Matemática 3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
aula 1
PARA
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
SALA
Temos o conjunto A = {∅; 3; {3}; {2; 3}}, em que os elementos são ∅; 3; {3}; {2; 3}.
a) Falsa, pois {2; 3} ⊂ A ⇒ 2; 3 ∈ A.
b) Falsa, pois 2 não é um elemento.
c) Falsa, pois ∅ é um elemento.
d) Falsa, pois 3 é um elemento.
e) Verdadeira. {3} ∈ A.
Resposta correta: E
Não possui item correto.
2.
n( A )
2.
I. a ∈ A (verdadeiro), pois a é elemento de A.
II. {a} ∈ A (verdadeiro), pois {a} é elemento de A.
III. {{a}} ⊂ A (verdadeiro), pois {a} é elemento de A e
{{a}} é subconjunto de A.
IV. {a, b} ⊂ A (verdadeiro), pois a e b são elementos de
A e {a, b} é subconjunto de A.
V. {a} ⊂ A (verdadeiro), pois a é elemento de A, sendo
{a} um subconjunto de A.
VI. ∅ ⊂ A (verdadeiro), pois ∅ é subconjunto de qualquer conjunto.
VII. ∅ ∈ A (falso), pois ∅ não é elemento de A.
2
n (P( A ))
= n(B) = 2n(A) – n(B) = 2n(B) + 6 – n(B) = 26 = 64
n (P(B))
2
A = {x ∈ ⎥/ 1 ≤ x < 5}
B = {x ∈ ⎥/2 ≤ x ≤ 6}
Resposta correta: D
3.
P(A)
1) n(A) = n; n(B) = n + 1
2) P(A) = 2n; P(B) = 2n+1 ⇒ P(B) = 2n . 2 ⇒ P(B) = P(A) . 2
⇒ P(B) = 2 . P(A) ⇒ y = 2x
A ∩ B = {x ∈ ⎥/ 2 ≤ x < 5}
Resposta correta: E
Resposta correta: A
4.
I)
II)
3.
n(P(M)) = 2 . n(P(N))
2n(M) = 21 . 2n(N)
2n(M) = 21 + n(N)
n(M) = 1 + n(N)
Resposta correta: A
4.
n(M ∪ N) = n(M) + n(N) – n(M ∩ N)
n(M ∪ N) = 1 + n(N) + n(N) – 1
n(M ∪ N) = 2n(N)
Do enunciado, temos:
I. a = 2m
II. b = 2n
8 = 2n
23 = 2n
n=3
Resposta correta: E
5.
O conjunto x pode ser:
• x = {1, 2}
• x = {1, 2, 3}
• x = {1, 2, 3, 4}
O número de subconjuntos é dado por 2n(A), portanto:
2n(A) = 1024
n(A)
10
2 =2
n(A) = 10
III. c = 2
O número de subconjuntos com 4 elementos é:
10 x 9 x 8 x 7
= 210
C10,4 =
4x3x2x1
O número de subconjuntos que não possuem 4 elementos é:
K = 1024 – 210
K = 814
V. m = 2p – n
m = 2p – 3
Resposta correta: B
p
IV. a = c + 2b
a=c+2.8
a = c + 16
VI. a = c + 16
2m = 2p + 16
2p – 3
= 2p + 16
2
∴p=4
VII. c = 2p
c = 24
c = 16
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
1
A soma dos elementos do 24º conjunto
(277 + 300) 24
= 6924 e soma dos algarismos é:
2
6 + 9 + 2 + 4 = 21
VIII. a = 16 + 16
a = 32
IV. a + b + c = 32 + 8 + 16 = 56
é
Resposta correta: A
Resposta correta: A
10.
5.
I = {x ∈ ⎥/3 < x ≤ 7}
x ≤ –1 ou x > 3.
Resposta correta: A
Resposta correta: A
11.
6.
O conjunto é dado por A = {0, 1, 2, 3, 4}. Para P(B) ter
um número máximo de elementos é necessário que B
seja o maior possível, ou seja, B = {1, 2, 3, 4}, portanto,
n(P(B)) = 24 = 16.
I.
Se “n” é o número de elementos de “A”, então
n(A) = n.
P(A) = 2 n(A) ⇒ P(A) = 2n
n
II. n(P(PA)) = 2n(PA) = 22
Resposta correta: E
Resposta correta: C
7.
n(P(P(P(P(A))))) = n(P(P(P(B)))
n( A )
2
2
2
2
n( A)
2
2
2
n( A )
2
n(B)
2
2
12. Observe que:
I. a + b = 18
= 2
n(B)
2
= 2
a = 18 – b
2
=2
2n(A) = n(B)
2n(A) – n(B) = 0
n(B )
A soma dos números é dada por S =
Resposta correta: A
FG18IJ = 2
H18K
18
8.
FG IJ
H K
18
18
=
(18 − b) ! b !
b
II.
O 10º conjunto começa com 10 e tem 19 elementos.
K = 10 + 11 + 12 + ... + a19, como
a19 = a1 + 18r = 10 + 18 . 1 = 28, então:
K = 10 + 11 + 12 + ... + 28
(10 + 28) . 19
K=
2
K = 19 . 19
K = 192
2
19
K
Portanto:
=
= 19
19
19
= (23)6 = 86 já que é S representa a soma da li-
nha 18 do triângulo de Pascal.
