MODELO DE EQUILÍBRIO
EM OLIGOPÓLIOS
UFSC – PPGEP
Tópicos Especiais em Logística e Transporte
Prof. Dr. Sérgio Fernando Mayerle
Junelene Costodio
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática


Não é exagero dizer que Nash
revolucionou o campo da teoria
dos jogos, o ramo da economia
que analisa o processo de
decisão estratégica.
O trabalho de Nash deu à economia
novos
meios
analíticos para
estudar o comportamento humano.
[Chr02].
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática



Pela metade do século 20:
insatisfação com "a mão invisível",, como
forma de explicar o alinhamento entre
oferta e procura e a fixação de preços.
Em muitos mercados, umas poucas
empresas dominam. É errôneo sugerir
que o preço é estipulado por uma mão
invisível
sem
que
haja
decisões
tomadas por executivos preocupados
com os seus concorrentes.
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática
Mercados precisam pensar
estrategicamente,
considerando todos as possíveis
ações de seus oponentes.


É como um jogo, e daí o nome
Teoria dos Jogos.
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática


A contribuição de Nash foi estender a
idéia dos jogos de resultado radical,
como o xadrez, nos quais a vitória de
um jogador é sempre completa, assim
como a derrota de seu oponente, para
situações estratégicas mais amplas.
Assim,
Nash
desenvolveu
seu
conceito de equilíbrio. [Chr02].
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática

Nash (1950, 1951) generaliza o
conceito de Cournot para um modelo
de equilíbrio de comportamento,
chamado “Equilíbrio de Nash”.
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática

Equilíbrio de Nash:
Equilíbrio onde temos n agentes ou jogadores,
cada um agindo de acordo com seu próprio
interesse. Sendo que nenhum jogador é
incentivado a mudar de estratégia, desde que
nenhum outro jogador possa escolher uma
estratégia melhor, dadas as escolhas dos outros
jogadores, ou seja, estamos diante de um jogo
não-cooperativo.
(Nagurney, 1999)
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática

De acordo com Nagurney (1999):
Especificamente, considere m jogadores, cada
jogador i tendo a sua disposição um vetor de
estratégias xi = {xi1, ..., xin} selecionado de um
conjunto conexo fechado, denominado Ki C R n,
com uma função de utilidade:[1]
ui : K ￫ R1, onde K = K1 x K2 x....Km C Rmn.
[1]
Essa função de utilidade pode ser um ganho, benefício, lucro, etc.
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática
Sendo assim, agindo racionalmente, cada
jogador i seleciona um vetor de estratégia
xi  K i
que maximiza seu nível de utilidade
ui ( x1,...,xi 1, xi, xi1,...,xm )
dadas as decisões
x  dos outros jogadores.
j j i
Equilíbrio de Nash e Formulação
Matemática

Definição Matemática do Equilíbrio de Nash:
(Nagurney, 1999).
O Equilíbrio de Nash é um vetor de estratégia:
x 
*
tal que

*
*
x1 ,...,xm
 K
.
^*
ui ( xi , xi ) 
*
onde:
^

^
*
ui ( xi , xi ),xi
 Ki , i
*
xi  x1* ,..., xi*1 , xi*1 ,..., xm
*

EQUILÍBRIO EM MERCADOS
PERFEITAMENTE CONCORRENTES

Considere m mercados produtores e n
mercados consumidores envolvidos na
produção/consumo de uma commodity,
em
um
mercado
puramente
competitivo, onde existe fluxo de
mercadorias
da
região
produtora
denotada
por
i
para
a
região
consumidora j.
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
PERFEITAMENTE CONCORRENTES



Em um mercado em concorrência perfeita,
pressupõe-se que exista:
Muitos produtores;
Uma pequena produção individual;
Fragmentação do mercado
Assim, se não houver um produtor disponível
a produzir “qe” (quantidade de equilíbrio),
sempre haverá alguém para “substituí-lo”.
Por esse motivo, temos um mercado
concorrencialmente “perfeito”.
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
REDE ILUSTRATIVA
Mercados Produtores
1
Mercados Consumidores
Fluxo entre “i” e “j”
1
2
2
3
3
.
.
.
.
.
.
m
n
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
PERFEITAMENTE CONCORRENTES

