Eletromagnetismo
Momento de Dipolo Magnético
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Magnetismo dos Materiais
Os materiais exibem o fenômeno do magnetismo. Ele se manifesta na medida em que certos
materiais, como os ímãs, são capazes de produzir campos magnéticos, enquanto outros, quando
submetidos a um campo magnético externo, reagem de forma até surpreendente.
Para entender o magnetismo dos materiais, devemos recorrer a alguns elementos da estrutura
da matéria. O fundamental é que ela é composta por átomos e estes são compostos por um núcleo
e elétrons gravitando em torno desse núcleo. Cada átomo pode gerar um pequeno campo magnético.
Na realidade, cada elétron pode gerar um campo magnético. Os prótons e os nêutrons também o
podem (é, no entanto, um campo muito mais fraco do que aquele gerado pelos elétrons).
A seguir, veremos que podemos pensar os elétrons, os prótons, os nêutrons, e o átomo todo,
como se fossem pequenos ímãs. Ou seja, cada um dos constituintes geram campos magnéticos.
O magnetismo resulta da soma desses campos diminutos. O fato é que o magnetismo dos materiais
está associado a dois efeitos.
O primeiro efeito diz respeito ao movimento dos elétrons em torno dos átomos, o qual, para
efeito de simplificação, será tratado como se fosse um movimento circular. Esse movimento leva-nos
a caracterizar um particular elétron pertencente ao átomo como um ente físico, que definimos
como dipolo magnético. Um dipolo magnético é, em ultima análise, um pequeno ímã. Sua medida,
ou caracterização, é uma grandeza definida como momento de dipolo magnético.
O outro efeito tem a ver com o spin do elétron. A essa grandeza física também associamos
um momento de dipolo magnético. Assim, mesmo que um elétron não esteja em movimento, ele
se comporta como um diminuto ímã. Esse resultado foi comprovado pela famosa experiência de
Stern-Gerlach.
Momento de dipolo magnético é, assim, o conceito fundamental quando falamos do magnetismo
dos materiais.
Não existem entes semelhantes a cargas magnéticas, isto é, não existem monopolos magnéticos. No
entanto, para gerar campos magnéticos, é essencial que os constituintes da matéria, como os elétrons,
prótons e nêutrons exibam momentos de dipolo magnético. Quanto ao átomo, ou molécula, como um
todo, a questão é mais complexa, pois envolve um somatório dos momentos de dipolo magnético de
todos os seus constituintes. A tendência é a soma dos momentos de dipolo magnético se orientar ao
acaso. Com isso, dizemos que o material não está magnetizado. Lembramos que a magnetização do
material é definida como a densidade volumétrica de momentos de dipolo magnéticos.
1
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
2
Dizemos que um material está magnetizado se, numa escala macroscópica, a soma dos momentos
de dipolos magnéticos resulta ser não nula.
Como veremos, alguns tipos de materiais, notadamente os materiais ferromagnéticos, exibem
uma magnetização permanente, ou seja, exibe uma distribuição de momentos de dipolo magnético
independentemente da existência de um campo magnético externo.
Todos os materiais reagem a um campo magnético externo aplicado a eles. Quando isso acontece, os materiais ferromagnéticos aumentam sua magnetização. Os materiais paramagnéticos
se magnetizam enquanto o campo magnético estiver presente. Nos materiais diamagnéticos, o
efeito do campo magnético externo é o de alterar o momento de dipolo dos seus constituintes de
forma a se contraporem ao campo magnético externo.
O magnetismo da matéria resulta de uma distribuição de momentos de
dipolos magnéticos dos seus constituintes, sendo que cada átomo, ou
molécula, exibe um momento de dipolo magnético que lhe é próprio.
O momento de dipolo magnético é uma grandeza semelhante, em muitos aspectos, ao momento de dipolo elétrico. Por essa razão, trataremos as duas grandezas simultaneamente para
fazer um paralelismo.
Neste livro, abordaremos três fenômenos magnéticos: o diamagnetismo, o paramagnetismo e
o ferromagnetismo.
Momentos de Dipolo
Devemos caracterizar uma distribuição de cargas elétricas por meio de duas grandezas: a densi
dade de cargas elétricas [ρ(r )] e, quando elas se encontram em movimento, pelo vetor densidade de
 

corrente [ J ( r )]. Tais grandezas geram um potencial elétrico [V(r )], que pode ser reescrito sob a forma:

V (r ) =
1
4πε0

ρ ( r′)
dV ′
1/2
∫∫∫
 
r  r′ r′2 
V
2
r 1 − 2 + 2 
r
r 

( 1 )
Figura 1: O átomo exibe, devido aos spins
dos seus constituintes e ao movimento dos
elétrons, um momento de dipolo magnético.
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3
 
E, no caso de cargas em movimento, estas geram um potencial vetor ( A ( r )), o qual pode ser escrito de uma forma semelhante à expressão acima. Ou seja;
 
µ
A ( r ) = 0 ∫∫∫
4π V
 
J ( r′)
dV ′
 
2 1/2
′
′


r
r
r

r 2 1 − 2 + 2 
r
r 

( 2 )
Para grandes distâncias, ou seja, para distâncias muito maiores do que uma dimensão (d), característica da região na qual se encontram as cargas e correntes, vale a seguinte restrição:
r′
1
r
( 3 )
Tal restrição fica mais clara quando consideramos a origem do referencial em algum ponto localizado na região dotada de cargas e correntes. Nessas circunstâncias, estamos interessados apenas
no comportamento do potencial quando fazemos uma expansão do integrando, mantendo apenas
os termos de primeira ordem da relação rʹ/r.
O comportamento dos potenciais a grandes distâncias pode ser inferido a partir da aproximação:
 
1
r  r′
≅ 1+ 2
1/2
 
r
 2r  r′ r′2 
1 − r 2 + r 2 


( 4 )
onde, como se vê, desprezamos os termos em potencias mais altas de rʹ/r.
Levando-se em conta a aproximação linear, definida por (000), o potencial elétrico pode ser
determinado, substituindo-se (000) em (000). Obtemos uma soma de dois termos, os quais escrevemos sob a forma:

=
V (r )

 
Q
p r
+
4πε0 r 2 4πε0 r 3
( 5 )
onde Q é a carga total da distribuição e p é o seu momento de dipolo elétrico, o qual é definido
pela integral:

=
p


∫∫∫ r′ρ ( r′)dV ′
V
( 6 )
Variáveis fixas na distribuição e o ponto no qual
se sentem os seus efeitos.
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
4
Analogamente, cargas em movimento levam à geração de um potencial vetor, cujo comportamento a grandes distâncias pode ser aproximado pela expressão:
 
A(r )
=
 
µ0
µ
d 3 r′J ( r′) + 0 3
∫
4 πr
4 πr

( ∫ d r′J ( r′) r′.r )
3
( 7 )

∇ ⋅ J são sempre
Tendo em vista que na magnetostática admitimos que as linhas de campo de vetor

fechadas (uma vez que ∇ ⋅ J = 0, na magnetostática) o primeiro termo se anula. O segundo termo
pode ser reescrito como:
  
 1  
′
′
r
r
J
r
dV
r
⋅
=−
× ∫∫∫ r′ × J ( x′)dV 
(
)
∫∫∫

2
( 8 )
Para comprovarmos a veracidade de tal afirmativa, lembramos que a componente k do termo
do lado esquerdo da expressão (000) pode ser escrita como:
Ak =
µ0
µ
  
r
⋅ r′) J k dV ′ = 0 ∫∫∫ xi xi′J k dV ′
(
∫∫∫
4π
4π
( 9 )
onde se convenciona que índices iguais devem ser somados.
O termo relevante do integrando de (000) pode ser escrito como uma soma de dois termos, um
deles simétrico em relação à troca de índices e outro antissimétrico:
xi′J k =
1
1
[ xi′J k + xk′ J i ] + [ xi′J k − xk′ J i ]
2
2
( 10 )
Concluímos que a parte antissimétrica do termo acima é tal que para ele vale a identidade:
1
1   
xi ( xi′J k − xk′ J i=
r′ × J × r
)
2
2
((
) )
k
( 11 )
Temos, assim, a identidade (000) desde que possamos mostrar que o termo simétrico da expressão
(000) se anula. Para tanto, utilizamos primeiramente a identidade:

 

 
∇′ ⋅ xi′x′j J = J ⋅ ∇′ ⋅ ( xi′x′j ) + xi′x′j ∇′ ⋅ J
(
)
( 12 )
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5
Para correntes localizadas numa região finita do espaço, e efetuando integrações por partes, temos:


∫∫∫ ∇′ ⋅ ( Jx′x′ ) dV ′ =0
i

( 13 )
j

Donde concluímos, lembrando ainda que ∇′ ⋅ J = 0, que a integral do primeiro lado de (000) se anula:
 
J
∫∫∫ ⋅ ∇′ ( xi′x′j ) dV ′= 0=
∫∫∫ J k ⋅
∂ ( xi′x′j )
∂xk′
dV ′=
∫∫∫ ( J x′ + J x′ ) dV ′
i
j
j i
( 14 )
De (000) e (000) fica demonstrada a identidade (000).

De (000), resulta que, definindo o momento de dipolo magnético µ de uma distribuição de corrente, dada pela integral:
 1


=
µ
r′ × J ( r′) dV ′
∫∫∫
2
( 15 )
o potencial vetor (...) assume a forma
 
 
µ0 µ × r
A(r ) =
4π r 3
( 16 )
É, portanto, notável a semelhança entre as expressões para o potencial elétrico, devido a um dipolo
elétrico, e o potencial vetor, que resulta de um dipolo magnético localizado na origem do referencial.
O campo magnético resultante pode ser obtido a partir da expressão:
 
 
µ0   µ × r 
B ( r=
∇
×
)
 3 
4π
 r 
( 17 )
Efetuando as derivadas acima e agrupando os termos, podemos escrever o campo magnético
de um dipolo sob a forma:
 
µ0 1   

=
B (r )
3r ( µ ⋅ r ) − r 2µ )
5 (
4π r
( 18 )
Assim, para grandes distâncias, uma distribuição de correntes será percebida como um dipolo
magnético, cujo momento de dipolo é dado pela expressão (000).
A cada distribuição de correntes podemos
associar um momento de dipolo magnético.
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6
Assim, se considerarmos um ponto ao longo do eixo z, e este coincidir com a direção da magnetização, a expressão do campo magnético é:

µ0 1 
B (=
0,0, z )
( 2µ )
4π z 3
( 19 )
E, portanto, nesse caso, o campo magnético tem a mesma orientação do momento de dipolo.
Por outro lado, no plano definido por
 
µ ⋅ r =0
( 20 )
o campo magnético é orientado no sentido oposto ao momento de dipolo, ou seja,
 
µ0 1 
=
B (r )
( −µ ) .
4π r 3
( 21 )
As linhas de campo associadas a um dipolo são apresentadas na figura 000.
Para um fio percorrido por uma corrente I, o seu momento de dipolo é dado por:

 I 
′
r
dl
=
µ
×
2 ∫Γ
Cargas elétricas que se movimentem em órbitas fechadas
produzem, a grandes distâncias de onde elas se localizam, um
campo com características especiais. Ele é definido, por causa
dessas características, como o campo de um dipolo magnético.
exercícios resolvidos 
( 22 )
Linhas de campo de um dipolo
e de um ímã são idênticas.
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7
Força e Energia de um Dipolo Magnético
Quando sob a ação de um campo magnético, um ímã pode experimentar a ação de uma força.
Considerando-se um volume infinitesimal de volume dV′ contendo cargas e em movimento gerando
correntes, a expressão para a força experimentada por esse elemento de volume é:

 
 
 
dF =
dqv × BdV ′ =
ρv × BdV ′ =
J × BdV ′
( 23 )
Assim, a força experimentada pelo objeto no qual circulam tais correntes é dada por uma soma
de tais contribuições, isto é, pela integral:

=
F
 
 
′
J
r
×
B
(
)
( r′) dV ′
∫∫∫
( 24 )
V
onde o volume V é aquele em que existe a distribuição de cargas e correntes. Se o campo magnético for uniforme, a força sobre ele será nula, isto é, cada parte gera uma força que será cancelada
por alguma outra parte.