Resposta correta: A
13. O último elemento de cada conjunto Cn é dado por n2:
C2 = {2, 3, 4}
22
C3 = {5, 6, 7, 9}
32
...
Resposta correta: A
C49 = {..., 492}
9.
O último elemento de cada conjunto é igual à soma do
número de elementos dos conjuntos até o conjunto citado.
1º conj. {1} ⇒ 1 elemento
2º conj. {2, 3} ⇒ 2 elementos
...
23º conj. { ..., __ }
1 + 2 + 3 + ... + 23 =
b1+ 23g .23 = 276
C50 = {492 + 1, ..., 502}
99 elementos
S=
(49 + 1+ 50 ) 99
2
S=
(49 + 1+ 50 )(50 + 49)
2
2
2
24º conj. {277, 278, ..., __ }
S=
1 + 2 + 3 + ... + 24 = 300
2
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
FG18IJ + FG18IJ + ... +
H0K H1 K
|
VOLUME 1
2
2
2
3
2
3
2
50 + 50 . 49 + 50 + 49 + 49 + 49 . 50
2
|
MATEMÁTICA 3
S=
50 + 49 + (49 + 1). 49 + (50 − 1). 50 + 50 + 49
2
S=
50 + 49 + 49 + 49 + 50 − 50 + 50 + 49
2
S=
2 . 50 + 2 . 49 + 49 − 50 + 50 + 49
2
S=
2 .(50 + 49 ) + (49 − 50)(49 + 50) + 50 + 49
2
S=
2 .(50 + 49 ) − 49 − 50 + 50 + 49
2
3
3
3
2
3
3
3
3
3
3
2
2
2.
2
3
2
2
Temos os dados
I. n(x) = 100; n(y) = 90 e n(z) = 80
II. n(x ∩ y ∩ z) = 10
III. n(x ∩ y) = n(x ∩ z) = n(y ∩ z) = (10 + a)
⎛
⎞
IV. n ⎜ x − ( y ∪ z ) ⎟ = 50
⎜ ⎟
↓
⎝
⎠
3
3
S = 503 + 493
Portanto, x = 50, y = 49 e x + y = 99
Resposta correta: 99
V. n(x) = 50 + 2a + 10
100 = 60 + 2a
a = 20
VI. Pertence a mais de um conjunto (pintada)
20 + 20 + 20 + 10 = 70
14. n(A) = 1
n(P(A)) = 2n(A) = 21 = 2
n(P(P(A))) = 2n(P(A)) = 22 = 4
n(P(P(P(A))) = 2n(P(P(A))) = 24 = 16
Resposta correta: C
15. Lembrando...
Seja um conjunto de “n” elementos. Assim, temos:
I. nº de subconjuntos de um elemento: C1n
II. nº de subconjuntos de dois elementos: Cn2
Assim, podemos dizer que o número de subconjuntos
n!
de A com “a” elementos é dado por Cna =
.
(n − a)! . a!
O conjunto A de “n” elementos tem 45 subconjuntos de
2 elementos. Assim, temos:
Cn2 = 45
n!
= 45
(n − 2 )! . 2!
Resposta correta: A
n (n − 1)(n − 2 )!
2
= 45 ⇒ n – n – 90 = 0
(n − 2 )! . 2
n' = 10
3.
Preenchendo o diagrama:
n'' = −9 (F )
Resposta correta: A
aula 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
Temos os dados:
1. B ⊂ A
2. B ∩ C = ∅
3. A ∩ C = {3}
4. C – A = {1; 4}
5. B – C = ; 6}
a)
b)
c)
d)
e)
PARA
SALA
C
n = 31 + 20 + 25 + 3
n = 79
Falso; pois CBA = A – B = {3; 5; 7}
Verdadeiro
Falso; pois B ∪ C = {2; 6; 3; 1; 4}
Falso; pois A ∩ B = B = {2, 6}
Falso; pois C – B = {1; 3; 4}
Resposta correta: E
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
3
4.
Observe o diagrama:
2.
Observe:
• Número de manhãs em que choveu ⇒ d – 7
• Número de tardes em que choveu ⇒ d – 10
Sempre que chovia de manhã, não chovia à tarde, ou
seja, número de manhãs em que choveu + número de
tardes em que choveu = Nº total de dias em que choveu: d – 7 + d – 10 = 9
2d = 26
d = 13
Resposta correta: A
Resposta correta: B
3.
5.
Representando no diagrama:
x ∩ {2, 3, 4} = 3 ⇒ O conjunto x não possui os elementos 2 e 4, mas apenas o 3.
x ∪ {3, 4} = {1, 3, 4, 5} ⇒ O conjunto x possui os elementos 1 e 5.
O conjunto x é {1, 3, 5}, então o produto dos elementos
é 15.
Resposta correta: C
4.
n(diarreia ou febre ou dor no corpo) = n(diarreia) +
n(febre) + n(dor no corpo) – n(diarreia e febre) –
n(diarreia e dor no corpo) – n(febre e dor no corpo) +
n(diarreia, febre e dor no corpo)
160 = 62 + 62 + 72 – 14 – 8 – 20 + x
x=6
Resposta correta: A
Respostas corretas: a)
b)
c)
d)
e)
16 + 6 = 22
22
5
31
16
5.
x∩B≠0⇒3e4∉x
II. x ∪ B = A ∪ C
x ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}, como 3 e 4 ∉ x, então:
x = [1, 2}
A soma dos elementos é 1 + 2 = 3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
I.
Observe o diagrama:
Resposta correta: C
6.
