Nível B3
PROBABILIDADES
Experiência aleatória
A teoria das probabilidades estuda o grau de ocorrência de fenómenos
aleatórios.
Fenómeno ou experiência aleatória é aquele relativo ao qual não é
possível prever o resultado, ainda que repetido nas mesmas condições.
Por exemplo, lançamento de uma moeda ou dado, totoloto, totobola e
extracção de uma carta de um baralho.
Universo ou espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis
de uma experiência aleatória. Representa-se por U.
Acontecimento de uma experiência aleatória é qualquer subconjunto do
espaço amostral.
Exemplo:
I. Lançando um dado uma vez, indicar o universo ou espaço amostral.
Resoluções: No lançamento de um dado, os resultados possíveis são: 1, 2,
3, 4, 5, e 6.
Então, U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} é o universo.
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1
II.
Relativamente
ao
lançamento
de
um
dado,
indicar
cinco
acontecimentos.
Resolução: Sendo U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, cinco acontecimentos são, por
exemplo:
A: sair número par
A = {2, 4, 6}
B: sair número ímpar
B = {1, 3, 5}
C: sair número menor que 8
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
D: sair número maior que 10
D=Ǿ
E: sair número primo.
E = {2, 3, 5}
Probabilidades
Probabilidade é o conceito matemático que permite exprimir a frequência
esperada de um acontecimento de uma experiência aleatória. Assim, por
exemplo, ao lançar um dado perfeito, diz-se que a probabilidade de obter a
face com o número 2 é
1
, isto é, espera-se que, num processo repetido do
6
lançamento do dado, 1 em cada 6 vezes saia o número 2. Em 6 casos
possíveis, 1 é favorável à saída dessa face.
A probabilidade de um acontecimento pode ser expressa na forma
fraccionária, decimal ou de percentagem.
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Cálculo de probabilidades
Lei de Laplace – A probabilidade de um acontecimento é igual ao
quociente entre o número de casos favoráveis pelo número de casos
possíveis.
P = nº de casos favoráveis
nº de casos possíveis
Acontecimento impossível é um acontecimento que nunca se realiza, isto
é, a sua probabilidade é igual a zero.
Acontecimento certo é um acontecimento que se verifica sempre que se
realiza uma experiência aleatória. A sua probabilidade é igual a 1 porque o
número de casos favoráveis é igual ao número de casos possíveis.
Acontecimentos contrários são acontecimentos tais, que sempre que se
verifica um deles não se realiza o outro. Simbolicamente, o acontecimento
contrário de A representa-se por Ā.
A soma das probabilidades de acontecimentos contrários e igual à soma de
acontecimento certo.
P(A) + P(Ā) = 1 ⇔ P(Ā) = 1 – P(A)
Acontecimentos
equiprováveis
são
acontecimentos
com
igual
probabilidade.
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Propriedade da probabilidade
Como o número de casos favoráveis nunca é superior ao numero de casos
possíveis, o valor da probabilidade não pode ser superior a 1. Po outro lado,
tratando-se de um quociente entre dois números positivos, o seu valor
nunca é negativo. Simbolicamente, 0 ≤ Probabilidade ≤ 1.
Exemplos:
I. Retirando ao acaso uma carta de um baralho de 40, determinar a
probabilidade de:
a) Sair uma figura
b) Sair um ás e um rei
c) Sair um rei ou carta vermelha
d) Não sair figura
Resolução:
a) p(sair uma figura) =
12
= 0,3 = 30%
40
b) p(sair um ás e um rei) =
0
= 0 (acontecimento impossível)
40
c) p(sair um rei ou carta vermelha) =
22
= 0,55 = 55%
40
d) p(não sair figura) = 1 – p(sair figura) = 1 – 0,3 = 0,7 = 70%
II. Uma caixa contém três casacos de lã e dois de fazenda. Retira-se dois ao
acaso sem reposição, determinar a probabilidade:
a) De serem os dois de lã
b) A probabilidade de ser um de cada tipo
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4
Resolução:
a) p(serem os dois de lã) = ?
1º
processo
–
Neste
tipo
de
acontecimento nem sempre é fácil
determinar
o
número
de
casos
favoráveis e o número de casos
possíveis.
