S2 e 1l 2l = 0.
 ¡ ¢
α 2
¡ α ¢  Si
para α = 1
,
F Si =
 1 para α 6= 1
teremos
Z
Z
(A.13)
(A.14)
·
¸
³ 1 ´2 KS · S
¡
1
2¢
1l
2l
I n (nK) + I n +1 (nK) .
dS1 δ n − |S1 |
= ξΩ
S1 e
2
K 2
(A.15)
Usando a relação de recorrência para as funções de Bessel dada por In+1 (x) =
In−1 (x) −
2n
I
x n
(x) a integral (A.15) fica
I3 =
Z
¡
¢ ³ 1 ´2 KS · S
dS1 δ n − |S1 |2 S1 e 1l 2l = ξΩI n −1 (nK) .
2
(A.16)
Combinadas convenientemente, fornecem diretamente os resultados mostrados na
seção (2.6)
Z
Z
¡
¢ ¡
¢ A KS · S
dS1A dS2B δ n − |S1A |2 δ n − |S2B |2 S1l e 1l 2l = 0,
¡
¢ ¡
¢ A B KS · S
dS1A dS2B δ n − |S1A |2 δ n − |S2B |2 S1l S2l e 1l 2l = ξΩI n2 (nK) ,
(A.17)
(A.18)
Z
³ A ´2 KS · S
¡
2¢ ¡
2¢
S1l e 1l 2l = ξΩI n2 −1 (nK) ,
dS1A dS2B δ n − |S1A | δ n − |S2B |
Z
Z
¡
¢ ¡
¢ ³ A ´2 B KS · S
dS1A dS2B δ n − |S1A |2 δ n − |S2B |2 S1l S2l e 1l 2l = 0,
¡
¢ ¡
¢ KS · S
dS1A dS2B δ n − |S1A |2 δ n − |S2B |2 e 1l 2l = ξΩI n2 −1 (nK) ,
Z
¡
¢ ¡
¢ B KS · S
dS1A dS2B δ n − |S1A |2 δ n − |S2B |2 S2l e 1l 2l = 0.
(A.19)
(A.20)
(A.21)
(A.22)
Apêndice B
Susceptibilidade para um Sistema de
Camadas
Algumas propriedades encontradas em sistemas magnéticos apresentam o mesmo comportamento quando comparadas com sistemas elétricos. É o caso da susceptibilidade encontrada para um sistema dielétrico formado por ` camadas no interior de um capacitor
de área S e carga q, conforme mostrado na Fig.(2.1).
S
k1 k2 ...... kn ....... kl
q
Figura 2.1: Dielétrico formado por ` camadas limitado por placas de área S carregadas
com carga q.
Sendo cada camada caracterizada por uma constante dielétrica k, o campo elétrico
resultante no interior do n-ésimo dielétrico é dado por
249
End = Ee + Eni ⇒ Edn =
qi
q
+
.
εo S εo S
onde
Ee = kn Edn ,
ficando então o campo no interior do n-ésimo dielétrico
Edn =
q
q
=
kn εo S
εn S
Definem-se então para este sistema as seguintes grandezas:
a) Polarização elétrica: vetor originado da formação de dipolos no interior do dielétrico
devido a ação do campo elétrico produzido pelas placas carregadas. Seu módulo é
dado por
P =
qi
,
S
(B.1)
sendo qi a carga de polarização.
b) Deslocamento elétrico: vetor associado ao campo produzido pelas cargas localizadas
nas placas do capacitor. Seu módulo é dado por
D=
q
.
S
(B.2)
A relação entre P e Ed :
P = (k − 1)εo Ed .
Para a maioria dos dielétricos (isotrópicos) observa-se experimentalmente que
(B.3)
P = χεo Ed ,
(B.4)
sendo χ a susceptibilidade elétrica do material. Substituindo o resultado encontrado na
Eq.(B.3) em (B.4) fica
kn = 1 + χn .
(B.5)
Para a n-ésima camada podemos escrever a permitividade elétrica associada (εn ) como
sendo
εn = εo (1 + χn )
(B.6)
Para a associação de dielétricos no interior do capacitor temos que o campo elétrico
médio da associação é dado por
Ed =
que resulta em
¤
1£ 1
Ed + Ed2 + ... + Ed`
`
ε−1 =
(B.7)
1 X̀ −1
ε
` n=1 n
Substituindo nesta expressão o resultado encontrado na Eq.(B.6) obtemos finalmente
que
(1 + χ)−1 =
1 X̀
(1 + χn )−1
` n=1
(B.8)