O conjunto (B – A) ∪ (C – A) é dado por (A ∪ B ∪ C) – A,
ou seja, n[(B – A) ∪ (C – A)] = 70 – 30 = 40
Observe o diagrama:
n[A ∩ (B ∪ C)] = 15 + 5 = 20
Resposta correta: B
Resposta correta: B
4
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
7.
x = {2, 4, 6, 8, ...} = {os números pares}
y = {3, 6, 9, 12, ...} = {os múltiplos de 3}
I = x ∩ y = {6, 12, 18, ...} = {aos pares múltiplos de 3} =
{os múltiplos de 6}
10. Observe o diagrama:
A pergunta então se torna: Qual o menor múltiplo de 6
menor do que 1000?
Esse número é 996, e a soma dos algarismos é 24.
Resposta correta: C
8.
Observe o diagrama:
25 – y + 9 + 2 + y + 7 + 6 + 25 – y + 2y = 75
y=1
Resposta correta: E
11. Observe o diagrama:
10 – x + 9 – x + 7 – x + x + 5 + 6 + 7 + 4 = 36
– 2x + 48 = 36
– 2x = – 12
x=6
Resposta correta: E
9.
I.
Observe o diagrama:
x + 20 = 22
x=2
II. n [A – (B ∩ C)] = x + 3 + 4 = 2 + 7 = 9
Resposta correta: B
12. O conjunto B é formado pelos divisores positivos de 20,
ou seja, B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} e o conjunto A, pelos
múltiplos de 4, portanto A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...}. Desta maneira A ∩ B = {4, 20}.
Resposta correta: C
14 + 29 – x + x + 30 – x = 60
73 – x = 60
x = 13
O número de doadores de tipo diferente de O e Rh negativo é 30 – x = 30 – 13 = 17
Resposta correta: D
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
13. Perceba que temos os conjuntos X, Y, Z, V cujos elementos são múltiplos de um número natural. Veja:
X = m(2)
Y = m(3)
Z = m(7)
V = m(11)
Quando isso acontece, temos que o conjunto interseção
é formado pelos múltiplos do mmc (2, 3, 7, 11), que é
462.
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
5
X ∩ Y ∩ Z ∩ V = m(462) = {462, 924, 1386, 1848, 2310 , ...}
aula 3
↓
primeiro
múltiplo
de10
C O M E N T Á R I O S –A T I V I D A D E S
Resposta correta: C
1.
SALA
Observe que:
•
14.
PARA
x=
4 =2∈Q
16 =
•
y = (1 +
Q´
5 ) = 12 + 2 . 1 .
•
z = (1 +
5 ) (1 –
•
w=
2
5 +( 5 ) =6+ 2 5∈
2
5 ) = 12 – ( 5 )2 = – 4 ∈ Q
7 – 1 ∈ Q´
Resposta correta: B
2.
2
y=
I.
I.
x 4
x2
x 4 16
⎛x 4⎞
− ⇒ y² = ⎜ − ⎟ ⇒ y² =
−2. . +
⇒
3 x
9
3 x x²
⎝3 x⎠
x² 8 16
x2
8 16
− +
⇒ 3y² = 3 .
−3. +
⇒
9 3 x²
9
3 x²
x²
48
x 2 48
⇒ 3y 2 =
−8+
⇒
+
= 3y 2 + 8
3
x²
3 x²
n (A ∪ B) = 8
x+y+k+m+n+2=8
x+y+k+m+n=6
⇒ y2 =
II. n (A ∪ C) = 9
x+k+m+n+z+2=9
x+z+k+m+n=7
II. Substituindo (1) em
III. n (B ∪ C) = 10
y + k + m + n + z + 2 = 10
y+z+k+m+n=8
x 2 48
⎛x 4⎞
+
= 10 ⎜ − ⎟ , temos:
3 x2
3
x
⎠
⎝
y
3y2 + 8 = 10y ⇒ 3y2 − 10y = − 8
Resposta correta: A
IV. Somando os itens (I), (II) e (III)
x+y+k+m+n=6
x+z+k+m+n=7
+y + z + k + m + n = 8
3.
Considere os conjuntos:
A = {x ∈ \ /1 ≤ x < 5} e B = {x ∈ \ / − 1 ≤ x < 3} . Os conjuntos “A” e “B” escritos na forma de intervalo são:
2x + 2y + 2z + 2k + 2m + 2n + k + m + n = 21
2x + 2y + 2z + 2k + 2m + 2n + 2 . 2 + k + m + n = 21
+2.2
2(x + y + z + k + m + n + 2) + k + m + n = 25
2 . n (A ∪ B ∪ C) + k + m + n = 25
2 . 11 + k + m + n = 25
k+m+n=3
A=
B=
Assim, temos:
1. A ∩ B = [1; 3[
V. n(A ∪ B ∪ C) =
n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) +
n(A ∩ B ∩ C)
11 = n(A) + n(B) + n(C) – (k + 2) – (m + 2) – (n + 2) + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) – k – m – n – 2 – 2 –2 + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) – (K + m + n) – 4
11 = n(A) + n(B) + n(C) – 3 – 4
n(A) + n(B) + n(C) = 18
2. A ∪ B = [ −1; 5[
3. A − B = [ 3; 5[
4. B − A = [ −1; 1[
Resposta correta: A
4.