Para
isso,
utilizam-se
diagramas de árvore.
Na 2ª extracção é preciso considerar o que ocorreu na 1ª.
Assim, o primeiro casaco é de lã em
dos
3
1
dos casos e o segundo é de lã em
5
2
3
dos casos.
5
p(serem os dois de lã) =
3
1
3
x =
= 30%
5
2
10
2º processo
1ª ext 2ª ext
Nº de casos possíveis
5 x 4 = 20
Nº de casos favoráveis 3 x 2 = 6
p(serem os dois de lã) =
6
= 30%
2
b) p(ser um de cada tipo) = ?
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5
1º processo: recorrendo ao diagrama em árvore já elaborado
p(ser um de cada tipo) = p(sair lã e depois fazenda) + p(fazenda e depois lã)
p(sair lã e depois fazenda) =
p(fazenda e depois lã) =
3
1
3
x =
= 30%
5
2
10
2
3
6
3
x =
=
= 30%
5
4
20
10
logo, p(ser um de cada tipo) =
3
3
6
+
=
= 60%
10
10
10
2º processo
1ª ext
2ª ext
Nº de casos possíveis
5
x
4
= 20
Nº de casos favoráveis
3(lã)
x 2(fazenda)
12
2(fazenda) x
3(lã)
p(ser um de cada tipo) =
2.
12
= 60%
20
Numa competição desportiva participam 180 atletas dos quais 70
falam francês, 120 falam inglês 12 não falam nenhuma destas línguas.
Escolhendo um dos atletas ao acaso, determinar a probabilidade de falar
francês e inglês.
Resolução:
Como 70 + 120 = 202 excede o número de participantes, logo existe atletas
que falam as duas línguas. Assim, deve recorrer-se a um diagrama de
conjuntos:
202 – 180 = 22
70 – 22 = 48 (francês)
120 – 22 = 98 (inglês)
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6
Portanto, p (falar francês e inglês) =
3.
22
11
=
≅ 0,12 (2) ≅ 12, 2%
180
90
Uma caixa contém maçãs vermelhas e maçãs verdes. Sabe-se que as
maçãs vermelhas são 18 e que a probabilidade de retirar ao acaso uma
maçã verde é
2
. Determinar o número de maçãs verdes.
5
Resolução – Os acontecimentos “sair maçã vermelha” e “sair maçã verde”
são contrários. Portanto:
p(sair maçã vermelha) + p(sair maçã verde) = 1 ⇔
⇔ p(sair maçã vermelha) +
2
2
= 1 ⇔ p(sair maçã vermelha) = 1 - ⇔
5
5
⇔ p(sair maçã vermelha) =
5 2
3
- ⇔ p(sair maçã vermelha) =
5 5
5
Recorrendo a uma regra de três simples, relaciona-se o número de maçãs
vermelhas com a sua probabilidade.
Nº Total
5
χ
Então, χ =
Nº de maçãs
3
18
5 × 18
= 30. Se 30 é o número total, o número de maçãs verdes
3
é 30 – 18 = 12.
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Probabilidade e frequência relativa
Lei dos grandes números – A probabilidade de um acontecimento é o
valor do qual se aproxima a frequência relativa para um grande número
de experiências.
Exemplo:
As classificações conseguidas pelo Luís nos testes de Matemática que já
fez são:
Níveis
M. Bom Bom
Sufeciente Mediocre Soma
Frequência absoluta
12
16
10
2
40
Frequência relativa 12 = 0,3 16 = 0,4 10 = 0,25 2 = 0,05
1
40
40
40
40
Calcular a probabilidade de, no próximo teste o Luís obter Bom.