F
=
 

 



dV ′  ∫∫∫ J ( r′) dV ′  =
×B
∫∫∫ J ( r′) × B=


0
V
0
0
( 25 )
V
Para um fio percorrido por uma corrente, a expressão para a força que ele experimenta, quando
sujeito a um campo magnético não uniforme, é dada por:
  

F I ∫ dl × B ( r′)
=
Γ
( 26 )
Consideremos agora uma aproximação para o campo magnético externo para o caso em que
ele não varia apreciavelmente no interior do volume contendo as cargas e correntes. Isso ocorre
porque, nos casos de interesse, a região onde se concentram as cargas é de dimensões diminutas.
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8
Por outro lado, quando esse não for o caso, o que se segue é válido apenas no caso de campos que
variam lentamente de ponto a ponto. Em qualquer dos casos, escrevemos, para cada componente,
uma expansão de Taylor que resulta ser da forma:
 

′) Bi ( r0 ) + r′∇Bi ( r0 ) + ...
Bi ( r=
( 27 )

onde Bi(r0) é a i-ésima componente do campo magnético num ponto adotado como referência. É
um campo constante (médio) no interior do material. Assim, a força contém dois termos:

 
 

   
F=
− B ( r0 ) × ∫∫∫ J ( r ')dV '+ ∫∫∫ J ( r ') ×  r '∇ B ( r0 ) dV ' + ...


V
(
V
)
( 28 )
Utilizando a identidade:


   
  
  
J ×  r '∇ B  = J × ∇( r ' B ) = −∇ ×  J r ' B 


(
)
(
)
( 29 )
a força pode ser escrita como


  
F = −∇ × ∫ J r ' B dV ′
(
)
( 30 )
A identidade (000) permite-nos escrever:
   
 1

 
 
∫∫∫ ( r ' B ) J ( r ')dV ' = −B × 2 ∫∫∫ r '× J ( r ')dV ' = B ×µ
V
( 31 )
V
Donde inferimos que a força pode ser escrita como:
 
 
     
F = ∇ × B ×µ = µ∇ B = ∇(µ B )
)
( 32 )
   
F =∇(µ B )
( 33 )
(
) (
ou seja, a força é dada por:
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
9
Lembrando que a força é o gradiente da energia precedido do sinal menos:


F = −∇(U )
( 34 )
concluímos que um dipolo sujeito a um campo magnético externo adquire uma energia, a qual é
dada por:
 
U = −µ B
( 35 )
Forças Entre Dois Dipolos
A força entre dois dipolos magnéticos pode ser obtida a partir da expressão da energia de interação entre eles. Por exemplo, a energia de interação do dipolo designado por 2 é dada por:
 
U = −µ 2  B1
( 36 )

onde B1 é o campo magnético produzido pelo dipolo 1. Portanto:
µ
1
 
− 0  5
U ( r2 − r1 ) =
4π r2 − r1

(( r − r )µ ( r − r )µ
2
1
1
2
1
2
   2
− µ 2 µ 2 r2 − r1
)
( 37 )

onde r1 é o vetor posição do dipolo 1 enquanto r2 é o vetor posição do dipolo 2. Essa energia é compartilhada pelos dois dipolos magnéticos. Não se trata da energia de um ou do outro, é a energia do
sistema constituído por dois dipolos. Ademais, como era de se esperar, ela é invariante pela troca
das posições de um dipolo pelo outro.
A força sobre o dipolo 2 é dada por:
 
 
 


∂U ( r2 − r1 )  ∂U ( r2 − r1 )  ∂U ( r2 − r1 ) 
 
F2 = −∇2U ( r2 − r1 ) = −
i−
j−
k
( 38 )
∂x2
∂y2
∂z2
Analogamente, a força sobre o dipolo 1 se escreve como:
 