Resposta correta: D
x + x + x + ... = 9 ⇒ x + x + x + ... = 81 ⇒
1)
15. Como em cada um tem 1 bactéria e tem 5 tipos de bactérias no primeiro hospital, então há 5 estetoscópios nele.
Obs.: Questão muito mal elaborada.
⇒ x + 9 = 81 ⇒ x = 72
y − y − y − ... = 7 ⇒ y − y − y − ... = 49 ⇒
2)
⇒ y − 7 = 49 ⇒ y = 56
Resposta correta: Não há resposta.
3) 3y – 2x = 3 . 56 – 2 . 72 = 168 – 144 = 24
Resposta correta: D
6
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
5.
(
(
1
2+ 3 =
Veja que
2− 3
3.
. Assim,
3+ 2
a=
) +( 2− 3) = 4
1
2+ 3) +
= 4.
2
3
+
(
)
Faça ( 2 + 3 ) = y ⇒
2+ 3
x
Desenvolvendo a expressão:
3 − 2
x
a=
x
( 3 + 2) ( 3 + 2)
( 3 − 2) ( 3 + 2)
y+
( 3) + 2. 3 . 2 + ( 2)
2
a=
a=
1
y2 + 1
=4⇒
=4
y
y
(
(
(
2+ 3
)
x
(
= 2+ 3 ⇒ 2+ 3
(
x
= 1⇒ x = 2 ; e 2 + 3
2
x
1
2+ 3 =
= 2+ 3
2+ 3
( 3) −( 2)
2+
2+
)
3)
3)
(
x
x
2
(
)
(
)
= 2+ 3
= 2+ 3
x
2
)
x
−2 6
3+2 6 +2
−2 6
3−2
Portanto: 17a = 17 . 5 = 85
= 2− 3
Resposta correta: 85
−1
4.
I.
n=
−1
n=
−1
2
5+2 6
−2 6
1
a=5∈Q
) = (2 + 3 )
)
2
2
a=
y 2 − 4y + 1 = 0 ⇒ y1 = 2 + 3 e y 2 = 2 − 3
⇒
−2 6
x
x
(
−2 6
⇒
n=
x
= −1 ⇒ x = −2
2
1
2 −1
1
–
2 +1
2 + 1− ( 2 − 1)
( 2 − 1)( 2 + 1)
2 + 1− 2 + 1
( 2) −1
2
2
2
2 −1
n=2
n=
Portanto, as raízes da equação são 2 e –2 e seu produto
vale –4.
LM
1 O
P
0, 25 PQ
MN
LM
OP
9
1
k= M +
MM 9 25 PPP
N 100 Q
LM OP
1
k = M1+
5 P
MN 10 PQ
L 10 O
k = M1+ P
N 5Q
Resposta correta: B
2
II. k = 0, 999... +
2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1. I. 0, 4333... é uma dízima periódica, então é racional.
II. 0, 101101110... é uma dízima não-periódica, então é
irracional.
2
III.
2 é irrracional.
C
2πR
=
= π é irracional.
IV.
2R
2R
2
Resposta correta: C
2.
Transformando a dízima em fração:
r
= 0, 340909...
s
r
3409 − 34
=
s
9900
r
3375
=
s
9900
15
r
=
44
s
Desta maneira, r = 15 e s = 44, então:
n(P(A)) = 3 . 15 – 44
n(P(A)) = 1
2n(A) = 1
n(A) = 0
k = [ 1 + 2 ]2
k=9
Resposta correta: D
5.
I.
( F ) Pois se x = 1 e y = 3, então x – y = –2, que não
é um número natural.
II. ( V ) A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
1
e 2, onde x . y =
III. ( F ) Pois x e y poderiam ser
2
1
2.
= 1.
2
IV. ( F ) Pois se x = y = 2 , então x . y = 2 que é um
número racional.
Resposta correta: A
Resposta correta: A
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
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MATEMÁTICA 3
7
6.
Sendo E = (r + 1) (r + 2) (r – 4), teremos:
E = (r2 + 3r + 2) (r – 4)
E = r3 – r2 – 10r – 8
E = r(r2 – r – 10) – 8, como r2 – r – 10 = 0, então:
E=r.0–8
E=–8
11. Observe que:
I.
1
x=m+
13
Chamemos 2 – 1 = x, como x é primo tem dois divisores.
II. Lembrando...
Dado o número natural xn . ym. O número de divisores
é dado pelo produto (n + 1) . (m + 1).
III. n = 217 – 16 = 24 . 213 – 24 = 24 (213 – 1) = 24 . x1
A quantidade de divisores é (4 + 1) . (1 + 1) = S . 2 = 10
I.
1
x +1
x
x
x=m+1.
x +1
m=x–
Temos que:
x2 + x − x
x +1
m=
x2
x +1
P2 = 5 2 5. 2...