Considerando:
• si : quantidade ofertada da região i
• i : preço da commodity associado ao
mercado i
• dj : quantidade demandada pelo mercado j
• j : preço da commodity associado ao
mercado j
•Qij: quantidade (não negativa) de fluxo entre
os mercados (i,j)
• cij: custo de transporte associado com a
transação de carga entre os mercados (i,j)
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
PERFEITAMENTE CONCORRENTES
Conforme Nagurney (1999), as
condições de equilíbrio de mercado,
para todos os pares de mercados de
oferta e demanda (i,j):
i = 1,...,m
j = 1,...,n;
assumindo a competição perfeita
seguem a seguinte forma:

EQUILÍBRIO EM MERCADOS
PERFEITAMENTE CONCORRENTES

  j , se Q  0
 i  cij 
*

  j , se Qij  0
*
ij
(1)
Condição 1: se o preço em i mais o custo de transporte entre (i,j) for
igual ao preço da mercadoria em j, então existirá um fluxo de
mercadorias entre (i,j), caso contrário Qij = 0.
Condições (2) e (3) garantem a conservação de fluxo entre (i,j).
n
si   Qij
j 1
(2)
m
d j   Qij
i 1
(3)
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
Concorrência Perfeita
Modelo de Programação Não-Linear

Maximização do Excedente da Sociedade
n dj
m oj
1
1
j
i
j 1 0
i 1 0
Max
D
Sujeito a:
m
Q
ij
i 1
n
Q
j 1
ij
m
n
( w)dw   S ( w)dw  cij  Qij
 si
j  1,...,n
 d j i  1,...,m
Qij ; si ; d j  0
i 1 j 1
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
Concorrência Perfeita

Onde temos as funções:
Si1 (w):que representa a curva de preço do
produtor i (inverso da função de oferta)
Dj 1 (w) :que representa a curva de preço do
mercado consumidor j (inverso da função de
demanda).
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
Concorrência Perfeita
Oferta
Preço unitário
Preço unitário
Curva de preço do
produtor
Si1
quantidade
Demanda
Curva de preço do
consumidor
D j 1
quantidade
EQUILÍBRIO EM MERCADOS
Concorrência Perfeita
Preço unitário
D j 1
Si1
quantidade
Figura extraída de Mayerle, 1999.
Ponto de equilíbrio considerando a curva de preço do
produtor deslocada pelo custo de transporte(oferta) e a
curva de preço do consumidor (demanda), para um
produto.(sem limites de capacidade de produção e/ou
transporte)
Figura extraída de Mayerle, 1999.
Ponto de equilíbrio considerando a curva de preço do produtor
deslocada pelo custo de transporte(oferta) e a curva de preço do
consumidor (demanda), para um produto, considerando limites de
capacidade de produção e/ou transporte
EXEMPLO: Objetivo:Maximizar o lucro
Decisão: quantidades a serem produzidas e
seus preços.
D-1(w) =P = 100-2d
CMg= 10 +q
P1
c11 =10
c12 =8
c13 =15
CMg= 8 +2q
c21 =19
c22 =12
P2
c23 =13
M1
D-1(w) =P = 80-3d
M2
P = 110- 4dw
M3
SOLUÇÃO utilizando Solver (Excel)
di1 =23,66
q11 =23,66
Q1j = 32,68
P1
q12 =9,02
Q2j = 15,34
di2 = 9,78
M2
q13 =0
q21 =0
M1
q22 =0,76
di3= 14,58
P2
q23 =14,58
M3
SOLUÇÃO
di1 =23,66
Q1j = 32,68
CMg= 10 +q
CMg = 42,68
P1
P = 100-2d = 52,68
M1
di2 = 9,78
P = 80 -3d = 50,68
M2
Q2j = 15,34
CMg= 8 +2q
CMg = 38,68
P2
di3= 14,58
P = 110 -4d = 51,68
M3
Referências Bibliográficas


NAGURNEY, A. - “Network Economics – A
variational inequality Approach”. Revised Second
Edition. Kluwer Academic Publishers. Boston, 1999.
MAYERLE, Sérgio F.; BASTOS, T.D.A. – “O Problema
de Transportes sob a Ótica dos Modelos de Equilíbrio
Espacial de Mercado”. (1999).