 
 


∂U ( r2 − r1 )  ∂U ( r2 − r1 )  ∂U ( r2 − r1 ) 
 
F1 = −∇1U ( r2 − r1 ) = −
i−
j−
k
∂x1
∂y1
∂z1
( 39 )
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
10
Observe-se que fica assegurada a terceira lei de Newton, uma vez que:


F1 = − F2


( 40 )


Se definirmos o vetor r = r1 − r2, obtemos, para a força F1:

F1
=



 

3µ 0  r     r   
r 
r  r    r  
2

5

×
µ
×
µ
+
×
µ
×
µ
−
µ
µ
+
µ
1
2
2
1
1
2
1   µ 2  



4πr 4  r
r
r  r  r

r


( 41 )
Considerando o caso da Figura 00, ou seja,


r = zk


µ1 =µ1k


µ 2 =µ 2k
( 42 )
Nesse caso:

=
F1

3µ 0
−
3
µ
µ
k
[
]
1
2
4 πz 4
( 43 )
Assim, a força será atrativa se ambas as coordenadas tiverem o mesmo sinal. Por exemplo, se o
primeiro tem um polo norte interagindo com o polo sul do segundo
μ1 > 0 e μ2 > 0
( 44 )
Eles se repelem se as coordenadas tiverem sinais opostos, por exemplo, no caso em que:
μ1 > 0 e μ2 < 0
( 45 )
Confirmando a regra segundo a qual polos iguais se repelem enquanto polos opostos (o primeiro
caso) se atraem.
Forças entre dois dipolos.
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
11
Torque sobre um Dipolo Magnético
Um campo magnético pode produzir um torque quando age sobre um dipolo. Considerando-se

um volume infinitesimal de volume dV′ localizado num ponto, cujo vetor posição é r′ contendo cargas
e em movimento gerando correntes, a expressão para o torque experimentado por esse elemento
de volume é:
 
 
 
 

 

dτ =
r′ × dF =
r′ × dqv × B dV ′ =
r′ × ρv × B dV ′ =
r′ × J × B dV ′
(
)
(
)
(
)
( 46 )
Assim, a força experimentada pelo objeto no qual circulam tais correntes é dada por uma soma
de tais contribuições, isto é, pela integral:

=
τ
 
 

′
′
r
×
J
r
×
B
(
)
( r′) dV ′
∫∫∫
(
)
V
( 47 )
Considerando-se a expansão (000), e retendo apenas o primeiro termo, obtemos:

=
τ
 
 

′
′
r
×
J
r
×
B
(
)
( r0 ) dV ′
∫∫∫
(
)
V
( 48 )
Utilizando a identidade:
 
 

    
    
r′ × J ( r′) × B=
( r0 ) r′ J ( r′) B ( r0 ) − r′ B ( r0 ) J ( r′)
(
)
( 49 )
escrevemos o torque como sendo dado por duas contribuições

=
τ
    
    
′
′
′
r
J
r
B
r
dV
−
r

(
)
(
)
0
∫∫∫
∫∫∫ ′ B ( r0 ) J ( r′) dV ′
V
V
( 50 )
O primeiro termo se anula. Para nos convencermos disso, utilizamos a identidade, validada na
magnetostática:
 2
    
 
∇ r′=
J
2( r′ J ) + r 2∇=
 J 2( r′ J )
(
)
( 51 )
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
12
E lembramos que
 2
0
∫∫∫ ∇( r′ J ) dV ′ =
( 52 )
Concluímos que o primeiro de (000) se anula e que:

    
τ = − ∫∫∫ r′ B ( r0 ) J ( r′) dV ′
V
( 53 )
Utilizando a identidade (000), obtemos o resultado:
   