2
y=1+
y=1+
y= 1+
N= 7
+
4
3 + 7
+
4
3
4+4 3 +3 =
(2 + 3 )
(II)
4−4 3 +3 =
(2 − 3 )
= 2+ 3
2
=
p
=
q
n=
=y
1
1
y
1
ny + 1
y
y
ny + 1
1
y2 − y
Desenvolvendo R:
x2 + x + 1 y2 − y + 1
−
R=
x +1
y ( y − 1)
3
1x 2 x 4 + 2 x 4 x 8 + 3 x 6 x 12 +...+ 1000 x 2000 x 4000
1x 3 x 9 + 2 x 6 x 18 + 3 x 9 x 27 +...+ 1000 x 3000 x 9000
3
2x 4 (1x1x1 + 2x 2x 2 + 3x 3x 3 +...+ 1000 x1000 x1000)
3x 9 (1x1x1 + 2x 2x 2 + 3x 3x 3 +...+ 1000 x1000 x1000)
R=
x2
x + 1 ⎛ y2 − y
1 ⎞
+
−
+
x + 1 x + 1 ⎜⎝ y (y − 1) y (y − 1) ⎟⎠
8
27
R=
x2
y2 − y
1
+ 1− 2
+
x +1
y − y y2 − y
3
F
GH
R = m + 1 – (1 + n)
R=m+1–1–n
R=m– n
p
2
=
∴ p = 2, q = 3 e p + q = 5
3
q
Resposta correta: E
8
n+
n (y2 – y) = 1
10. Simplificando a expressão:
p
=
q
1
ny2 – ny = 1
2− 3
4
Resposta correta: E
p
=
q
1+
ny2 + y ny + 1+ y
=
ny + 1
ny + 1
II
2
1
1
n+
Resposta correta: D
(I)
1+
5 2 5... , então:
50
I
1
n+
...
P=
1
II. y = 1 +
P4 = 25 . 2 5 2 5... , como P =
P4 = 50 . P
P4 – 50P = 0
P (P3 – 50) = 0
P = 0 (Não convém)
ou
P3 – 50 = 0
P3 = 50
3
x
x +1
m=
5 2 5 2...
⎛
⎞
(P2)2 = ⎜ 5. 2 5 2... ⎟
⎝
⎠
=x
1
x=m+
Resposta correta: D
P=
1+
1
x
1+
7.
1
1
x=m+
9.
m+
...
Resposta correta: A
8.
1
1+
Resposta correta: B
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
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VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
I
JK
aula 4
1
12. Considere x = 2207 –
2207 −
1
2207 −
1
... = x
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
1
x
x2 = 2207x – 1
x2 – 2207x + 1 = 0
x = 2207 –
PARA
SALA
Igualando as abscissas e as ordenadas:
4x = x + 9
3y = – y + 20
3x = 9
4y = 20
x=3
y=5
O par ordenado é (4x, 3y) = (4 . 3, 3 . 5) = (12, 15), a soma das coordenadas do par é 12 + 15 = 27.
Resposta correta: A
Resposta correta: D
13. Temos que:
2
2
P +5
P + 4k − 4k + 4 + 1
=
P+2
P+2
2.
P + 4k + 4
− 4k + 1
+
P+2
P+2
2
(P + 2)
− 4P − 8 + 8 + 1
+
P+2
P+2
Temos que:
I. A x B = {(0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)}
II. B x A = {(3, 0), (4, 0), (3, 3), (4, 3)}
III. A x B – B x A = {(0, 3), (0, 4), (3, 4)}
2
(P + 2) +
Resposta correta: D
− (P + 2)
9
+
P+2
P+2
3.
9
P+2–1+
P+2
Formando todos os pares ordenados com x ∈ [1, 4] e
y ∈ [2, 3), formaremos o retângulo abaixo:
P2 + 5
ser um número inteiro é necessário que P + 2
P+2
seja divisor de 9, então P + 2 pode ser – 9, – 3, – 1, 1, 3, 9.
Para
Resposta correta: C (Retificação do gabatito)
a
= 3 a interseção entre A e B
3
passa a existir, no caso sendo A ∩ B = {3}.
14. Observe que a partir de
Resposta correta: C
4.
Sabemos que x2 = x . x, portanto:
n(x2) = n(x) . n(x)
16 = [n(x)]2
n(x) = 4
Observando os pares ordenados, vemos que –4, –2, 1 e
8 pertencem a x.
(– 2, 8)
↓ ↓
X X
a
=3
3
a=9
(– 2, – 4)
↓ ↓
X X
e
(1, – 4)
↓ ↓
X X
Como A só possui 4 elementos, podemos afirmar que
x = {– 4, – 2, 1, 8}, tendo soma dos elementos igual a 3.
Resposta correta: D
Resposta correta: C
15.
5.
x 15
x
2
≤
e
≥
⇒
y
3
y 18
A relação R é formada por (x, y) ∈ M x M, ou seja,
x ∈ {4, 5, 6, 7} e y ∈ {4, 5, 6, 7} , obedecendo a condição
x + y = 10 ou y = 10 – x. Substituindo os possíveis valores de x, teremos:
x = 4 ⇒ y = 10 − 4 ⇒ y = 6 ∈M ⇒ ( 4, 6)
x ⎡1 ⎤
∈ ,5
y ⎢⎣ 9 ⎥⎦
x = 5 ⇒ y = 10 − 5 ⇒ y = 5 ∈M ⇒ ( 5, 5)
x = 6 ⇒ y = 10 − 6 ⇒ y = 4 ∈M ⇒ ( 6, 4)
Resposta correta: D
x = 7 ⇒ y = 10 − 7 ⇒ y = 3 ∉ M ⇒ não
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
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VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
9
Forma par
R = {( 4,6 ) , ( 5,5 ) , ( 6,4 )}
5.
Para encontrarmos R–1, basta trocarmos x por y:
R−1 = {( 4,6 ) , ( 5,5 ) , ( 6,4 )} , logo,
∴ A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 6, 7, 8, 9},
pois n (A x B) = n(A) x n(B) = 4 x 5 = 20
Então, a soma dos elementos de A é 10.