Resolução:
Como o número de casos favoráveis é 16 e o número de casos possíveis é
40,
P(obter Bom) =
16
= 0,4 = 40%
40
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Exercícios:
1. Lançando um dado ao ar, uma vez, a probabilidade de obter número
primo é:
a) 3
b)
2
3
c)
1
3
d)
1
2
2. Um tabuleiro contém 18 rissóis de carne e 12 de camarão. Tirou-se 1 e
comeu-se. Retirando um segundo rissol, determina a probabilidade de
este ser de carne, sabendo que o primeiro era:
2.1. de carne
2.2. de camarão
3. Numa turma com 25 alunos, 22 gostam de Educação Física e 18 de
Educação Visual. Escolhendo um aluno ao acaso, a probabilidade de ele
gostar de duas disciplinas é:
a)
5
8
b)
3
5
c)
8
5
d) 1
4. Numa prateleira com 12 livros, uns são de Matemática e outros de
Língua Portuguesa. A probabilidade de retirar ao acaso um livro de
Língua Portuguesa é
2
. Quantos são os livros de Matemática?
3
5. Uma caixa contém bombons de amêndoa, noz e caramelo. Sabe-se que
a probabilidade de tirar ao acaso um bombom de noz é
probabilidade de tirar um bombom de caramelo é
1
e que a
3
1
.
6
5.1. Calcula a probabilidade de retirar um bombom de amêndoa.
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9
5.2. Sabendo que no total são 24, determina o número de bombons de cada
tipo.
6. A Ana foi almoçar a um restaurante com a seguinte ementa.
EMENTA
Sopa
Prato
Sobremesa
Caldo Verde
Jardineira
Pudim
Canja
Filetes Pescada
Fruta
Mousse
Escolheu uma sopa, um prato e uma sobremesa, qual a probabilidade de
ter pedido uma mousse?
7. Lançando simultaneamente dois dados perfeitos, determinar a
probabilidade de a soma ser um número divisível por 3.
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10
Resolução
1. d)
2.
2.1.
17
29
3. b)
2.2.
18
29
4. 4
5.
5.1.
1
2
5.2. Amêndoa: 12; Noz: 8; Caramelo: 4
6. C.P. = 2×2×3; C.F. = 2×2×1
P=
4 1
=
12 3
7.
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AVALIAÇÃO FORMATIVA
1. Uma caixa contém 3 bombons de café, 2 bombons de avelã e 3 bombons
de amêndoa. Retirando um bombom ao acaso, dá exemplos de:
a) um acontecimento impossível;
b) um acontecimento certo;
c) dois acontecimento equiprováveis.
2. Lançando uma vez um dado não viciado, determina as probabilidades:
a) p(obter n.º múltiplo de 2)
b) p(obter n.º maior que 4)
c) p(obter n.º menor que 1)
d) p(obter n.º positivo).
3. A este anúncio responderam 20 pessoas, das quais 15 falavam Inglês e
18 Francês.
a) Quantas falavam as duas línguas?
b) Quantas falavam só Francês?
c) Se se escolher uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de falar só
Inglês?
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4. Numa fruteira há 14 frutos: maças, bananas e pêras. Tirando uma ao
acaso, a probabilidade de ser maça é
1
2
e de ser banana é . Quantas são as
7
7
pêras?
5. Numa escola, a preferência dos alunos de 9.º ano, relativamente ao
agrupamento a escolher no 10.º ano, está expressa na seguinte tabela.
Escolhendo um aluno ao acaso, indica a probabilidade de:
a) ser rapariga.
b) ser rapaz e preferir Ciências e
Tecnologias.
c) preferir C. Socioeconómicas.
d) não preferir C. Sociais e Humanas.
6. Um saco contém 3 bolas azuis e 5 bolas verdes. Retirando
sucessivamente duas, determina a probabilidade de …
a) a primeira ser azul e a segunda verde;
b) ser uma de cada cor;
c) serem as duas verdes.
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AUTO-CORRECÇÃO
1. a) p.e., “ser de café e avelã”; b) p.e. “ser um bombom”; c) “ser de
café” e “ser de amêndoa”
2. a)
1
2
b)
1
3
c) 0
d) 1.
3.
a) 13 b) 5 c) 10%.
1
7
2
7
4. p( M ) + p( B) + p( P) = 1 ⇒ 1 − − =
5. a)
6.
7
15
b)
1
15
c)
30
50
4
7
d)
a)
8 Pêras
131
150
3 5 15
× =
8 7 56
3 5
8 7
5 3
8 7
b) × + × =
c)
30 15
=
56 28
5 4 20 5
× =
=
8 7 56 14
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