τ = µ × B ( r0 )
( 54 )
Resultado esse muito importante para entendermos o fenômeno da precessão do momento de
dipolo, ou do momento angular, os quais são fundamentais no entendimento do diamagnetismo.
Sobre uma espira retangular
podem surgir binários.
Momento de Dipolo Magnético e
Momento Angular Orbital
Consideremos cargas em movimento numa órbita fechada, órbita essa contida num plano. As cargas
se movimentam constituindo assim uma corrente elétrica. Por corrente elétrica (representada por I)
nos referimos à taxa por unidade de tempo pela qual as cargas passam por um determinado ponto
da órbita. Numa órbita fechada, o movimento é periódico.
Imaginemos, para simplificar, que o elétron esteja girando num movimento uniforme e numa
órbita circular. Tal movimento é periódico, de período T. A corrente elétrica associada a esse movimento será dada pela expressão:
I = qf
( 55 )
onde f é a frequência do movimento circular uniforme. Num movimento circular de uma partícula
dotada de velocidade escalar v e percorrendo uma circunferência de raio R, a frequência é dada por:
f=
1
v
=
T 2 πR
( 56 )
Cargas em movimento circular geram uma
corrente elétrica.
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
13
Para um movimento circular, a área da “espira” é dada por:
A = πr2
( 57 )
Resulta assim, da definição (000), que o momento magnético de um elétron numa órbita circular
será dado pela expressão:
 qvr 
µ=
k
2
( 58 )
Podemos relacionar o momento de dipolo magnético ao momento angular do elétron. Para isso,
lembramos que tal grandeza é dada por:
  
 
L = r × p = mr × v
( 59 )
Lembrando as expressões do vetor posição e vetor velocidade, no referencial polar:




=
r Re
=
v veϕ
r
( 60 )
obtemos a seguinte expressão para o momento angular:


 
 
L = mr × v = mrver × eϕ = mrvk
( 61 )
Comparando (000) com (000), obtemos a seguinte relação entre momento de dipolo magnético
e o momento angular do elétron:
q 

µ=
L
2m
( 62 )
A relação acima é importante para entender propriedades dos materiais utilizando-se a mecânica
quântica. O momento de dipolo acima é denominado momento de dipolo orbital.
No caso do elétron, o momento
de dipolo tem sentido oposto ao
seu momento angular orbital.
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético
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O Efeito do Spin
O magnetismo dos materiais, a rigor, resulta de dois efeitos. O primeiro tem a ver com o movimento dos elétrons em torno do núcleo, o qual gera um momento de dipolo magnético. No entanto,
pode-se argumentar, utilizando uma imagem clássica, que o spin é análogo ao momento angular
associado a uma espécie de rotação do elétron.
Como resultado, podemos associar ao próprio elétron um dipolo magnético dito intrínseco, o
qual, surpreendentemente, é dado por:
 q 
µ= S
m
( 63 )
Em resumo, cada uma das partículas que compõem o átomo comporta-se como um pequeno
ímã. Esse comportamento deriva tanto do momento angular orbital quanto do momento angular
de spin. A conclusão, portanto, é a de que a soma dos dois efeitos nos leva a escrever a seguinte
expressão para uma partícula dotada de momento angular e momento angular de spin:

=
µ

q 
q  
( L +=
2S )
( j + S)
2m
2m
( 64 )
No caso do elétron, escrevemos:

− qe 

=
µe
( J + 2S )
2me
( 65 )
onde qe é o módulo da carga do elétron, ao passo que, no caso do próton, escrevemos:

=
µp


qe 
qe  
( L +=
2S )
( j + S)
2m p
2m p
( 66 )
onde j é o momento angular total definido por:
  
j = L+S
( 67 )
O momento angular total é a soma vetorial do
momento angular orbital mais o spin.
Eletromagnetismo » Momento de Dipolo Magnético

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

Qualquer um dos vetores ( L e S ) pode ser decomposto em uma parte paralela a j e uma parte
transversal, ou seja, escrevemos:
 


 j L
L = LTrans + LLong = LTrans + j 



 


S L
S = STrans + S Long = STrans + j 



( 68 )
Ocorre que, como será visto posteriormente, os três vetores precessionam quando sob a ação
de um campo externo. Tomando-se uma média no tempo, de acordo com a Figura 00, a componente transversal se anula, ou seja, dentro de uma boa aproximação, escrevemos:

=
LTransversal

=
STransversal
0
( 69 )
E, portanto, o momento de dipolo pode ser escrito sob a forma:
q 

µ = −g e j
2m
( 70 )
onde g é fator de Landé, o qual é dado por:
 
 
 S L 
 j L 
=
±g  2  + 2 2 
 j 
 j 
( 71 )
onde o sinal + se aplica a cargas negativas e o sinal – se aplica a cargas positivas. Assim, no caso do
elétron livre, de acordo com a expressão acima,
ge = −2
gp = 2(2,79)
gn = −2(1,93)
( 72 )
A expressão mais geral para g envolve dois parâmetros, gL e gs, ou seja:
 
 
 S L 
 j L 
=
g gL  2  + gS  2 
 j 
 j 
( 73 )
Em média, a parte transversal se anula.
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Os valores experimentais dos fatores g das partículas que compõem o núcleo são:
gp = 2(2,79)
gn = −2(1,93)
( 74 )
E esse fato chama a atenção para a necessidade de determinarmos tal grandeza física experimentalmente. Por exemplo, o valor do fator g do núcleo é uma surpresa visto que tal partícula é
destituída de carga elétrica.
Tendo em vista que a massa do próton e do nêutron é cerca de duas mil vezes maior do que a
massa do elétron, a contribuição dessas partículas resulta ser diminuta quando comparada com
a contribuição dos elétrons. Assim, o momento de dipolo do átomo é analisado considerando-se
apenas a contribuição para o momento de dipolo dos elétrons. O momento de dipolo de um átomo
de um elemento cujo número atômico é Z é dado por uma soma que envolve o momento angular
total dos Z elétrons e os fatores de Landé:

q
µ átomo =
−g e
2me
Z
∑g ( ) j ( )
i =1
e
i
e
i
( 75 )
onde fica entendido que o fator g, de acordo com (000), depende do estado do elétron no átomo.
Nos materiais que têm elétrons não emparelhados, isso assegurará que o átomo todo terá um
momento de dipolo magnético. Consequentemente, eles podem se magnetizar, ou seja, eles podem
ser orientados mediante a aplicação de um campo externo.
O núcleo atômico possui, igualmente, um momento de dipolo magnético. Par um elemento de número atômico Z, e cujo número de massa é A = r + Z, seu núcleo terá um momento de dipolo que envolve
uma soma sobre os momento de dipolo magnético de Z prótons, e dos A − Z nêutrons. Ou seja,
 i ) qe A− Z (i )  (i )

q Z
µ núcleo =
− e ∑ g p ( i ) j p (−
∑ gn jn
2m p j 1 =
2mn i 1
=
( 76 )
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Unidades de momento de dipolo magnético
No sistema internacional de medidas, o momento de dipolo é expresso na unidade:
Am2
ampère metro quadrado
Na física atômica ou nuclear, utilizamos a unidade magneton de Bohr μB.
µ=
B
qe h/
= 9.27 ⋅ 10−24 Am 2
2me
( 77 )
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Exercício Resolvido: Momentos de Dipolo
Exercício
Determine o momento de dipolo elétrico de uma espira circular de Raio R.
Resolução
Na Figura 00, consideramos uma espira de raio R e mostramos o sistema de coordenadas
adotado. Ele é tal que o plano xy contém a espira. Utilizaremos a seguir as coordenadas polares.
O sentido da corrente nos leva a escrever:



dl= dle=
Rd ϕeϕ
ϕ
( 78 )
Enquanto que, utilizando coordenas polares, escrevemos o vetor posição sob a forma:


r′ = Rer
( 79 )
Lembrando que

 
er × eϕ =
k
( 80 )
E que esse vetor é constante, a substituição das expressões acima em (000) nos remete ao resultado:
2π


 I
µ =  ∫ R 2d ϕ  k = I πR 2k
2 0

( 81 )
Lembrando a expressão da área do círculo, concluímos que:


µ = IAk
( 82 )
O momento magnético de uma espira circular
depende da área e da corrente elétrica.
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Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
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