R ∩ R−1 = {( 5,5 )}
O número de elementos desse conjunto é 1.
Resposta correta: 20
Resposta correta: A
6.
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
No produto A x A, a ordenada e a abscissa saem do conjunto A.
Multiplicando a 1ª equação por (3) e somando as duas
equações, teremos:
( 3 ) ⎧9x + 3y = 21
⎪⎧3x + y = 7
⎨
⎨
⎩2x − 3y = 1
⎩⎪2x − 3y = 1
(1, 3)
↓ ↓
A A
O conjunto A – B é formado pelos elementos de A que
não pertencem a B, desta maneira: A – B = {– 1, 0}
O conjunto C – B é obtido da mesma forma: C – B = {0}
7.
O produto cartesiano (A – B) x (C – B) é formado por pares ordenados de x ∈ (A – B) e y ∈ (C – B), sendo assim:
(A – B) x (C – B) = {(– 1, 0), (0, 0)}
Resposta correta: B
Como (1, 9) e (9, 2) ∈ A2, então podemos afirmar que 1,
2 e 9 ∈ A, sabemos ainda que A2 = A x A, portanto:
n (A2) = n(A) . n(A)
9 = [n(A)]2
n(A) = 3
Desta maneira, os únicos elementos de A são 1, 2 e 9.
Tendo o seguinte produto cartesiano:
A2 = A x A = {(1, 1) , (1, 2), (1, 9), (2, 1), (2, 2), (2, 9), (9,
1), (9, 2), (9, 9)}
Os outros elementos a que o enunciado se refere são:
(1, 1) , (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 9), (9, 1), (9, 9), tendo soma
igual a 51.
Para representarmos o produto cartesiano K x K, vamos
traçar retas verticais nas abscissas 1, 2, 3 e 4 e retas horizontais nas ordenadas 1, 2, 3 e 4, as intersecções representam o produto cartesiano:
Resposta correta: B
8.
Sabemos que:
n(A x B) = n(A) x n(B)
n(A x B) = 5 . 2
n(A x B) = 10
O valor máximo de [n(A x B)]n (A ∩ B) = 10 n (A ∩ B) se quando o
expoente n (A ∩ B) for máximo, o que ocorre quando B
⊂ A, ou seja, n (A ∩ B) = 2. Desta maneira, o valor máximo de [n(A x B)] n(A ∩ B) = 102.
Resposta correta: A
O produto A x B é formado por todos os pontos em
que x ∈ [1, 5] e y ∈ [3, 6]:
Resposta correta: B
9.
n(A x B) = n(A) . n(B)
6x – 6 = (x – 1) (x + 1)
x2 – 6x + 5 = 0
x = 1 ou x = 5
Se x = 1, n(A) = x – 1 = 1 – 1 = 0 não serve, pois A não é
vazio.
Se x = 5, n(A) = x – 1 = 5 – 1 = 4.
A = 4 . 3 = 12u.a
Resposta correta: B
10
(5, 6)
↓ ↓
A A
Resposta correta: D
Resposta correta: B
4.
(2, 4)
↓ ↓
A A
Como o conjunto A só possui 6 elementos, então só podem ser 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Desta maneira, a soma é:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
11x = 22 ⇒ x = 2, substituindo na equação 3x + y = 7 ⇒
3(2) + y = 7
y=1
3.
O número de elementos do produto A x A é dado por:
n(A x A) = n(A) x n(A)
36 = [n(A)]2
n (A) = 36
n (A) = 6 elementos
Igualando as abscissas e as ordenadas:
⎧3x + y = 7
,
⎨
⎩2x − 3y = 1
2.
Os pares ordenados são formados com x ∈ A e y ∈ B,
portanto:
(1, 2), (2, 6), (3, 7), (4, 8), (1, 9)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
A B A B A B A B A B
Resposta correta: C
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 3
Para encontrarmos R−1 basta trocarmos x por y:
10. I.
( F ) Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3}, os
produtos serão A x B = {(1, 3), (2, 3)} e B x A =
{(3, 1), (3, 2)}, com isso A x B ≠ B x A.
II. ( V )
III. ( V ) Um par ordenado de (A x B) só será par ordenado
de (E x F) se os elementos de A (abscissa) forem
elementos de E e se os elementos de B (ordenada) forem elementos de F.
R−1 = {(3, 1), (2, 2), (1, 3)}
Todos os pares de R são pares de R−1 , então:
R ∩ R−1 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
∴ n (R ∩ R−1) = 3
Resposta correta: D
Resposta correta: D
11. Uma relação binária de B em A é formada por qualquer
subconjunto de B x A, ou seja, os pares ordenados da
relação binária de B em A terão abscissas retiradas de B
e ordenadas tiradas de A. O item C é o único que obedece à condição.
{(5, 2)
↓ ↓
B A
,
(7, 3)
↓ ↓
B A
,
(9, 4)
↓ ↓
B A
,
15. O conjunto B é {x ∈ Z* / – 2 < x < 3} = {– 1, 1, 2}, além
disso n(A) = 3 e n(B) = 3. Sabemos que o número de relações binárias (RA x B) é dado por 2n(A) x n(B), então:
n(RA x B) = 2n(A) x n(B)
n(RA x B) = 23 x 3
n(RA x B) = 512
(11, 5)}
↓ ↓
B A
Devemos desconsiderar a relação sem nenhum elemento,
desta maneira, poderemos formar 512 – 1 = 511 relações.
Resposta correta: C
Resposta correta: A
12. O conjunto W é formado por pares ordenados de P x P,
ou seja, retirando x de P e y de P, desta maneira, x e y só
podem ser 1, 2, 5, 7 e 8. Esses pares ordenados deverão
ter x < y:
W = {(1, 2), (1, 5), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 7), (2, 8), (5, 7),
(5, 8), (7, 8)}
∴ n(W) = 10
aula 5
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
O domínio é formado pelos elementos do conjunto de
partida que estão sendo utilizados, D (ƒ) = {1, 2, 3}. A
imagem é formada pelos elementos do contradomínio
CD (ƒ) = {2, 4, 6, 8} que estão sendo utilizados, Im (ƒ) = {2,
4, 6}. Observe que cada elemento de B é igual a 2 vezes o
elemento correspondente de A, portanto ƒ(x) = 2x.
2.
Atribuindo a x os valores do conjunto A:
ƒ(1) = 3 . 1 – 1 = 2
ƒ(2) = 3 . 2 – 1 = 5, não convém pois 5 ∉ B.
ƒ(3) = 3 . 3 – 1 = 8
13. O conjunto A x B é formado pelos pares ordenados (x, y)
onde x ∈ A e y ∈ B:
{(1, 1); (2, 2);
↓ ↓
↓↓
AB
AB
(1, 2);
↓↓
AB
(2, 1);
↓↓
AB
(3, 1);
↓↓
AB
(3, 2)}
↓↓
AB
SALA
1.
Resposta correta: C
AxB=
PARA
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2}
A ∩ B = {1, 2}
O número de elementos A ∩ B é 2.
Resposta correta: B
14. A relação R é formada por (x, y) ∈ E x E, ou seja, x ∈ {1,
2, 3, 4, 5} e y ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, obedecendo à condição
x + y = 4 ou y = 4 – x. Substituindo os possíveis valores
de x, teremos:
x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3 ⇒ 3 ∈ A ⇒ (1, 3)
x = 2 ⇒ y = 4 – 2 = 2 ⇒ 2 ∈ A ⇒ (2, 2)
x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1 ⇒ 1 ∈ A ⇒ (3, 1)
x = 4 ⇒ y = 4 – 4 = 0 ⇒ 0 ∉ A ⇒ Não forma par
x = 5 ⇒ y = 4 – 5 = – 1 ⇒ – 1 ∉ A ⇒ Não forma par
R = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
Não é função, pois o elemento 2 não gera nenhum elemento em B.
3.
O item D é o único que traz uma função de A em B, pois
é o único em que cada elemento de A gera apenas um
elemento em B.
Resposta correta: D
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
11
4.
A função ƒ: A → B é formada com x ∈ A e y ∈ B, atribuindo-se os valores de A a x.
ƒ(x) = x2 + 1
x = –3 ⇒ ƒ(–3) = (–3)2 + 1 = 10
x = –2 ⇒ ƒ(–2) = (–2)2 + 1 = 5
x = –1 ⇒ ƒ(–1) = (–1)2 + 1 = 2
x = 0 ⇒ ƒ(0) = 02 + 1 = 1
x = 1 ⇒ ƒ(1) = 12 + 1 = 2
x = 2 ⇒ ƒ(2) = 22 + 1 = 5
x = 3 ⇒ ƒ(3) = 32 + 1 = 10
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
•
•
•
•
•
Representando por diagramas:
Item A não é função, pois existe um elemento de A
gerando dois elementos de B.
Item B não é função, pois existe um elemento de A
gerando três elementos de B.
Item C não é função, pois sobra elemento em A.
Item D é função, pois cada elemento de A gera apenas um elemento no conjunto B.
Item E não é função, pois existe um elemento de A
gerando dois elementos em B.
Resposta correta: D
2.
Substituindo na função, teremos x = 1.
ƒ ( 2 ) = 2 . ƒ (1) − ƒ ( 0 )
ƒ ( 2 ) = 2 . ƒ (1) − 1
Substituindo x = 2 na função, teremos:
ƒ (1) = 2 . ƒ ( 0 ) − ƒ ( −1)
ƒ (1) = 2 . (1) − 3 ⇒ ƒ (1) = −1
Substituindo, vamos ter:
ƒ ( 2 ) = 2 . ( −1) − 1 = −3
A imagem será Im(ƒ) = {1, 2, 5, 10}
Resposta correta: D
Resposta correta: B
5.
3x − 5
x 2 − 81
x2 – 81 ≠ 0
x2 ≠ 81
x≠±9
a) ƒ(x) =
3.
D = {x ∈ R/x ≠ ± 9}
i)
Resposta correta: B
15 − 3x
b) g(x) =
4.
x −1
15 – 3x ≥ 0
– 3x ≥ – 15
3x ≤ 15
x≤5
Como ƒ(x) = 5, então:
ƒ(x + h) = 5, logo:
ƒ ( x + h) − ƒ ( x ) 5 − 5
=
=0
h
h
x (– 1)
Atribuindo os valores 0, 1 e 2 a x:
y=x–1
• x = 0 ⇒ y = 0 – 1 = –1
• x=1⇒y=1–1=0
• x=2⇒y=2–1=1
ii) x – 1 ≠ 0
x≠1
D = {x ∈ R/x ≤ 5 e x ≠ 1}
3
c) h(x) =
25 − x 2
5x + 1
5x + 1 > 0
5x > – 1
1
x>–
5
A imagem é {–1, 0, 1}.
1U
R
D = Sx ∈R / x > − V
5
T
W
12
Resposta correta: A
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
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VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
5.
Representando por diagramas, veremos que o único
item que forma função é o item C.
Resposta correta: C
6.
O item C forma função de A em B, com x ∈ A e y ∈ B,
substituindo os valores de A em x:
x = 1 ⇒ y = 12 – 3 . 1 + 2 = 0 ⇒ (1, 0)
x = 2 ⇒ y = 22 – 3 . 2 + 2 = 0 ⇒ (2, 0)
Representando por meio de diagramas:
10. Observe que:
x + 20
ƒ(x) =
x
x
20
+
ƒ(x) =
x
x
20
ƒ(x) = 1 +
x
20
y=1+
x
O contradomínio da função é o conjunto dos números
naturais; portanto, o valor de y tem de ser um número
natural, o que será possível se atribuirmos a x um valor
que seja um divisor positivo de 20. Os divisores positivos
de 20 são 1, 2, 4, 5, 10 e 20, portanto:
D(ƒ) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}.
A soma dos cinco elementos de A é 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22.
Resposta correta: D
11. Substituindo sen2x por 1 – cos2x:
ƒ(x) = 3 (1 – cos2x) – 5cos2x
ƒ(x) = 3 – 8cos2x
ƒ(x) = 3 – 4 (2 cos2x)
ƒ(x) = 3 – 4 (2 cos2x – 1 + 1)
Resposta correta: C
7.
Para existir ƒ, é necessário que:
I. 1 – x ≥ 0
–x≥–1
x≤1
cos2x
ƒ(x) = 3 – 4 (cos 2x + 1)
ƒ(x) = 3 – 4 cos2x – 4
ƒ(x) = – 1 – 4 cos2x
II. x – 1 ≠ 0
x≠1
O domínio é formado pela interseção:
D = {x ∈ R / x < 1} = ]– ∞ , 1[
Resposta correta: A
8.
Para existir y, é necessário que o radicando seja positivo:
3x – 2 > 0
3x > 2
2
x>
3
2
∴ D = {x ∈ R / x > }
3
Resposta correta: D
9.
Como –1 ≤ cos 2x ≤ 1, então
– 1 ≤ cos 2x ≤ 1
x (– 4)
4 ≥ – 4 cos2x ≥ – 4
4 – 1 ≥ – 1 – 4 cos 2x ≥ – 4 – 1
– 5 ≤ ƒ(x) ≤ 3
Im (ƒ) = [– 5, 3]
Resposta correta: B
12. Se não existe ƒ(3), podemos afirmar que 3 gera o denominador:
ƒ(x) = ax + 3b = 0
a . 3 + 3b = 0
3a = – 3b
a=–b
Temos que:
ƒ( x ) − 5
x
=
ƒ( x ) + 1
1
x . [ƒ(x) + 1] = ƒ(x) – 5
x ƒ(x) + x = ƒ(x) – 5
x ƒ(x) – ƒ(x) = – x – 5
ƒ(x) [x – 1] = – x – 5
−x − 5
ƒ(x) =
x −1
Substituindo x por –1:
ax + b − 5
ƒ(x) =
ax + 3b
ƒ(– 1) =
A função ƒ existirá se x – 1 ≠ 0, ou seja, x ≠ 1, desta maneira: D = R – {1}
1=
Resposta correta: E
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
|
VOLUME 1
−a+b −5
− a + 3b
− ( −b) + b − 5
− ( − b) + 3b
|
MATEMÁTICA 3
13
4b = 2b – 5
2b = – 5
−5
b=
2
5
b=
2
Portanto, a2 + b2 =
25 25 50 25
+
=
=
4
4
4
2
Resposta correta: A
13. Atribuindo valores a x:
I. ƒ(x + 1) = ƒ(x) + ƒ(1)
x = 1 ⇒ ƒ(1 + 1) = ƒ(1) + ƒ(1)
ƒ(2) = 2ƒ(1)
1 = 2ƒ(1)
1
ƒ(1) =
2
II. ƒ(x + 1) = ƒx) + ƒ(1)
x = 2 ⇒ ƒ(2 + 1) = ƒ(2) + ƒ(1)
1
ƒ(3) = 1 +
2
3
ƒ(3) =
2
III. ƒ(x + 1) = ƒ(x) + ƒ(1)
x = 3 ⇒ ƒ(3 + 1) = ƒ(3) + ƒ(1)
3
1
ƒ(4) =
+
2
2
ƒ(4) = 2
IV. ƒ(x + 1) = ƒ(x) + ƒ(1)
x = 4 ⇒ ƒ(5) = ƒ(4) + ƒ(1)
1
ƒ(5) = 2 +
2
5
ƒ(5) =
2
Resposta correta: C
14. Atribuindo valores a x:
x=3
⇒ ƒ(4) – ƒ(3) = 2 . 3
x=4
⇒ ƒ(5) – ƒ(4) = 2 . 4
x=5
⇒ ƒ(6) – ƒ(5) = 2 . 5
x=6
⇒ ƒ(7) – ƒ(6) = 2 . 6
+
+
ƒ(7) – ƒ(3) = 6 + 8 + 10 + 12
ƒ(7) – ƒ(3) = 36
Resposta correta: D
-91208
Rev.: Giselle
14
3ª SÉRIE E EXTENSIVO
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VOLUME 1
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MATEMÁTICA 3